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评述 规范场理论和金融市场模型李 华 钟 (中山大学高等学术研究中心 广州 510275) 摘 要 文章介绍近年理论物理在金融学市场建模中的应用的一个新方向 , 与一般的数学建模不同 , 它是应用几 何结构的模型 ,建立在规范场的物理思想和纤维丛的几何结构的基础上 . 文章介绍了规范场的物理概念思想原则 ,也 介绍纤维丛数学概念和几何结构 ,然后说明规范场理论与纤维丛理论的相结合 , 成为与金融市场概念和运作相匹配 的市场模型 ,举出这一模型成功引导出金融市场产品定价的 B lack - Scholes方程和公式 . 文章对象以物理学者为主 , 对于理论经济学 、 金融理论和系统科学的读者来说可略去数学推导 . 关键词 金融资产定价 ,规范对称 ,纤维丛应用 Gauge theory and f inanc ia l market m odel L I Hua 2Zhong (A dvanced R esea rch Center, Z hongshan ( Su - Ya t - S en) U n iversity, Guangzhou 510275, Ch ina) model of the foreign currency market and the B lack - Schales equation are described as interesting examp les of the gauge model . Keywords financial assets p ricing, gauge symmetry, fibre bundle app lication 1 导言 近年来在金融学的理论研究中 ,运用理论物理的 思维方式和方法 ,建立金融市场的模型 ,金融资产价 值的定价和市场演进的预测等 ,把传统均衡的模型发 展为动态的模型 ,以至极端状态的市场出现的可能预 测 ,应用统计物理学方法例如随机行走 ,临界动力学 指标分析 ,混沌机制 ,分形 ,分岔等 ; 近年来还有应用 规范场理论建立金融市场运作的模型和规律. 本文只是在物理概念和金融市场的概念和原则 作平行展开的类比 , 不涉及概率论 、 博奕论 、 随机微 分方程等数学工具的运用和推演 . 同时 ,我们只是表 达学院式的理论研究也不涉及金融实践家的成败经 验 . 金融实践家 —— — 如银行家股票炒家和金融玩家 ?740? Abstract An introduction to modelling of the financial market by app lying the gauge theory of modern theoreti2 cal physics is p resented. The relationship s between physics concep ts and financial concep ts are first described, followed by an exp lanation of the ideas in gauge theory and fibre bundle mathematics W e demonstrate how the . combined structure of gauge theory and fibre bundles p rovides a framework for financial market models A simp le . 2005 - 12 - 12 收到 , 2006 - 03 - 08 修回 的立场观点和方法不是我们要谈论的话题 , 可以说 我们是纸上谈兵 , 脱离实际 , 书生之见 , 不过近十多 年来不只是经济学界的学术圈子 , 华尔街和瑞士银 行的大亨们对这些空论却感到兴趣 . 在金融资本市场 ,市场交易者通过市场运作 ,卖 出买入金融资产 , 籍以获得利润 . 在这领域 , 金融学 的主要课题是 : 研究金融资产及其衍生资产的定价 , 投资组合技术 ,获利策略 ,公司金融政策 ,风险规避 , 进而对金融市场中演进短期预测 . 其中资产定价是 市场运作的起点 ,这是经济数学应用最主要的领域 , 富有争议的市场预测也是数学应用的重要领域 . 19 世纪到 20 世纪之初 , 旧金融学运用的工具 本文部分内容源自“ 非均衡金融定价规范建模研讨会 ” 上的应邀专 题报告 , 2005 年 11 月 ,上海 http: Π Π www. wuli ac. cn . 物理 评述 是会计学和统计 ,资料是市场公司的财政报表 ,数据 分析 ,作出市场的短期预测 . 20 世纪中期到现在 ,现代金融经济学运用数学 建立市场模型 ,资产定价公式 ,不独运用数学建立数 学模型 ,并且引入物理理论 ,建立模型和资产定价 . 这 就开始形成了现时称为金融物理 ,金融工程 ,金融数 学等新学科 . “ 资产定价 ” 市场预测 ” 、 “ 是目前物理理 论进入金融学的切入点. 理论物理应用到金融理论中 的现状 ,已经有一般性的和较为专业性的导介文章. 本文不打算重复它们已介绍过的内容 ,有兴趣了解金 融物理一般前沿状态的读者请参考文献 [ 1 —3 ]. 本文 只是从规范场理论这一角度来看金融市场 ,这也是金 融物理这个方向最近的前沿视角之一 . 在参考文献 [ 3 ]和 [ 4 ]中我们已经讨论过金融 市场作为物理系统的可能性 , 作为大数目自由度系 统具有共通的要素 ,正是由于这些共同性 ,统计数学 的模型和方法既可用于工程建模也可用于经济建 模 . 对市场中的不确定性和物理系统的不确定性 ,我 们没有必要也不可能去追究它们的来源是自然界的 或社会的 ,是物理的还是心理的 ,都只是用随机方法 处理 . 自然界的动物群体和社会的群性 ,即使有近代 阶段之巨大差异和本质变异 ,但群体共性仍然存在 . 市场建模并不只专注于市场的参与者的个别行为 , 模型代表的是市场整体行为 , 物理模型有个体行为 也有整体行为 ,整体行为建立在互动的个体行为的 基础上 ,有个体所没有的整体表现 . 概率论的应用隐 含假设在相同条件下可以重复大数目多次的实验操 作 ,即物理学称之为统计系综的方法的基础 . 