在量子力学中，态空间是具有内积的矢量空间，类似于希尔伯特空间波函数 和 的内积

第四章思考题
1．如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。
解答: 矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的维数是可数的）。具体说，如果力学量 的本征函数为 ，相应本征值为 。任意态矢 可展开为

态矢 在 表象的表示为展开系数 组成的一列矩阵

其意义是：在 态中，力学量 取值 的几率为 ，与坐标表象波函数的意义相类似。
力学量用厄密矩阵表示

可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维数相同。
用矩阵表示力学量，理由如下：
（1）可以反映力学量作用一个量子态而得到另一个量子态的事实。设 ，则
简记为 ；
（2）矩阵乘法一般不满足交换律，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求；
（3）厄密矩阵的性质能体现力学量算符的厄密性。
2．算符（力学量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?
解答：力学量本征值是分立谱时，它在其自身表象中的表示是对角化的，对角元素就是它的本征值

本征矢为单一元素列矩阵
………

3．已知一维谐振子在坐标表象的能量本征函数 ，不用计算，直接写出其在动量表象的能量本征函数 。
解答：一维谐振子的哈密顿量为

其中 可见， 对于 和 是对称的，差别在于 和 不同，因而， 和 的形式应当完全一样。
已知
故有

4．量子力学绘景中表象和绘景的含义有何不同？
答：绘景(picture)是指描述量子体系虽时间变化的公式。量子力学中，波函数 与力学量 都是不能只接测量的。能与实测比较的量子力学量在 态的平均值 ， 既与算符 有关又与波函数 有关。量子体系在运动中， 的随时变化是完全由于 或 还是两者都依时变化？在理论上可有不同但等效的描绘方式。即有不同的绘景：如常用的薛定谔绘景，海森伯绘景……
量子力学体系中的量子态由希尔伯空间中一个矢量来描绘，量子力学由作用于此空间上的厄米算符来表示。同一个态或力学量可以有不同的表象（representation）
表象是态和力学量的具体表示方法，是指在希尔伯空间中对坐标的选择。也就是对作为基矢的完备正交归一本征矢系的选择。选用不同坐标系对应用于采用不同的表象。
显然，每一绘景中，可取各种表象如位置表象，动量表象等。
对一具体问题，用什么绘景，又选用什么表象，由如何才便于求解而定。
在量子力学基础教材中，通常使用的是薛定谔绘景中的位置表象有时被简称为薛定谔表象。
绘景与表象是两个不同的概念，在早期的国外量子力学教材中经常混用，近期的教材都已加以明确区分。

5．坐标和动量作为算符，在能量表象中有确定的表示式吗？
答：坐标与动量算符在能量表象中没有确定的表示式，因为能量表象不是一种确定的表象。不同体系因其哈密顿量 不同，各有自己的能量表象。它们的的矩阵元取决于能量的本征函数，而能量本征函数又由外势场决定。

6．力学量的矩阵对角化含义是什么？
答：如果力学量 的矩阵 是非对角矩阵，则说明不是在其自身表象中的表示，而是在某个其他表象 中的表示（表象 以力学量 的本征矢为基矢）所谓将矩阵对角化，也就是将 转换到起自身的表象中来，这样做的目的是求矩阵的本征值。

7．有人认为：粒子数确定，能量也就确定。因此，能量表象与粒子数表象是一回事？对不对？
答：有的书将一维谐振子的能量表象成为粒子粒表象或占有数表象。那不是因为“粒子数确定、能量也确定”，一维谐振子只有一个粒子，谈不上粒子数，所以有此称呼是因为今后可以用此表象研究多光子系统。所谓粒子数是指那时的光子数。

8．狄拉克符号中，引入了右矢 ，为什么又引入左矢 ，右矢和左矢能够相加吗？
解答：在量子力学中，态空间是具有内积的矢量空间，类似于希尔伯特空间波函数 和 的内积
， 和 的内积记为 ， 是对应于 的左矢，属于伴随空间的
一个矢量。由于左矢和右矢是分属于不同空间的矢量，它们不能相加。

9．（1） （2）
（3）如 是 的本征矢，则
（4）算符 的物理意义是什么？公式 成立的条件是什么？
答：算符 的物理意义在于，它作用于任何态矢上得到该态矢在基矢 方向的投影矢量， ；且 ，故 称为投影算符， 是投影数值。公式 成立的条件是基矢集 组成正交、归一、完备系，任意态矢均可按 唯一展开 ，由于 为任意态矢，故得到 ，此式可作为完全集的定义式，称为封闭性关系。

10．若总哈密顿量 在 表象中为非对角矩阵，物理上意味着什么？若 在 表象中为对角矩阵，又意味着什么？
解答： 在 表象不是对角矩阵，表示二者不对易，显然 和 亦不对易，无共同本征态，这时需要另求 的本征态。若 在 表象中为对角矩阵，说明二者对易，这时 和 亦对易，即 的本征态是它们的共同本征态，使求解大为简化。