在宇宙里，人分不清左右上下，时空各处各向同性同量;量子力学全同性原理与对称性的联系

经典与量子力学对称性研究 孙仁平（ 2008213083 ） 华中师范大学物理科学与技术学院 08 级物理学基地班 武汉 430079 摘要：对称性研究一直是物理学中十分重要的方面，关于对称性的探讨在某种程度上是导演了整个物理学的走向的，无论是经典力学中或者量子力学中，透过这一基本原理无疑让人们发现了更多，而这同时也是物理世界简单和谐的集中体现。但其中的由对称性原理得来的守恒定律是否已经完全，自然界是否完全遵循对称性原理，我们不得而知。本文着重介绍经典与量子力学中的对称性与守恒律，以及介绍一些关于宇称和李政道、杨振宁提出的宇称不守恒理论。 关键词：对称性 宇称 守恒 前言 能量守恒定律、动量守恒定律以及角动量守恒定律是人们在实验以及现实生活中总结出来的规律，而在这些定律的背后是否有更深刻的物理解释一直是人们研究的主要问题，对称性原理的提出无疑很好的解释了物理系统中的守恒定律。当然， 这一切的前提条件是对于所有已知或者未知的系统我们都假定它们其中包含的物理规律是一样的，也就是说，无论在地球的哪个角落，物体的运动都应该满足其所在系统的基本的运动方程。 1 、 经典力学中对称性与守恒律 1.1 时间均匀性与能量守恒定律 假定系统处于不变的外场中，或者说系统与外界隔离，不受外界影响。系统内部的时间是均匀的，也就是说，对于整个系统而言，我们从任意时刻研究系统， 我们所得出的关于系统的运动规律是一样的。 则在上述条件下，系统的拉格朗日方程不变： 1.2 空间均匀性与动量守恒 () 0 1L t ∂= ∂ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 2 1 = 1   - , 1 s dL L L L q q t dt q q t s s dL d L L d L q q q dt dt q q dt q s d Lq L dt q s L E q q L T U q t ααααααααααααααααααα∂∂∂Σ= + + = ∂∂∂∂∂∂ΣΣ= + = = ∂∂∂∂Σ−= = ∂∂Σ ∂= ⎛⎞⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎡⎤⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦⎛⎞⎜⎟⎝⎠& & && & & && & & & & & & & ： ： = ： 将展开将式代入，得将上式左边右移，得设： ( ) ( ) ( ) 3 2 3 L E E − 则为守恒量， 定义为机械能。以上、式表明不受外场作用的系统能量守恒 假定系统处在无外场的状态，时间、空间都是均匀的，也就是：当我们选取系统空间中任意一点作为坐标原点来研究该系统运动规律时，我们所得到的结果是一样的。 于是，假定在系统空间某一坐标系中，系统拉格朗日函数为 将坐标系平移一个常矢量 。使得拉格朗日函数改变。如果空间是均匀的，则平移之后拉格朗日函数应不变，即： 0Lδ= L ε 此时，因坐标平移是的每个粒子的坐标都改变 又有： 所以：动量 1.3 空间各向同性与角动量守恒 假定系统在无外场或者在有心力场中，空间各向同性，所以，若将系统转动，拉格朗日函数不变，我们说系统具有转动对称性。这里，只给出角动量守恒定律结果，过程与以上两种守恒定律过程类似。 2 、量子力学中对称性与守恒律（连续时空变换） 在量子力学体系中，如果我们把系统的对称性理解为一种操作变换将会更好的理解，若系统在一种操作下是不变的，那我们就说系统在这种操作下是具有对称性的。注意：这里的不变是指系统的运动规律不变，即薛定谔方程不变，那么也就是说决定薛定谔方程的哈密顿算符不变，同时也要求量子力学的基本假设也必须不变。 