重整化就是将这些扣除放在一些系数中。
重整化群方程，就是用来保证在任何正规化扣除指标下的物理结果可以相互对应的过程
所 有 标 度 的 涨 落都 积 分 掉 为 止为 了描述 重 整 化 群 思 想 提 出一 些 重 要 问 题
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重 整 化 群 和 临 界 现 象美 国 康奈尔大 学 质 子 和 中子 在低 至 零 的 所 有 大 小 标 度 上 都 具至 少 这 是 最 子 场论 的预 言 , 一 , 引 言 有 复 合 内部 结 构 对 这 种 小 距 离结 构 进 行 观 察 非 常 困 难 然而 实 , 本 文分三 部分体 上是 来 源 于 作 者 渐 转到 后 综 述一 下 的 估计 . 第一 部分简 述 重整 化 群基 . 验 物 理 学 家 测 出的 粒 子 散 射 截 面 必 须 用 量 子 场 本 思 想 及 应 用于 临 界 现 象 的 展开 , 这 部分 大 , 论 来 加 以解 释 , 没 有 在 理 论 中 出现 的 内 部 结 比 如 观 察液 汽 相 , 年 的 一 篇 综述 文 章 第 构 量 子 场 论 的预 言 便 不 会 与 实 验 符 合 二 部 分 是 我 所 记 得 的 一 个历 史 性 记 叙 然后 逐 变 , 临界 点 是 相 变 的 特 例度 在临界点 一 一 年 论 述重 整化群的 文章 最 假如水 和蒸 汽在某种 压强 下总处 于 沸 腾温 年 以来的某 些 发展及 对 未 来 和 蒸 汽 之 间的 差 别 消 失 整 个 沸 腾 现 象 也 消 失 , — 个大气压和 ℃ — 水 水 和 蒸 汽 之 间 的主 要 不 同点 是 它 们具 有 不 同的 二 , 多 种 长 度标 度 及 重 整 化 群 , 密度 即复 , 当压 强 和温 度 趋 近 于 临 界 值 时 在 临界点 , , , 水 和蒸 汽之 间 的 密 度 差变 为 零 科 学 中 有一 些 问题 具 有 共 同的 特 征 汽 泡和水 滴在 宏观 , 可 见 和 低 至 原 子 尺寸 的所 有 大 小 标 远 离 临界 点 时 , 杂 的 微 观 行 为 支配 着宏 观效 应在 简 单 的 情 况 下 当考 虑 较 大 标 度 时 微 观 , 度 上 相互 混 杂得不 可 分辨零 , 表 面 张 力使 水 滴 和 汽泡 变 为不 稳 定 但 在 临界 点 水和 蒸汽 变 涨 落被 平 均 掉 平 均 值 满 足 经 典 连 续性 方 程 流 , 这 时 两相之 间 的 表 面 张 力 就 变 为 , 体 力 学 是 这 方 面 的 一 个典 型 例子 在这 个例 子 , 特 别 是 接 近 微 米 尺 寸 的 水 滴 和 汽泡 引起强 , 中程 , 原 子 涨 落 被平 均 掉 , , , 导致 经 典 流 体 力 学 方 烈的 光 散 射 水 和 蒸 汽 变 为 乳 白状 这 称 为 临 " 遗 憾 的是 存 在一 类 更困 难 的 问 题 涨 落 达因而 所有 中 间 长 度 的 标 度 都 变得 发 达 湍流 , 界乳 光在 " . 到 宏观 波 长 非常重要 效 应 中 金 属 导 带 中的 具 有 各 种 , 波 长 从 原 子 波 长 直 至 非常 大 尺 度 的 所 有 波 长 临界 的 电 子 都 跟 金 属 中 的 杂 质 磁 矩 相互 作 用 理 论 家 们 对 这 些 问题 感 到 棘 手 包 含 许 多互 相 祸 合 的 自 由度 , 属于后一 类型 的问 题有 现 象和 基本 粒子 物 理 . 非磁 金 属 中的 磁 性 杂质 整 个气体 环 流 变 这 , , 因为它们 当处 理 问题 也 属这一 类 , 在临 界 点 附 近 要 当大 气 中有 发 达 湍 流 时 用 许 多变数 来 描 写 湍流或 流体 的 状 态 , 成不 稳 定去 , 在几 千 英 里 的 尺 度 上 形 成 涡 旋 , 只 含一 个 变 数 的 函数 时 解析 方 法是 最 有 效的 些涡旋破裂 形 成 更小 的 涡 旋 再依次破 裂下 , 某 些 特 别 精 巧 的 变换 已 经 有 可 能 使 上面 提 到 的吕 年 这是 年 诺贝 月 日在 尔物 理 学 奖 授 奖 大 会 上 的 讲 演 , 发 表 在 一 译文删去 一 第四节 " 伙 年以 后的结 果 及 参 考文 献 有 兴趣 的 读 , , 呼 , 朽 郝 柏林 者 可 参 阅 原 文 及本 刊 · 直 到 低至几毫 米的所有 长度标 度的混 沌 运 在几 毫 米的尺度上 , 动 激 发起 来 为止 粘滞性 , 使 湍 流 涨 落 衰 减 因 而 一 直 到 原 子 尺 度 时 更小 的 标 度才 显 出 其 重 要 性 在量 子 场论 中物理 , , , " 基 本 "粒 子 如 电 子 光 子 , , 于 绿的文 章 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 问 题 中 的 某 些 特殊 情 形 用独 立 自由 度 写 出 来以致 可 以 解 析 地 求 解 , 们的 磁 矩 同向排 列 时 具有较低 的 能 量 , 而 磁矩 这 些 特 殊 例 子 包 括二 维 解 , 模型的和铭 问题的 模型 解 解 量 子 场论 中 及 无 相 互 作 用最 子 场论 的 简 单 解 然而 这 些 仅 , 仅 是 特殊 情 况 整 个 发 达湍 流 问 题 临 界现 象 的 许多 问 题 以及 实 际 上 所 有 强 祸 合 量 子场 至 今 仍 使解析技 术 遭 受挫折 计 算 机 扩 大 了理 论 家 的 能 力 数值 积 分方 法 超 过 一了 , 但 数值 计 算 正常的 磁 的 有序 排 列 图 中实 际 所 用 的 自由 度数 目也 是 有 限 的同样 , 不 同 向排 列 时能 量 较 高 在 高 温 下 热 涨 落妨碍 , 个积 分 变 数 便 失 效和 统 计平 均 , 当 温 度 降 低趋 向 居 里 温 度 时 在居里点 偏 微分 方 程 当超 过 三 个 左 右 独 立 变但是 , 一 个 磁 矩 的 取 向 引起 很 大 范 围 内 的 磁 矩 形 成 整 数 时 也 变得 特别 困 难 齐排 列 , 这 个 距 离 叫 关联 长 度 杏 , , 方 法 可 处 理 几 千 个 甚 至 百 万 个 变 数 情况因 而 不 断 地 引起 非 难 , 关联 长度 变 为 无 穷大一 种最佳 排 列如犷 一一 , , 标 志 着 整 个 系统 开 始 了了. , 这 些 方 法 相 对 所 用 计 算 时 间 来 说 收敛 得 太 慢 标 度的 大气 流需要 一 个 间 距 为毫米 的 格 子 格 点总数 达 " , 略高于 这里 , 关联 长 度 的 行 为 模 拟一 个 包 含所有 长 度 水 , 在三 维情 况下 大 约 为 平 方 向 长 达 几 千 英 里 垂直 方 向长 达 几 十英 里 " . 数量级 , 铁 磁 体 的 简 单 统 计 力学 用一 个哈 密 顿 最 来 这 远 远 地 超 出了任 何 描 写 它包 含 对 最 近 邻 磁 矩 的 取 和 每 对 磁 矩对 , , 现 有 和 未 来 的 计算 机 的 能 力 重 整 化 群 是 处 理 包 含多 种 长 度标 度 问 题 " 在 同向 和 反 向排 列 时 具 有 不 同 能 盆 , , 在 最 简情 , 形 下 磁 矩 沿 一 个 固定 空 间 轴 只 取 正值 和 负 值这就是 的 一 种方 法 它 一 步 一 步地 处 理 问 题对于 临 界 现 象 , 每种长 模型 , , 度 标 度作 为 一 步 技术 上 的 问 , 题 是 对 所 有 大 小 标 度 的 热涨 落 进 行 统 计 平 均 重 整 化 群 近 似 就 是 依次 积 分 掉 涨 落 , 为 确定该 模 型 的 性 质 形 式 上 的 手 续 是 计算配 分 函 数 代表对玻耳兹曼 因子既 一了 及 从 原 子标 , 的 取 和 遍 及所有 磁矩 位形 自由能 正 比 于一 , 这 度 的 涨 落 然 后 依 次 移 到 更 大 标 度 的涨 落 直 到 里 左是 玻 耳兹 曼常 数 的 负值 的 对数 , 所 有 标 度 的 涨 落都 积 分 掉 为 止为 了描述 重 整 化 群 思 想 提 出一 些 重 要 问 题 , 下 面 更详细 地 来 , 在 . 