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谈论 "Geometry,Topology and Phys
默认分类 2009-06-12 20:16:15 阅读48 评论0 字号：大中小 订阅
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"Geometry,Topology and Physics second edition by MikioNakahara"读书笔记v1.0
看完这本书已经两个月有余了，总想写些东西记录一下所得，断断续续的凑成了这篇文章。既然是笔记，自然是写给自己看的，因此当有了新的体会，这个版本会逐步完善。
在我所接触的数学物理方面的书中，Nakahara的这本算是很特别的一本，首先他是一本数学书，而不是属于那种“给物理学家的数学书”，内容绝大部分是纯数学，相比同类的书，Nakahara这本的风格更接近一般的数学书。其次，这本书的选材很丰富，拓扑方面包括同调，上同调，同伦，示性类；微分几何方面包括实流形，黎曼几何，复流形，纤维丛，指标定理，另外还包括两个专题：量子反常和玻色弦。这些内容每一个都是一个专门的领域，而把这么多的内容放进一本不到600页的书里，其中自然蕴含了作者对材料的精心组织。这本书基本上把这些方向的入门知识都包括了进来，很多内容都是精华。
我花了接近两个月看这本书，看得比较流畅的有deRham上同调和指标理论，看得比较郁闷的有纤维从和量子反常。总体上感觉自己对这本书内容的掌握还是不错的，尤其是上同调，Hodge定理和指标理论。纤维丛，量子反常由于有些内容涉及到同伦，所以有些例子没有仔细看（这次看这本书是从第五章开始看的，而同伦是第四章，以前学的有些已经忘记了。），流形一章中的李群部分还需要再看过，这可能需要更多的借助代数。
Nakahara的这本书在开始的两章中把物理背景和数学基础都交代了一遍，物理背景那章我没看，只是大略的翻了翻；数学基础的那章我是仔细看了的，从这章我学到了很多欠缺的基础知识，特别是基础拓扑学，比如拓扑空间，拓扑不变量等等，这些是我在看这本书之前从未接触过的。
这次是从第五章微分流形开始看的，前面两章的内容有时间再补上。
微分流形
Nakahara为引入流形的概念而列举的实例给人印象深刻，微分流形最早的模型似乎是出现在复分析中，也就是黎曼面的模型，而这个例子出现在复流形一章中，即是球面在复平面上建立球极坐标，并引入坐标间的全纯映射后，球面便赋予了复结构。而相应的实坐标情况则对应实流形。
有一个例子现在还没有仔细看，那就是Grassmann流形，首先我不明白所谓的射影映射为何物，这可能需要补习一下高等几何。它的特例我基本上弄懂了，有时间再展开一下。
由于在看这本书之前看过Fomenko和Novikov的《现代几何学I》，所以像矢量，微分形式还是比较熟悉的，不过两本书的处理方式不一样。Fomenko的书是从张量在变换下的变换性质来引入协变张量和逆变张量，进而阐述微分形式的。（这种方式似乎被认为是古典方法，相对而言Nakahara的讲法是现代的观点。）看着一章的时候也解决了一些以前遗留在大脑中的问题，比如在看《现代几何学》的时候就没弄明白Lie导数为何物，《现代几何学》讲的时候可以说只是给出了定义，Naharaha借助直观详细的讲解了这个问题，并且列出了它和通常导数的联系。这一章最后是关于李群的知识，由于是抽象的定义，所以有些东西仍然知其然不知其所以然，可能借助一些代数会好理解些。
de Rham 上同调
这一章可能是看得最流畅的一章了。在看这一章之前我曾经有过顾虑，因为这一章显然和前面的同调有很多联系，而同调在当时看的时候忘得差不多了，不过，当我真正仔细看这一章的时候却几乎没有遇到任何阻碍，原因很简单——由deRham定理，一个流形的同调群和上同调群互为对偶：Hr×H^r-->R，因此同调和上同调即相互独立又相互联系，这就是为什么能单独看这一章的原因。
讨论上同调需要广义Stokes定理，Nakahara书上的证明方法和我以前看过的方法不同，他主要利用了微分形式的性质，而以前看的是对超立方体作为边界的证明，相对而言，这个证明简单些。
