系统内部的时间是均匀的，也就是说，对于整个系统而言，我们从任意时刻研究系统，我们所得出的关于系统的运动规律是一样的。 则在上述条

来源: marketreflections 于 2011-04-17 07:47:41 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (182544 bytes)
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经典与量子力学对称性研究 
孙仁平（2008213083） 
华中师范大学物理科学与技术学院  08 级物理学基地班  武汉 430079 
 
摘要：对称性研究一直是物理学中十分重要的方面，关于对称性的探讨在某种程
度上是导演了整个物理学的走向的，无论是经典力学中或者量子力学中，透过这
一基本原理无疑让人们发现了更多，而这同时也是物理世界简单和谐的集中体现。
但其中的由对称性原理得来的守恒定律是否已经完全，自然界是否完全遵循对称
性原理，我们不得而知。本文着重介绍经典与量子力学中的对称性与守恒律，以
及介绍一些关于宇称和李政道、杨振宁提出的宇称不守恒理论。 
 
关键词：对称性    宇称    守恒 
 
前言 
能量守恒定律、动量守恒定律以及角动量守恒定律是人们在实验以及现实生活中
总结出来的规律，而在这些定律的背后是否有更深刻的物理解释一直是人们研究
的主要问题，对称性原理的提出无疑很好的解释了物理系统中的守恒定律。当然，
这一切的前提条件是对于所有已知或者未知的系统我们都假定它们其中包含的物
理规律是一样的，也就是说，无论在地球的哪个角落，物体的运动都应该满足其
所在系统的基本的运动方程。 
1、  经典力学中对称性与守恒律 
1.1    时间均匀性与能量守恒定律 
        假定系统处于不变的外场中，或者说系统与外界隔离，不受外界影响。系统
内部的时间是均匀的，也就是说，对于整个系统而言，我们从任意时刻研究系统，
我们所得出的关于系统的运动规律是一样的。 
则在上述条件下，系统的拉格朗日方程不变： 
( )
0
1
L
t
∂
=
∂
 
                                 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
 
                                 
 
1.2    空间均匀性与动量守恒 
1
1
1
0
2
1
=
1
-
,
1
s
dL
L
L
L
q
q
t
dt
q
q
t
s
s
dL
d
L
L
d
L
q
q
q
dt
dt q
q
dt q
s
d
L
q
L
dt
q
s
L
E
q
q
L T U q t
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
∂
∂
∂
∑
=
+
+
= ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∑
∑
=
+
=
=
∂
∂
∂
∂
∑
−
=
= ∂
∂
∑
= ∂
=
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎡
⎤
⎛
⎞
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
⎣
⎦
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
&
&
&&
&
&
&&
&
&
&
&
&
&
&
：
：
=
：
将
展开
将　式代入，得
将上式左边右移，得
设：
( )
( ) ( )
3
2 3
L
E
E
−
则　为守恒量，　定义为机械能。以上　、　式表明不受外场作用的系统能量守恒
 
        假定系统处在无外场的状态，时间、空间都是均匀的，也就是：当我们选取
系统空间中任意一点作为坐标原点来研究该系统运动规律时，我们所得到的结果
是一样的。 
于是，假定在系统空间某一坐标系中，系统拉格朗日函数为      将坐标系平
移一个常矢量      。使得拉格朗日函数改变。如果空间是均匀的，则平移之后拉
格朗日函数应不变，即：
L, 
ε
0
L
δ =  
 
N
=1
1
1
1
1
1 2,3, , N
0,
1 2,3, , N
0
0
a
a
N
a
a
a
a
a
a
a
N
N
a
a
a
a
N
a
a
r
a
r
a
L
L
L
L
r
r
r
d
L
L
dt
r
r
L
r
ε
δ
ε
ε
δ
δ
δ
δ
ε
=
=
=
=
=
=
=
=
⎛
⎞
∂
∂
∂
=
+
=
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎛
⎞
∂
∂
=
=
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
∂
∂
∑
∑
∑
∑
L
&
L
&
&
&
&
此时，因坐标平移是的每个粒子的坐标都改变
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
，
，
由于平移矢量　与时间无关，所以：
，
则拉格朗日函数的变化是：
r
r
=
不随时间变化，为守恒量
p ∑
 
