为了讨论协变导数，需要讨论仿射联络。协变矢量作平行移动时，平移后的矢量与原矢量之差与矢量本身和位移成正比，比例系数就是该点的仿射联络。联络的反对称组合叫做仿射空间的挠率张量。定义了联络后便可以定义协变微商，定义中用到了平移操作。利用协变微商的乘法规则和标量及矢量的协变微商公式可以很方便地得到高阶张量的协变微商公式。联络是决定空间几何性质的重要量，但它不是张量，由联络可以构造出一个重要的张量，叫曲率张量。如果空间某区域内曲率张量和挠率张量都恒为零，则总能找到一个坐标变换使得在该空间内联络为零，即空间是平坦的，也就是说曲率和挠率描述空间弯曲的程度。
| 几何笔记v1.5 2010-07-02 博客名称: 无尽的旅程 作者：sclover 来源：水木BLOG 对于M上的一条闭曲线γ:[0,1]- M，p=γ(0)= γ(1)，则一般的说γ'(0)≠γ'(1)，所以一条闭曲线定义了纤维上的变换，变换群被称为和乐群(holonomy group)。 曲率2形式联络1形式的协变导数，二者满足Cartan结构方程。回忆在黎曼几何中，曲率是... sclover.mysmth.net/2010/07/02/%E5%87... 约11247字 - 收藏- 预览 |
