3.1.5微扰、发散和重整化
描写电子(适合于其它自旋为1/2的带电粒子)与光子体系的作用量实际上包括三个部份；电子场部分，电磁场(或者说光子)部分以及电子和光子耦合部分。前两部分分别称为电子场和光子场的自由部分；第三部分是因为要求作用量在定域规范变换下不变而引入的相互作用项。它的出现使得由最小作用量原理得出的场运动方程不再是自由的波动方程，电子场的运动方程中出现光子场，光子的运动方程中有电子场。对于这种耦合的运动方程人们尚未找到精确的解法，只能依靠一些近似方法。
现在我们可以通过具体讨论一对电子散射，看一下量子场论对于这样一个过程的处理方法。在初始时刻，两个相距无穷远的自由电子相向而来，随着时间的演化，两个电子逐渐靠近、发生相互作用然后再飞离开去直到无穷远。对于电子这样的微观粒子，人们无法观察碰撞的细节。按照量子理论的原理，体系的状态随时间的改变应由薛定锷方程决定。但由于人们关心的只是由初态的两个自由电子经相互作用后变成末态两个自由电子飞离开的几率，当相互作用如电磁作用这样很弱时，人们发现这个几率振幅的精确表达式(称为S矩阵元)可以对相互作用的耦合常数展开成幂级数，然后对这个无穷多项求和采用逐级近似方法(称为逐级微扰方法)计算。
先考虑零级(即第一项，因其中含耦合常数的零次幂而得名)贡献。它意味着没有相互作用，两个电子各自独立地运动并保持动量的守恒。这个过程可以用图3.1来表示。图中的黑点代表电子，两条线分别代表两个电子从初态到末态的过程，它们各不相干。人们更为关心的是有相互作用时的情况。考虑一级(也就是求和的第二项)贡献，发现其结果为零。因为它不能同时满足能量和动量守恒。用图来示如图3.2所示，其中直线代表电子，波浪线代表光子，这个图称为相互作用顶角。对于两个电子散射的过程，相互作用的最低级贡献为二级，如图3.3所示。
可以看出，电子通过交换一个光子而发生相互作用，而这个光子并未在初末态中出现，它的四动量可以不满足质能关系，故而称为虚粒子。虚光子从一个顶角到另一个顶角所对应的代数表达式称为传播子。在每个相互作用顶角，三个粒子的四维动量满足守恒定律。只要保证顶角动量守恒，对虚光子的动量则没有什么限制。上面的图示称为费曼图。费曼在用量子场论进行各种计算时发现，用图来表示不仅有助于记忆而且在物理上更直观明晰。把图和一定的代数表达式对应起来的关系称为费曼规则。
继续上面的计算，把交换各种可能的虚光子对散射的贡献加起来应得到最后的结果。由于费曼图的拓扑结构，电磁相互作用的所有非零贡献费曼图一定含有偶数的顶角。而一对偶数顶角贡献一个由电荷和普朗克常数构成的无量纲的因于e2/ch，其值为1/137，即为精细结构常数α。这个因子是实际耦合常数。对上面散射过程的计算所得到的级数解中，第一项正比于α的零次幂，第二项(二级微扰)正比于α的一次幂，第三项(四级微扰)正比于α的平方，依次递增。由于α比1小得多，通常只须考虑求和的头几项就可以达到所需的精度。
然而，从理论本身的严格性出发，人们希望能够处理微扰展开中的所有项而不仅仅只是头几项；从实际计算的精度考虑，对于某些过程，也需要把更高级的修正包括进来。这意味着对应的费曼图中含有更多的相互作用顶角，例如，