现在，我们用 经过较简单的方程变换后，我们易得： 从以上式中我们得到了波函数 , N=11111   12,3,,N0,12,3,,N00aaNaaaaaaaNNaaaaNaararaLLLLrrrdLLdtrrLrεδεεδδδδε========⎛⎞∂∂∂=+=⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂=⎜⎟∂∂⎝⎠∂∂ΣΣΣΣ L&L&􀀀􀀀􀀀&& 11   0 NNaaaaaadrpLrpLdt ==×=⇒×ΣΣ 矢量 守恒，定义为系统的角动量 () ()()()()()()()1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆSSSSSSOOOOSOSOSddSSSSdψψψψψψψτψψτψψψψτψ−∗∗∗∗==Φ==== ∫∫∫∫ 代入 2.1 时间均匀性与能量守恒 2.2 空间平移不变性与动量守恒 将 ψδ () ()()()()()()()()()()()()()ˆ!0ˆˆˆ,StStt-txtkttt-tttttettktktHStt-titHttψψψδδδψψδψδδψψδδψδψψ==∂−∞∂∂∂Σ−=−∂∂⎛⎞⎜⎟⎝⎠∂−∂Lh，，，，，，， 时间均匀性是指系统在时间平移下，体系的哈密顿算符不变其所对应的算符为则：将，展开：将式代入上式，同时利用薛定谔方程，，得： xxxxxxxxxx []ˆˆˆˆˆˆ,,ˆˆitHSexitHHSHetSxHδδδδδ===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦hh 易知不是厄米算符，但它对应一个守恒量：时间平移算符对应的生成元是守恒算符，要求系统不受外场作用 () ()()1ˆˆˆˆˆˆˆˆSSSSSOSOSψ++−=⇒= 由于波函数的任意性，可得：幺正性条件 () ()()()()()()()()()()()()()()()()ˆˆˆ77122 HSxSSxS--keδδψψδψψδ ()   ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ0SHHHSHSSHSHSHSSH +−⎡⎤==⇒−⎣⎦ 若一种操作是对称的，使得哈密顿算符不变则： 2.3 空间各向同性与角动量守恒 3 、总结对称性原理在经典与量子力学中与守恒律的关系 从以上的结果中，我们不难发现无论是在经典力学或是量子力学中，其对称性原理以及在满足对称性要求下所得出的守恒律在很大程度上是一致的，当然，无论是哪一种守恒定律对于各自的体系都是有一定要求的。于是当我们回到最初的前提条件?对于所有已知或者未知的系统我们都假定它们其中包含的物理规律是一样的?，我们就不难想到无论是经典力学体系或者量子力学体系他们都应该服从自然界最基本的由对称性出发而得到的守恒律，尽管各自的体系有很大的不同。 4 、量子力学全同性原理与对称性的联系 在进行讨论之前必须要先探讨一个更深刻的问题，什么是对称？而系统的对称性又是从何而来？首先，对称在之前就已经说明，便是系统在某种操作下不变，而这种不变的标准便是系统满足的最基本的运动方程不变。然后是关于系统的对称性是从何而来？所谓对称性，是意味着不变，不变的意思便是不能区分，比如说一个人处于宇宙中，旁边没有任何物体，那么他便无法确定自己所处的绝对位 ()()() ()()()()()[][]ˆ,7ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,0ˆSS-exieiSexSxiHSHeHxδψψψδψδδψδδδδδ−∇==−−−=⇒⎡⎤⎢⎥⎣⎦􀀀􀀀􀀀􀀀由可得： 所以： 易得空间平移算符不是厄米算符，但它对应一个守恒量由空间平移不变性得： 因此对应平移算符的动量算符为守恒量 xxxxxxpxxpxppp 置，因此对于这个人而言，宇宙的平移便是对称的。