附近 实际上除一 外 玻 耳兹 解析时怎么 讨论 临 界 现 象 首 先描述 朗道 的平 均 场 理 论 并 重 整 化 群将 作 为 对 朗 道 理 曼 因子 , 友 是模型 的解析 函数在 , 函 数之 和 也 是 解 析 函 数 是 磁体 包括 因 而 令 人 迷 惑不 解 的 . 论的一 种改进 来 加以阐述铁 磁居 里 点 可 作 为 临 界点 的特 例 温度 以下发磁化 , , 在 居里 会 出 现 非解 析 性 呢 , 实际 上 真正 的 非 解 析 行 , 理 想 铁 磁体 在 无外 磁 场时 显 示 出 自 . 为 仅 仅 出 现 在 无 限大 铁 磁 体 的 热 力学 极 限 下 在 此极 限 下 有 无 穷 多 种 磁 矩 位 形 但 却 不 存 在 普 适 的 解 析 定理 来 处 理 此 时 出现 的 无 穷 和 自发 磁 化 强 度 的方 向与 磁 体 的 历 史 有 以上 , 关 在居里 温度 , 没 有 自发 磁 化 图 , 然 , 表 示 自发 磁 化 强 度 对 温 度 的典 型 关 系 略 低 一 丫 于 居 里 温 度 时 磁 化 强 度的 行 为 如这 里 夕是 一 个 指 数 在 三 维 情 况 下 夕接 近 , 而 人 们 难 于 理 解 的是重 的 挑 战 摆 在人 们 面 前 即使 是 一 个 无 穷 和 又 怎 么 能 产 生 高 度 非 解 析 的 行 为呢 因此 一个 严 磁 性 在 原 子 层 次 中是 由具 有 磁 矩 的 未 配 对电 子 引起 的 在 铁 磁 体 中 一 对 相 邻 的 电 子 当它 , 样产生 的朗道 年提 出 — 究 竟 非解 析 性 是 怎 , 如果 只 考虑 具 有 给定卷 期 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 磁 化强 度密度 析的对小的 形式 到 的位形 , , 那 么 自 由能对 , 是解 长 度 夸 为此 令 , 幻 是 局 限在 函数 , 处的 值 根 据 解 析 性 假 定 自由能 的双 , 一 个 非 常 小 范 围的略 , 中的 含 项可忽 的 四 级项 可 写 为 ' , , 因而 造成 取 最 小 值 的 磁 化强 度满 足下 列 方程一 , , 这里 常数 是 磁体 的体 积 , 和 是 与温 度 有 关 的 无 关的 常数 项 不 , 劣 尺 , , 一 刀占 二 式 中 略 去 了一 个 与 的 偶 次幂 存 在 外 磁场 时 自 由能不 可 能 与 因而 式 中 仅 含 的 符号 有关 的解 为二 丑 一 真 实 的 自 由能 在在 朗 道理 论 , 在 , , 卜 , 的 各 种 可 能 值 中取 使 最小的值 处 处 为 负值 , , 因而关 联 长度 可 写 作杏 , 中 , 在临 界 温 度 上 为 零 必 为正值 如果 以 便使 为正 , 了万一了 . 一 的 最 小 值 出现 在 的 最小值仍然在 这 预 示 着 在 丁 附 近 荟具 有 如 , 的 这 相 当于 临 界 温 行 为 这 个 结果 再 次 跟 实 验 和 理 论 值 不 符 朗道 理 论 隐 含 着 下 列 假 定 涨 落均 已平 均 掉 , 度 以上 情 形现在非零 如果 处 即 , ' 则 的 最小值 出 由于 所 有 空 间只 是 当对 , 值满足下 列方程 因而 解 析 性 成 立 .一 刀 一竺二 一 一 ' , 平 均 磁 化强 度析性 导致 对 的 各 种值 做 平 均 时软 , 才 失去 解 , 这 里 谈 的是 对 求平均 这种平均 因而 必 定 得 , , 或一 必 定取 最 小值 的法 则 , 了一 天 到非 解析 的公式 积 是 有 限的 则 , 准 确 地 说 如 果 磁 体的 体 .一 刀 这 相 当 低于 临 界 温 度 的 情 形 根 据 自由 能 对 道 提 出 了对 析 函数 应 为解析 的这一 要 求 和 , 杆 必 须对 积分 从而 产 , , 朗 是一 生解析结果 仅仅在 .一 的 热 力学 极 限下 对于 的 解析 性假 定 , 是 的解 秒 的平均才 用 最 小化来获得 从而 . 在 了 附 近 在一 级 近 似 下 要 求 , 出现 方 程 机 的非解析性 仅 仅 原 子标 度 的 涨 落 才 重 要 , 一个常数 而假定 在 , 在 及了 . 时 为零 则 正 比 于了. 朗道 理 论 具 有 同流 体 力学 一 样 的 物 理 动 朗道 假 定 , 在 处 不 为零 , 因而 以下 磁 化 强 度 的 行 为 如了. 一 了 一 旦这 些涨 落被平均掉续 函数 幻 就 变 为一 个 连因此 气 它 仅 仅 在 对 来 自外 界 的 与 空 间 有 关 的 幻 当 这 相 当于 指 数 夕 论值 切 约为 , 这个结果跟实验和理 刺 激 发生 响 应 时 才 出现 涨 落它 为 常数 时 写 作 定 , 不符 在 此 情 况 下 自 由能 取 朗道 , 由一 个 简 单的 经 典 方 程 决 , 朗道 的 理 论 对 磁 化 强 度 是 空 间缓 变 函 数 的 在 临 界点 附 近 的解 关 联 函 数 本 身 是 经典 方 程 , 情 况 也 是 成立 的金 茨堡 形 式一 ,· 在一 个 大 于 四 维 的 世 界 中二, ' 朗 道 图象 是 正 , · 〕 ' · , , 确的 度 — 直 至 达 到关 联 长 度 的 涨 落都 很 重 要 , 四 维 是一 条 分 界线 低于 它 所 有标 , 因而 二 一 , 朗 道理 论 失 效 以下 将 证 实 这 一 点 的任意 , 金 茨堡早 , 这里 首项 , 幻 是外磁场 对 缓 变场 , 梯度 项是 一 个 展 开 式 的幻 , 期 给 出的 一 个 判 据 也预 言 四 维 是 分 界 线在 四 维 附 近 长 波涨 落 的 作 用 很 容 易理 解 它 们的 影 响 极 小 我 们 在此 只讨论这 种 情况 , 该 展 开 式 包 含 任 意 多个梯 度 和 正 常 情况 下 , 高 次幂可 以忽 略 梯 度 的 高 次幂 很 小 幻 项 有一 个 这种 . 我 们 将 只 考 虑 比 原 子标 度 长 的 波 长 的 影 响 并 常 系数 本 文 中该 系 数 已 任 意 地取 作广 义 自 由 能 的 一 个 用途 是 计 算 高 于物理 假 定 只 需 对 朗 道理 论做 适 当的 修正 讨 论 可 参看和 的文 章 更仔细 的 的 关联 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net , 一 旦原子标度的涨 落被平 均 掉 然 而 长波 涨 落仍 然 出现 在 , , , 磁化强度 , 凡 和程 和 . 代 人 自发 磁 化强 度 和 关 联 长 度 的 方 中 由于 在 , 幻 就 像 在 朗 道 理 论 中那 样 变 为一 个 连 续 函 点 . , 夸本 身 对 . 是 数公式 幻 中 它们 幻 的的涨 落 已 , 非 解析 的 因 而 在临 界点 , 和 对 夸的 依 并 未 被平 均掉 因 而必 须 小 心 地 来 写 为 明确起 来 假 定波 长 , 赖 性 引起 新 的复杂关 系 点为 了讨 论 涨 落 的 影 响 , 稍后 将 详 细 讨 论 这 我 们 只 来 考 虑一 个 经 平均 掉 , 这里 是 一 个略 大 于 原 子 线 度的 长二乙 度模 因而 幻 只 能 含波 长 的傅里 叶 单 一 的波 长标 度骤 为 明确 起 见 到 , , 这 是 重 整 化 群方 法的 基 本 步仅 考 虑 波 长 处 于 无 穷 小 间隔 为了 对 这 些 涨 落 .