统计力 学就建筑在包含大数目的系统的系综上 . 市场本来 就是不可以在相同条件下重复实验 , 因而运用概率 论方法只能是人为修饰的近似 . 在这一点上数学建 模方法同物理建模方法是同样的近似逼近 . 事实上 , 现时经济学的许多数学模型 ,实际上也是物理模型 , 只不过是表述时采用数学语言 , 或是物理语言的形 式概括力不同而已 . 例如随机行走模型既可以看成 一种数学模型 ,同时也可看成物理学的布朗运动模 型 ,人们能接受经济学的数学模型 ,就同样应该可以 接受物理模型 . 随机行走在物理上看是一个无记忆 的醉汉漫步 ,少数者胜的博奕模型也是两人博奕约 定的物理模型 ,只不过这些模型的数字意义是一般 常识可以接受的 ,物理的解释也是显而易见 ,亦为一 般常识所接受 . 我们在以后会谈到金融市场的规范 场模型 ,纤维丛模型 . 这些模型就与已往熟悉的数学 模型不同了 ,它超出了一般常识认可的范畴 ,以致有 的金融学者经济学者 ,甚至经济数学家视之为怪异 . 金融市场的规范场模型 , 其实同时也是一种数 学模型 ,就是纤维丛模型 ,这一模型和现在流行的经 济数学模型有特别不同之处 : ( 1 ) 它不是数量上的 数学 ,它是几何结构的形态的数学 ,这是经济数学模 型所稀见的更复杂的模型 , 这就不易为一向熟悉数 量数学的学者们所接受 . 一般来说熟悉的是概率论 、 随机微分方程等 ,对于微分几何 、 拓扑学在经济领域 的应用比较陌生 . ( 2 ) 纤维丛所描述的物理是规范 场论 ,它主要地不是局域的描述 , 它统辖大范围性 质 ,物理系统的整体性视野 ,这也是与一般熟悉局域 的描述接触作用近邻逐点传播的局域观念有很大不 同 . ( 3 )作为模型的具体演绎推算 , 运用理论物理学 的标准方法规程 ,更使人有一种印象 : 用物理方法去 解决金融问题 ,显然 ,这好像有人会运用经济方法去 解决物理问题同等的荒谬 . 2 简史应用规范场理论去构建金融市场模型的研究 , 始于 1997 年俄罗斯科学院圣彼得堡 Steklov数学研 究所的数学物理学博士 K Ilinski 他在取得博士学 . . 位后 ,赴英国伯明翰大学从事研究工作五年 ,在伯明 翰认识了金融市场方面的友人 , 从中了解了市场的 运作 . Ilinski认为规范理论可以应用到金融建模工 作上 . 1997 年 , Ilinski和合作者发表了一系列科学论 文和研究报告 ,阐述了他创立的金融物理 ,套利 的规范理论 ,准有效金融市场的电动力学模型 ,以套 利规范理论导出 B lack - Scholes方程等 . 这一新的 [ 9 —12 ] 金融市场理论模型引起了回应讨论 ,自此开辟 了用物理理论研究金融市场的一条新途径 . 当然 ,物 理理论用于研究金融不是从规范场开始 , 早在 1900 年已有一开端 ,那是应用到随机行走数学的布朗运 [3] [2] 动 , 1985 年后有很大的发展 , 规范理论的应用 到金融市场 ,也反映了 21 世纪物理学向社会科学渗 透的趋势 . [ 5 —8 ] 3 市场作为物理系统要理解为什么规范理论可以用到金融市场 , 需 要先回答两个问题 : 一是从一个理论物理的观点来 看 ,金融市场能否作为一个物理系统来处理 ? 二是 从金融市场的角度来看 , 规范场理论框架能否容纳 ?7 4 1 ? 35 卷 (2006 年 ) 9 期 http: Π Π www. wuli ac. cn . 评述 金融市场包含的基本元素 、 概念和运作 ? 这是一件 事情的两个侧面 ,或者说物理系统与金融市场是否 有共通之道 ,两者能否恰好匹配 . 把市场作为一个物理系统用物理理论方法处理 是否成立 ,这是一个仍在讨论和争论中的问题 . 经济 学者金融学者会认为这是一个假命题 , 理由一般来 说是 : 第一 ,经济问题和物理问题是两种对象 、 性质 和方式都不同的问题 , 不可以用物理方法去解决经 济问题 ,犹如不可能用解决经济问题的办法去解决 物理问题 ; 第二 ,经济市场是人群所参与实践的 , 人 是有个人意志的参与者 ,其参与过程中有策略 、 决策 等理性的因素和心理等非理性因素 , 这些都不是物 理方法所能涉及的 ; 第三 ,经济市场不但受自然环境 的影响还受政治的影响甚至支配 , 这些影响和支配 作用在性质上不是物理的 ,也不可以量化的 . 基于以 上三点考虑 , 对于目前所谓“ 金融物理 ”有一部分 , 学者并不认同 . 对于金融市场物理模型支持者来说 , 他们的理 由之一是认为市场具有对称性 ,如同物理系统一样 , 因而能够探索市场的对称原则并根据这些原则推演 一定的规律 ,本文所介绍的规范建模就是一项最近 的发展 ,下一节我们先说物理对称性原理如何支配 物理系统的行为 . 相对论洛伦兹不变决定电子电磁作用 ” . 金融市场如果可以作一个物理系统来看 , 它是 一个很大自由度的系统 , 在这种系统中即使微观看 来 ,单个的参与者有“ 自由意志 ” 的行动 , 但就宏观 整体来看 ,除非受到环境力场的统一指挥 ,这些行动 表现也是随机性的 ,因而正像物理的统计力学系统 , 可以类似地处理 ,这种系统在一定时段或长或短会 达到一定程度和时间的平衡和具有某些守恒量和守 恒律 ,这些守恒量就反映了某些对称性 . 正是在这个 意义上对称起了支配作用 , 市场作为一个大数目自 由度的系统在平衡或动力状态下的变化趋势和互相 作用互动行动受到对称规律的支配 . 本文所介绍的 “ 规范建模 ” 就是从这个观点出发 , 从规范对称的原 则去演绎市场的行为 . 作为物理学系统的一个范例 就是电子与电磁场系统的相互作用 , 这在“ 附录 ” 中 看到电子作为系统行为的参与者 , 规范场中电磁场 作为信息传递者 ,他们间的互动互作用被定域规范 对称所支配决定 . 在第 8 节将会举出一个简单例子 , 外汇市场的规范对称来解说上述的理念 . 5 规范场的基本要素从附录所举这个例子看到规范场理论的基本要素 : ( 1 )系统有两种相互独立 、 但又处于相互关连 的空间 ,即外空间 , 它就是通常的四维时空 ; 内空间 (内禀空间 ) , 它是系统本身固有的物理量构成 ; 外 空间 (四维空间 )的每一处都联结着一个内空间 . ( 2 )每空间都有在它上面操作的对称变换 , 外 空间存在着洛伦兹变换 ,内空间存在着规范变换 . 