而导致不能区分的原因是不可测量，如果能够精确测量一个人所在的具体位置，那么我们便可以区分出这个人在 1位置与2位置的区别，那么宇宙的平移将不再遵守对称性。同样，绝对的时间是不能测量的，我们只能知道1时刻与2时刻之间的间隔时间，于是，这也导致了时间的对称性。 （下图给出不可观测量与对称性的关系，引于文献【 5】） 回到最初的话题：全同性原理。其实，全同性原理就是一种对称性的体现，它所表述的意思是将两个微观粒子交换对其波函数无影响（这里的交换可以理解为一种操作），换言之：因为微观粒子的不可精确测量性，才导致了我们无法区分出两个粒子之间的差异，不能区分的结果便是满足对称性。而对称性必然会导致一个守恒律。以下是具体推导过程。 5 、宇称 5.1 宇称算符 A ψψ 5.2 宇称守恒 若体系的哈密顿算符具有偶宇称，即： 5.3 宇称不守恒理论 弱相互作用中宇称不守恒理论是李政道、杨振宁在 1956年提出的。其实宇称的概念早在1927年维格纳在解释原子光谱的选择定则就已提出，而人们也一直将宇称守恒看作 各种相互作用的普遍规律。但只有强相互作用的宇称守恒得到了解释，于是在1947 年英国实验物理学家罗契斯特和马特勒的实验观察结果中，李政道、杨振宁大胆的提出弱相互作用中的宇称不守恒设想，后来被吴健雄 ()()()()()()()()()()() []ˆˆˆˆˆˆˆˆ=--,=,ˆˆˆˆˆˆ,0ˆ12HH--xtPHtHPxtHPxttPHHPHPPψψψψψ=⇒设为任意波函数，则：由的任意性，得： 又有不显含时间，所以系统宇称守恒，意为系统的宇称只与初始条件有关，与时间变化无关。 x,px,px,pxx,px,px ()()   ˆˆPP-ψψ宇称算符即为对系统空间进行反演操作所对应的算符，即： xx ()   ()()ˆˆˆ1ˆˆˆPPPPPP+=+− 宇称所对应的操作便是反演，反演操作是量子体系特有的。 等用 CO60的 衰变实验证实。以下便简要的介绍一些关于宇称不守恒的相关内容。 β 首先我们需要了解微观世界的三种操作 : C 对应电荷变号的操作，即将正电子变为负电子 P 对应镜像反射，即左与右交换 T 对应时间反演，即时间可逆 如果以上三种操作是符合对称性的话，那么我们可以得到在一个体系中交换正负粒子的极性，体系不变；以及若将体系进行镜面反射，体系保持不变；同时在时间反演下，我们可以知道这样一个物理过程是可逆的。 5.3.1 关于P 操作 但其实以上并非对称操作，在弱相互作用的宇称不守恒理论中，实验证实 P （即反演操作）不守恒，这个实验便是是1956年吴健雄等人做的CO60的 衰变实验，实验图如图：（下图引于文献[2]） β 态互为镜像，末态并不互为镜像。按照以前的观点，物理学家认为自然界并不存在左右之分，左右只是人为定义的，日常生活中的左右不对称只是由环境造成的或者初始条件的不同，所以对于两套互为镜像一模一样的装置，人们人为其中的差别只是左右的差别，其他的一模一样。那么按照传统的观点来看，如上图装置所得到的结果应该也只是左与右的差别，并不会有其他的分别，但实验结果并非如此，因此这个实验便证明了弱相互作用下宇称不守恒。 5 吴健雄和她的同 一种电荷正负的差别是绝对的，而非相对的。这个可以通过 K介子K0L衰变实验得出，其中K0L粒子不带电荷，没有任何一种电磁矩，也没有自旋，是球对称的，但是不稳定，易发生衰变。它可以衰变成一个正电子，一个中微子，一个负π介子，也可以衰变成它们的反粒子一个负电子，一个反中微子，一个正π介子。我们可以用正负电子来标记这两种衰变过程。