这种非稳定 的有势场不是 保守场 。与它相关 的 势能函数Ｖ是时间ｔ的显函数，即Ｖ＝ｖＧ，ｔ）．

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第　２０卷第　６期　

Ｖｌ

０】．２ＯＮＯ．６　

济宁师专学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　Ｊ＿ｎ】ｎｇＴｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ　

１９９９年　ｌ２月　

Ｄｅｃ．１９９Ｉ９　

文章螭号　：１００４—１８７７（１９９９　Ｊ　０６—００３０—０　

Ｄ，　

任意平面载流线圈的　

磁力矩　＝　

×／一３的证明　

张德启　

（济宁师专物理　系　山东济宁　２７２０２５）　

０　

摘　要：任　毒形状的平面｜６Ｌ流残圈与形状规刚的矩弗平面戴流残朋在均匀硅场中磁　力矩公式的彤最走完　

奎相同的，尊为腑　：　ｘ蕾　电磁学中通常甩等垃的方法证明这十蛄论．而皋文ｌｌ以矢量分析知识为工具直接　

耸以证明．这种证明方法过程严密．鼻有普追性、一般性　

・　

关鼍　：±重壅　苎　；些　；兰堡　　

中围分粪号　：０４４１　文献标识码：Ａ　

饲｛）磁场　

电磁学中，应用等效的观点　，将任意瑶状的平　面载流线圈视为一系列电流强度相等　、流　向相同、且位于罚　

一

平面内的矩形平面载流线圈的组合，可证明其在均匀磁场中的磁力矩　

Ｍ　：　．×Ｂ…．ｆ１）　

与形状规则的矩形平面载流线圈的磁力矩公式完全相同ｌｌ】．其中卢　

店　为载流线圈的磁矩，百为均匀磁场　

的磁感应强度．廊为载流线圈受到的磁力矩　．这种证明方法不需要复杂的敦学推导，步骤简单，易于初学者接　

受　．但是　，我们也可以用矢量分析的知识为工具　．用另一种方法（不妨称矢量法）给予更严密、更具普遍性的证　

明　．证　明过程如下　：　

如图所示　，设有一任意形状　的平面载流线圈　Ｌ，其电流为　，．处于磁感应强　

度为直的均匀磁场中，并设某时刻其礁矩Ｆ　＝　店　与磁感应强度　百的夹角为　

ｏｆｏ＜　ｏ＜　．在线圈Ｌ所围的平面范围内任取一直线ＭＮ为转轴，刑线圈　Ｌ　

上任一电流元　

对　ＭＮ的磁力矩　

；　 ×ｄ　＝　 × Ⅱｄ　×百　其中　为　

电流元　

对转动中心　Ｏ的矢径　，也就是　ｌ　ｌ为电流元　

到转轴　ＭＮ的距　

离　．因此，线圈　Ｌ受刊的对转轴ＭＮ的总磁力矩　

廊＝　＝，ｆ　一ｒ×　ｘ直）．．．＿　ｆ２）　

---

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第２（】卷第６期　

Ｖ　．２０　．６　

济宁师专学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＪｉｎｉｎｇＴｅａｃｈｅｒｓ　Ｇ￣ｔｌｅｇｅ　

１９９９年　ｌ２月　

Ｄｅｃ．１９９９　

文章编号　：１００４　

⑤　

１８７７【１９９９）０６—００３１—０２　

浅议有势场与保守场的区别　

ｉ一　

壹上　

０３／｛　

（济宁师专物理　系　山东济宁

２７２０２５）　

摘

要　：肌分析力擘的角度将有势岛与保守埽选两十客品混淆的概念区刺开采　．指　出：有势埽不一定走　

锥守暂；保守岛一定是有势场　．　

关量词：保守埽；有势岛；非毽定；广，Ｌ势能　

中圉分类号：０４１２．３　文碱标识码：Ａ　

在学习理论力学时　往往认为　。有势　场一定是保　

守场，反之保守场也一定是有势场　。实际上　，这两　

个概念从分析力学角度看是有明显不同的　、　

Ｉ　力场的概念　

当质点运动时所受力幕　是位置和时间的单值　

连续　函数，我们称这　部分空　间为力场　。且可　表为　

＝　（　、ｔ）．若　中不　显含　ｔ，则称　为稳定　力场　；反之，　

Ｆ显台　ｔ时称为瞬变力场　．若质点　在空间各处所受场　

力事都相同。则称为均匀力场；反之，　在空间各处　

都不相同时　，则称为非均　匀力场　．倒如　，万有　引力　

场　

一　

，弹性力场　：一　都是稳定场。在　

ｒ　

地而附近的重力场　＝ｒ　ｒ便是均匀场，而瞬变场的　

例子在电磁学　中是很容易见到的　．　

２　有势场的概念　

当场力　＝　（　，ｔ）时，若把时闻ｔ看作参数，而　

场力　的旋度　 ×一Ｆ：０（一ｒ＝０除外　）得　到满足　．则　

势能函数　ｖ存在　，且　：～　Ｖ也成立　，即　

Ｖ＝Ｖ（ｒ、ｔ），Ｆ＝Ｆ（ｒ．ｔ）＝一ｖｖ（ｒ，ｔ）　