一 按 此 要求 可 写 成二 ' 劣 , , , 乙 之 间的涨 落 进行平 均 我们从玻耳兹 曼 因子 几 出发 〔 这 , 这里对 , 的积 分 符 号 是 指 二 ,一一, , , ' 是空 里 中 乙到 , 沙 之 间的 波 长 仍 然 出现 在幻 内波 长 为 到十占 幻 的 间 维 数 积 分 只 限于 所 有 , 的值 , 然后 对 , 现 在 对 长波 涨 落 的 平 均 归 结 为 对 变 数 的 积分 对所有一笼 涨 落进 行 平 均 . , 涨 落平均 的 结 果产生 自 由 能 的 , 有大量 度二 它 仅仅 是 波 长 大 于 , 的 磁 化强 , 和乙 这 样 的 变 数 通 常要 进 行许多祸合 积 分 这 是一 试幻 的 函 数 中的 武幻 的 傅 里 叶 分 量 和 , 项 没 有 希望 完 成 的 任 务化 以 便 能 够实 现 这 些 积 分 , 下 面将 做大 量 的 简 这 个 被积 函 的 , 相 同 但现 在处于 , 口 这 些 积分 需 要一 个 被 积 函 数 下 一 步是 计 算 之 间的 积 分 变 数 考 虑 体积 为 数 是 对 所 有原 子 位 形 的 玻 耳 兹 曼 因 子 的 约 束和 固定 的数 目 为此 必 须 约 束 条 件 是 所有 , 一 , 保持 这 是 朗道 理 论 中 约 束 和 的一 种 推 广 , 差 长处于 , 和 的 一 个 有 限 体 系 在 此 系统 中波 占乙 之 间的 自 由 度 数 式 , 别 在 于 朗道 理 论 中 仅 仅 平 均 磁 化 强 度 保 持 固 定 类似 于 朗道 理 论 约 束 和 的 结 果 可 写 成 , 目由 相 应 的 相 体 积 给 出 空 间体 积 之 积 给 出 " 即用 空 间体积 与 实 除 去 常 数 因子 这 个乘 积 .一" , 这 里为方便起见 把 , .一 刀 杆 改写为 , .一 尸 将 等 为 一 ' 占 , 搜 吸收 到 中去 指数 幻 依 赖于 方 程然而 长 , , 为方便 起 见 不 选 本 身而 选 它 们 的 线 这 些 线 性 组 合 相 当于 定 中的 磁 化 强 度 函数 对 仍 成立 即 , 我 们 假 定 朗道分 析 和 性 组 合作 为 积 分变数 域 的 波 包 而 不 是平 面 波一 , 仍 由方 程 约 决 定 , 也就是 说 差 , . 试劝之间 波 涨 落 的 重 要 性 意 味 着参 数 因 此 在 没 有外 场 的 情况 下 依赖于 , · 幻 应按 波包 函 数 沙 幻 的 集 合 来 进 行 应表 示 为 展开 每 个 函 数 仅 含的动量 , 到 一变 仍为 , ' 甘 · 〔二 〕 · 但在 . 空 间则尽 可 能 定 域化 , 由于 每 个 函 数 中 约 按侧 不 准 原 理 必 须 填 满 相 空 间二 , 单位 体 积 因 而 每 个 价 幻 的 实 空 间 体 积 为 , 在 这 里 的 简 化 分析 中和 对 对 , 幻 的 系 数没 有 改因而 便 有出 , 占 一 乙 , 乙 , , 这 些 假 定 将 在后 面 加 以 评 述 个波 函数 价 幻 我们可 写 的 依赖 关 系 将 在 以 后 确的 依赖 性 只 保 持 到 关 联 长 , 定 然而 , 解 析性 在临界点 的破 坏 是 它 们依赖夸的 涨 落 可 一 . 的 直 接 结果 , 艺 . 价 . , , , 度 夸以 内 因 为 以 后会 看 到 波 长 以忽略 , 因 此 待进 行 的 积 分 是 遍 及 系数一 .. 上的 积 分 , 夸的所 有 波 长 的 涨 落 一 经 被 积 分 由于 朗 道 金 茨 堡 自 由能 的 局 域 性 我 们 将 掉 便 可 使 用 朗 道理 论 粗 略 地 说 这 意 味 着将 , 假定 不 同波 函 数 人 幻 之 间的 重 盈 可 以忽卷 期 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 略二 因而 对 每个 可写为二 , , 的 积 分可 以 分 别 处 理 这 , , 里 仅 讨 论 一 个 这 样的 积 分二 对 这 种 单个 积 分二价 , , , 百 飞 十 户与占 ' 「 式" , 十 " 似孙 无 关的项占乙 乙一 一 , 乳乙 , 因 为这 时 在 个取和 中只有一项在波 函数可将占 , 一 乙' 是 补 一吞 尺 乙 么 , ' 价 约 占 据 的 空 间 体 积 内 给 出贡 献 写成在体 积乙 上 的 积 分 因 而得 到乙, 一 我 们 要 做 的 其它 简 化 是 体 积 内将 在 价 幻 占据 的 , 下列方程一乙 试 幻 看作 常数 换 言 之 在的波长更加重要 幻 中非 常 长 的 波 长 比起 接 近 待 进 行 的 计 算是尸十一 尺 ,一 , 一 孟 卜' 占乙 , 一 几 . '" 「 , 一 二 , ' 一尸 〔 " "' , , ' 或 微 分方 程乙州 丝红 一 ' 卜 乙 这里进 行积 分 化 和 展开 只 在 沙 幻 占据 的 体 积 上 以十 .必 一 尺一' 乙 一 , 时 作下 列 简 , , 兰五 一 一这 些 方 程 只对 成立 毛 首 先 为求 , 而对 进 行 积 分时 假 定 所 , 有 中 幻 的 线性项 积分 为零 和 高级 项 也 都 忽 略 中 幻 的 三级项 , 当 夸时 对 , 假 定 沙 幻 是 归一 化 即 ' · 数 变换 主 要 是 由而只需对 而不 是 由可将 , 产生 的 因 , 有 " · 或 作很 少 一 点 改 变乙 如果 , , 一 ' · , , 了上 , 声 产 了 产 】 , , 斗 , , 那 么对 很 大 的乙 和 , 当作和 , 常 数 这 正 是 朗 道理 论 所 预 期 的由于 在 少 幻 中波 长 范 围有 限 因 而 得 到 , 如 果假 定 解不 和 是常数 对 大 , 很 易看 出对 , 二 〔 , · , ," ' ' 一" ' 二 '· 式的 积 分仅仅 给 出 是 常数 "乙 , 的 负幂一 这 些 简 化的 结 果 是 使 积 分 变 为 , 相反 对 足 够大 的二 的 行 为是一' , " '一 ' ' ·〔 " , 一乙 , ' 一' " 「 '" . 乳 容 易看 出它 是 方 程列 方程乙 的解二 而 乙 满足 下 , , , 或 . . 十 生 互 二业 一 上二 互 业 一 , 一 材 凡【尺 . 一 , 它的解为 . " 一 " 自 一 纽 二少 必 须 把 对 数 更新 写 成 在 必 约 占据的体 积 上 的 积分 来时 , 这 样 当把 其 它 , . , 积 分的 贡献 也考 虑 进 上 同 几 这里 ' 一 一 这 个 积分 便可 延 展 到 整个体 积 , , 与 , 的某 个初始值处 的一 有关实际上 , 对足 它正 样 对 数 也可 展 成 为 及 各 两项 当 的幕 级数 仅保 留 随 , 够大 的 参数比于一 可 忽略 因而 对 大 进一步再假 定 , 缓慢地 与 ' 对 温 度 应是 解 析 的 变化 等 于 关 联 长 度 夸时 值而 言 , , 相将 有一 等 前 面 已证 明 关联 长 度 之 间的 对 数 展成以便 得 到物理 所 以对 那些处于 原 子 大小 和比 , 乙 ' , 一' ,肉 乙, 小 对 固 定的 值 , 它 对 温 度是 解 析 的一一' , 然而对 夸 ,邝 幼 的 幂 保 留 到 第二 级弘项 便得到 的 方程 为考矛, 一 ' 夸咯一 · ' · 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 令一 " 但可 描 述 一 下 不 动点 的 中 心 思 想 " 一 , 每 当一 种 长 度 的 涨 落被 积 分 掉 以 后 以前 的 泛 函 , , 便从 则 关 联 长 度 指数是 , 中产 生 一 个 新 的 自 由 能 泛 函如果 一 这 个 过 程 多 次地 重 复 , 和 , 在 三 维情 况 下 得 到下 自发 磁 化 强 度具 有 类似 地 在 了. 以 , 用 无 量 纲 形 式 表示 出来 到 变大时 , , 便可 发 现 " 从 扩 . 