又有：
所以：动量
 
1.3    空间各向同性与角动量守恒 
        假定系统在无外场或者在有心力场中，空间各向同性，所以，若将系统转动，
拉格朗日函数不变，我们说系统具有转动对称性。这里，只给出角动量守恒定律
结果，过程与以上两种守恒定律过程类似。 
 
1
1
0
N
N
a
a
a
a
a
a
d
r p
L
r p
L
dt =
=
×
= ⇒
=
×
∑
∑
矢量
守恒，定义　为系统的角动量 
 
 
2、量子力学中对称性与守恒律（连续时空变换） 
        在量子力学体系中，如果我们把系统的对称性理解为一种操作变换将会更好
的理解，若系统在一种操作下是不变的，那我们就说系统在这种操作下是具有对
称性的。注意：这里的不变是指系统的运动规律不变，即薛定谔方程不变，那么
也就是说决定薛定谔方程的哈密顿算符不变，同时也要求量子力学的基本假设也
必须不变。 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
ˆ
4
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆ
5
ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
4
S
S
S
S
S
S
O
O
O
O
SOS
O
S
d
d
S
S
S S d
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ ψ
τ
ψ ψ τ
ψ ψ
ψ
ψ τ
ψ
−
∗
∗
∗
+
∗
=
= Φ
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
 现在，我们用
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
表示某一种空间操作，在操作下，波函数变化：
同时设　为任一算符，将　作用在　上，得：
以及算符　在空间操作　下的变换规律
同时，在空间操作下，我们要求不能破坏概率守恒这一条件，即：
将
式代入得：
1
d
ψ τ
∗
=
∫
经过较简单的方程变换后，我们易得：
 
从以上式中我们得到了波函数
 
 
 
(
)
( )
( )
1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1
ˆ
ˆˆˆ
5
S
S S
S S
O
SOS
ψ
+
+
−
+
= ⇒
=
=
由于波函数　的任意性，可得：
幺正性条件
代入　式可得：
 
 
 
 
( )
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
0
S
H
H H
SHS
SHS
H S
HS SH
+
−
⎡
⎤
=
=
=
⇒
=
−
=
⎣
⎦
若一种操作是对称的，使得哈密顿算符　不变
则：
2.1  时间均匀性与能量守恒 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) (
) ( )
(
)
(
) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ˆ
1
!0
ˆ
ˆ
6
ˆ
6
,
S
t
S
t
t- t
x
t
k
t
t
t- t
t
t
t
t
e
t
t
k
t
k
t
H
St
t- t
i
t
H
t
t
ψ
ψ
ψ
δ
δ
δ
ψ
ψ
δ
ψ
δ
δ
ψ
ψ
δ
δ
ψ
δ
ψ
ψ
=
=
∂
−
∞
∂
∂
∂
∑
=
−
+
=
−
=
∂
∂
=
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∂
= −
∂
L
h
，
，
，
，
，
，
，
时间均匀性是指系统在时间平移　下，体系的哈密顿算符　不变
其所对应的算符为
则：
将
，
展开：
将　式代入上式，同时利用薛定谔方程
，
，　得：
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2  空间平移不变性与动量守恒 
，
x
[ ]
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
0
,
,
ˆ
ˆ
i
tH
S ex
i
tH
H S
H e
t
Sx
H
δ
δ
δ
δ
δ
=
=
=
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
h
h
易知
不是厄米算符，但它对应一个守恒量：
时间平移算符对应的生成元　是守恒算符，要求系统不受外场作用
 
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) (
)
( )
( )
(
) ( )
( ) (
) ( )
(
)
( )
( )
ˆ
ˆ
ˆ
6
7
7
1
2
2
 
