0阶张量，也就是标量，指的是与坐标系无关的一个参数。比如一个位置的温度，无论在哪个坐标系下，这个位置的温度值始终是不变的。

张量有么有形象的内涵？

guojiabd 81位粉丝	1楼 中学时候学了“矢量”的概念，那时候说，矢量就是一个箭头，有长度和方向两个属性。到了大学的线性代数，矢量概念被推广为“由多个实数构成的一个有序数组”，其实与箭头是差不多的含义，只不过用“分量”来解析地表示。而到了微分几何中，矢量概念终于被真正推广了：所有与箭头具有相同的坐标变换方式的量，都是矢量。这时，矢量不再只是箭头了，很多不能用箭头来表示的东东也是矢量了，比如任何线性空间中的元素都是矢量，而线性空间可不止我们熟知的三维空间。就我所知比较怪异的矢量就是那种算符矢量，完全不具有任何形象概念，所以根本无法把算符矢量想象成一个箭头，它是彻彻底底的抽象概念。当然，到这时候，传统的箭头也是矢量。 矢量的这种抽象定义被完全移植到了张量定义的身上，所以看了好几本与张量有关的教材，对张量都是这么抽象地定义的：凡是坐标变换时候满足XXOO规则的量就是张量。。。对其毫无把握，因为它不像“箭头”那样有直观的印象。 有朋友用“张”字来描述过张量，他说就好像矢量是从一点划到另一点的箭头，张量就是张出来的一个东西。或许这也是“张量”这个名称的来源吧。不过。。还是想象不出来怎么个“张”法。 前阵子看了一点点多重线性代数的东东，它里边倒是有另一种对张量的描述：张量可以看作是一个多重线性映射。所谓多重并不是指多次，而是一次多个线性，貌似是多元。。总之这个和梁老师所说的有点接近：张量是一个映射，多对一的映射。 谁能教教我，张量有么有形象的内涵？
	赞 0
2010-12-15 21:09 回复

 

guojiabd 81位粉丝

2楼 我知道，常数就是零阶张量，矢量是一阶张量。 一个数可以用一个矩阵表示，即1X1矩阵。一个N维矢量可以一个NX1或者1XN矩阵来表示。那么N维二阶张量显然应该用一个NXN矩阵来表示了。从这里可以看到，零阶张量的分量个数是N的零次方，一阶张量的分量有N的一次方个，二阶张量的分量有N的二次方个，以此类推应该是N维M阶张量的分量有N的M次方个。 零阶张量就是一个点，这个点有一个数字属性。 一阶张量就是一个矢量，是一个一维的东西。这个“一维”与“N维矢量”是两回事，一个N维矢量指的是这个矢量有N个分量。而这里的“一维”指的是任何维矢量都可以描述成一根一维的箭头。 二阶张量表现为一个矩阵。二阶二维张量为2X2的方阵，二阶三维张量为3X3方阵，二阶N维张量是NXN方阵。凡是二阶的张量，都可以用一个二维的矩阵来表示。 三阶张量就是一个三维的立体阵了，三阶N维张量就是一个N X N X N的立体结构。 超过三阶的张量就无法形象地表示出来了，因为无法想象四维空间。 但。。。张量到底是啥？有没有一个形象的例子？

2010-12-15 21:45 回复

 

不推倒吗 小强大战胡萝卜 84位粉丝	3楼 回复：2楼 其实说道底，张量还是一组数，它用来描述空间中某点的物理性质，其中每一个数代表该物理性质的一项。 比如描述点的温度，需要1个数，用来描述温度的数组就只有1个元素。 描述点的位置，需要3个数，因此数组中有3个元素。 描述空间中的电磁场，需要6个数，因此数组中需要6个元素。 我们提出标量，矢量，张量只是为了方便计算，是物理定律在形式上更为美观。比如牛顿定律通常写成矢量形式，又比如电磁张量为16个张量（实际上只包含了6个独立的数）………… 我认为无法想象四维空间很正常，能想象的才不正常，抽象一点是必然的，多元的问题我们应该更多的依赖代数而不是几何才行。 说道张量实体，推荐LZ看黄克勤的张量分析，不过那是不可能得到几何形象。
2010-12-15 22:19 回复