功 户 的 形式 由此 的变换 是 以 相 同的 形式 多 次 重 复自 由能 得到声, 通二勺 " 的 因 而这 样产 生的 变 换 群 称 为 重 整 化 群 当 趋 近 于 变 换 的一 个 不 动 一 , 点 因而 变 得 与 系统 在 原 子 层 次 上的 细 节 无 关 , 这 些 计算 给 出 某 种 启 示 到 夕和明 夕和 " 看 出怎 样 才 能 得 , , 这 样 就 能 解 释 在 原 子 层 次 上不 同的 系统 的 临 界 行 为 的 普适 性等等 , 的 非 平 庸值不一 定是 , 由于 作 了 很 大 的 简 化 , 液 汽 相 变 磁 相变 合金 相变 一 , , 上 面 导 出 的公 式 是 不 严格 的 但是 至 少 它 们 表 , 在 实 验 上 都显 示 出相 同的 临 界 指 数 即 相 同的 , 理 " 而且实际上还 可 能 对 一旦 . 男 论 上 可 从 下 面 的 假 定去理 解 它 " 不 维数二二 有 复杂 的 依 赖 关 系一 个正 确 的 处 理 是 非 常 复 杂 的不 能 当 作常 数 , 动点 相 互 作 用 描 述 所 有 这 些 系统为 了 说 明 自 由能 泛 函的 不 动 点 形 式必须 , 我们 可想 像将 , , 将 其 写 成 无 量纲 形 式材 , 长度必须 用 , 作单位 在 某 个 值 附 近 展 开 为 泰勒 级数函 数 价 幻 的 中心 位置 九 , 这 个值 可 取 波二 . 及 乙 必 须 写 为 无 量 纲 形 式 这 些 变换 ' '一 , 因 而 出现 的 的 可写成 , , 梯 度 项 此外 对 数展 开 中 的 高 级项 给 出 高 次幕高幂 所有 这 些 导 致 自 由能泛 函 , 的一 个的更乙 . , , , 更 复 杂 的 形 式 它包 含 更 多梯 度项 和 , 实 际上 这 种展开 为 , 的 幂 及 梯 度幂 , 乙 一阴 一' " , , 的 想 法可 能 引 起 非 议 即 禁 大 小 〔 根 据方 程 ., 刁 , 这 是 因为 , 涨 落具 有 内 , 中被 积 函 数的 形 式 有我 们不 可 能显 由 于 任 何 波长 的 涨 落 一无 量 纲 参数 , " , ' , 一 ' , , ' 】 沪 了 , , 乙 〕 当 存 在 这 些涨 落 时 .' , , 少 , 而 易见 地 断 定 很小 和 " 的 渐近解 为乃 都很重要着〔 , 因 而 函数 的 变 化 并 不 足 够缓 慢的 一 个 任 意 复 杂的 泛 函 , 一 一 . 一 因 而 就 不 能证 明 按梯 度 展 开 是 正 确 的 这 意味 , 一 . ' 可 能是 " 一 个含有 几 千 个参 数的 难 于 写 出来 的 表 示 式而不是 仅 含 两 个参 数金茨堡形式 和 的 简单 朗 道 , 除了 无关 , , 中的 ' 项外 , 这 些 无 量 纲 参数 都 与无关 ' 这 表 明 自由能 形 式也 跟 , 项表 示不 动点 的不 稳 定性 , 即随 着 ' 增 大 对 不 动点 对 临界 点 的 以及 它 与 临界 及 所 幸的 是正比于 或 更高级 项 中 在 四 维 附 近 由于一 刃 , 是 个小 全 所有展 开的 二 级 的 偏离 也 增 大 仅 当热 力学 系统 处 于 临界 温 度 , 使 问 题 得 以简 化 时 才 能 达 到不 动 点 此时 为零 , 前 面 略 去 的 复 杂性 只 出 现 在 按 , 任 何 偏离都 是 导 致 不 稳 定性 对 重 整 化 群 的 进 一 步 分析 行 为的 普 通 想 法 的 关 系 请 参 看 年的 文 章 也 就是 出 现 在 的二 级项 或 高 级 级项 中 方 面 内容 因而 这 里 描 述 的 计 算 只 精 确 到 , 年建 立的 重整化群方 法 包 括 下 列 两即 用 来 进 行 实 际 计 算 的 实 用近 似 和 , 形 式 表 述 在 此 不 可 能 来 讨论 完 整 的 形 式 表述 卷 , 期 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 发 表 了 一 篇 题 为 《在 小 距 离 内的 量 子 电 动 三 , 年 以 前 的一 些 历 史 回 顾 , 的 力 学 》 文章 这 是 , 年 , 关于 临 界对 我启 发最 , 现 象 的 标 度 假 说 的 形式 出现 以 前 第一 个 描 述 临界 点的 是在一个多世 纪 以前 继 , 他 大的一篇文章 的 实 验之后提 按照 , , 年 由狄 喇 克 .. , 费米 海 森 伯 泡 , 出了 液 汽 临界 点 的 描 述 此 后 在 提 出 了磁 体 居里 点 的 描 述 甚至还在 而不是 , 一 年和 利 约旦 维 格 纳 等 人 给 出的 量 子 电 动 力 学 的 定义 , 量 子 电动 力 学 是 用 , 的 微扰 级数 展 开 来 " 的 理 论 均 是 朗 道 平 均 场 理 论 的 特 殊 情况 . 年 以前 , 求解的 . . 是 量 子 电 动 力学 的 裸 电 荷 " 或哈 密 顿 " 量子 实验 结果就 已经 显示 出 , 电动力学 的拉 氏量 包 含 两 个 参数 正如 引言 与 平 均 场 理论不 一 致 特 别 是 实 验 指 出 召接 近 年 , 和 .. , 后 者是 电子 的 裸 质 量 " , 发 表 了二 维 得到 , 中 所提 到 的 电荷 . 量 子 电 动 力学 中物 理 电 子 和 光 子 模 型 的 著 名 解 它 明显 地违 背平 均 场 理 论 的 预言例如 具 有 复 合结 构 . 由于 这 种 结 构 并不 等 于 , , 使 得测 量 到 的 .. , 而平均 , 和质量 和 , .. 和 , 却可用 , , 场理论预 言 , 五十年代 , , 幂 的 微 扰 展 开 来 给 出 只 是 在 最 低 级 才 发现 .. 及 其 他 人 使 用 高温 级 数 展 开方 法 研 究 了 . 嘶 . 遗 憾 的 是 在 三 十年 代 人 的级 数 的 高阶 修 正 都是 无 限 , 临 界 现 象 的 简单 三 维模 型级 , 他们 作 到 非 常 高 的他 们得 到 , 们 发现 , 对 和 用 各 种 外推 方 法 导 出临 界 指 数 大 这 是 因为 积 分 是 对 动 量 进 行 在 大 动 量 极 限 或 小 距 离 情 况 下 积 分 发散四 十 年 代 后 期 提 出了重 整 化 理 论 , 的 临 界 指数 与 平 均 场 理 论 不 符 都 合理 地 一 致 但 与 实验 结果 整 个 六 十 年 代 主 要 的 实 验工 作 , 该理论只 要将 .. 都 集 中在 临 界 指 数 方 面 实 验 物 理 学 家们 如 , 以及 更一般地为平均 , 证明 量 子 电 动 力学 的 发 散 都 可 消 去 , , 场 理 论 以 外 的理 论 研 究 提 供 坚 实 的 实 验 基 础 , 参数 作些 改 变 把 拉 氏 量 中 的 参数 .. 和 改 变为可测 的量 和 和 ., 同 时 将 出现 在 拉 氏量 中 , 和 , 和 和 和 的 电 子 和 电磁 场 重 新 标 度 以保证 可观 测 的矩 , 助和 和 阵 元 特 别是 由磁 场 是 有 限 的 量 子 电 动 力学 中有 多 种重 新 参 数 化 的 方 案 它们 都 能 消去 发 散 但 都 使 用 不 同于 , , . 和 . 等 人 都 对 此 作 出 了贡 献 , , , 卜 的量去代 替 发现 , , , . 和 . . 和 " 和 , 也做 了有 力的配合 于 , 可 以 定 义 一 些 联 系不 同的 重 新 参数 化 方加 " 理 论上 记 . , 年 提 出了临 界点附 近 整套标 度 , 案 的 变 换群 他 们 称 这 些 群 为 " , 状 态 方程 的 标 度 律 均 场 指数 假说是 由 , ' , , 这 个 标 度 律 容 纳 各 种 非平 现在译作一 " 重整 化 群 , 一年 后 并 预 言 它 们 之 间的 关 系 , 年 , 和 独立地 发 表澄 清 了选 择 重 新 参 , , 一篇非 常 深刻 的 研 究 文章 和和 发 展 起 来的 , 这 数 化 方 案 时 的 某 些 含糊 不 清 之 点 化群 的 性质 , 一 同时 研 究 了 , 里 也 应 参看 的 不 等式 将 各 种 不 同 的 重 新 参 数 化 方 案 联 系起 来 的 重 整 和 . , 我本人 的工 作始 于量 子 场论 而不 是 统计 , 强 调指 出 在 经典 实 力学 , , , 验 中测 量 它 的 是 量 子 电动 力学 在 非常 长距 离 和 其他 人 在 年 后 提 出的 重 整 化 理 论 第一 次讨 论和一 比 如 它 可 以 用相距 几 厘 米 的 小 球 来一 ', 可 作 为一 个 适 当的 出发 点 化群 , , " 重整 测量 明 , 而 量 子 电 动 力学 的 自然尺 度 是 电子 的 康厘米 . , 一 见于 艰 . 