0
!
H
Sx
S
Sx
S
-
-
k
e
δ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k
k
δ
ψ
ψ
δ
ψ
ψ
δ
ψ
δ
ψ
δ
ψ
δ
ψ
δ
δ
ψ
ψ
=
=
=
−
∇
+
−
∇
+
−
∇
∞
−
∇
∑
=
=
=
L
空间平移不变性是指在空间平移操作下平移　，系统　不变，对应算符为
波函数变化：
同时有：
式展开
！
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
将
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
)
( )
( )
[
]
[ ]
ˆ
6 , 7
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ ˆ
0
,
,
,
0
ˆ
S
S
-
e
x
i
e
i
S ex
Sx
i
H S
H e
H
x
δ
ψ
ψ
ψ
δ
ψ
δ
δ
ψ
δ
δ
δ
δ
δ
−
∇
=
=
=
−
=
−
=
−
=
=
⇒
=
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
h
h
h
由
可得：
所以：
易得空间平移算符
不是厄米算符，但它对应一个守恒量
由空间平移不变性得：
因此对应平移算符的动量算符　为守恒量
x
x
x
x
x
x p
x
x p
x p
p
p
x
 
 
2.3  空间各向同性与角动量守恒 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3、总结对称性原理在经典与量子力学中与守恒律的关系 
    从以上的结果中，我们不难发现无论是在经典力学或是量子力学中，其对称
性原理以及在满足对称性要求下所得出的守恒律在很大程度上是一致的，当然，
无论是哪一种守恒定律对于各自的体系都是有一定要求的。于是当我们回到最初
的前提条件“对于所有已知或者未知的系统我们都假定它们其中包含的物理规律
是一样的”，我们就不难想到无论是经典力学体系或者量子力学体系他们都应该
服从自然界最基本的由对称性出发而得到的守恒律，尽管各自的体系有很大的不
同。 
4、量子力学全同性原理与对称性的联系 
      在进行讨论之前必须要先探讨一个更深刻的问题，什么是对称？而系统的对
称性又是从何而来？首先，对称在之前就已经说明，便是系统在某种操作下不变，
而这种不变的标准便是系统满足的最基本的运动方程不变。然后是关于系统的对
称性是从何而来？所谓对称性，是意味着不变，不变的意思便是不能区分，比如
说一个人处于宇宙中，旁边没有任何物体，那么他便无法确定自己所处的绝对位
ˆ
2.1
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ ˆ
0
,
,
,
0
ˆ
ˆ
ˆ
H
i
H S
H e
H L
S
L
i
i
δϕ
δϕ
δϕ
δϕ
−
=
=
⇒
=
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥ ⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
h
空间各向同性是指体系整体绕任意轴转动　是，系统哈密顿算符　保持不变
具体过程与以上　中类似，通过展开波函数求解，易得：
则转动算符
生成元　各个分量　是守恒量，
要求系统处于中心场或具有旋转不变性
L
L
 
置，因此对于这个人而言，宇宙的平移便是对称的。而导致不能区分的原因是不
可测量，如果能够精确测量一个人所在的具体位置，那么我们便可以区分出这个
人在 1 位置与 2 位置的区别，那么宇宙的平移将不再遵守对称性。同样，绝对的
时间是不能测量的，我们只能知道 1 时刻与 2 时刻之间的间隔时间，于是，这也
导致了时间的对称性。 
（下图给出不可观测量与对称性的关系，引于文献【5】） 
 
回到最初的话题：全同性原理。其实，全同性原理就是一种对称性的体现，
它所表述的意思是将两个微观粒子交换对其波函数无影响（这里的交换可以理解
为一种操作），换言之：因为微观粒子的不可精确测量性，才导致了我们无法区
分出两个粒子之间的差异，不能区分的结果便是满足对称性。而对称性必然会导
致一个守恒律。以下是具体推导过程。 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( ) (
)
( )
( )
( )
( ) ( )
,
,
1 2
2 1
2
,
,
,
1 2
2 1
1 2
2
1
1
,
,
1 2
2 1
i
q q
e
q q
i
i
q q
e
q q
e
q q
i
i
e
e
q q
q q
i
e
α
ψ
ψ
α
α
α
ψ
ψ
ψ
α
α
ψ
ψ
α
=
=
=
= ⇒
= ± ⇒
= ±
由于两粒子的交换对波函数无影响，只能增加一个相因子,所以：
为实数
若再进行一次交换：
则：
从以上式子中可知，波函数满足对称与反对称两种关系，但这种对称性并没有
对应的算符，因为
只是一个相因子
 
 
 
  
5、宇称 
5.1  宇称算符 
 
 
 
 
 
( )
( )
ˆ
ˆ
P
P
-
ψ
ψ
=
宇称算符　即为对系统空间进行反演操作所对应的算符，即：
x
x
宇称所对应的操作便是反演，反演操作是量子体系特有的。 
A
 