物 理上要求物理系统对于这些变换具有对称性 , 用作 用量表达系统的力学结构 , 对称性原理就是作用量 对于对称变换不变 . ( 3 )外空间各点上缔结的内空间对称变换是各 自独立的 ,称为定域化内对称变换或内对称定域规 范变换 ,内外空间的变换各自构成群 ,内对称变换群 称为规范群 (参看图 1 ) ( 4 )物理现象对以上变换不变 , 这个要求决定 系统的动力学 ,内部互作用 —— — 对称性决定互作用 , 规范场就是内对称不变 , 所必须引入的媒介场 (也 ) 叫“ 补偿场 ” 相位场 ”在外空间相邻两点间联络 、 “ 传递信息 . ( 5 )上面所讲电磁场例子是亚贝尔规范场 , 它 的规范群是 U ( 1 ) 一维可交易群 , 导致的理论是线 性的 . 一般的有不可易的规范群 , 非亚贝尔规范群 , 4 对称原理支配系统行为 20 世纪物理学基础理论的最主要成就之一 , 就 是对于物理世界对称性的认识 ,它始于 20 世纪之初 爱因斯坦的狭义相对论 , 物理规律都必须遵从一定 的时空对称 ,亦即是相对性原理 ,它表现为在均匀四 维时空中的洛伦兹变换不变 , 这个相对论对称性限 制了可能的可供选择的如哈密顿量 , 拉格朗日量必 须满足相对论时空对称性 , 从这点出发再加入最小 作用量原理的要求下 ,导出了系统的运动方程 ,从而 建立力学系统的完整理论体系 , 但是应该注意到对 称性原理给出了对可供物理系统应用的模型限制 , 但并未做到决定唯一的选择 . 20 世纪 中叶 ( 1954 年 ) ,杨振宁 - 米尔斯的非亚贝尔规范理论发展定 域对称性原理唯一地确定了非亚贝尔互作用 . 1967 年这个理论成为统一电磁和弱相互作用的框 架 ,回头再看其实电磁场里相互作用本身就是由相 对论对称性和定域规范对称决定的一种物质相互作 用 . 关于这个例子的详细演绎请参看本文附录 :“ 对 称原理支配系统行为的一个例子 : 定域规范不变和 ?742? [ 13, 14 ] http: Π Π www. wuli ac. cn . 物理 评述 这种情形下的规范场有非线性的自作用 . 图 3 ( a) 平庸拓扑 ; ( b) 非平庸拓扑 图 1 在外空间球面上每一点都缔合一个三维标架定域内空间 从这里 , 我们可以设想规范场模型比较以往的 数量经济学的模型主要不同在于 , 它包含不独是单 一市场平台 ,它可以包含市场的互相独立同时又互 相牵连的两个平台 . 这种关系使描述的工具不单是 数量 ,同时也运用几何的 (形态的 , 结构的 ) 工具 . 因 此当我们对于金融市场使用“ 规范场 ” 这一词的时 候 ,应当在比物理学更为广泛的意义上去了解 . 不应 该严格依照物理理论所规定的定义 , 在这个方面参 考文献 [ 15 —17 ]提供了一些想法 . 规范场理论的数学结构是数学微分几何和拓朴 学的一个分支 —— — 纤维丛 . 下面简单介绍纤维丛的概 念. 纤维丛是一种几何结构 ,简化地来说它的一个最 简单的非平庸结构的形象就是通常所谓 Mobius带 , 如图 2所示 ,它是图 2 ( a ) 的带状图形经过一个扭转 操作 ,对边反贴成环状 ,图 2 ( b ) 所示 ,带状无扭转成 环状是一个平庸的结构 ,但经过扭转操的环 ,就是非 平庸结构 . 如图 3 所示 ,纤维丛的数学概念严格来说 相当复杂 ,我们简化地介绍 ,它至少包含三个要素 ,这 就是底空间 、 、 纤维 丛空间 ,简单的示意形象如图 4,从 纤维丛的结构性质 ,我们可以利用它的几何概念赋予 物理的解释 ,如平庸与非平庸 ,定域与整体 ,平移 ,连 通 ,曲面的指标 ,不变量等等 . 这些数学概念和规范场 物理理论概念恰恰完全有对应 . 以下本文阐说这种对 应关系套用到金融市场去建立模型 . 图 4 ( a) 平庸的纤维丛是两空间的直乘 ; ( b) 纤维从由底空间 M , 纤 维 F和从空间 E 构成 图 5 纤维丛示意图 6 纤维丛的基本要素和规范场匹配的 描述 [ 18 —21 ] 图 2 Moebius带 (最简单的非平庸结构是 Mobius带 , 将长条纸带 扭转 180 ° ,将对顶点 A 点与 D 点 、 点与 C 点粘结形成 ) 后 B 纤维丛是数学中一种几何的结构 , 它的构成主 要因素从严格的数学观点来定义可以包括十几个条 件之多 ,但我们从一个物理学者的应用观点来看它 的结构最主要的是几个构件 . ( 1 )底空间 —— — 纤维丛整体几何结构建筑在一 个多维连续流形之上 ,底空间记为 M ( base space ) . ( 2 )纤维 —— — 在底空间的每一点上固连一个线 性空间 ,它称为纤维 F ( fibre ) . 最简单的纤维是一维 向量空间 ,底空间和在其上的纤维全体构成了丛空 ?7 4 3 ? 35 卷 (2006 年 ) 9 期 http: Π Π www. wuli ac. cn . 评述表 1 规范场 、 纤维丛和金融市场的已知构成量的对应关系 物理术语 物质 电流 正电荷 负电荷 电磁势 电磁场 运动方程 波函数 波函数相位变换 量子起伏 ,不定值 纯电磁场 标度变换 电动力学 (电子电磁场互作用 ) 数学 (几何学 ) 术语 规范理论术语 物资场 源场流 场源 (正源 ) 场阱 (真源 ) 金融学术语 资产 货币流 现金 债务 价格 ,贴现 ,利率 ,汇率 套利 ,超额收益 净产值 ,贴现过程 货币单位汇率的变换 联络的分量 曲率张量 矢量平行移动 截面 矢量方向改变 规范势 (场 ) 规范场强 平行移动 定域规范场变换 定域规范变换 量子起伏 ,不定值 纯规范场 W eyl标度规范 价格 ,利率 ,汇率等的不定 均衡市场 外汇市场 动态市场 (有资金流 ) 有场流场源的规范场 间 ,可以形象地说 ,在底空间每一点上粘上了一支纤 维 . 这构成了丛空间 B ( bundle space ) . ( 3 )丛空间与底空间的点存在对应的连续映射 的 ,而规范场与纤维丛的对应关系也在同时为陆启 铿所认识 [ 22 ] . 我们在本文表 1 中列举了规范场理论 的物理量与纤维丛数学中的几何量对应关系 . 