这样的力场称　为有势场　，有　势场是个　无　旋场　

若场力　中显吉　ｔ时，这种有势场是非稳定的；若场　

力　中不显吉　ｔ时　，这种有势场是稳定　的　．　

对于非稳定的有势场　而言，等势　面只具有　瞬时　

意义　，而计算场力作功　的公式　

Ｗ　＝　。　７ｖ，ｄＷ：一Ｊ＆ｄＶ＝Ｖ１一Ｖ２　

不再成立　，这时　因为积分　时不能将　参数　ｔ固定：而　

场力的元功　ｄＷ：一口Ｖ・品＝一ｄｖ＋　ｄｌ　

收稿　日期　：ｌ９９９—０８—３Ｏ　

怍者简介　：韩峰ｔ１９６５一）男，山东井宁九，井宁师专柏理系讲师　

吝　

即作功与路径有关　．　

这种非稳定　的有势场不是　保守场　。与它相关　的　

势能函数Ｖ是时间ｔ的显函数，即Ｖ＝ｖＧ，ｔ）．　

在分析力学　中，也常讨论　势能　函数　与速度　有关　

的情况，这时我们把与速度相关　的势能　函数称　做广　

义势能　Ｕ．因此广义势能可表示为广　义坐标　、广义　速　

度和时间　ｔ的函数形式　，即　Ｕ＝ｕ（　、　，ｔ）　

并且广义势能　ｕ与广义力　瓯　间满足下列关　幕：　

Ｑａ— 一　＋　（　）　

显然。广义势能也包括了普通的势能函数。若广义　

势能不是莲度的显　函数　。则广义　势能就变　成了普　通　

的势能函数　．　

例如。带电质点在　电磁场　中运　动时所　受的洛仑　

兹力　＝　＋　 ×　。该力所对应的广义势可表示为　

Ｕ＝　神　一ｑｖ’Ａ　

其中　和五分别为场的标势和点势　

对于非稳定的有势场而言．有　

盖（Ｔ＋Ｖ）＝　＋　：　・害＋（　￣３Ｖ　ｄｘ＋　

螯＋　￣Ｖ　ｄｚ』．＋　＝　・；一　・；＋　＝　

≠ ｏ　

上式说明　，对不稳定的有势场　而言　总能量　Ｔ＋ｖ不　

守恒　．因此　，一般说来，具　有势能　函数　的无　旋场不　

一

定是倮守场　．它但是有势场　．　

３　保守场的概念　

当弱　力满　足　

---

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＝一ｖｖ或ｖ ×Ｐ＝Ｏ（ｒ￣ｅＯ）　

（１）　

且势能函数　

Ｖ＝Ｖ（ｘ、Ｙ、ｚ）　

（２）　

仅是位置的单值函数　而不是　速度　和时间的函数　，符　

合　这些条件　的场力称　为保守力，这种　场才是保守　场　

．　仅仅满足条件　（１）式的场力只能是有势力，它不　

一

定是保　守力　；而　只有同时满足　（１）式和　（２）式　

的场力才是保守力　．　

总之，有势场是个无旋场　，它不一定是保　守场；　

保守场是个无旋场　，它一定是有势场　．可见有势场　

与保守场是有　区别　的　特别是　在分析力学　中不应将　

两者混为一谈　．　

参考文葡　

［１］荀　华蝙，理论力学日Ｉ论．四川太学出版社，１２９．　

［２］周衍柏编，理论力学教程．高教社，１９８５．　

［３］韩峰、冯铭成．转动坐标系中的拉氏方程及其应用　

山东教　育学院学报，１９９３　（５）．１６．　

（责任编辑　刘蜓忠）　

（上接　第　３０页）　

因Ｖ（；・Ｂｊ＝Ｖ（ｘＢ￣＋羁＋扭：ｊ＝ａ￣（ｘＢＤ＋　，＋　耋ｆ扭Ｊ＝ｉ　＋　＋　＝自．　

‘　

且　商为常矢量，可从积分号内提出，敲（２）　式第一　项可写为　

』　

，ｆ　・Ｂ　＝Ｊ　 ×商：ｆＬ￣ｄ；：ｔ×一Ｂ＝　．×　 …ｏｊ　

再应用斯托克斯积分变换公式　｛五．ｄＴ：　ｆ　ｖ×　ｊ．　，将（２）　式的第二项变形，并注意丘为常　

‘　

矢量，ｖ ×　＝０．此项实际　为　

，ｆ，ｆ　．　声＝虚　，　・　＝虚ⅡｒＶ×；　－　：０…　ｊ　

因此．（２）　式　，即（２）的结果为　Ｍ一　＝　

×一Ｂ，与（１）式相　同，证毕　．　

由此看　出．这种方法证明过程严密　，具有普遍性　、一般性　，作　为电磁学教师应　了解这种方法，以加探对本问　

题　的理解　．　

注：公式　＝Ⅱ　×ｖ　的证明：取任意常矢量　点乘积分　．并利用斯托克斯公式得　

・

ｆ　＝ｆ　，・　＝　Ｖ×　，・　

根据　ｖ算符运算公式　ｖ ×（　，：　（ｖ　 ×五　

×五．将上式中　ｘ（　ｊ展开并和用常矢量　的　ｖ　ｘ　＝０．　

’　

和三矢量混台积的轮换公式．有　

・

ｆ　；　ｒ口Ｐ　ｘｅ＋　Ｖ×　，，　＝　ｒＶ　×　Ｊ・　：Ⅱ　 ×Ｖ　・　＝ｅ・　；　×７　

．　

因　为任意常矢量，所以　

＝』ｄｊ　Ｖ似证毕．　

参考文献　

１］粱灿彬等编　（ｒｆａ触学）３３４页　＾　民教育出版杜出版

１９８０年　１２月第　１版　．　

２］郭顿鸿编 ‘电动力学）　４６页第４呈鲤　＾民敷育出版杜出版

１９７９年２月第　１版　

一

３２　一　　

（责任鳊辑

刘汉忠）