经典力学的群论基础

文章内容：;7譬群讫山西财经学院学报997年奠4婀耵?4?1997炉经典力学的群论基础蹩◇;\1经典力学的主要任务是归纳宏观世界机械运动所遵循的基本规律,用以确定物体的运动状况,或作用在其上的某些力的性质.其主要方法是借助于严密的数学工具.进行由表及里,由现象到本质等一系列推理过程.群论则是数学中的一个高度抽象的分支,由于它具有极强的概括力,因此从19世纪创立以来,不但其本身的理论体系发展得相对完美,而且在各个学科都获得了广泛的应用正如一位着名学者所说:"无论在什么地方,只要能应用群论,从一切纷乱和混淆中立刻结晶出简洁与和谐群论的概念是近几世纪科学思想的出色工具之一."群论对于力学的应用,是科学史上常常出现反常现象的一个倒子.诚然,拉格朗日既是经典力学的奠基者,又是群论的创始人,但近200年来,群论在经典力学中的应用却未得到长足的进展.相反,在近代物理科学的前沿——基本粒子和量子力学中,群论的应用却获得了令人惊奇的成功.这种反常现象+促使一些近代学者致力于群论对经典力学的应用的研究,并取得了一些进展.虽然.关于这个论题的着作尚少,但毕竟是较为现代的途径,可以相信.籍助于群论.经典力学一定可以发展为理论更严谨,更完美,体系更完整,更系统的学科物体的运动是物理学家最早研究的课题他们的研究成果逐渐形成了经典力学的广阔领域.而物体的机馘运动,是物体在空间的相对位置随时间雨改变的现象.它是物质运动最基本,最简单的初级运动形态.各种复杂的,高级的运动形态都包含有这种最基本的运动形态.我们现在要指出;物体的机械运动具有群的性质.任何力学表述的基础都是空间和时间.通常的三维空间如果赋于距离函数的定义,则称为欧几里得空间牛顿力学就是研究三维欧几里得空间中物体的运动.牛顿力学的基本概念和定理相对于这个空间的欧几里得运动群是不变的.设该空间中每个点经过一种变换(即运动)变为点.简记为.一,,若变换.恒使两点的距离不变,亦即.=,=时,恒有线段的长等于线段的长,简写为—,就叫变换.为空间中的一个位移.现在考虑空间中一切位移的集合,若,∈,则口表示先旋行位移口后,紧接着就施行,于是点经变换'后,变成了点一().据是位移的意义.必有(.)()一.,再由口也是位移,又得..=,所以=,这说明,先施行位移.而紧接着又麓行位移的结果',仍然是一个位移.即口∈.如果称'为位移口与之积,则'∈,即表示集合关于位移之积运算是封闭的,也就是说,满足群公理.叉若..∈,刚由位移之积的定义有:设为空间中任何点,则一()一(()).=()一)说明了位移(口)与口()使每点的变化的结果是一样的(变为同一点),因之,()一口(),这证明,关于位移之积运丽?85?葬满足结合律,即满足群公理.使空间中每点都不变的变换,显然也是一位移,且对于任何位移,恒有=;,这说明,关于位移之积运算,位移氏可充当的单位元,即满足群公理.最后,若.为一位移,则考虑这样的点变换,即它与使空间中每个点恰好互为相反的变化,也就是说,如果使点变为,那末它就变点为,这样的变换当然与紧密相关,用符号-表示之,即有,一:.于是取空间中任意两,时,由于是位移,可知有点.及.,使暑=,战一,且.=,而据变换之定义得知:一一,''一,这表明也是位移,并且因.'=(-)一一及=(.)'=,故与使空问中每点都不变,即==口.,这说明,每个位移在内都有逆元～,即满足群公理.练所述可知,一切位移之集合关于位移之积运算是成群的,我们称为位移群.空间中一切位移之集合固然成群,取一部分位移的集合也可能成群(均指关于位移之积运算),这就形成了位移群的子群.为了说明这个问题,我们考虑刚体的运动,刚体定义为一种被完全约束的质点系统,在这种约束下,所有各质点之间的距离在整个运动中都保持不变.因此,所谓刚体运动,说通俗一点,就是把一个物体从空间的一个位置搬到空间的另一位置上.显然,刚体运动是一个位移运动,并且连续旅行两次运动的结果,仍然是看作这物体的一个运动这说明刚体的一切运动之集合关于位移之积运算是封闭的,即满足群公理,由于刷体运动是位移,而位移之集合成群,故作为的子集,满足结台律自不待言,即满足群公理,使刚体完成不动的运动可看作是一个恒等运动,可充当之单位元,即满足群公理,最后,每个刚体运动显然有逆运动,即将刚体从乙位置还原为甲位置的运动,可以看作是从?86?甲位置到乙位置的运动的逆运动,即清足群公理.于是,刚体的一切运动之集合成群,叫做刚体运动群.该群显然是位移群的一个子群刚体运动群冲的元素是怎样的呢?以.表示将空间中每点都傲向量平移到点,即-=,显然是一个位移.设是一个位移,对于任一个位移,我们把称为之变形.实际上-为借变形而得之位移.因此,我们可以指出:刚体运动群中的元素是而且只能是平移与旋转,刚俸当然也可以看作螺旋运动,但螺旋运动是由旋转与平移合成的.刚俸两平移之积显然为一平移,即.=,且一平移之逆.'仍为一平移…故一切平移之集合又是刚体运动群的一个子群.另外,因为.=.-—.,—:.故平移群又是交换群.用进一步的群论语言:平移群是位移群的正规子群,因之,是刚体运动群的正规子群.对于旋转,不能说一切旋转之集合为刚体运动群之子群,事实上,的确不是,因为两旋转之积可能为一平移,不满足封闭性.然而,使空间中点不动的剐体运动一定是一个旋转,而且这样的两个旋转之积及这样的旋转之逆都仍为这样的旋转.因此可以说,空间中所有通过一点的一切直线为轴的旋转之集合成群这样的群称为过点之旋转群显然.该群是无限群.深入的研究表明:该群的有限阶子群只有五种:即有限阶循环旋转群.二面体群,正四面体群(即四次交代群),正八面体群或正六面体群(即四次对称群)以及正二十面体群或正十二面体群(即五次交代群).参考文献(1)理论力学厢桁柏着(2)经冉力学(中译本)戈博斯坦着3)运动群张近遗着4)群迎[日)岩堀长庄着(责任编辑:孙小素)