由于d^2=0，所以Z>B，因此可以将deRham上同调群定义为H=Z/B，即上链群与上边群的商群。一些简单流形的上同调群的计算是相当有趣的。比如H^1(R)={0}；而在计算H^1(S1)的时候可以有两种方法，一种是利用群同态基本定理（以前一直以为只有离散群可以用基本定理：（），另一种是通过凑微分的方法。两种方法都很漂亮。在定义了微分形式和链的内积后，Stokes定理便可以表示成外导数和边算子对偶的形式。
由于同调群和上同调群存在同构，所以二者的Betti数相等，于是Euler示性数可以表示成上同调群的Betti数的交错和。这个关系的左边是一个拓扑量而右边是一个解析量，这一点是很有趣的。
一个恰当形式总是闭形式，但反之未必，Poincare定理回答了在什么条件下逆命题也成立。Kuenneth公式可以用来计算一些流形的上同调群，比如利用S^1的上同调群可以计算出环面的上同调群，从计算中可以看出Poincare对偶，即阶数互余的两个上同调群同构。
黎曼几何
这一章的很多内容其实在看Nakahara的书之前也已经接触过了，不过Nakahara对一些问题的处理方式和《现代几何学》不同，比如对诱导度量和度量与联络的相容性的处理就很好理解。在看《现代几何学》的时候一直对所谓诱导度量一直不甚明白，Nakahara在这一章的开头就很清晰地处理了这个问题：由于流形嵌入时必然引入一个映射，嵌入映射的拉回映射（pullback）便诱导了一个度量。（Nakahara的书是用映射的语言来讨论度量的，和一般的用长度元的引入方式有所不同，但二者等价。）另外，这本书讲相容性讲的很清楚，也消除了看这本书之前存留的疑问。
这一章的另一个特点便是讲究直观，像曲率，拗率都是借助直观来讲解的，所以概念很清晰。这一章还引入了和乐(holonomy)和共性变换的概念，和乐真正派上用场是在讲纤维从的时候，而共性变换在弦论中涉及的很多。全纯映射是共形的，在这里可以很容易地证明，只需要利用C-R条件。此外这章还讨论了Killing场，和非坐标基（Non-coordinatebases)，这些在广义相对论中用处很多，比如利用结构方程和无拗条件可以确定曲率张量。
这一章的一个很重要的主题便是Hodge定理，包括Hodge分解定理（Hodge decompositiontheorem）和Hodge定理（Hodge'stheorem）。Hodge分解定理是说对于紧致无边定向黎曼流形，任意一个微分形式都可以分解成恰当微分形式，余恰当微分形式（coexact）和调和微分形式所构成集合的直和。Hodge定理是说紧致定向黎曼流形的上同调群和调和微分形式同构。这两个定理似乎在现代微分几何中是处于基础地位的，学数学的应该比我更清楚。Nakahara的书上对这两条定理给出的似乎不是严格的证明，而更像是一个handwaving，因为我曾经翻过代数几何方面的书，似乎讲得更严格些。Hodge定理在讨论指标定理时会用到。
这章最后还讨论了一些广义相对论和弦论。给出了广义相对论的作用量表述，也就是Einstein-Hilbert作用量，这在《现代几何学》中有更完整的讨论，其中的推导有些技巧性，《现代几何学》甚至还用这套方法（实际上就是变分法）推出了Gauss-Bonnet公式（只是等式右边的常数需要用其他方法定出）；还讨论了弦论的作用量和基本对称性，不过并没有从第一性原理来推出作用量，有些遗憾。
复流形
这一章的内容难度比较平均，基本上都是在讲理论，很多内容是和实流形相平行的，所以看起来比较平淡（也有很大的可能是我没有看出其中的玄机：）。
开头列举了几个复流形的例子，比较清楚的只有一个，就是S^2作为复流形的情况。有两个很重要的例子没弄懂，一个是和格（lattice），模形式有关的那个例子（格点坐标在环面上定义了一个复结构）；另一个是代数多样体（algebraicvariety）。其实我想专门花功夫在这些上面应该能够弄懂，只是需要参考一些其他的资料。
其后的内容主要是在发展复流形的理论，很多是和实流形相平行的（从近复结构（almost complexstructure），到复微分形式）。其中很重要的一节是厄米流形，一个复流形总是存在一个厄米度量。利用Kaehler形式可以证明任何厄米流形（从而任何复流形）是可定向的。对复流形同样可引入协变导数，度量相容条件，曲率和扰率。联络系数为零的度规相容联络称为厄米联络。