发 表于 和 普 顿波长 和 证 年的文章物理 年 可 引 人 另 外一 族 参数 其 中的 任 何一 个 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 均可代替 . 去取代 .. 参数 . 与 任意动量标 而不与 . 我 一 个 研 究题 目 他 首 先 建 议 我 做 强 相互 作 用 的 弱 相互 作 用 问 题 , 度 关 几 的 量 子 电动 力 学 行 为 有关 , 适用 粒子之后 , 介子等 几个月 时 的 非常 小 的 动 量 标 度 的 量 子 电 动 力 学 行 为 有 我对 试 图 回避 强 相 互 作 用 的 根 本 不 了解 因 此 再 次请 求 他 给 我一 个 直 , 的性 质 感 到 厌 烦 将 是 . 一 . 和几 引人 的 参 数 族 .. , . 插 , 接 处理 强 相 互 作 用 的 问 题 关键一 因为 这 才 是 问 题 的 由于 我对 人 到 物理 电 荷 的 大动量极 限一 和 裸 电荷又 中间 也就是说 , 建 议 我 用 单介 子 近 似 下 的 的小动量极限 , 而 . 是 方程 去 解当时 解 介子 , 发现 好 遵 守 下 列 微又, 方程 — 法很 不 满 意 所 以便 用 各 的方 , 核子 散 射问 题 , 一 和 种 方 法 去 求 解一 个更 简 单 的 , , 核子 散 射问 题 " 分方 程又, 不 顾 单介子近似即使正确也 只 能 用 于 低 能 情 里 价 . , 二 , 几, , , 况 我着 手 研 究 高能 极 限 并发 现 可 以求 出 打 这 里 价 是 一 个 简单 幂 级数 展 开 式 散的与几 无 关的 系数 . 它具 有不 发又 头对数 化群 " 的和 这 使 我 回忆 起 玻 戈 留博夫和希 , 实际 上和 , , 当 , 时 , 尔 科 夫 的场 论 教 科 书 中最 奥 妙 的 一 章 即重 整 , 必变 为 仅 仅 是 的 函数 这 个 方程 成 了 我 的 式 的 先驱 , 重 整 化 群 方程 如一 年 我 向加 州 理工 学 院 提 出论 文 其 中包含 一堆希 奇的计算 的一 个 初级 研 究 人 员 那 时我 已 经是哈 佛 大学 和 , 的主 要 发现 是 除 了微 的解是 非寻常 , . 分 方 程 的通 常 性 质 外 方程 的 实际上 它 预 言 当 , 年 我 去欧 洲 原 子 在 一 , 按 , 的幂 或 反之 展 更一 般地 说 如 , 核中心间 , 工作 年期 开 的 时 候 物 理 电荷 . 会 发散 我 多 少 追随 了 一 下 潮流 " 那 时 固定 源 的 介 " 果 . 按 , . , 的 幂 展 开 则 高 级 系数 包 含 , 护 子理论 方 程 的 基 础 凋 落 了 而 代之 以 我又 重 新想起 长条近似首先提 出 , 厂今 的幂 如 果 浇 或 万 趋 于 无 穷 大 这 些 系 数 便 矩 阵理 论一 年在讲 习 会 发散 如果 护 万〕 非 常 大 或 非常 小 和 断定 , , , 这 些 系数 并研究 , 便 变 得 非常 大 一 的 多重 产 生 理论 , 再者 值的 当我 的时候 , , 一 作为方程无 关的 固定 上 我 全 神 贯 注 地 听 讲 演 在 我一 生 中 只 有 这 个 时 期 我 愿意 保持 清醒 的 头 脑 去听 讲 而进 , 的结果 , , .. 必定具有一个与 同时 逆 流 这 个 固定 值 可 能 是 有 限 的 , 也可能是无限 回 溯 诸 如 固 定 源 介 子 理 论 的 强 藕合 近 似 那样 一 些 问 题 年 进 人 加 州理 工 学 院 研 究 生 院 , 大约在 量子场论 能写出 年 , 下 列 情况 变 得 非 常 明 显 最 有 前 途 的 学 生 都 是 到 基 本 粒 子理 论 那时 , 一 我 想 追 求 的 目标 只 不 过 是 适 用于 强 相 互 作 用的 领域去 做 研 究 工 作 和 , 我拒绝了 矩阵 理论 , , 因 为纵 使 我 , , 都正 在这 一 领 域 忙 碌 矩 阵 理 论 的 方 程 它毕 竟 还 是 太 复 杂与 此 相反 着 我 则 反 其 道而 行 之 花 了一 个夏 夭 在通 用进行 , 作 为一 个 理 论 未 免太 不 漂 亮 在 , 固定 原 子 公 司工 作 进 行 讨论 工作 , 那时我为 源 介 子理 论 的 强 藕 合 近 似 和 弱 祸 合 近 似 的 存 等离 子 体 物 理 方 面 的 研 究 并 和那 个 夏天 他 也 在 通 用 原 子 公 司 , 使 我 相信 量 子 场 论 可 能 有 意 义 , , 谈到强相 , 互 作 用 我 只 能 说 人们 能 够 写 出的 那 些理论 例 如 层 标 量 介 子 理 论 显 然都 是错 误 的 , 大 约 过 了一 个 月 以 后 我 便 奉 命 写 出得 , 没有人 , 到 的 结 果 于 是 我 便 立志 要 选 择 一 个研 究 题 目 至少先花 西 有 过 可 能 是正 确 的 理 论 想 法题 有 过 朦胧 的 见 解 我 敢说 甚 至也 年 时 间 去 得 到 一 些 值 得 写 出来 的 东 没 有 人 对 如 何 解 决 强 藕 合 领 域 内的 这 些 理 论 问 看 来 似乎 基 本 粒子 理 论 才 能 提 供达 到这一 要求 的最 好 前 景 于是 , 我 请求 一 给 我 在 量 子 场 论 领 域 中工 作 的 强 烈 愿 望 似乎卷 期 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 并 未促使 我 很 快 发 表 文 章 但 我 发 现 即 使 我 没 , , 种 新 的微 扰 法 既 非 弱 稠 合 也 非 强 祸 合微 扰 我 曾证 明 , 有发表任何东西 " , 也 还 能 找 到工 作 " 因而 我 并 这 种微 扰 法 的 结果 是 选好 第 , 倘从 . 不担心 发表 文章否 则灭 亡 的问 题在 量子 场论 中只有很 少 一 点 问 题 我 能 去 动 量 片 段 出发的 基态 , , . 片段 的 未 扰 动哈 密 顿 个 片 段 得 到 一 个有 " 便 能 为其 余 一 做 很少 的 人 在 这 个领 域 工 作 很 少 问 题 有 待 研 , , 效哈密顿 这 个 新 哈 密 顿 等 同于 仅 留下 , 一 究 , 在 一 年 期 间 我 不 得 不 抓住 一 些 , 个片 段 的 原 来 的 哈 密顿常数 包含 第 , 此 外 介 子 核 子 祸合 , 一 价 值不 大 的 东 西 我 思 考 过 李 杨 的 , 极限 过程 我 花 了大 量 精 力 去 反 驳 他 认 为可 以 对 任 意 小 的 .. 