纤维丛是其包含的多个要素按照一定法则构造 成的几何结构体 ,它的重要在于它的整体性 ,这个几 何结构的整体用于描述物理现象时 , 它可以表述一 些较为复杂的现象 ,例如非亚贝尔规范场 ,即杨 - 米 尔斯场 . 现在有人试图把它用于描述金融市场 ,初看 起来有点匪夷所思 , 但是我们知道金融市场的复杂 性和整体性需要一种数学描述超出了以往常规的应 用数学 . 例如外汇市场 , 它包含了几个外汇货币区 , 每一个货币区就有它本身各种货币的兑换率 , 而金 融资产对于各种货币变换 ,虽则表面价格改变 ,资产 价值不变 . 由于某地区兑换率的改变 ,使总体的市场 失去均衡 ,出现了套利的机会 , 就会引起资金的流 动 ,市场交易者得以从中获利 ,这种活动的结果市场 又再达到新的平衡 . 这样的机制看来适合于纤维丛 的语言去描述 ,因为它包含两种金融活动 ,货币区的 货币流通和货币兑换活动 , 货币区的全体构成底空 间 ,货币兑换构成纤维 , 兑换率表徵了结构群 , 由于 某个货币区兑换率的改变使资金从一个货币区到另 一不同兑换率货币区的流动 . 这一活动由丛空间投 射到底空间 ,套利活动就成为底空间的一条闭合路 径 : 这些考虑 ,使我们觉得以纤维丛代表金融外汇市 场有它的合理思维 . 建立金融外汇市场的纤维丛模型还需考虑市场 的动态演化 ,这就需要引入物理思维 ,纤维丛同样是 关系 p∶B → 称为投射 ( p rojection ) ,这一投射关系 M 规定了丛空间与底空间的关系 , 构造了一个整体的 几何结构 . 参考文献 [ 21 ]中列举了纤维丛的结构因子达 10 项之多 ,对于我们一般地以上三项的理解也就可 以了 ,但是为了与规范场理论配合 ,还需在上列因素 之外加入 : ( 4 )在纤维上操作的群 , 群的元素作用在纤维 上 ,称为结构群 G . 几何学讲形态和结构 ,这是整体的视野 ,纤维丛 是整体性的数学 ,非平庸的纤维丛是不可以由单纯 的局部直乘直和或简单粘贴而成 , 不可以简单因子 化而不介入另外的操作 . 物理学的规范场恰当的数学描述是纤维丛 . 规 范场的要素中包括两种空间 ,内外空间 ,在外空间每 一点上缔合一内空间 , 这正好与纤维丛的底空间上 粘合纤维相对应 ,纤维上的结构群就对应着内空间 上的规范群 . 纤维丛数学是 S S Chern (陈省身 ) 于 1944 年 . . 引入 ,现代的规范场理论是 1954 年 C. N. Yang (杨 振宁 )和 R. L. M ills引入 ,数学和物理两学科两项创 意重要贡献原来是互不相通的 ,二十余年后 ,才悟到 两者竟可以是一回事的各自表述 . 规范场的纤维丛 表述是杨振宁和吴大峻 ( T T W u ) 于 1975 年阐明 . . ?744? http: Π Π www. wuli ac. cn . 物理 评述 描述规范场的合适的工具 . 由此 ,市场的规范场模型 是合理的一步 . 为了实现这一步骤 , 我们把纤维丛 、 规范场和金融市场三者已知的构成量的对应关系假 设如表 1. Ilinski作出了下面的假设 : 实际资产价值对于 货币单位的定域标度改变的对称性是金融市场规范 建模的规范对称 . 金融环境的一切可观察性质 (特 别是动力过程的规律 ) 不依赖于资产单位的选择 . 这就是金融市场规范模型的立足点 , 但我们应该注 意到 : ( 1 ) Ilinski所用的规范场模型不是现代物理学 中常用的规范场模型 : ( ⅰ) 它 的 规 范 场 不 是 通 常 物 理 学 所 说 的 U ( 1 ) , SU ( 2 ) , SU ( 3 ) 等规范群 , 它用的是标度变换 (涨缩 D ilatation )群 . ( ⅱ)这个群是线性实数不是含复数的操作 , 所 以不能是物理学意义上的量子效应 , 它所说的量子 电动力学模型是形式类比 , 它没有量子的算子力学 量和几率波概念 . ( ⅲ)它的不定值不是量子的不定值是人为加 入的概率分布 . ( ⅳ)物理学现在用到规范场是由规范对称原 理和相对论对称原理 , 几乎唯一地确定的互作用理 论 . Ilinski的金融市场规范场模型要加入他所谓“ 第 一原理 ” 很多假设 . ( 2 ) Ilinski的规范建模是应用了物理理论的一 般指导的思想路线 : ( ⅰ)对称性 → 拉格朗日作用量 →最小作用原 理→ 运动方程 . ( ⅱ)为从对称性构造作用量 , 先建造一个几何 的模型 ,从几何的量中选取作用量的构件 ,用这些几 何量构成满足对称性的作用量 . ( ⅲ)用这些几何构件代表了金融市场的基本 量 ,对几何量赋予相应的市场释义 ,几何学上这些几 何量的运作过程描述市场的运作 . ( 3 ) Ilinski采用的亚贝尔规范群 ,不含非线性作 用 ,也许金融市场具有的非线性性质需要的是非线 性的非亚贝尔规范场 . 7 纤维丛空间的几何操作 —— — 矢量平 行移动从上节看到我们已经建立起初步的结构概念 , 在纤维丛 、 范场和金融市场三个方面有了对应的联 系 . 我们以曲面上的矢量平行移动为例 ,说明纤维丛 有曲率的空间中矢量的平行移动的几何性质 , 用它 代表金融市场的相应的运作 . 矢量在一曲面上沿曲面上一条曲线移动 (如图 6 ) ,在移动过程中 , 矢量相对于曲面的法线没有转 动 . 矢量的根端沿曲线上一点 ,这称为矢量无局域转 动 . 但如曲线是一闭合路线 ,矢量回到原来起始位置 时 ,它的方向相对于起点处法线有了一转角 ,这称为 整体的改变 . 无局域改变而有整体改变 ,矢量的移动 为平行移动 . 为了比较空间两点上两根矢量 ,需要把 它们移到同一点上比较 ,这就需要平行移动 . 为比较 相邻两点矢量需要联结两点的联络 , 这联络决定于 空间的曲率 . 正是这一标准物理路线的套用 , 使人们认为这 一模型太过于“ 物理化 ” , 有以物理方法解决经济 了 问题的印象 . 图 6 ( a) 矢量沿曲面上曲线的平行移动 ; ( b) 矢量在球面上的平行移 动 35 卷 (2006 年 ) 9 期 http: Π Π www. wuli ac. cn . ?7 4 5 ? 评述 金融市场规范建模中应用几何概念平行移动的 例子如下 . ( 1 )计算资产净现值 (NPV )方法 由于不同时间资产值不同 ,需要比较不同时间的 价值而求得资产的净现时价值 ,不同时间价值通过贴 现 ( discounting)过程出现 ,这比较就应用矢量平行移 动. 