惯性系概念要求空时坐标变换必须是线性变换,事物发展变化的因果关系有绝对意义,即因果关系不因参考系的变换而改变,

来源: marketreflections 于 2009-12-30 17:47:12 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (9519 bytes)

http://spe.sysu.edu.cn/course/course/5/build/lesson6.htm

上一页 返回首页 下一页

第六章 狭义相对论

6.1相对论的基本原理和时空理论

认为时空和质量的测量有绝对意义,与观测者所处的参考系无关,这种绝对时空和绝对质量观念是经典力学的“公理”基础,其集中反映便是伽俐略变换.但从19世纪末年起,人们发现这种观念与电磁现象和高速运动的实验事实不符.

在迈克尔孙等人光速测量实验的基础上,爱恩斯坦于1905年创立了狭义相对论.这一理论的两个基本假设是:

相对性原理——物理定律在所有惯性系都有相同的形式；

光速不变原理——真空中的光速在所有惯性系沿任何方向都是常数c,与光源的运动无关.

间隔不变性 间隔不变性是相对性原理与光速不变原理的数学表述.设惯性系中,任意两事件的空时坐标为和,定义两事件的间隔为

(6.1)

在另一惯性系中,这两事件的空时坐标为,,间隔为

(6.2)

惯性系概念要求空时坐标变换必须是线性变换,即,,而当两个惯性系的相对速度时,这两个惯性系将等同于一个惯性系.因而对任何两个惯性系,应当有

(6.3)

洛伦兹变换 设惯性系以速度沿惯性系的x轴正向运动,两参考系相应坐标轴平行,时两参考系的原点重合(一个事件),由(6.3)式,可导出任一事件的空时坐标从系到系的变换——洛伦兹变换

,,, (6.4)

其中 , (6.5)

将(6.4)式中的换为,可得逆变换.当, (6.4)过渡到伽俐略变换.

因果律与相互作用的最大传播速度 洛伦兹变换表明,时空的测量有相对意义,即测量结果与观测者所处的参考系有关,这是相对论时空观的一个方面.另一方面,是认为事物发展变化的因果关系有绝对意义,即因果关系不因参考系的变换而改变,从时间次序来说,就是在一个惯性系中,作为结果的事件必定发生在作为原因的事件之后,变换到任何其它惯性系,都必须保持这一时间次序.从这一要求出发,由间隔不变性或洛伦兹变换,可得出推论——真空中的光速c是自然界一切相互作用传播速度的极限.

间隔分类 在任何一个惯性系中,任何两事件的间隔只能属于如下三种分类之一： 类时间隔；类光间隔；类空间隔.

在一个惯性系中有因果关系的两事件,两者之间必定存在某种相互作用,其传播速度只能小于c或等于c,因而有因果关系的两事件之间隔必定类时或类光,变换到任何其它惯性系,绝对保持因果关系,相互作用的传播速度仍然小于c或等于c,即间隔仍然类时或类光.在一个惯性系中无因果关系的两事件,间隔必定类空,变换到任何其它惯性系,绝对保持非因果关系,间隔仍然类空.

同时相对性 在某个惯性系中,如果两事件于不同地点同时发生,即这两事件无因果关系,由洛伦兹变换可推知,在其它惯性系看来,这两事件的发生不同时.这意味着,在某个惯性系不同地点对准的时钟,在其它惯性系看来没有对准.

时钟延缓效应 在物体静止的参考系中,测得任一过程进行的时间,称为这过程的“固有时”.由洛伦兹变换,在其它惯性系 中,测得这过程进行的时间变慢了：

(6.6)

这效应对于两个惯性系来说是相对的,即在系上看系的时钟变慢,在系上看系的时钟也变慢.但是在有加速运动的情形,时间延缓效应是绝对效应.

尺度缩短效应 当物体以速度相对于惯性系运动,若在平行于运动方向上这物体的静止长度为,由洛伦兹变换,在系中测得这长度缩短为

(6.7)

这效应对于两个惯性系来说,也是相对的.但在垂直于运动的方向,这一效应不会发生.

时钟延缓与尺度缩短效应,是在不同参考系中观察物质运动在时空关系上的客观反映,是统一时空的两个基本属性,与具体过程和物质的具体结构无关.

速度变换 由洛伦兹变换(6.4),可导出物体速度从惯性系到之间的变换

, , (6.8)

将换为-,可得逆变换.可以证明,若在一个参考系中物体的速度,变换到任何其它参考系仍有.仅当,(6.8)式才过渡到经典速度变换.

6.2 洛伦兹变换的四维形式 四维协变量

相对论认为时空是统一的.为此将三维空间与第四维虚数坐标统一为四维复空间

(6.9)

于是当系以速度沿系的轴正向运动时,洛伦兹变换(6.4)可表为

, (6.10)

重复指标(上式中右方的)意味着要对它从1至4求和.变换系数构成的矩阵为

(6.11)

由于洛伦兹变换(6.10)满足间隔不变性(6.3),亦即

不变量 (6.12)

因此,洛伦兹变换是四维时空中的正交变换,即变换矩阵满足

(6.13)

(6.10)的逆变换为

(6.14)

在洛伦兹变换下,按物理量的变换性质分类为：

标量(零阶张量,不变量) (6.15)

四维矢量(一阶张量) (6.16)

四维二阶张量 (6.17)

例如,间隔和固有时就是洛伦兹不变量.可以证明,每一类四维协变量的平方都是洛伦兹变换下的不变量.利用这一普遍规律,可将物体的速度和光速,能量和动量,电荷密度和电流密度,标势和矢势,电场和磁场等物理量统一为四维协变量,由此可以清楚地显示出被统一起来的物理量之间的内在联系,并将描写物理定律的方程式表示成相对性原理所要求的协变形式.