 

舆轮 14位粉丝	4楼 梁灿斌 老师的 <微分几何初步和广义相对论>里面有比较形象的解释：  就是一个机器有上下两种槽子， 相同标注的上下槽子会抵消， 不相同标注的上下槽子不相干...... 郭硕宏老师的<电动力学>里面说，张量就是两个写在一起，而且不做运算的矢量。-----但愿我没记错.... 俎栋林老师的 <电动力学>.....看完狭义相对论那一节，应该对张量会有点蛮interesting的认识.
2010-12-15 22:32 回复

 

舆轮 14位粉丝	5楼 补充一下：  俎栋林老师的 <电动力学>对赝张量， 还有麦克斯韦方程组的张量形式，电磁场张量，还有电磁能量动量张量的描述写得比较清晰-----相对刘某人而言....
2010-12-15 22:40 回复

 

不推倒吗 小强大战胡萝卜 84位粉丝	6楼 回复：5楼 刘某人?
2010-12-15 22:44 回复

 

贴吧公益 特古力 28位粉丝	7楼 "我们提出标量，矢量，张量只是为了方便计算，是物理定律在形式上更为美观"——这话是错的，
2010-12-15 22:50 回复

 

不推倒吗 小强大战胡萝卜 84位粉丝	8楼 回复：7楼 这的确是我的理解，请问有什么不妥？
2010-12-15 23:02 回复

 

台湾PiPi 164位粉丝	9楼 我对张量是这麼看的: 在座标变换下不变的一个 "东西". 这个 "东西" 是由几个矢量 "黏" 在一起所形成的复合体. 在座标转换之下, 张量的分量与基底都变了, 但各分量与其对应的基底相乘后所加出来的还是原来那个 "东西".
2010-12-15 23:04 回复

 

台湾PiPi 164位粉丝	10楼 回复：9楼 标量是最 trivial (平庸) 的张量, 它在座标转换下不变. 矢量是最简单的 nontrival 张量, 它是一个 "有大小, 有方向" 的量. 当你在黑板上画出一个属於 "黑板宇宙" 的箭头时, 你就是画出了一个二维矢量. 你可以选择任意指向的二维座标系去写出它的分量. 当你把矢量的各分量乘上它的基底并加起来时, 必须给出原来那个画在黑板上的箭头.
2010-12-15 23:13 回复

 

贴吧公益 特古力 28位粉丝	11楼 回复：8楼 这个就要涉及数学与物理的关系，数学是工具，物理要通过数学表达出来，数学表达必需要能很好地反应物理规律的本意，而不是为了方便计算
2010-12-15 23:24 回复

 

舆轮 14位粉丝	12楼 在座标变换下不变的一个 "东西".  ----------------------------------- 点睛之笔。 在书里看到当时没什么感觉。 现在回味起来，粘在一起的"电磁矢量"，随便坐标基底怎么变，最后分量乘以基底，还是四维勾股定理。 其实张量就是一种与坐标无关的物理定律(还记得狭义相对论的第一个假设么)， 所以坐标变换就和物理定律无关。 另外还有一句话请大牛们解析一下：   对于可以分解为有限个4维张量的和的张量， 就会满足洛仑兹变换，因而满足狭义相对论.....因此电磁理论天生就是狭义相对论的电磁理论...... 这句话怎么理解？
2010-12-15 23:28 回复

 

不推倒吗 小强大战胡萝卜 84位粉丝	13楼 回复：11楼 嗯，有道理
2010-12-15 23:29 回复

 

青园荟萃 3位粉丝	14楼 强！都很能帮助理解张量，学习了！
2010-12-16 09:03 回复

 