为此 ,用曲面上的连络时间分量表示贴现率. ( 2 )外汇市场的套利 ( arbitrage ) 套利 —— — 利润从无中生有 ,一顿免费午餐 ,无风 险超额获利大于银行无风险存款利息 , 为比较这两 者收益 ,以平行移动过程中曲面的曲率 ,张量表达这 收益差额 . 该区的货币单位表达 , 兑换率 U ij是指一个 i种货币 单位兑换 U ij个单位的 j种货币 , 把 U ij个单位的 j货 币 , 把 U ij写出 U ij = e ij. q为常数 , 如果把货币 i的单 位改变 , < i 的表面值也改变 < i → <′ = e i < i. i 这表示单位的涨缩 , 这一组变换构成一个群 —— —一 维广义线性变换群 ,行列式为正 . 货币单位的改变使 汇率改变 U ij → U ′ = e ij (θj-θi) qA θ U ij. 8 简单金融市场的规范模型例子 1997 年 , 俄罗斯理论物理学 Illinski 和 Kalinin 这些改变都只是名义上的改变 , 并不引起货物价值 的改变 : 依赖约定习惯 —— — 依赖规范 不依习惯改变 —— — 规范不变 . 套利过程表示为 F (Γ ) , F =ΠU i i i n + 1 , Γ 为一闭 Γ 合的回路 ; 当 F = 1 时无套利机会 ; F ≠1 有套利机 会 . 这是最简单的外汇市场规范模型 . Ilinski, Kalinin 假设 ,没有资金流的金融市场规 范理论模型是纯规范场 , 从这一理论应用本文第 4 节和附录的方法在经典近似下导出鞍点方程 从连续时间下的作用量 ( action ) 给出的方程 , 可导出 B lack - Scholes方程 2 σ 9V σ 2 9 V 9 + S - r = 0, V 2 + rS 9t 2 9S 9S 这是著名的关于股票期权价格的 B lack - Scholes偏 微方程 ,这公式的导出被认为是金融理论的重大突 破 . 这方程式在统计物理中是 Fokker - Planck 方程 . 式中的金融变量意义如下 : V ( S, t) —— — 某股票期权 价格 ; S t —— — 股票在时间 t时的价格 . B - S方程的解要根据不同类型股票制订不同 的边界条件 . 由此又可导出金融资产价格的公式 : B lack - Scholes公式 2 Sτ = S0 exp [α τ + (γ - (α ) / 2 )μ], B 其中 , S =股票价格 ,τ =到期时间 ,σ =股息波动率 (常 数 ) ,μ =股息漂移率 (常数 ) ,γ =无风险利率 (常数 ) , B =布朗运动的价格变化分布. 投资组合 α股价格为 Sτ 之股票 ,现金 b美元 , 投资额 H =α 0 + b. B - S方程在 S 作出 了 金 融 市 场 的 规 范 场 模 型 , K Young (杨 纲 . [9] 凯 ) 作出一简单的外汇市场模型 . 取美元 、 日元和 马克三种货币外汇市场为例 : 设以二维平面格点阵 底空间 ,这是一分立的点的空间 . 令 i =空间格点上 的格点位置 ,世界的货币为若干个区 ,每一区占据一 个格点 i; < i 是某种世界通用商品在货币区 i 的价 格 ,以该区货币为单位 ; U ij是货币 i, j 之间的汇率 , 货币 i一个单位可兑换 j货币 单位 , 如 i为美元 US ＄ j为日元 ( Yen ) , 当时市价 1 美元可兑换 128 日 , 元 ,则 U ij = 128. 略去兑换买卖差额 : U ij = ( U ij ) 定义 U ij = e , q 为常数 , 注意此处无 qA ij - 1 , - 1因子 , . 在某货币区内的货币单位是一种习惯的约定 , 改变 单位对经济金融没有实际影响 , 不同货币的单位可 以各自独立改变习惯约定 . 这种改变表现为 : < i → 变的单位 —— — 规范变换 ; ( 2) 这 单 位 可 以 在 不 同 地 点 各 自 独 立 地 改 变 —— — 定域化变换 ; ( 3 )真正的价值对这些改变是不会改变的 —— — 规范不变性 (规范对称性 ) . 设想全球经济分成三种货币区 , 美元 , 马克 , 日 元 ,每个货币区有它自己规定的货币单位和兑换率 , 令 < i 代表某一种通用的货物在货币区 i的价格 , 以 <′= e i < i , 注意此处也没有 i + θ - 1因子 . 此种变换成 群 GL ( 1, R ) 一维实广义线性群 ( one dim ensional real general linear group w ith positive deter inants) . m 由此可见一个简单的外汇市场存在以下几个因素 : ( 1 )存在有一种约定习惯 —— — 各种货币可以改 世界金融理论中通行三十年 , 1997 年 Scholes, Merton 获得诺贝尔经济奖. 导出这些公式是规范建模理论被 视为有吸引力可能成功的原因. 金融市场的规范建模的目的还在于建立非均衡 非完全有效的市场模型 , 有资本流情况下的市场是 非均衡状态 ,如上面简单外汇市场的例子所示 . 由于 市场运作中某个环节偏离均衡 , 导致市场产生了有 序的变化 , 资金有一定流向 , 规范建模中 (表 1 所 ?746? http: Π Π www. wuli ac. cn . 物理 评述 示 )把市场模型比作为电动力学 , 将资金流认同作 为电子流 ,现金与债务作为符号相反的电荷 . 由于汇 率失衡 ,发生突然的变化 ,引起投资者向有利的市场 交换聚集 ,资金向有利兑换率货币投资 ,资金流发出 的信息媒介称为套利场 ,也就被认作为规范场 . 这引 起总兑换率的继续变化 ,直至无利可图 ,市场再度达 到均衡 . 这好像电子从高电位向低电位流动 ,直到电 势平衡 . 由于有电子流的电动力学的规范场理论 ,一 开始就引入电子波函数 , 它是因为量子力学中力学 量有本身内禀的不确定性 ,即量子起伏 ,而 Ilinski的 金融市场的规范场模型只是经典非量子的实数操 作 ,没有不确定量和测不准关系 . 