由于初末态是给定的，比如上面两个电子的散射初态只有两个电子，末态也只有两个电子，多出的顶角在图中增加了由内线构成的圈(虚的光子和电子)。由于这些圈并不直接和外线(即初末态粒子)相连，所以整个过程的动量守恒对圈上的虚粒子的四动量没有限制，其后果是在对所有的贡献求和时会出现令人意外的无穷大，从而使得结果毫无意义。导致这种令人困惑局面的原因是深刻的。表面上看是由于费曼图圈上虚粒子的四动量可以取正负无穷大之间的任何值，而所有交换这些虚粒子的过程都对散射过程有贡献。仔细分析就会发现，这种无穷大的出现是与点粒子的观念直接相关的。
通常人们把基本粒子看做是没有大小的几何点，它是合乎相对论要求的。在相对论的时空观中，有所谓的长度缩短概念，所以不存在刚体，因为刚体是和两点间距离保持不变的概念相联系的。于是把基本粒子看做有限大小的刚体的想法是行不通的。把基本粒子看作大小有限形状不定的物体也存在困难，因为这意味着其内部有相互运动，与基本粒子没有内部结构的观念相违背。但把基本粒子当做点粒子在经典理论中就已经带来无穷大的困难。例如电子的电磁能问题。把电子当做带有一定电荷的小球，它的静电能将正比于电荷密度。当电子的半径趋于零时，其电荷密度就会变得无穷大，相应的静电能也将成为无穷大，这与实际情况是不符的。
在量子理论里，粒子具有波粒二象性，粒子的动量与对应的物质波的波长成反比。要探测越微小的结构就要用越精细的“尺子”即波长越短的波，也就是用能量很高的粒子。要探明一个粒子是点粒子就要用波长无穷短或动量无穷大的波。对于两个电子的散射，高阶修正带来的圈图上的虚粒子的动量正是可以到无穷大。所以，量子场论中高阶费曼图中存在的无穷大(或称发散)是与点粒子的假设直接相关的。
在量子场伦中，描写粒子是采用定域的场量。所谓定域场量指场量是连续时空的连续函数，它在每一点上的值只和该点有关。所以连续的定域场实际上认为基本粒子是理想的几何点。人们可能会问，为什么要用定域的连续场，以及它的微分方程来描述微观客体的运动呢。原因不只一个，但重要的是利用这种理论已经取得了与实验相当符合的结果，并且人们尚没有找到可以避开微分方程的理论形式。
研究已经表明，在对物理的量子场论模型进行微扰论的计算时都会出现上面谈到的无穷大。重整化理论就是为了要发展一套办法处理这种发散从而得到合理的、有限大小的高阶修正值，使微扰论在理论和实际应用两方面完善起来而建立的。重整化理论是复杂的，计算十分繁难，概念上也存在一定的问题，但由于在实际应用方面所取得的重大成果，迄今仍是量子场论的主干。
我们通过一个例子来阐明重整化理论的主要思路。在相对论量子场论中粒子的产生和湮灭现象是基本特征，所以量子场论从一开始就是一个多粒子体系。如前所述，在量子场论中，真空不空(狄拉克的电子海)，带电粒子可以使其产生极化效应，所以我们测量到的粒子的电荷不是它本身带有的电荷值(称为裸电荷)，而是把极化电荷的屏蔽效应包括在内的“穿了衣服”的电荷(重整化电荷)。例如，一个真空中的电子有如费曼图3.5所示的过程：
前面我们已经提到，圈图修正将会导致无穷大，它意味着真空极化带来的“屏蔽”效应是无穷大。那末如何解释我们实际测到的有限大小的电荷值呢？一个自然的解释就是，裸电荷本来就是无穷大，它与同样是无穷大的极化电荷相消使得测量到的电荷(重整化电荷)具有有限大小。