实验结果得出这两种衰变过程的衰变率是不同的，即： ( Ke 上式意味着， e + e − )()   001.006480.00035 LL 正负电荷的差异并不只是认为定义上的正负的差别，它们存在其他的可测量的量可区分，这也就说明   C 操作不是不变的。从前面我们就已经说明了一种不可观测量决定了一种对称操作，那么对于一种不对称操作，我们可以说这决定了某种可精确定义和观测的量。因此我们可以通过一个绝对的定义来确定什么是正电荷，什么是负电荷。同时根据宇称被破坏我们可以给左、右螺旋一个精确的定义。 5.3.3 关于T 操作 最后让我们来看一下 C、P、T三种操作，表面上看是无关的，但其实它们具有很深刻的内在联系，在三种操作的联合作用下，系统是严格对称的。如果我们再考察K0L实验的话，我们不难得出T 操作也并非对称。 事实上， T 操作是对称的，也就是说任何运动都是可逆的，或许有些不可思议。但，试想，如果我们处在一个沙漠中，有五个标记地点，要求我们按照顺序到达，如果这五个地点都是可以区分的，那我们一定可以按照这种顺序一个个到达，但是如果这五个地点都是不可区分的，我们当然不能按照顺序到达，而且可以不断的进行可逆的过程。宏观上造成这种不可逆的错觉其实是来自于宏观物体的标记性，如果我们从更深刻的理解出发，其实还是源自于可精确测量的性质，但是在微观世界，我们根本无法标记各种粒子，因而便有运动的可逆。 在 1964年有实验证实了CP操作是不守恒的，但同时由C、P、T三种联合操作是守恒的，我们可以知道T操作应该不守恒，否则会违背C、P、T 三种联合操作守恒这一基本理念。 结语： 这里大概还是要重申一遍对称性的意义，无论是从对称到守恒律或是宇称到弱相互作用宇称不守恒，它对物理的影响都是极其深远的。以上文章内容虽说大部分属于书中知识的一个小结，但是个人旨在挖掘出对称性更深层次的思想，当然我们并不能说这样的思想是正确的，如果要进一步探讨的话那应该属于一个哲学问题。 我们这里要谈的是关于物理的内容，如果从 Bohr的角度出发，我们物理的世界的性质只有在被测量之后才是可定义的，但Einstein无疑是坚持唯物主义的：世界并不以主观意志而变化，就算不进行测量事物也不会改变。如果仅限于物理世界的话，我想Bohr 的思想应该更贴近于这一门科学。对称性便与测量息息相关，前面就已介绍了对称与不可观测量之间的关系：是因为不可观测导致的不可区分所以才有对应的对称操作。所以，这一点在微观世界里体现的十分明显：因为微观世界并不能通过直观去感受以及测量。 于是有另外一个问题，对于对称是由精确区分而来，但它是否与观察的主体有关？或者说如果现在有一个比?人?更高级的生物，可以直接的观测微观世界，那么?它们?的物理中关于对称性的理论是否与?人?所了解的不一样？如果是不一样，那么也就是说当我们掌握了更高级的手段技术去探测微观世界时，一些关于对称性的理论应该会发生改变。 那么可以设想以下情形：当时间或者空间的运动在某些情形下是可以精确区分的，而且时间反演操作是对称的，那大概穿梭时空也不是不可能。 参考文献 [1]   刘连寿.理论物理基础教程[M].高等教育出版社 .2003. [2]   王德新.量子力学.科学出版社[M].2008 年第三版 [3]   郭光灿，高山.爱因斯坦的幽灵—量子纠缠之谜[M].北京理工大学出版社 .2009 [4]   李政道.对称、不对称和粒子世界[M].清华大学出版社 .2000 [5]   齐曙光.中国校外教育 下旬刊 [J].2008(9) [6]   邹鹏程.兰州大学学报（自然科学版） [J].1998,34(2) [7]   张东.对称性残缺及其应用—纪念李政道、杨振宁获诺贝尔奖50周年.北京联合大学学报（自然科学版） [J].2008,71(3)