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博文
相互作用粒子系统
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相互作用粒子系统是离散概率论关注的重要领域之一。此方面入门性参考文献是Liggett所著Interacting particle system-an introduction（可在网上下载），深入的文献包括Liggett在1985年出版的interacting particle system和1999年出版的stochastic interacting systems: contact, voter and exclusion process.
Thomas Liggett是美国UCLA的教授，是当今世界当之无愧的粒子系统领域的No.1。（容易google到其主页）
北京大学数学学院的本科生课程《应用随机过程》主要包括三部分内容：离散时间马氏链，连续时间马氏链，布朗运动。马氏链可以视为一个粒子在某个图（corresponded to state space)上所做的随机游动。相互作用粒子系统就是有很多个粒子（通常是无限）在一定的相互作用机制下进行运动，其复杂性远远超出于一般的马氏链。
尽管粒子系统复杂性远远超出一般马氏链，但在关注的问题上，还是有很多相似之处。例如一般的马氏链，我们关心它的平稳分布（不变分布），以及t时刻的分布随着t趋于无穷大对平稳分布的收敛性，收敛速度；还关心它的轨道性质，如遍历定理。粒子系统也是关注依分布收敛和几乎处处收敛两个收敛性。
值得一提的是，随着时代发展，人们越发关注随机现象的数学模型，因此有更多的机会和兴趣去接触概率论与随机过程的初步知识。而接触初步知识之后容易产生一个严重误解：概率论与随机过程是应用数学的一部分，只要初等数学，微积分，线性代数的基础知识就可以把它学懂。此理解完全错误。概率论是不折不扣的基础数学一分支，其发展严重依赖于公理化和繁琐的不等式估计，与实分析、泛函分析、偏微分方程等数学分支有着密切的联系，甚至难度更高。对概率论与随机过程感兴趣的人士，建议最高学习到Durrett所著probability: theory and examples这个难度。此书难度已经不低，但同时又把概率论恶心的部分隐藏起来，学习此书可以把概率论学习的乐趣体会到极致。有此书的基础，理解离散概率论领域更深刻的模型和结果已属可能，但证明万万不可动，否则容易心理出问题。即使有数学天分，对数学有浓厚兴趣的人，想在概率论领域有所建树，恐怕仍是以卵击石。如非要以身试法者，务必做好充分之心理准备，忍受身心所受之摧残，方有可能绝处逢生。
下面举几个具体的粒子系统例子：
1 接触过程
以整数格点Z上的对称接触过程为例。Z上每个位置（整点）上放一个粒子，该粒子有两个可能状态:0或1.每个状态为1的粒子独立地等待参数为1的指数分布时间后变更为0，每个状态为1的粒子又独立地等待参数为1的指数分布时间后向其左侧的粒子释放一个信息，其左侧粒子在接受该信息后状态变更为1（如果原来是0的话就变，如果原来是1的话保持不变）；同理对右侧粒子释放信息。
这个模型常常做为传染病的数学模型。状态为1表示患病，状态为0表示健康。
关于接触过程，有两个最为深刻的结果，分别是关于高维整点Z^d和齐次树T^d上的接触过程。这两个接触过程在很多方面展现出截然不同的性质。
2 完全非对称排他过程
Z上每个位置放一个粒子：状态为0或1.每个粒子被赋以一个Poisson过程，Poisson过程的跳跃点可以直观的理解为闹钟响。闹钟每响一次，这个粒子如果状态是0，就当做什么都没发生；如果状态是1，而其右侧粒子的状态是0，二者的状态就相互交互——左侧变更为0， 右侧变更为1.
为什么这个模型叫做排他过程呢？从宏观角度看，在某个特定的时刻，状态为1的那些位置视为有人占位，状态为0的那些位置视为空位。有位置的那些人，总是每等待参数为1的指数分布时间，就试图向右侧挪动一个位置，挪动不了则作罢。
由以上两个粒子大家可以看到，对于粒子系统来说，有两个要素是重要的：一个是粒子状态的转移机制，此转移机制改变，还会产生很多模型，著名的如选举模型，Ising模型；另一个就是图，因为粒子间的作用具有近距性，只有图上有边相连的两个顶点间才有可能产生相互作用，图的拓扑结构变了，即使是同样的模型（如接触过程，或排他过程），性质还是截然不同的。
最常见的图，就是高维格点Z^d和齐次树T^d。更复杂的一些就是随机图，如Galton-Watson tree上的接触过程等等。
除了无限图上的粒子系统外，有限图上的粒子系统也是被关注的对象。此时考察有限图随着规模扩大，其上粒子系统衍生的某个物理量的依分布极限。