6.3 相对论力学

相对论力学方程 在低速运动情形下,经典力学方程在伽利略变换下满足协变性.为使高速运动情况下力学方程也满足协变性,构造

四维速度 (6.18)

四维动量 (6.19)

四维力 (6.20)

(四维加速度 ),其中是三维速度,是三维力,是力的功率,是四维力的空间分量.由于固有时和静止质量是洛伦兹不变量,因此、和都是按(6.16)方式变换的四维协变矢量,于是相对论力学方程

(6.21)

在洛伦兹变换下满足协变性.由,这方程包含的两个方程为

(6.22)

(6.23)

相对论质量、动量和能量 由方程(6.22)和(6.23)可知,高速运动情形下物体的质量、动量和能量分别为

(6.24)

(6.25)

(6.26)

质速关系(6.24)表明,物体的质量随其运动速度的增大而增加,即质量测量与时空测量一样,存在相对论效应.仅当,才有,此时相对论动量(6.25)过渡到经典动量.质能关系(6.26)中,是运动物体或粒子的总能量,是其静止能量,是其相对论动能.仅当物体或粒子的速度,才有,即非相对论动能.质能关系的重要意义在于它表明,一定的质量来源于一定的相互作用能量.由可推知,静止质量的粒子,必定有静止能量,因而应当存在某种深层次的内部结构,物体或粒子的静止质量,来源于其内部存在的相互作用能量.由多粒子组成的复合物之所以出现质量亏损,便是这复合物内部的粒子存在一定相互作用能(结合能)的反映.

(6.19)式表示的四维动量,是将相对论动量和能量统一起来的协变矢量：

(6.27)

在物体或粒子静止的参考系中,其动量,能量,在任一惯性系中,设其动量为,能量为,由的平方是洛伦兹变换下的不变量,可得能量、动量和质量的普遍关系式

(6.28)

由(6.26)和(6.28),可得粒子静止质量的一种表达式

(6.29)

即通过测量粒子的动量和动能,可计算其静止质量.

光子的能量和动量 由质能关系(6.26)可推知,以速度运动的粒子,例如光子,其静止质量应当为零,即这类粒子应当没有内部结构.由波粒二象性,光子能量为,其中为角频率,,为普朗克常数.因光子,由(6.28)式,其动量为,为波矢量,表示光子运动方向的单位矢量.

6.4 电动力学的相对论协变性

相对论电动力学方程 定义四维算符

(6.30)

(6.31)

是协变矢量算符,是标量算符.电流是电荷的运动效应,而电荷电流是电磁势和电磁场的激发源.因此,有理由将电荷密度与电流密度,标势与矢势 ,电场E与磁场B ,统一为四维协变量.

四维电流密度 (6.32)

四维势 (6.33)

其中,带电体静止时的电荷密度是洛伦兹标量,和均按(6.16)变换.由

,

构造电磁场张量

(6.34)

它按(6.17)变换.这是一个反对称张量,其矩阵形式为

(6.35)

构造四维洛伦兹力密度

(6.36)

它按(6.16)变换,其中是三维洛伦兹力密度,是电场对电荷作的功率密度.于是,电动力学的基本方程

电荷守恒定律 (6.37)

洛伦兹规范 (6.38)

达朗贝尔方程 (6.39)

麦克斯韦方程

(6.40)

能量动量守恒定律 (6.41)

都满足相对论协变性.(6.41)式中,是将电磁场的能量密度,能流密度S,动量密度g和动量流密度统一起来的协变张量：

(6.42)

矩阵形式为

(6.43)

势和场的相对论变换 在参考系变换下,电荷与电流存在相对性,电磁势和电磁场必然也存在相对性.当惯性系以速度 沿 系x1 轴的正向运动时,电磁势按变换,即

, , , (6.44)

电磁场按 变换,即

，

, (6.45)

其中下标∥表示与运动方向平行的分量,⊥表示垂直分量.将(6.44)式和(6.45)式中的改为-,即得逆变换.
在参考系变换下,电磁波的相位是不变量.构造四维波矢量

(6.46)

它与四维时空的乘积反映了相位不变性.因此,四维波矢量必定按变换.当光源沿系x1轴的正向以速度运动时,便有

, , , (6.47)

由此可得相对论多普勒效应与光行差的表达式

, (6.48)

其中,为光源静止参考系系中的辐射频率,是波矢即辐射方向与x1轴正向的夹角；是在系中观测到的频率,是这参考系中辐射方向与光源运动方向的夹角.

6.5电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量

静止质量为,电荷为e的带电粒子在电磁场中以速度相对于系运动时,粒子的相对论运动方程为

(6.49)

为粒子的动量.由, ,可导出粒子的拉氏量

(6.50)

而和作用量S都是洛伦兹变换下的不变量:

(6.51)

(6.52)

由广义动量的定义 ,可得粒子的正则动量和哈密顿量H：

(6.53)

(6.54)

于是拉格朗日方程

(6.55)

和正则运动方程

, (6.56)

均与方程(6.49)等价.哈密顿量(6.54)第一项是粒子的相对论能量,故可构造四维正则动量

(6.57)

由此可得相对论正则运动方程

, (6.58)

上一页 返回首页 下一页

请您先登陆，再发跟帖！