周法哲 作为某个一阶张量的矢量实体，是个客观存在的不变量，但我们采用不同的坐标系来描述它时，却表现为不同的坐标分量组合，张成不同

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（原创）什么是一阶张量？（图）

科学的皇后 2009-10-15 14:19 阅读352 评论12 字号： 大大 中中 小小 上一回说到，张量概念的前提是坐标变换，而坐标变换的核心关键是基矢变换矩阵（过渡矩阵）A。在同一空间里，当坐标变换时，所有的参量按照其变换规律可以分成两大类：随A协调一致地变换者叫做协变量；“逆转而变”者叫做逆变量。那么一阶张量究竟是什么样的量呢？本文先介绍一阶逆变张量的定义。

一般地，在n维空间的任一坐标系中给定一组有序的数



如果当坐标基矢按某个过渡矩阵A变换时，而这一组数X却按A的转置逆矩阵B变换，即变为



则称这一组数为一个一阶逆变张量。通常用上标变量表示。

矢量的坐标分量（或矢端点的坐标）就是这样的一组数。当坐标基矢变换时，它们却逆转而变，所以属于逆变张量。又因为它们的变换因子中只乘了一个矩阵，所以属于一阶张量。下面举例说明。

在白线性空间里，有一矢量P，我们选定一组基矢建立一个坐标系，矢量P可表示为一组坐标分量，即可表示为一组有序的数，可构成一个n×1阶的列矩阵X。这样就把矢量转化为一组标量，便于计算机处理。

不妨以二维空间为例，坐标基矢为，则矢量P可以表示为数组，或列矩阵



如下图中的坐标系所示：



图：一阶逆变张量

但是，同一个矢量P在不同的坐标系中会表现为不同的数组。就是说如果我们选定另一组基矢建立另一个坐标系，矢量P则又可表示为另一组坐标分量，即可表示为另一个数组，也可构成另一个n×1阶的列矩阵X'。

不妨仍以二维空间为例，当坐标基矢组变换为'时，则描述矢量P的数组变换成，也可记为列矩阵



如上图中的坐标系所示。

通过前几回的讨论我们知道，当坐标变换时，两组基矢之间的变换关系体现为一个过渡矩阵A。仍以二维空间为例，假定可记为



或一般地对于n维空间写成



其中基矢变换矩阵（过渡矩阵）A为n×n阶方阵



一阶逆变张量的定义是说：当坐标基矢按如上矩阵A变换时，则矢量P的坐标分量却按矩阵B“逆转而变”成



对于二维空间中即



对于n维空间一般即



其中坐标变换矩阵B也是一个n×n的方阵



如果变换矩阵B恰是过渡矩阵A的转置逆矩阵



则这样的矢量（一组数）就属于逆变量，叫做一阶逆变张量。

注意：上式中矩阵元素的指标次序倒置表示矩阵的转置。

可见，张量是一组数，其中随坐标基矢变换“逆转而变”者属于逆变张量，变换因子中只乘一次矩阵者叫做一阶张量。矢量就是一阶张量的典型实例。

一阶张量的几何意义如上图。中国古代汉语中“张”字的本义是指把弦安装到弓上，拉的紧绷绷的。英语中“张量”一词tensor也是“拉紧”的意思。作为某个一阶张量的矢量实体，是个客观存在的不变量，但我们采用不同的坐标系来描述它时，却表现为不同的坐标分量组合，张成不同的平行四边形，然而两个平行四边形的对角线（矢量实体）始终不变，描述的对象是同一个“量”，这样的量就是张量。

值得提醒大家的是，矢量是一阶张量的典型实例，但一阶张量不仅仅只有矢量。况且上述举例的矢量是一阶逆变张量，只不过是一阶张量中的一类，实际中还存在一阶协变张量。究竟什么是一阶协变张量呢？且听下回分解。

（作者：周法哲2009-10-16于广东）