被流放的冥王星 66位粉丝	15楼 谢谢楼主， 请给我举一个 最简单 二阶张量 应用的例子的。 我需要例子。    然后再结合大家的文字，估计就能理解了。 --pluto
2010-12-16 09:11 回复

 

李微商 20位粉丝	16楼 这个，张量最直观的就是应力张量。 0阶张量是常量，1阶张量是矢量，这个很好理解没什么好说的。 看看2阶张量（3维）的例子。在形变力学（如流体力学、弹性力学、塑性力学等）中，最基本的就是探讨形变体中某点的受力状态，2阶张量就很好的表现了这一点的受力状态。这就是通常所说的连续体中的应力张量。 如果把连续体中的某点看成是一个无限小的正立方体的话，可以把作用于其上的应力用一个2阶张量P_ij来表示。当该点静止时，分别作用于同一方向的立方体两面上的正应力为P_11、P_22、P_33。而作用与各面上的切应力为P_12、P_13、P_22、P_23。。。 例中虽然是正立方体，可作为笛卡尔坐标研究，但由于该立方体是无限小，所以和坐标系的选择可以无关。当然条件是坐标系必须正交。从另一个角度也可理解，即任何曲线坐标在微观上可看做直线，是平坦的。
2010-12-16 14:27 回复

 

李微商 20位粉丝	17楼 再看看应力张量p^jk的应用。 流体力学中N-S方程式非常复杂，即使在笛卡尔坐标系中写出来也是很麻烦的，在3个方向必须写出3个式子。但一般应用中，圆管、圆环的情况很多，又得变换到柱坐标或环坐标中，就更加复杂。 但用张量式写出就是下面的一个式子： ∂(ρv^i)/∂t+(ρv^i·v^k),_k=p^jk,_k+ρF^i 非常简明扼要。实际应用时再变换到各种坐标系即可。
2010-12-16 15:39 回复

 

李微商 20位粉丝	18楼 上面说的，估计还是理解不了N-S方程式用张量表示的方便。一般做理论研究时，才能体会到它的方便性。 举例，做紊流k-ε模型时，必须由N-S方程式分别推导出k-ε方程式。这时，就必须直接从其张量式推导，即方便，又直观，且不宜出错。想想看，如果用柱坐标的N-S方程式来推导，会怎么样？ 3个方向都得写出来不说，每个式子又那么复杂，一个式子估计都得10几张纸才能写下，就算最后能推出来，估计都不可能归纳回来成一个简单的式。 这么说，能理解张量式的威力吗？
2010-12-16 15:53 回复

 

舆轮 14位粉丝	19楼 Lee也不潜水了，呵呵.... 各位大牛对联络，和度规有什么通俗一点的描述....期待中...
2010-12-16 21:52 回复

 

guojiabd 81位粉丝	20楼 感谢各位的解释，对偶的帮助很大！ 0阶张量，也就是标量，指的是与坐标系无关的一个参数。比如一个位置的温度，无论在哪个坐标系下，这个位置的温度值始终是不变的。 1阶张量也就是矢量，它的表现形式跟坐标系的选取是直接相关的。比如一个箭头，在不同坐标系下就有完全不同的“分量”。换句话说就是比如从不同角度去看这个箭头，在眼里形成的影像是不同的（角度不同）。可以说矢量与坐标系是“1阶相关”的。 那么2阶张量与坐标系的关系是不是比矢量与坐标系的关系更“紧密”？三维空间中，矢量是三个数字随着坐标变换而变换；2阶张量是9个数字随着坐标变换而变换。书中说道，一个二阶张量可以简单看成两个矢量的“合并”，也就是把6个数字（每个矢量3个数字）以一定方式组合成9个数字，这样合并出来的张量有什么几何意义吗？
2010-12-17 21:50 回复

 