一 " 也 要 作 重 整 化 即进 行 修 正 修 正 因子我 即从 的主 张的结果背 道而 驰 , , 片 段 哈 密顿 的 基 态 的 非 平庸矩 阵 元 去定义量子 电 动 力 这 个工 作对 我来 说 是一 次 真 正 的 突破 学 这跟 , 一 和 第 一 次 找 到 了重 整 化 群 分 析 的 自 然 基础问题 中解 出和 消 去 一 个 动 量 标 度 我 听过 化 场论 的结果获 得某些启 发 , 和 其他作者描 述他 们 的 公 理 当 然 还 有许 "年 我 不 完 全 理 解他 们 但却从 中 多问 题 有 待 研 究的问题 了 , 但 我不 再 是抓 住 一 些 无 价 值 曾阐 明 , 我 觉 得 应 该 用 位 置 空 间而 不 是 我 把 以前 做 过 的 大 动 量 的想法 转到 , 我的重整化思想现在很 像 动 量 空 间 来 思考 问 题 对 量 子 电动 力学 的 分 析 在对 量 子 电 动 力 学 实 现 重 整 化 的 时 候 , 费 曼图 的工 作 为 了 反 驳 应该 在我仔细 位置空间展开在 , 并 对 量 子场 算 符 的 乘 积 进 行 短 距 离 年 的 一 个 预 印本 中 我 描 述 了一我 将 这 篇 文 章送 去 发 表 , 解决 低能 量 之 前 先 解决 和 消除 高 能 量 地 研 究过的工 作 , 的 文 章 但 未能更 多 地 利 用 他 , 组 这 种 展 开 的规 则 , 审 稿人 指 出这 种展开 , 吧 模 型 的 解可 能 有 助 于 解 释遗憾的是 当我 检 验 完 模 在这 个 发 展 过 程 中 我 曾 以 尹 相 互 作 用 标 量场 为 例 苦 心 思考 究竟什 么是场论 " 这 个 问 , " 型 后 发现 虽则 距离展开 , 模 型 确 实 存 在一 个 短我将 预印本 题 型 学 , 护 标 量 场 等 同于 临 界 点 的 朗道 金 茨 堡 模整个 六 十年 代 中 , 一 但 我 得 到 的 关于 系数 函数 如 何 变 化 我 经 常地 教 授 量 子 力 , 的 法 则 在 强 藕合 范 围 内 都 是 错 的 , 我 深 深 地 被 人 们 理 解 简单 量 子 力 学 系 统 的 第 一 步是 定 性 分析 用测 不 准 原 由 哈 密 顿 所定 义 最 小 化 第 二 步是 , 抛 在一 边 期 待 着 重 新 解决 这 一 问 题 当我 是 研 究 生 的时 侯 子理论 , 能 力所 感 动 理使能量 我将 对 某 , , 我 曾学 过 固 定 源 介 后 来 还 继 续 思 考这 个 问 题 , 用 由第一 步 得 到 的 定 性 信 息 所 构 造 出的波 函 数 些 大 动 量 费曼 图 的 分 析 应 用 到 固定 源 模 型 上 我 认 识 到 如 果对 固 定 源 模 型 本 身作某 些 简 化 作 变分计 算 最 后一 步 是 用 计 算 机 作 数值 计 算以便 达 到 高精确度 我 感 到 人 们 应 当 能 以 同样 我 得 到 的结 果 会 变 得 更 为 清 楚了 留下 分 隔 开 的 动 量 片 段 , 这些简化就是 , 方 式 去 理 解场 论我 发 觉必 须 想 想 形 成 场 论 的 自 由 度 问 题 求 解 尹 理 论 的 麻烦 在于 哈密顿 包 含 , 用 动量 片 段 代 替 连 续 的 动 量 空 间 也 就 是 说 除 如 , , 镇 到 , 价 今 毛 及 镇 《 等 , 人 , 友 成 , … , , " 毛 及 中的 动 能 项 仅 当 用 场 的 傅 里 叶 分 量 热 表 示 时 才 能对 角 化 反 之 , 是 个大 数 其 余 的 动量 都 抹 掉它 与 以前 , , 扩 项 则 仅 当用 币 幻 场 本 我找 到一 个 折 中的表 , 这 个 模 型 可 以用 微扰 论 来解 决 在 场 论 中使 用 的 方 法 很 不 相 同 , 身 表示 时 才 是 对 角 化 的 每个片段的 能 象 , 使 得 动 能 项 和 互 作 用项 二 者 能 同时 粗 略 地 我 需 要 借 助 波 函 数 来展 开 场 价 幻 这 量 标度 非常不 同 对 第 几 个 片 段 是 因 此处 理 问 题 的 自然 步 骤 是 数量级 对 角化 把 最大 动量片 段 , 些 波 函 数 在 位 置 空 间和 动 量 空 间 都应 当 有 最 小 的哈 密 顿 作为未 扰 动 的 哈 密 顿低 片 段 相应 的 项 当 作 微 扰 而 把 所 有与 更 , , 延 展范 围小体积 换 言之 , 波 函 数 在 相空 间应 占据 最 , 在每一 片 段 哈 密 测 不 准 原 理 定 出该 体 积 的 下 限 这个 顿 都 包 含 自由介 子 能 量项 和 互 作 用 项物理 所 以这 下 限 用 适 当的 单 位 表示 为 这 使 我 想 到分 成 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 单 位体 积 块 的 相 空 间 动量 分成片段标 志 着 动 , 去找 一 和一 . , 问 他 们 当时 正 在 最 空 间 应 当 用 对 数 标 度来 区 分 层 等 , 即 每个 动 量 空 做 什 么课 题 , , 写 出三 维 " 模型的 间 体 积 应 当对 应 一 个 前 面 定 义 的 片 段 那 样 的 壳 只 是 不 能 抛 弃 任 何动 量 区 域 , 配 分 函 数 并 说 如 果我 能解决 它 那 将 是 非 常 好 因 此 这 种壳 的型解的 , 的 回 答则 是 技术记 . 没 做什 么 " 后来模 层必须是 例如 , 引 , , , 引 , 给 我 讲 解 某 些 可 以求 得 二 维 西 但 就 在 那 时 候 心 中许 下 了诺 言 在去 由于 平 移 不 变 性 对 一 个 给 定 的动 量 壳 层 , 当时 我 不 懂他 讲 的 东 位 置 空 间块 都 应 有 同 样 大 小简单的 块晶格 块 应 有 不 同的 大 小 因而 可 定 义 一 个 , 对 不 同的 动量 壳层 位置 空 间 , 前 当 , 在 康 奈 尔 大 学 的 讨 论 会上 讲 , 述 他 的状 态 标 度 方 程 的 时 候 我未 我被介绍给 , 当 我 试 图去 研 究 这 个 哈 密顿的 时 候能 走 得太 远 显然 , , 我对 实际上我读完 后 , 记. 的 公 式 缺乏 理 论 基 础 而 小 动最 项 对 大 动 量 项 而 言 , 感 到 吃 惊 那 时 我 一 点 也 不懂 临 界 现 象 的 背 景 的工 作 成 了一项 重 要 进 展 , 应 当 是 一 个 微扰 但 是微 扰 处 理 的 细 节 变得 非 以至 不 可 能 , 常复杂 同时 我 的 分析 过于 粗糙 和 , 的 文章之 确 定 高 度 相对 论 性 粒 子 的 物 理 在 场 论 的 哈 密顿 中 , 而 它本应 包 含 , 感 到 应 当 将 我 的 重 整 化群 思 想 应 用 到 临 界 现 象上 去 , 在 我 曾与 一 些 固 体 物 理 学 我得知已 经抢 然而 我从哈密顿的这种图象得知 为了理 家 讨论 过 这 个 间 题 解 它 的 意 义 必 须将 哈 密顿 在 某 个 大 的但 有 限 的 动 里 值 乏处 切 断 一 旦 作 了这 种 切 断 , , 在 前 面 我 应 当去看 看 他 的 预 印本的思想是 , , 我们 基 , 在临 界点 附 近 , 可以 本上 便 面 临一 个 格点理 论 这 种 格 子 粗 略地 对 考 虑 磁 矩 块 比 方说 每 块 包 含子 , 个原 这些 有效 磁 应 最 大 动 量 标 度 的 位 置 空 间块 更 精 确 地 说 定义 格 点理 论 的 合 理 步 骤 是 定 义 能 覆 盖 整 个 切 断 它 起 着 一 个 有效 磁 矩 的 作 用 矩 如 同系统 原 来 的 模 型 那 样 具 有 简单 的最 近 邻互作 用 , 了的 动 量 空 间的 相 空 间元 胞间 块 的 一 个 单一 集 合 , , 此 时 必 有位 置 空 唯 一 的 改 变 是 系 统具 有 有效 温 度 和 外 , 它们反 过 来又 决 定 一 个 磁 场 它 们 可 能与 原 来 的 温 度 和 外磁 场 不 同 更 位 置 空 间格 子 , , 场 币 便 定义 在 这 些 格 点 上 , 由 一 般地 说距 有效 磁 矩 可 能 出现 在 间 距 为原 子 间的想法是 , 此 我 看 到 为 了理 解 量 子 场 论 必 须 先 理 解 在 格 倍 的 晶格 中有关 的 温 度 和 场 变 数和汤 存在 与乙 点上 的 量 子 场论当我 思 考 并 试 图提 炼 出 什 么 是 场 论 的 想 法时 , 和 瓦 , 且 乙 , 和 , " " 机 是了 的解析函数 无关 , 但在 临 界 点等 人 的 标 度律 我 发 觉 要 求 一 个 正 确 表 述 的 场论 可 用 计 , 和 瓦 的值 与 基 于 这 一假 定 算 机 求解 将 是 十 分 有 益 的 程 可 在计 算 机 上 求 解 那样 正 如 一个常微 分方 加任 可 以 导 出 也 就 是说 , 用足 够 , 现 在 我 将 格点 场论 和 临界 现 象 的 思 想 结合 的 计 算 能 