为了计及市场的起 伏 , Ilinski引入了随机量去描述非均衡状态下的兑 换率起伏 ,另一方面 Ilinski又像模仿量子电动力学 的虚过程 ( virtual p rocess) 的概念 , 引入虚套利场的 概念 ,电动力学在极短时间过程中虚光子引起电子 部分的互相作用 ,电子电荷质量的重整效应 ,类似的 观念下 ,虚套利场引起市场量的一些“ 量子修正 ” 效 应 . Ilinski及其合作者从无资金流的纯规范场模型 , 演算推导出资金价格定价的 B lack - Schole 公式 ,在 有资金流的市场的“ 类电动力学 ”( electrodynam ics - like )模型推演出对于 B lack - Schole 公式的修正 , 对股价变化概率函数的正态分布的修正 (肥尾效 应 )等等 . 模型的建造有四个部分 : 一是建立市场与规范 场纤维丛的对应 ,由此取得可以运用的数学概念和 关系作为模型的构件和工具 ; 二是从物理学的对称 性原则出发以处理力学系统的标准方式 , 先构筑代 表市场作用量 ( action ) , 然后按照最小作用原理 , 推 导运动方程 ; 三是由于市场不完全相同于物理的力 学系统 ,只是对称原则不足以确定市场演化运作 ,因 而需要根据市场的经济金融等要求加入若干假设 , Ilinski称之为“ 第一原理 ”( The first p rincip les) , 才 能给出一定情况市场的解答 ; 四是根据各种具体市 场的特点 ,设定若干边界条件 、 初始条件以选出特定 的解 . 要构造代表市场系统的作用量 , 除要遵从规范 对称原理外 ,纤维丛数学模型只能用尝试的方法 ,构 建的构件自然取自纤维丛的数学工具 . 例如 : 曲率联 络等等和与以相应的规范场各种量 ,如源场函数 、 源 流、 规范势等等 ,构成标度不变的作用量 . Ilinski及其合作者进一步对有资金流的动态市 需要很多的证明 , 并且 , 我们已经在前面说到 , 它不 是真正的“ 量子 ” 模型 ,也不是电动力学的规范不变 性 ,仅仅是形式上的类比 ,不过它毕竟是一项有创意 的尝试 . 9 对规范建模的评议对于 Illinski金融市场的规范建模理论的评价 , 目前公开的文献资料和网上的评论并不多 , 特别是 最近三年以来 ,见到资料甚少 ,我们无从评述国际范 围内对这个方向的毁誉成败 . 这类以物理 ,特别是量 子物理方法去讨论金融市场的论述专著却出版了好 几本 ,它们有路径积分方法的 , 有混沌机理的 , 当然 有规范场论的 ,总的趋势是理论物理思想与方法渗 入到金融经济领域 ,在这一个趋势来说 ,我们认为不 可忽视 ,就这些形形色色的具体方法理论来说 ,我们 不妨走着瞧 . 就 Ilinski的规范建模来说 ,到目前它的 最主要的成就是从它的思想和方法导出金融衍生工 具 ,期权定价的 B lack - Scholes - M erton公式和宣称 得到了不完全有效市场对 B S 公式的修正 ,解释了 M 实际数据表现价格起伏对高斯 (正态 ) 分布的偏离 , 比原来的公式有了一大进展 . 这个结果是令人鼓舞 [ 10 ] 的 ,但是有严肃的评论指出 , Illinski这个结果并 不能表示证明了他的理论的正确性 , 因为还有其他 的方法也可以同样得到相同的结果 . Illinski理论并 未能说明规范原则为何能挑选出某种处理的运作作 为正确的选择 . 在物理学 , 用纤维丛数学描述的物理是非亚贝 尔规范场 ,即杨 - 米尔斯 ( Yang - M ills) 场 , 它的代 表是非平庸的纤维丛它的底空间结构需是流形 , 本 身具有叠置的局部结构 ,它给出了新的物理的描述 , 例如磁单极 , Ilinski用于构建金融市场模型的是电 动力学的规范场即亚贝尔规范场 , 纤维丛理论用于 这类型规范场没有给出新的物理描述 . 包含磁单极 的系统才需要真正纤维丛的描述 , 因此我们没有看 到金融市场非要有纤维丛结构的必要 . 我们不能排 除这种可能性 : 用纤维丛去表述金融市场结构纯属 牵强附会 ,也许近年人们说及金融市场的非线性性 质 ,会需要非亚贝尔规范场的非线性描述 . 不过 , 这 只是个人的纯属猜想 ,并未有根据 . 我们在本文第 6 节曾经指出 , Illinski理论采用 的标度变换是全实数的广义线性变换 , 它不是我们 通常意义下的规范变换 (相位复数变换 ) . 它不是我 们所说的量子物理 , 他运用的对称性支配互作用的 ?7 4 7 ? 场作规范建模 ,他们称为金融市场的量子电动力学 模型 . 本文不可能详述这个模型 , 因为它比较复杂 , 35 卷 (2006 年 ) 9 期 http: Π Π www. wuli ac. cn . 评述 规范原理也是不完整的物理原理 , 他还必须加入许 多来自市场的他称之为的“ 第一原理 ”虽然存在着 . 疑问和缺漏 ,但毕竟这个理论开创了以几何的形式 和构造去描述复杂的金融市场 , 包括不只一个的并 行的市场 ,把对称性原则提到金融市场面前 ,所以或 许它的发展会给我们开辟一个新的领域 . 从本文的叙说看到金融市场规范建模研究实质 上是启发探索了一些可能性 : ( 1 )对称性支配的原理在金融经济领域的运用 的可能性 ; ( 2 )纤维丛的复杂的几何结构用于描述金融经 济市场复杂系统的可能性 ; ( 3 )超出了量化经济学的范畴 , 探索市场形态 结构的几何化表述的可能性 . 本文作者并不认为目前的“ 规范建模 ” 一定是 正确或成功的 ,它存在很多基本的问题 ,不论观念上 和演算上都有不少的漏洞 , 但它至少向我们提供了 探索上述的一些具有根本意义的问题 , 还是一句老 话 : 它未必成功 ,但不可忽视潜在的势能 . 参 考 文 献 [ 18 ] 李华钟 . 简单物理系统的整体性 , 附录 I 上海 : 上海科技出 . 版社 , 1998 [ 19 ] Isham C J. Modern D ifferential Geomertry for Physicists World . Scientific, 1989 [ 20 ] Nash C, Sen S Topology and Geometry for Physicists Aca2 . . dem ic Press, 1983 pology for Physicists ANL - HEP - PR - 78 - 23, 1978 Thomas G H. Introductory Lectures on Fibre Bundles and To2 ? [ 21 ] [ 22 ] 李华钟 . 