集美大学 朱荣坤 关于内积的教学探讨

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集美大学 朱荣坤

2006.9


关于内积的教学探讨






欧氏空间是普通几何空间的进一步推广.应该说，有了线性空间和线性变换两章的基本知识后，学生在学习欧氏空间内容时会觉得较简单；但往往忽视领会本章研究问题的新特点：欧氏空间中的问题都是在内积基础上展开讨论的.内积是其中最基本的概念，毫无疑问，切实理解并掌握内积的定义、性质及其作用是本章的教学重点之一.

实际教学中，既要注意与几何空间作比较，特别还要引导学生体会引入内积后所带来的变化与处理问题的方法以及内积是怎样贯穿整个欧氏空间理论的.

下面谈谈对第一节“内积定义与基本性质”的教学处理，请各位老师指正.






一、关于内积的定义


解析几何中，内积就是数性积（两向量的长度乘以夹角余弦），但这样的定义依赖于长度和夹角；而这两个概念在一般线性空间中未加定义.因此，内积需从本质上采用公理化定义（可适当介绍公理化定义的背景，包括公理体系的完备性、相容性与独立性）.内积实际上是实数域上线性空间满足四条基本公理的一个二元实函数要求它满足对称性、线性性、非负性.

需要强调的是：

1.为什么要引入内积？

线性空间是几何空间的抽象化，但几何空间中具有实际意义的长度、夹角等度量性质在线性空间中并没有讨论.为了能在线性空间中讨论这些问题，需要引入“内积”概念.

2.内积的本质是什么？






内积实际上是


的映射，同时也称实数


为向量


的内积，二者使用同一名称.


3.欧氏空间与内积的关系

简单地说，欧氏空间＝线性空间＋内积.同一个线性空间可以定义不同形式的内积，从而对应的欧氏空间也不同；也将导致欧氏空间所讨论的问题不同（比如长度、正交）.

4.内积的基本性质

从内积定义出发，容易得到几个基本性质，比如：


1）


2）


；


最后一条性质是学生最容易忽视的.而它恰恰是欧氏空间中证明两向量相等的唯一方法.需要特别提醒！

二、关于度量特征

这部分内容简单易懂，但应提醒学生时刻记住：度量特征和内积密切相关.


1.向量长度：


随内积变化而变化


1）区别：符号


矩阵的行列式、向量的长度、数的绝对值）






2）注意：


3）论证：长度关系式往往转化为内积关系式.比如三角形不等式的证明.

4）引申：长度的非负性、齐次性


（


）


、三角不等式正是范数


的基本特征.


2.夹角： 引导学生体会：什么条件下，夹角定义式才有意义？（柯西不等式）

3.正交：内积为0. 几何意义就是垂直.

4.度量矩阵

定义：


. 其中


，


为基


特征：1）度量矩阵完全确定了内积：


2）不同基的度量矩阵是合同的.

3）度量矩阵是正定的.

三、关于内积的应用

有了内积以后，向量的度量关系和相关性质都可讨论.从理论上讲有相应的发展，从应用上讲范围更广泛.适当讨论内积的应用，有助于进一步理解和掌握内积.

例1教材中两个历史上著名的不等式.

例2利用内积证明余弦定理和勾股定理






证明：设


是三角形两边对应的向量，夹角为


，


，


是第三边向量，


取


，即得勾股定理.


例3证明几何平均值不超过算术平均值:


证明：取


，由柯西不等式


四、思考题

最后，为正确理解内积的相关内容，澄清学生存在的模糊认识或者错误理解，达到优良的教学效果，可让学生思考、讨论以下问题：


，即证.


1）


内积


2）


3）


？


？


4）


5）


6）


7）


8）