Kaehler流形和Kaehler微分几何似乎在数学中具有相当重要的地位（ms在弦论中用的也很多）。Kaehler流形是Kaehler形式为闭的厄米流形。黎曼结构和厄米结构在Kaehler流形上是相容的。任何维数为1的可定向复流形是Kaehler流形。一维紧致定向复流形被称为黎曼曲面。Kaehler度规定义的联络和Levi-Civita联络很相似，因为Kaehler度规是torsionfree的。第一陈类为零的紧致Kaehler流形称为Calabi-Yau流形。
对复流形有与之对应的Hodge定理，表述和实流形的类似。复流形的上同调群可以用Hodge diamond总结，其中的Hodgenumber满足特定的关系。
在这章的最后还讨论了轨形（orbifold），也就是商空间M/G，其中G是作用在M上的离散群。在M上存在不动点，它们在G的作用下不变，这些点是奇点，并且轨形一般不是流形。轨形有一些微妙的地方，似乎在弦论中用处很大，不过Nakahara的书讨论得不多。
纤维从与联络
这两个内容其实是两章的内容，但由于他们联系得很紧，所以写在一起。这两章可能是这本书最难的两章了，主要是很多定义很抽象，需要花很多时间消化。
纤维丛的定义可以用标准的定义也可以作一些简化，比如利用等价关系可以定义成E=X/～，其中的～便是一个等价关系。第九章主要罗列了一些关键的概念，比如纤维从的交换图，pullbackbundles，矢量丛，余切丛，乘积丛（productbundle），主丛和伴丛。这些概念重要但很抽象，其中有些概念我是在后面的物理例子里面弄懂的。
Nakahara的书讲主从上的联络用的是将切从分离成“垂直”和“水平”的子空间的方法，比较抽象。通过引入联络一形式（connectionone-form）可以得到相容条件，这在物理上对应规范变换，其中的A（李代数取值的一形式，对应于联络一形式的拉回）就是规范势。
水平提升（horizontallift）也是一个重要概念，微分方程的基本理论保证了水平提升的存在性和唯一性。在纤维从上，和乐有了具体的应用，对于一个loop定义的变换t,有t(u)=ug，其中g定义的便是和乐群，它是结构群的子群。
纤维从同样可以定义协变导数，曲率二形式，Cartan结构方程。将曲率通过截面的拉回映射做局部化，并利用Cartan结构方程可以得到Yang-Mills方程。
这部分后面的物理例子能帮助理解相应的数学概念，除了U(1)规范理论和AB效应，我理解的最好的要属Berry相，其中的主从，联络（对应Berry联络）都赋予了物理意义。Berry猜测绝热态的含时变化和不显含时变化的两类量由动力学相与Berry相的乘积决定。其实由Berry相的定义可以猜到它是由和乐（或者说是联络）所决定的，这一点可以严格证明。Nahahara的书上还举了一个spin1/2粒子在磁场中的Hamiltonian，最后的计算得出系统Berry相是通过一个球面的磁通量（场强的面积分）。
示性类
给定纤维F,结构群G和底空间M后，可以在M上建立很多纤维丛，这依赖于转换函数的选取，这自然引发了两个问题：对于给定的F和G，M上有多少丛和它们相对于平凡丛有多大的差别。示性类是底空间上同调类的子集，它描述了纤维丛的非平凡性（或者扭曲的程度），在这个意义上，他们是避免纤维丛成为平凡丛的障碍。
这一章在引入Chern-Weil同态后，讨论了陈类和它的性质。接着讨论了陈特征（Cherncharacter），它可以由陈类表出。Todd类是一种和复矢量丛相联系的示性类，而Pontrjagin类是和实矢量丛联系的示性类，可以用Chern类表出。Euler类在底空间的积分是Euler数，这就是Gauss-Bonnet定理。
对于一般的2j形式的示性类，可以引入Chern-Simons形式，由Stocks定理可以看出它刻画的是流形边界的拓扑。后面的一个场论中的例子比较有意思：在3维时空中，一个规范理论可能具有一个由Chern-Simons3形式所赋予的规范不变质量项。
指标理论
这一章无疑是整本书的高潮部分（指标定理也是20世纪数学史上公认的一座奇峰：）。正如Atiyah在一次访谈中所说的那样：他更愿意用“指标理论”的提法，而不是“指标定理”，因为前者包含了更为丰富的内容，虽然后者是其初始形态。