( )
( )
(
)
ˆ
ˆ ˆ
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
2
P
P P
P
P
P
+
=
+
−
=
: 宇称算符的性质
是厄米算符：
是幺正算符：
这里不详细证明以上性质
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ˆ
ˆ
B :
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
11
1
ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
11
P
P
P
P
P
P
P
T
ψ
λψ
ψ
ψ
λ ψ
λ ψ
λ
λ
ψ
ψ
ψ
=
=
=
=
⇒
=
= ± ⇒
=
= ±
±
±
±
+
−
的本征值方程：
　　　
将　作用于
式两边：
　　　　　　　因此：
可知，当　作用于波函数时，会使波函数变化或者不变，若不变，则我们称
具有偶宇称，若变号，则我们称
具有奇宇称；同样，对于算符而言
ψ
ψ
，
也存在两种宇称的算符，其中动量算符　是奇宇称算符，动能算符　为偶宇称
　
x
x
x
x
x
x
x
-x
x
x
x
P
算符
5.2  宇称守恒 
 
若体系的哈密顿算符具有偶宇称，即： 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3  宇称不守恒理论 
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ]
ˆ
ˆ
,
ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
, =
- -
, =
,
ˆˆ
ˆˆ
ˆ ˆ
,
,
0
ˆ
12
H
H - -
x t
PH
t H
P
x t H
P
x t
t
PH HP
H P
P
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
=
=
⇒
=
设
为任意波函数，则：
由
的任意性，得：
又有　不显含时间，所以系统宇称守恒，意为系统的宇称只与初始条件有关，与时间
变化无关。
x, p
x, p
x, p
x
x, p
x, p
x
 
        弱相互作用中宇称不守恒理论是李政道、杨振宁在 1956 年提出的。其实宇
称的概念早在 1927 年维格纳在解释原子光谱的选择定则就已提出，而人们也一
直将宇称守恒看作  各种相互作用的普遍规律。但只有强相互作用的宇称守恒得
到了解释，于是在 1947 年英国实验物理学家罗契斯特和马特勒的实验观察结果
中，李政道、杨振宁大胆的提出弱相互作用中的宇称不守恒设想，后来被吴健雄
等用CO60的      衰变实验证实。以下便简要的介绍一些关于宇称不守恒的相关内
容。 
β  
        首先我们需要了解微观世界的三种操作: 
        C 对应电荷变号的操作，即将正电子变为负电子 
        P 对应镜像反射，即左与右交换 
        T 对应时间反演，即时间可逆 
  如果以上三种操作是符合对称性的话，那么我们可以得到在一个体系中交换
正负粒子的极性，体系不变；以及若将体系进行镜面反射，体系保持不变；同时
在时间反演下，我们可以知道这样一个物理过程是可逆的。 
 
5.3.1  关于 P 操作 
但其实以上并非对称操作，在弱相互作用的宇称不守恒理论中，实验证实P 
（即反演操作）不守恒，这个实验便是是 1956 年吴健雄等人做的CO60的      衰变
实验，实验图如图：（下图引于文献[2]） 
β
     
 
图中两边仪器是互为镜像的，但最终实验衰变结果却并非互为镜像，也就是
说初
.3.2  关于 C 操作 
时在实验中确认了电荷正负号之间的不对称性，也就是说这
样的
当我们通过测量衰变率时我们就可以区分开
态互为镜像，末态并不互为镜像。按照以前的观点，物理学家认为自然界并
不存在左右之分，左右只是人为定义的，日常生活中的左右不对称只是由环境造
成的或者初始条件的不同，所以对于两套互为镜像一模一样的装置，人们人为其
中的差别只是左右的差别，其他的一模一样。那么按照传统的观点来看，如上图
装置所得到的结果应该也只是左与右的差别，并不会有其他的分别，但实验结果
并非如此，因此这个实验便证明了弱相互作用下宇称不守恒。 
 