上面的讨论提示人们要仔细对待理论中引入的参数和参量，如耦合常数、质量和场量本身的大小等，这样一些本身没有直接物理测量意义或无法直接测量的量在理论的重整化中有着特殊的作用。所谓的重整化就是把微扰计算中出现的无穷大吸收进这些参数中，象对裸电荷那样假定它们具有适当(往往是无穷大)的裸值以抵消圈图修正的发散从而给出与实验测量相符合的有限结果。它相当于把物理的振幅用测量到的质量和耦合常数来表达。并不是任何一个量子场的理论都可以把发散吸收到参数中去的，能够做到这一点的称为可重整化的理论，否则称为不可重整的。能否重整化已经成为一个量子场理论正确与否的重要判据。具体讨论一个理论能否重整化，首先要分析理论中费曼图的结构，把基本的发散图找出来。例如，对于量子电动力学，基本发散图只有图3.6所示的三种，它们分别对应为耦合常数的重整化，电子质量的重整化和光子场(波函数)的重整化。其它的发散图要末在结构上等同于它们，要末包含了它们。所以量子电动力学是可以重整化的理论。
重整化方案具体的实施首先要设法处理那些对圈上虚粒子动量的积分，这些积分由于动量值可以(从零)取到无穷大而发散，称为紫外发散(因为大的动量相应于短的波长，在光谱上对应于紫光)。将这种积分在形式上积出来进行处理，称为规制化(或正规化)。最简单的规制化办法是将动量积分“截断”，即假设动量最大取某个有限的Λ，把积分算出来。然后把随Λ趋于无穷大的项通过重新定义裸质量和裸耦合常数吸收掉。
实际的作法是在作用量中相应地引入一些抵消项，这些项的系数是可与那些随Λ趋于无穷大的量相消的无穷大。如果所有这样的抵消项的场量组成形式在原来的作用量中都已经存在，那末就可以把相同的项合并在一起，最后的作用量在形式上和原来完全一样，只不过现在的作用量中的参数和参量是包含了无穷大的，它们刚好抵消了微扰计算圈图带来的发散。所以，重整化相当于对理论中的参数和参量进行重新定义。如果理论是可重整化的话，发散最终将能够被抵消掉，具体截断的值或办法并不影响也不应该影响重整化后的结果。事实上，“截断”只是处理问题的手段，理论本身不应依赖“截断”。
一个量子场理论主要的发散来自于紫外发散，这是根本性的困难。有时，当虚粒子是质量为零的粒子时，积分会因为粒子动量取零值而趋向无穷大，称为红外发散，通常它与电子不断发射的很低能量的光子有关。由于能量小于仪器分辨率的光子探测不出来，当这样的光子的产生振幅与红外发散的散射振幅合在一起时，红外发散可以消除。
前面已经指出，规范对称性决定了体系的相互作用方式，这样建立的理论都是可重整的，这是规范理论成为基本相互作用理论的一个重要原因。规范对称性对于可重整化至关重要。由于规范对称性，发散积分之间存在一定的关系称为沃德(Ward)恒等式。通常重整化导致的参数重新定义不应该改变理论的形式，这是可重整化的含义所在。然而也会出现这样的情况，理论原来具有的对称性在重整化之后被破坏掉了，这就是所谓的反常。它通常意味着为消除发散而引入的抵消项形式并不都是原来作用量中已有的，如果被破坏的对称性是一般的整体内部对称性，反常并不会给理论带来特别的困难，有时这种反常甚至是必要的，如π介子到两个光子的衰变过程。而如果这样的抵消项破坏了重整化的作用量的规范对称性，就会相应地导致沃德恒等式不再成立，从而使得理论不可重整化。
80年代以来，人们通过对场在大范围的性质的研究发现，一个量子场理论是否存在反常与场作为时空的连续函数在进行某些连续变换时的性质有关。这种连续变换称为拓扑变换，场在拓扑变换下的性质称为拓扑性质。研究还发现，这种拓扑性质与理论中费米场的情况有关，适当地安排费米场的数目以及它们在规范变换下的变换性质可以改善场的拓扑性质从而消除反常。目前描述基本粒子及其相互作用的量子场理论即标准模型对于夸克(它们是费米子)的数目有相应的限制，通过实验寻找夸克，看它的数目是否与这种限制一致是对标准模型正确与否的一个重要检验。顶夸克的发现使标准模型所需要的6个夸克全部找到了，这是对标准模型的巨大支持。