物理 , 2002, 21: 249 (此文被转截于“ 全球华人专业 人士网 ” http: / /www. network. chinese. com , 2003, 4) 附录 1 定域规范不变和相对论洛伦兹不变决定电子电磁作用 我们将以电子电磁作用为例演示对称性决定互作用这 一原理 ,同时显示定域规范对称要求需要有规范场的出现 , 规范场在电子之间传递信息 (互作用 ) , 物理学中处理力学 系统动 力 问 题 的 普 适 规 则 是 根 据 物 理 系 统 的 动 力 学 原 理 —— — 最小作用量原理 . 系统的动力学行为由拉格朗日函数 (Lagrangian function )所支配 , 力学系统在 t1 时刻的广义坐 标 : qi ( t1 ) , i = 1, 2, 3 …n, t2时刻的广义坐标 : qi ( t2 ) Lagrangian 记为 L ( q, q; t) , q = { qi } . 定义作用量 ( action) : S = L( ∫q, q; t) d t, ? t t2 1 [ 1 ] 张建玮 ,王正行 . 经济物理学一瞥 . 赵凯华 , 秦克诚主编 . 物 此式表示从时间 t1 到 t2 , 坐标 qi ( t1 ) 到 qi ( t2 ) 之间可以有很 多可能的路径 , 真实发生的运动所沿的路径 qicl ( t) 使作用量 S 最值最小 —— — 哈密顿最小作用原理 : 理学照亮世界 . 北京 : 北京大学出版社 , 2005. 144 —167 [ 2 ] 李平 ,汪秉宏 ,全宏俊 . 物理 , 2004, 33: 28 [ 3 ] 李华钟 . 科技中国 , 2005 ( 10) : 18 [ 4 ] 李华钟 . 给中山大学物理系理论物理专业研究生的报告 , 2005, 10. 28 [ 5 ] librium Pricing John - W iley & Son. 2001; 中译本 : 殷剑峰 , . Ilinski K Finanical Physics——Gauge modeling in non - equi2 . — Ilinski K arxiv: hep - th1971048vl, 1997 . Ilinski K, Stepanenko A S arxiv: cond - mat/9806138V I, . 1998 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] Ilinski K, Kalinin G arxiv: hep - th /9712034V2, 1998 . Young K Amer J. Phys , 1999, 67: 862 . . . δ [ qi ] │qi ( t) = qcli l ( t) = 0. S 从物理系统的对称性给予制约 L 相应的对称限制条件 , 对称 变换下的不变性规定了 L 所可能的函数形式 . 最小作用原理 使给定了 L 后 ,可导出系统的运动方程 (拉格朗日方程 ,哈密 顿方程以至牛顿方程 ) . 再根据 Noether定理从 L 的对称性导 出系统的守恒量 ,守恒律 . 理论物理常用到拉格朗日密度 L ( q, t) ,定义为 ? 李彦译 . 金融物理 ,机械工业出版社 , 2003 [ 6 ] [ 7 ] L = L d q. ∫ D. Sornette. Int J. Mod. Phys , 1998, C9: 505 . . 最小作用原理给出拉格朗日方程 Dunbar N. Market Forces, http: / /web. lexis - nexis com . [ 12 ] “ 非均衡金融市场定价的规范建模研讨会 ” 专题报告 . 上 海 : 中科院系统科学研究所 - 上海理工大学 : 上海系统科学 研究院主办 , 2005, 11, 11 [ 13 ] 李华钟 . 物理 , 2004, 33: 137 [ 14 ] 李华钟 . 物理 , 2005, 34: 548 因此力学系统的问题 ,归结为先找出拉氏密度 , 现在以单个 自由电子为例 ,说明构造拉氏密度 ,导出运动方程 . 设想只有一个自由电子的系统 ,首先构造自由电子的拉 格朗日密度 , L. 自由电子质量为 m , 动量为 p , 波函数记为 ψ μ ( x) . 在洛伦兹不 变的 要求下 , 可 以运 用的量 是 ψ ( x ) , ψ ( x ) , γ , m , p . 由他们构成的相对论不变量为 μ μ — — [ 15 ] Mack G . Gauge theory of things alive and universal dynam ics, . 1994, DESY94 - 184, http: / / xxx lanl gov/ abs/ hep - let / . . 9411059 [ 16 ] Ed. Shapere A , W ilczek F. Geometric Phases in Physics, 1989 [ 17 ] 李华钟 . 简单物理系统的整体性 . 上海 : 上海科技出版社 , 1998 ?748? http: Π Π www. wuli ac. cn . 物理 = - ψ ( x ) (γ 9 + m )ψ ( x ) , μ μ 9 9 其中 γ 是 4 × 常数矩阵 , p = - i μ , 9 是 μ的记号 ,μ 4 μ μ μ 9x 9x L ( x) 9qi 9L - 9 9L = 0, 9qi 9?i q 评述 = 0, 1, 2, 3. 假定这是自由电子的拉格朗日密度 ,由拉格朗日 L =— 1 F ν F ν- ψ ( x )γ ( 9 + m )ψ ( x ) + μ μ μ μ 4 方程 9L α为一常数 ,这个变换叫做第一类规范变换 ,是 1929 年 W eyl 提出的 , 又 叫 做 一 体 的 规 范 变 换 ( global gauge transforma2 tion) ,α是对全时空一样的常数 . 