指标定理的简化版本其实不难理解，只是需要做一些准备，如解析指标，椭圆算子，Fredholm算子等等。解析指标是算子与其伴算子核空间维数的差：indD=dim kerD-dim kerD+（D+表示伴算子）。Fredholm算子是核与伴核为有限维的算子，解析指标对Fredholm算子而言是良好定义的（由算子理论知道，紧流形上的椭圆算子是Fredholm算子）利用伴算子可以定义Laplace算子，并且对应一个Hodge分解。类似于上同调群，可以定义Hi=kerDi/im Di-1，有dim Hi=dimHarmi，椭圆复形的指标可以写成Laplace算子核空间维数的交错和，这样定义的指标是Euler示性类的推广。对于deRham复形，前面定义的Hi就是de Rham上同调群，指标是Euler示性类，由Hodge定理dim H^r=dimHarm^r，于是Euler示性类（Euler类在M上的积分）可以写成dimHarm^r的交错和，这就是一个典型的指标定理！因为右边是一个纯拓扑（不变）量，而左边由微分方程的解决定,是一个解析量。
AS定理和Riemann-Roch定理有很多联系，Nakahara的书在讨论了Dolbeault复形后讨论了Hirzebruch-Riemann-Roch定理，RR定理的热方程证明在讨论弦论的那章中有详细讨论。中间有一节讨论了特征复形（signaturecomplex）和Hirzebruch 特征复形，不过忘得差不多了，有空看看再补上相关内容-_-！。
从自旋复形开始后面的内容是物理上常用的知识。Atiyah-Patodi-Singer指标定理ms和量子场论有很深的联系，不过有一个很关键的地方我没弄懂，就是所谓的"spectralflow"，这个概念肯定有对应的物理，只是我现在暂时还不清楚。
AS指标定理ms有很多证明方法（热方程方法，基于代数k理论的方法等），Nakahara的书为了照顾物理，用的是超对称量子力学的方法，这种方法用了很多物理的术语，所以比较适合学物理的人看。首先讨论的是平直空间中的SUSYQM，然后将之推广到一般流形的情况（SUSYQM的这套方法看上去不可思议，不过并不丑陋^_^）。然后和前面一样，讨论指标，用路径积分来表示指标，后面的推导就是把这个积分凑成标准的形式，就是Dirac算子的指标定理。
量子反常与玻色弦
这两个内容是分作两章讲的，不过由于它们同属于物理部分，所以在这儿写在一起。由于对反常的数学讨论涉及很多同伦的知识，所以当时也只是浏览了一下，这里主要写写物理方面的内容，数学内容以后再补上。
1.反常
如果拉氏量的经典对称性在量子化的过程中不能被保留下来，理论就存在反常，比如手征反常，规范反常和超对称反常等等。由手征对称性导致一个手征流，由于在量子化的过程中拉氏量的手征对称性会被破坏，所以（手征）流守恒方程在量子化后不成立，而存在新的关系，这个关系（关于手征流的方程）被称为反常。Abelian和non-Abelian反常在形式上看起来很相似，但是其中的归一化因子和分数因子有着很深的拓扑起源，这一章后面的内容主要围绕着这个问题展开。
2.玻色弦
这一章主要讨论的是玻色弦（闭的，在26维欧式空间中的定向玻色弦）的单圈振幅，其作用量由Polyakov作用量描述。
作为数学准备，这一章讨论了黎曼曲面的微分几何，（度规，复结构，矢量，形式，张量，协变导数），给出了Riemann-Roch定理（也是一种指标定理）的热方程证明（可以看作是指标定理的一种证明）。总的配分函数可以表示成对应于各种亏格（g圈振幅）的配分函数之和；作用量由两部分构成，一部分是Polyakov作用量，另一部分是Euler示性类（由于这一项是拓扑不变的，所以它不影响弦的动力学）。Polyakov作用量具有对称性，一个是微分同胚下的不变性，一个是共性不变性。这两个对称性在量子化的过程中必须保持，否则理论会有反常。商空间Mod=M/G称为模空间（modulispace），其中G=Diff×Weyl是规范群，M为黎曼面上的度规空间。
接下来的大部分内容是配分函数中测度的推导，这个推导很长，很技术性。中间有一个结构很重要，就是在共形变换下积分测度不变的充要条件是D=26，这个26被称为临界维数（criticaldimension），利用这一点可以简化中间结果，最后得到了g圈配分函数的表达式。
在这一章的最后推导了单圈真空振幅。首先是用Teichmuller参数化简因子部分，接着求行列式部分，先求Laplace算子的本征谱，于是行列式被表示成无穷乘积的形式，在求值的时候需要做正规化，由求得的行列式可以得到单圈振幅的表达式。
呃。。。断断续续地终于写了个大概，很多东西还需要反复体会和消化（比如纤维丛和反常），有新收获的时候会继续补充，这个版本暂时就叫v1.0吧^_^。