力 去 获 得 任 意 高 的 精确 度 用 , 显然 在 起来 我 学 习 了欧 几 里 德 虚 时 量 子场 论 和 统 , 六 十 年代 实 际 上 没 有这 样 的 计 算 能 力 可 供 利 计力 学 模 型 的 转 移 矩 阵 方法多 类 似之 处 我还学到 , , , 发 现 二 者存 在 很 所有 我 真 正 能 干 的 事 情 只是 在 有限 格 点 上年 夏天 我 在 , 为 了 使一 种 场 论 成 为 我将 , 做 些 自由场 的 简 单 练 习度过 了一段长时 间 相对 论 性 的 其 相 应 的 统 计 力学 理 论 必 须具 有 , 大 的 关 联 长度 即 必 须 靠 近临 界 点的 强 祸合近 似应 用 到 护 理 论 在那儿 , , 我 实 现 了 在 当研 究 生 时 所 许 下 的 发 现 他 忽略 了 强 藕 合展 一 个诺 言 即 搞通 二 维 , 模型的 , 解即研究 重整化效应 和 , 把 这 些考 虑进 去 以 后 我 当 时 阅 读 的 是 经 过 变 换的解 法 及 开 便 不 再象 他 说 的 那 么容 易 了的含 义 如 何 同时考虑 了 我思 考 过 把 给 出的 场 论 形 式 , 的 标 度理 论 用 到 量 子 场 论 模 型解 的 标卷 当我 进 入 研 究 生 院 时 我 曾按 父 亲 的 指 导 期 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 度 不 变性 以 及量 子场 论 中 , 和 , 对 至少在 一下的阐述 对 模 型 的 最 近 邻稠 合所 做 , 标度 不变性的 讨论 这些想法意味着 , 最 近 邻稠 合是 最重 要的 " 因为 它 是 我 " 短 距 离 内 标 度 不 变 性 是 适 用的 须 有 非 平 庸的 标 度 量 纲 非平庸指数 距离展 开理 论 , 但 是场 算 符 必 , 们 能 够确 定 的 最 定域 化 的 稠 合 然而 其它 的 藕 相 当于 临 界 现 象 中 的我 重 做 了短 合 也 出现 在 中区域 的 有 效 块 自旋 哈 密 顿 , 基于这些标度思想 对 这 些 藕 合 的 一 个合 理 的 切 断 步 骤 是 考 虑 , 并 发 表 了 所得 结果 , 我的 理论 , 一 个 有限 区 域 例如 , 考虑 含 或 妒 个 格 点的 似乎 与 有 关 短 距 离 行 为 的 主 要 实验 想 法 不 符对 此 我 只 觉得 有 些 含糊 不 清 但 并 不 太 担 心 我 回到 固定 源 理 论 和 动 量 片段 近 似 , 同时 只 考 虑 在 这 些 区 域 内的 多 自旋 祸 合 加 上这 些 祸合的平 移 和 旋 转 以 前 我 所 熟 悉 的 所 有重 整 化 群 变 换 都 只 含 并对 模 型 本 身作 了进 一 步 的 简 化 地 去 做微 扰 分 析隔因子 小 理 , 然 后我 更 加 小 心 , 有 固定 数 目的 祸 合常 数况 下正 好 是 电 荷 效 温 度 和 外场 功 换 . , 在 一 一 情 由于 实际 上 应当 是 动量片段的间 , 在 情况下是有 , 应 当为 而 不是 非常 大 因而相继 两 而不是非常 我 曾使 用 各 种 方 法 试 图 推 导 出 个 能量 标 度之 比这 就 使得 在 对 这 些 确 定 数 目的 藕 合常数 的 变 换 但未获成 下 应 有 包 含各 级微 扰 的 处 , 越 出这 种 限 制 , , 便 很 容 易确 定 重 整 化 群 变 的确 现 在 , 当我 们处 理 较 低 的 能量 标 度 , 一直处理到便产生 一个 , 困难 的 问 题在 于 如 何 找 出这 些 变 换 的近 似 比最 高 能 量 标 度 低 的 所 有 各 级 时 无限 复 杂的 有效 哈 密 顿 , 表 示 使得可 以在 实 践 中进 行 计 算已 经 有 了一 批 这 样 的重 整 化 群 变 换 它具 有 无 限 多 个 藕 合 然而我 发 常 数 每通 过 一 次 微 扰 处 理 消 去 一 个 能 量 标 度 便 产 生 一 个 新 的 无 限 复 杂 的哈 密 顿现 , 年秋天因为 , 邀 请我 去他 的 统 计 , 一 力 学 讨 论 班 讲讲 重 整 化 群 对 此 他 特 别 有 兴 趣和 . 对 足 够大 的 , , 可 以 从 数 学 上 严 格 控 制这 曾建 议 将 场 论记. 一 些 新 产 生 的 有效 哈 密顿 尽 管有 无 穷 多 个 藕 合 即 使 经 过 任 意 多次 迭 重 整 化 群 形 式 用于 临 界 现 象 但 在 , 的小 . 常数 代 , 我 还是得以证 明 组 内没 有 人 懂 得 . 和 , 的 , 高 级微 扰 也 只 对 有 效 哈 密顿 产 生 一点 小 的这 件 事 告诉 我 , , 文 章 在 论 述 不 动 点 之 类 的 一 般 思 想 的讲 课 中我 觉得应该提供 一个可计 算的例 子 例 子 并不 一 定 精确 和 可 靠 有限 度 的 影 响 一 个 目 的在 于 消 去 问题 中 , 尽管这个 , 我将分析相空 间元一 的某 个 能 量 标度 或 长 度 标 度 或 别 的 什 么 东 西 的重 整 化 群 变换 , 胞 的 思想 应 用 于临 界 点 的 朗道 金 茨 堡 模型 并 可 能 产 生 一 个具 有 任 意 多 藕 , , 力图将 其 简 化 为 一 个 可 计 算 的 方程确 度 不 作要 求 的 精髓 , 对 它的精 合常 数 的 有 效 相 互 作 用 同 时 并 不 导 致 灾 难 基 于 不动点 的 重 整 化 群 形 式 可 能 仍 然 是 正 确 的 而 且 可 以 进 一 步 期 望只 有 很 少 量 的 藕 合常数 对 但 却 力 图 保 持 相 空 间元 胞 图 象 , 结果得 到一个单变数函数的非缘 性积我 可 以 通 过 迭代 该 变 同时 我 也 可 以 由递 推 分 变 换 形 式 的 递推 公 式换 在 计算 机 上 对 其 求 解 变换 的 定性 行 为 起着重 要 作 用对 定 量 计算 起作 用 , 而其余 的则只 , 换言之 , , 藕 合 常 数可 根 据在我 的 公 式 去 计 算 出指 数 的 数 值 我 可 以证 明 , 至少 而且 其 重 要 性 排 出一 个 次 序 对 某 个 给 定 的 精 确 度只 需 要 考 虑 藕 合 常数 的 一 个 有限 子 集 合 的 模 型 中 重 要性 的 次 序 是 按 展 开 式 中 , 部分 的 证 明 递 推 公 式 具 有 一 个不 动 点 等 人 提 出的 临 界 现 象 的 标 度 理 论 也 可 由 不 动 点的 公 式导 出 几 个 月后 识到 , , 年 两 篇 有 关重 整 化 群 幂 次 来 决定 的 , 然而 , 我 认 识 到在 格 点 相 互 作型 模型 中 定 域 性 , , 的 文 章 便 是 讲 述 这 一工 作 的当我 把 从 递 推 公 式 中 得 到 的 某 看 的 时 侯 我们 共 同认 , 用的 框 架 内 特 别是 在 在 任 何 有限 格 子 体 积 中 可 以为 祸 合 常 数 重 要 性 提 供 一 个 自然 顺 序 仅 仅 存在 有 限 个 可 以 — 些 数值 结果拿 给 我 正 在 研 究 的 非 平 庸 不 动 点 在 四 维情 况 , 确定 的物理 自旋 相互 作 用 我 认 为 应 当重 申 下将 变 为 平 庸 的 因 而 在 四 维 附 近 应 更 容 易进 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 行研究 , 维数 , 作 为 一 个 参数 直接 出现 在 递推和我 当时 几 数 本 身 都 要 自洽 地 确 定复 杂性 , 由于 靴 带 方程 本 身的 公 式 中 并 可 直 截 了 当地 写 出详情写 了 一 篇 快报 , , 他 们 不 可 能 对它 求 解 " 后来 发 现 了 四 ' 报 道 了这 方 面 的 结 果 维附 近 的 展开 , 证 明可 在 如 果不 是馆一 的最低级 乎 显 然看 出 同 样 的 分 析 也 适 用 于 完 整 的 朗 道 金 茨 堡 模 