祝融高丘	21楼 好吧，张量就是矢量空间的直积。 矢量如果说是“箭头”，其实是有问题的。平直时空说箭头没有问题，弯曲时空下如何说得清“箭头”呢？ 所以数学家们规定矢量的本质是某种方向求导算符。 坐标变化了没关系，矢量分量变化了没关系，对于任意函数，同一个矢量在不同的坐标系下对同一个函数的求导结果归根结底是一样的。 张量是对任意一组函数的求导算符。他是矢量的“直积”，直积类似于笛卡尔积，它相当于在原来的矢量的每个基上都“张”出来一个新的空间，于是矢量空间“张大”了。 坐标变来变去，张量分量变来变去，只要函数组和张量不变，求导的结果都是一样的。这就是张量与坐标无关的性质，张量的“不变性”正是在这个意义下的“不变”。
2010-12-17 22:21 回复

 

台湾PiPi 164位粉丝	22楼 回复：21楼 弯曲时空下如何说得清“箭头”呢？ --------------------------------- 长在切丛上就可以了.
2010-12-17 22:31 回复

 

guojiabd 81位粉丝	23楼 谢谢21楼，说得已经很形象了。我有几个小问题： 在弯曲坐标系下有没有箭头这个东东？有的话是怎么整的？矢量的平移是进行的呢？ 22楼提到了“切丛”。我跟拉普拉斯（某个ID）请教这个问题的时候他说，我们可以用弯曲空间中的量，来描述弯曲空间中某个点位置的所谓的“切空间”。切丛是不是指这个？
2010-12-17 22:36 回复

 

祝融高丘	24楼 回复：23楼 貌似不是吧。“切丛”的意思，就是流形上每个点粘上自己的切空间以后，组成的积空间。由于切空间可以看成是一团毛茸茸的箭头的**（这么说仅仅为了形象），所以每个点粘上了自己的一团箭头，就可以看成是一个光光的流形变成了一个毛茸茸的东西，所以叫做“丛”。 这个概念的基础是拓扑中的“乘积空间”的概念，切空间和底流形的乘积空间就是切丛空间。 Pipi的意思就是，虽然底流形部分是弯曲的，箭头不好画，但是切空间部分可看成是平直的，这里的箭头，其实本质上也是画到底流形外面去的某个“箭头”。
2010-12-17 22:53 回复

 

祝融高丘	25楼 度娘抽了， 由于切空间可以看成是一团毛茸茸的箭头的**。 **。 **。
2010-12-17 22:54 回复

 

祝融高丘	26楼 **论。 集（小何些）合！！！！！！ 怎么搞的！ 连数学名词都不让贴！ 还是collection吧！
2010-12-17 22:55 回复

 

台湾PiPi 164位粉丝	27楼 暂时想像成曲面的切平面吧 ! 我的说法在数学上是不精确也不严格的.
2010-12-17 22:55 回复

 

台湾PiPi 164位粉丝	28楼 回复：24楼 你说的对. 我没表达好. 我说的其实是切空间.
2010-12-17 22:57 回复

 

lwx129 37位粉丝	29楼 零阶张量，是一个点，一阶张量是一个有方向的线，二阶张量是是有方向的面 矢量的分量可以表示为： R=x*i+y*j+z*k 二阶张量的分量可以表求为： T=a11*ii+a12*ij+a13*ik +a21*ji+a22*jj+a23*jk +a31*ki+a32*kj+a33*kk
2010-12-18 20:35 回复

 

舆轮 14位粉丝

30楼 做一点猜测：    令I是一个幺正矩阵， 其逆矩阵为I‾; e₁， e₂ 是一个坐标基底.    则：     |T₁e₁| = |I‾ T₁e₁I|=|T₂e₂| === C    因为洛仑兹矩阵就是一个四维幺正矩阵，所以当T₁可以被表示为有限个4维矩阵的线性组合 ，则必定满足洛仑兹变换。    也就是说，张量就是矩阵。