5
吴健雄和她的同
一种电荷正负的差别是绝对的，而非相对的。这个可以通过K介子K0
L衰变实
验得出，其中K0
L粒子不带电荷，没有任何一种电磁矩，也没有自旋，是球对称
的，但是不稳定，易发生衰变。它可以衰变成一个正电子，一个中微子，一个负
π介子，也可以衰变成它们的反粒子一个负电子，一个反中微子，一个正π介子。
我们可以用正负电子来标记这两种衰变过程。实验结果得出这两种衰变过程的衰
变率是不同的，即： 
 
(
)
(
)
0
0
1.00648 0.00035
L
L
K
e
v
K
e
v
π
π
+
−
−
+
→ +
+
=
±
→ +
+
 
e
+ 和　，也就是说
e
−
上式意味着，
正负电荷的差异并不只是认为定义上的正负的差别，它们存在其他的可测量的量
可区分，这也就说明 C 操作不是不变的。从前面我们就已经说明了一种不可观测
量决定了一种对称操作，那么对于一种不对称操作，我们可以说这决定了某种可
精确定义和观测的量。因此我们可以通过一个绝对的定义来确定什么是正电荷，
什么是负电荷。同时根据宇称被破坏我们可以给左、右螺旋一个精确的定义。 
 
5.3.3  关于 T 操作 
最后让我们来看一下C、P、T三种操作，表面上看是无关的，但其实它们具
有很深刻的内在联系，在三种操作的联合作用下，系统是严格对称的。如果我们
再考察K0
L实验的话，我们不难得出T操作也并非对称。 
事实上，T 操作是对称的，也就是说任何运动都是可逆的，或许有些不可思
议。但，试想，如果我们处在一个沙漠中，有五个标记地点，要求我们按照顺序
到达，如果这五个地点都是可以区分的，那我们一定可以按照这种顺序一个个到
达，但是如果这五个地点都是不可区分的，我们当然不能按照顺序到达，而且可
以不断的进行可逆的过程。宏观上造成这种不可逆的错觉其实是来自于宏观物体
的标记性，如果我们从更深刻的理解出发，其实还是源自于可精确测量的性质，
但是在微观世界，我们根本无法标记各种粒子，因而便有运动的可逆。 
在 1964 年有实验证实了 CP 操作是不守恒的，但同时由 C、P、T 三种联合
操作是守恒的，我们可以知道 T 操作应该不守恒，否则会违背 C、P、T 三种联合
操作守恒这一基本理念。 
结语： 
这里大概还是要重申一遍对称性的意义，无论是从对称到守恒律或是宇称
到弱相互作用宇称不守恒，它对物理的影响都是极其深远的。以上文章内容虽说
大部分属于书中知识的一个小结，但是个人旨在挖掘出对称性更深层次的思想，
当然我们并不能说这样的思想是正确的，如果要进一步探讨的话那应该属于一个
哲学问题。 
我们这里要谈的是关于物理的内容，如果从 Bohr 的角度出发，我们物理的
世界的性质只有在被测量之后才是可定义的，但 Einstein 无疑是坚持唯物主义的：
世界并不以主观意志而变化，就算不进行测量事物也不会改变。如果仅限于物理
世界的话，我想 Bohr 的思想应该更贴近于这一门科学。对称性便与测量息息相
关，前面就已介绍了对称与不可观测量之间的关系：是因为不可观测导致的不可
区分所以才有对应的对称操作。所以，这一点在微观世界里体现的十分明显：因
为微观世界并不能通过直观去感受以及测量。 
于是有另外一个问题，对于对称是由精确区分而来，但它是否与观察的主
体有关？或者说如果现在有一个比“人”更高级的生物，可以直接的观测微观世
界，那么“它们”的物理中关于对称性的理论是否与“人”所了解的不一样？如
果是不一样，那么也就是说当我们掌握了更高级的手段技术去探测微观世界时，
一些关于对称性的理论应该会发生改变。 
那么可以设想以下情形：当时间或者空间的运动在某些情形下是可以精确
区分的，而且时间反演操作是对称的，那大概穿梭时空也不是不可能。 
参考文献 
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[2]王德新.量子力学.科学出版社[M].2008 年第三版 
[3]郭光灿，高山.爱因斯坦的幽灵—量子纠缠之谜[M].北京理工大学出版社.2009 
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[5]齐曙光.中国校外教育  下旬刊[J].2008(9) 
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大学学报（自然科学版）[J].2008,71(3) 
 
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