在这种规范变换下 , L ′ L = 得 (γ 99 + m )ψ ( x ) = 0 , μ 下列变换不变 j μ — 这就是 D irac 自由电子相对论运动方程 . 这个方程对于 i ψ ( x ) →ψ′x ) = eα ( x ) , ( ψ 由于这种不变性 ,可由 Noether定理导出 ( x ) = - α γψ, iψμ 其中 Q = - i j4 ( x ) d3 x, 取 α = e,则 Q 为电荷 , μ ( x ) ,μ = 1, 2, j 不变性导致电荷守恒 . ∫ α ( 是常数而是按不同 x 而不同 ,α→ ( x ) ,定域规范变换 ψ′x ) =e α ( x) i 定域规范变换下 L 如果要求拉氏密度在定域规范变换下不变 ,就必须在 L 中多 加一项以抵消 α ( x) 的贡献 ,即 L =- 这 L 对于下列变换不变 —— — 定域规范变换 : i ψ ( x ) →ψ′x ) = ψeα( x) , ( 使 L →L ′ L. = 正是电磁矢量势 Aμ ( x ) —— — 又称规范势 ,规范场 . γψ - ie (ψ μ ) Aμ = νAμ , j — 这是电子流 (电流 )与规范势 (电磁势 )作用 . 令电磁场强张量 F ν = 9 Aν - 9v Aμ , μ μ 则纯电磁场的拉氏密度为 LA 35 卷 (2006 年 ) 9 期 http: Π Π www. wuli ac. cn . 3 为电流强度 , 9 μ ( x ) = 0 为电荷 - 电流守恒 , 即一体规范 μj α ( 现在将变换 ψ′x) = ei ψ ( x) 定域化 ( localize) , 即 α不 ψ ( x) . 可以验证 ,这时 L ( x)对于定域规范变换不是不变了 ,在 所以定域规范不变要求存在有 Aμ ( x ) 这种量 , 这 Aμ ( x ) 定域规范不变性给定了电子和电磁场的互作用 ,为 ψ μ = - ie ( x )γψ ( x ) , j μ (电子 +电磁场 )系统的总拉氏密度为 ( ψ. = L ′= F ′x ) [γ ( 9 - i9 α( x ) ) + m ] ′ μ μ μ Aμ ( x ) → A ′( x ) = Aμ ( x ) + μ ψ ( x ) [γ ( 9 - ieAμ ( x ) ) + m ] ( x ) . ψ μ μ 1 e ψ 9σ - 9 9x μ 9 μ ( x) = 0 μj =- 9L ψ 9 9 σ 9x μ ψ ie ( x )γψ ( x ) Aμ ( x ) μ — =0 = 电磁场 + 自由电子 + 电流与电磁场互作用 . L 对于定域规范变换不变 , 完全描述了电子电磁场系统 . 定 ( 域规范变换 ψ′x) = ei α ( x) ψ ( x) ,看成是 U ( 1) 群的元素 ,规 范变换构成 U ( 1 )变换群 ,称为定域规范群 . 从以上例子看到相对论对称原理作为构造拉氏密度的 出发点 ,最小作用原理是导出系统的动力方程的出发点 , 定 域规范对称性原理是构造完美的电子电磁作用的出发点 ,它 导致规范场的自动自然的出现 ,成为电子互作用的媒介 , 信 息使者 . 2 国外近年关于规范场理论的一些评述 1988, 56 ( 7 ) [ 1 ] Chen T P (郑 大 培 ) , L i LF (李 灵 峰 ). Am. J. Phys , . [ 2 ] Ed. Taylor J C. Gauge Theories in the Twentieth Century . I perial College Press, 2001 m 72: 1 [ 3 ] O′ Raifeartaigh L , Straumann N. Rev Mod. Phys , 2000, . . [ 4 ] O′ Raifeartaigh L. AAPPS Bullein, 1996, 6 ( 2 ) [ 5 ] Jackson J D , Okun L. Rev Mod. Phys , 2001, 73: 663 . . [ 6 ] W u A C T (吴期泰 ) , Yang C N. Evolution of the Concep t of the Vector Potential in the Descrip tion of Fundamental inter2 actions , ( to be published in Rev Mod. Phys) . [ 7 ] O′ Raifeartaigh L. The Dawning of Gauge Theory Princeton . 3 一组以国内大学教师和研究生为对象的 ,关于规范场基 [ 1 ]李华钟 . 物理 , 2001, 30: 668 [ 3 ]李华钟 . 物理 , 2004, 33: 861 [ 4 ]李华钟 . 物理 , 2003, 32: 192 [ 2 ]L i H Z Modern Phys Lett A , 2002, 17: 1995 . . . [ 5 ]李华钟 . 杨振宁学术成就 - - 三大贡献之外 . 庆祝杨振 [ 6 ]李华钟 . 物理学进展 , 2004, 24: 458 [ 7 ]李华钟 . 物理 , 2006, 35: 340 tors In: Proc. . tific Pub. , to be published [ 8 ]L i H Z Gauge transfor . mation and non2integrable phase fac2 International conference on non - perturbative University Press, 1997 本概念的文章 1 F νF ν μ μ 4 9 α( x ) , μ 宁教授八十华诞学术论坛学术报告 "三会文集 " , 全国高校 量子力学研讨会 , 2003. 17 methods in quantum field Dec. 2004, Guangzhou, World Scien2 ?7 4 9 ?
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