型 而 不 需 递 推公 式 带 来 的 任 何 近 似由 于 简 化 的 原 则 是 护 项 的 系数 很 小 , 求解靴带方程化 群思 想 那 么 , 年 提 出 了重 整的 靴带 理论可 所 以费 能 成 为 当时 试 图进 一 步 理 解 临 界 现 象 的 最 有 希 望 的 理论框 架 然而 , 曼 图展 开 是 按 级 进 行 的 素 养 去 给 出 费曼 图 , 我 利 用在场论方面的 重 整 化 群方 法 被 证 明 为 因而 靴 带 理 论 在 今 天 才 用 对 重 整 化 群 不 动点 的 理 更容 易而 且 用途 更 广 没 有得 到 重 视回 忆 起来 , , 解 去确 定如 何 使 用 我计 算 出 的 图 年 初 发 表 的 第二 篇 快 报 中 结果见于后来 的 发 展 靴 带理论 解决 了我 一 个 想 解 决 , 将 在 第 四 节 中 加 以讨 论出 现 了 一 些 其 他 人 的工 作以及 , 按 , 该 节从略 在 同 一 领 域 内还 但 又 没 解决 的 问 题 , 即 怎 样 导 出仅 含一 个 或 两一一 与 我 完 成 这 一 工 作 同时 个 祸 合 参数 的不 动点 问 题的梦想 和 的靴 , 和 也 认 识 到 临界 现 象 与 量 子 场 论 带 中仅 存 在 一 个 待 定 的 藕 合 参 数 — 在 , 一 不过 我觉 之 间 的 联 系 一 些 公 理 化场 论 理 论 家 如 , 得 靴 带 近 似 是难 以 接 受 的 前 , 因为 展 开发 现 以 昊 大峻 等 人 也在 场 论 和 和日 认 模 型 方面进 没 有 任 何 正 式 的 论 据 可 用 来 证 明将 骨 架 图 行 了工 作和 应用 , 展 开终 止到 有 限项 是 正确 的也 太复 杂 , 同 时骨 架 图本 身 的场论 重 整 化 群 理 论 到 四 维 临 在两 " 以 致 实 际 上 不 可 能通 过 计 算 大即 使在 今天 , 图 界 现 象 和 三 维 单轴 铁 磁 体这一 特 殊情况 建 立 了一 个多少 带 有 人 为 特 性 的 形 来检 验 切 断 是 否 正 确顾 那 些不 论 是 用 , 当我 回 种 情况 下 都推 导 出对 朗 道 理 论 的 对 数 修 正 展开 , 还 是 用重 整 化 群 方法 , 多层 都 尚 未解决 的 间 题 时 骨架图 的收 敛 问 题 还 是尽 管 它的 收 , 次 " " 与 相变模型 它可 用 一 维 积 分 , 没 有 激 起 我从 事靴 带近 似 的热情 递 推公 式 严 格 求 解 这 个 公 式 几 乎 等同于 我 后采 . 敛 性 实际 上 从 未 验 证 过 在 此 期 间 . 来在 年 文章 中 写 出的公 式 , 重 整化 群 巳 提 供 了 一 个 在 合 理 的有 效 的 和 非 微 扰 方式 下 采 用 少 量 藕 合参数的 框 架 取 了一 个 简 单 而 近 似 的 步骤 消 去的 动量 标 度 临 界现 象中 问题 中 成 为我在 这方 面工 作 的先 驱 ., 许 我 不 了 解是 否 存在 任 何其 它 的 从 第 一 原 理出发 去 理 解 重 整 化 群 的 独 立 的 尝 试 或 临 界现 象 问 题 的 手 段 , 多 固体 理 论 家 们 也 试 图将 图 形 展 开 方 法 应 用 到 , 这 里 重整 和 耐 奠定了 化 群被视 为每次 在 一 种 长 度 标 度 上 去 解 决 场 论 我 也不 了 解 是 否 有工 在 任 意 维 数 中 用 图形 处 理 具 有 大 量 内部 自由度 模型的基础 早在对 , 年 就 解 出了 无模型作了 , , 作 说 明 重 整 化群 允 许 任 意 多个 藕 合参数 出 现在 穷 自 由度 极 限于我对场论的展开 分 析的 中 间阶 段我 将 列 出某 些 一 般 的 参 考文 献 来 结 束 我的 广 泛 的 研 究 发 现 了一 个 短距 离展 开 它 很 类 似在临界现象中 , 过 去就 有 讲演 我 两 篇 半 普 及 性 的 有关 重 整 化 群 的 文 章 是 人 考虑 过 分 数 维 数 的问 题 费曼 图延 拓 到 非 整以 便 对 非 阿贝 尔 这 年和和 , , 年 发表的 , 这方面 的 书 有和 , , 数 维数 也 被 引 人 量 子 场 论 中件 事与 用 它 来 发 展在 六 十 年 代 后期 " 规 范理 论 提 供 一 个 规范 不 变 的 正 规 化 步 骤展 开 一 事 几乎 同时 完 成 , . , 亦 和 , 还有记 , 和 " , 提出 " 评论文 章 和 会 议 文 集 有 . 了 一 个 基 于 费 曼骨 架图 展 开 的临 界 现 象 靴 带 和 呀 广 公 式 其 中所 有 参 数 包括 展 开 参 , 下转 第 页卷 , 期 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 弹性 散 射 到 原 子 核 基 态 转 动 带 的 电子 能 谱 能很 好 地分开 到 . 一 , , 原 子 核 的 磁 矩分 布 从公式 形 状 因子 可知 当 , 图十 , , 表示 ' 佗 , 弹 性 和 非弹 性 散 射用哈特 从实验数 , , , " 时 只有横 向番是 由磁 多 , 态 的 电荷 形 状 因 子十 , 牛对 截 面 作 贡 献 , 而 里 福 克理 论 计 算 表 明 态 理 论与 实验 符 极矩把 " 二 的散 射 所贡 献 的 所 以 常 常 " . 合得 较 好 而 , 态 符 合得 较 差 实验确 定 的 . 散 射称 为 磁 散 射 据 可 以 取 出与模 型 无 关 的 电 荷 密 度 分 布 , , 核的二 极 的 贡献 弹性散 射 截 面 只 有 磁 ' , · … , 和 的关 所 以可 以从 实 验 测 得 的 横 向 形 状 ℃ 的磁弹性 , 两 , 等 与 变 形 核 本 征 电 荷 密度 .· · , , 因 子得 到 原 子核的 磁二 极分 布 系为 , 一 , " , 散 射是一 个例子 " 得 到 的 形 状 因子 孚 可 以用 也 , 备表 示 在 壳的 , 一 图 , 形 状 因子 势或 谐振 子 势计算 得 到 结果 也 表 示 在 图 , 一 . , … 高 中 在 低 全 区 理 论 计 算 和 实 验 符 合较 好 但 在区 理 论 和 实 验 偏 差很 大 , , 所 以实 验 测量 能 够 决 定 变 形 核 的 电 荷 分 布 , , , 原 因至 今 还 不 大 清 楚 可 能 与 介 子 交换 流 核 心 极 化 和 组态 混 合一 , 等 效 应 有关 参 . 考尸 犷 .. · 文 . 今人 ' 口 台 } , , 卜二 , 伟 雌 , , 尸卜 ' 匕 护 盯 , 吕 , , , 砂 , , 巨 恤 斑 曰, , ' , , 夕 丑 二 " 资 '. , 知 '公 , 外夕衍 , , , 朋 , 即日, , . 加 · , " 乙 加 孙 云 万 云 , , . . .王 云 万. 封 , 昭 · , } ' , 耽 , , , 叮 一 」 , 丑 公 己' 一 云 图 · " , 磁弹 性 散 射 势 , , , — … · 壳 谐报 子 石 . 卜 壳叮 , . 日 了 , 一 一沪 广 '沪分 苦 , ' 占 , 上接第 , 页夕 , 和 . , 大 学 的 同 事 们 特 别感 谢 , 和 , 和 费 从 我 当研 究 生 开 始 , , 及 ' 等人 对 我 的 鼓励 和 支 持 年中兴 , 在 具 有 非 凡 发 现 的两 个 感到高 我 感 谢 美 国 科学 基 金 组 织 给 我 提 供研 究经我 的大 部 分 研 究 生 涯 我 感 谢 康奈 尔 我 有幸成 为 国际 科学 界 的 一 员 都得 到 该 组 织 的资助础 研究 美 国 长期慷 慨 地 支持 基 杨 展如 译 郝 柏林 校 是 我 获 得成 功 的 基 础 ' 卷 期 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
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