介绍概率论分享 http://blog.sciencenet.cn/u/zhouda1112 北京大学概率专业在读博士。旨在宣传概率论的知识和思维。
博文
大数定律（二）
|||
上次提到，大数定律反映了“大量微观随机会产生宏观稳定”的这样一条朴素原则。回避了数学式的讲解。这次的讨论依旧会按照这样的模式。我计划在第三次的时候用数学的方式和观点去讨论大数定律。
这次引入一个新的概念“ ergodicity”，遍历性。它有很深的物理背景，又是很多数学分支关心的话题。这里只是把它作为大数定律的某种推广供大家体会，不会深入发散。
遍历性源自于统计物理的“遍历假设”。下面的内容摘自百度百科http://baike.baidu.com/view/692121.htm
“系统的一个状态在相空间中有一个代表点P=(p,q)，系统的运动就对应于点 P在相空间中的运动。如果系统是保守的，其总能量E便是常数，点P的运动就被限制在相空间中的等能面（称为能量面）H=E之上。
假如系统的自由度n非常大,例如在一定容器中气体分子的运动（宏观上微小的体积中仍含有大量的分子），如果与外界没有能量交换，就是一个保守的力学系统。这时 n=3N，N是分子的数目。因为人们无法去解如此巨大数目的哈密顿方程组，也无法实际地测得解方程时所必需的初始资料，所以不可能再用纯经典力学的方法来研究这样的系统。其实，系统中大量分子运动的综合作用才决定出系统的宏观性质。例如，气体的单个分子只是断续地冲撞容器壁，而大量分子冲撞的综合平均作用才形成了气体对器壁的稳定的压强。为了研究这类本质上是统计性质的运动规律，人们设想同时考虑都是含有N个粒子,处于同一外部条件之中并且具有同一哈密顿量，但微观状态不一样的一切可能的系统。这些系统在相空间中的代表点就不一样。这些宏观条件一样的一切可能的微观系统的全体称为系综(ensemble)。L.E.玻耳兹曼，特别是J.W.吉布斯建立了完整的统计系综方法，类比于流体力学中的刘维尔定理，证明了系综的概率分布守恒定理。如果用φt(P)表示相点P 经过时间t之后在相空间中达到的点，那么φt便是相空间的一个变换。所谓概率守恒，就是说φt能使一定的概率测度保持不变。如果某系综相应的概率分布不显含时间，就称做稳定系综。统计力学基本假设之一是认为真实的平衡物理系统在某时刻的状态与其相应的稳定系综在相空间中的点有相同的概率。
但实验中的量测总要经历一段时间。即使宏观上很短的时间，从微观的角度来考察也是相当长的。例如，在0℃和1大气压下,1立方厘米体积中的气体分子每秒钟大约碰撞1029次,即使在10-6秒这样宏观很短的时间里，碰撞也达1023次。所以,宏观量测的物理量,都是一个微观相当长时间的平均值,可以认为就是。但这一(极限）平均值无法从微观的力学分析中推算出来，因为无法确定相轨道的初始数据。为了用微观的力学分析解释宏观的物理现象,统计力学中提出了以下基本原理(或基本假设)：对于平衡物理系统,物理量在相空间中按概率测度的平均应等于这物理量沿一轨道的时间平均。
为了支持这一基本原理的引入,玻耳兹曼提出所谓遍历假设，认为一条相轨线可以跑遍（或者说充满）整个能量面。以后又有人提出准遍历假设，认为一条相轨线可以任意接近能量面上的任何一点。然而数学的研究指出，上述遍历假设不可能成立，而准遍历假设又不足以保证“相平均＝时间平均”。因此，以后关于统计力学数学基础的研究，集中注意力于“相平均＝时间平均”这一条件本身，把满足这一条件的系统称为是遍历的，或者称为是具有遍历性的。自20世纪30年代开始，以G.D.伯克霍夫、J.冯·诺伊曼、Α.Я.辛钦和其他许多数学家的工作为标志，关于遍历性的研究形成了一个重要的数学分支。 ”
我们回顾强大数定律的表述：X1,X2,...,Xn代表了独立同分布的随机变量，当X1的一阶矩存在时
X1+X2+...+Xn/n几乎处处收敛到E(X1)。
左端的算术平均可以理解成“时间平均”，右端的E(X1)代表了“相平均”（也可叫做空间平均）。所以大数定律是可以纳入到遍历理论的体系当中。即我们可以讲，独立系统满足“基本假设”。
熟悉马氏过程的朋友一定能联想到，类似地，当马氏链满足一定条件时，也能满足“基本假设”。姑且我们把满足这种假设的马氏链叫做“遍历链”。
所以对于大家最熟悉的随机过程，“独立系统”和“马氏系统”，在一定条件下都能够具备统计力学研究中期望看到的“相平均=时间平均”的基本假设。
至于还有怎样的过程或者系统能满足这样的假设，数学物理中有比较专门的研究。
我想跟大家分享的是，大数定律的表述简单而朴实，而这恰恰又能揭示本质的物理背景，联系多个学科分支。数学当然是充斥着“技巧”的艺术，但是好的数学研究多半是能归于简单而朴素的思考和观察。
下次，是介绍大数定律的第三篇，也是最后一篇，将从数学角度讨论大数定律。
但是我最想讲的话在这两次已经跟大家分享过了。
