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⑿湃? symplectic (sound-of-silence), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典——苏竞存篇（下） 发信站: 北大未名站 (2001年07月27日22:31:56 星期五) , 站内信件 “金针度人”这句老话，我是读了苏竞存的书以后才深有体会的。举点例子。 在Riemann-Roch定理一章里，为了说明构造Cech上同调层的想法，作者从关于亚纯 函数的基本事实——Mittag-Leffler定理讲起。这个单复变中的定理，本质上也是 讲亚纯函数的存在性；它不单是说复平面C上的亚纯函数“很多”，而且具体告诉我 们，可以依我们所需去“定制”亚纯函数（指定极点与主部），只需满足一些自然 的限制。进一步地，它对C的其它区域也成立（作者不失时机地指出，这必须另加论 证，原因在于：和光滑范畴不同，对整个C成立的事对开圆域不一定对，因为这两个 域作为复流形不同构）。但一般地，它肯定不对，比方任意环面上决不会有具单极 点（一阶极点）的亚纯函数，否则它会给出环面到球面的复同构，而这是不可能的 。在给出一般Riemann面上Mittag-Leffler问题的提法并描述了可能的途径后，作者 评论到（555页）： “这样做事显然是劳而少功，另一方面它则是击中要害：我们有一些局部的东西而 想把它们拼成一个整体的东西。整个流形理论讲的就是这件事。能否成功取决于问 题的性质。有些什么困难也没有。例如我们看见过局部内积是怎样拼成Riemann度量 ，局部联络怎样拼成整体联络，所用到的只是一的分割（即单位分解）。但是也有 些东西不能简单地用一的分割来拼合。例如，把局部定向拼成整体定向有时行有时 不行。问题的解决有“障碍”，而现在就遇到了障碍。这种描述障碍的方式在拓扑 学中很常见……” 第一次读到这段话时，我感到了震撼。真的，流形这玩意，本科时我是一点不懂， 硕士头一年又把它看得很平凡：不就是局部“欧”吗？后来，老板指导我学着用局 部标架法做子流形几何时，我慢慢领会到，很多事情我们只能局部地去做（例如取 正交标架，例如联络等几何量的显式表示），再从中发现与标架选取无关的整体不 变量，这才是好东西；而这又并不意味着没必要选局部标架，不然你怎么表示那些 几何量呢？先任意取定一个对象，再把选取的不确定因素给“模（抹）”掉，全部 把戏就在这里。我懂了这个想法后，感觉很美好。另外，从那以后，我开始关心整 体微分几何，留意各种几何量与拓扑量之间的关系。可直到看见苏竞存的这段话， 我才猛然醒悟，这些东西就是研究流形的要害所在。流形与纤维丛这些东西，局部 都是平凡的，有意思的好东西必然在于整体，难点也在于怎么描述整体（或者说过 渡到整体的‘障碍’）。而（上）同调理论正是适当的语言（之一）。 讲到这，又可以提一段苏竞存书中让我豁然开朗的话（第八章“de Rham定理”，1 84页）：“研究循环是不是边缘地方，这是所谓的同调理论。读者们可能已经熟悉 同调理论的基本思想。例如说，一般的解释是，T^2（环面）中有非边缘的循环S^1 说明T^2有‘洞’，而S^2（球面）中的循环S^1都是边缘表明S^2没有‘洞’。既然 可以从图中看到究竟有没有洞，这也就算不得什么深刻的观察。（——对呀。）然 而应该看到，只是因为我们把T^2放在R^3（三维欧氏空间）中，T^2上有洞才是显然 的事。如果我们不管周围的R^3，那么怎样才能区别T^2和S^2呢？（——哦……）即 是说，我们需要一些内蕴的不变量，而不是嵌入的不变量。所以，如果只看T^2本身 而不问它是否包含在周围的空间之中，洞的这个概念还有没有意义就不明显了。但 是循环和边缘的概念显然是内蕴的（intrinsic）即只依赖于流形本 身，它可以用来对洞作内蕴的描述，（——啊！原来如此……）这是Poincare的深 刻见地。在这方面，指出下面的事实是很有用的。在几何和拓扑中把内蕴性质和嵌 入性质区别开来是极其重要的想法。（——这么一说我想起来了，曲面论……）例 如曲率的概念。（——对了，就是它！）如果看图，那么曲面是‘弯曲的’，这是 很‘明白’的。但是把弯曲设想为一个内蕴的概念，认为即使没有周围包含的空间 （有了这样的空间才能走到曲面‘外面’去看曲面）它仍然是有意义的，这就困难 无比了。这正是相对论里关于‘弯曲’时空使人感到神秘的原因。Gauss是第一个看 出曲率的内蕴本性的人。（——对呀！Gauss的‘绝妙定 理’！！）这是现代微分几何的起点。无怪曲率、同调和积分都是彼此关联的。… …” 看到这段话的那天早上我很激动，知道自己碰上了一点朴实而深刻的东西——Gaus s的定理对我来讲很熟悉，曲率只依赖于第一基本形式从而是内蕴量我也明白，但我 从来没有想清楚到苏竞存所讲的这个程度。而一旦点破，我马上看出来这个观念太 重要了。“intrinsic”及“global”恰恰是从我们本科学过的经典内容（数学分析 及线性代数）过渡到现代（本世纪）数学的观念上的“门槛”，也是贯串现代数学 的主要线索。而这些东西，从来就没有人明白向我们指出过。 苏竞存就厉害在这一点：许多我们学过的东西，尚未明白其实质，而他能三言两语 揭穿，让人有醍醐灌顶之感。比如说，本科时讲过欧氏空间里的Stokes定理，觉得 很好；而在此之前建立起来的“外微分形式”的概念，也很美满，可是又莫名其妙 ，不知道干嘛要这么做。后来在北大的微分拓扑课上讲过流形上一般的Stokes公式 的证明，当时只嫌麻烦，在看懂整体积分的定义（特别是与局部积分区域和单位分 解的无关性）后，就觉得差不离了。在看陈省身的《微分几何讲义》时，对外代数 似乎看明白了，但也还是觉得是“从天上掉下来的”。为什么微分形式是必要的呢 ？仅仅是因为可以在流形上做这种构造（切丛的对偶丛及其外代数）吗？苏竞存指 明这是建立积分理论的需要，也就是说，微分形式是拿来作为被积式的。为什么如 此，看看苏竞存的解释（第六章“微分形式”，118页）： “……读者都知道，有好几种‘积分理论’。例如Lebesgue积分等等。也有好几种 处理方法，例如用测度理论或泛函分析等。我们不去管这些‘神奇’的理论，我们 要介绍的积分就是老的Riemann积分。并不是不能在流形上建立更一般的积分，而是 由于在绝大多数时间，我们的讨论对象都是光滑的，至少是连续的，所以用不到Ri emann积分以外的积分。主要之点不在于用什么理论，而在于什么是被积者，什么是 积分区域？……” “我们也知道，在这个记号里‘微分’dx其实不代表什么。而只不过是一个形式的 记号，它告诉我们链法则，也就是换元法则在积分中的用法……” “在流形上总是要做变量变换，这不过是从一个坐标邻域变到另一个坐标邻域…… 从上面的讨论看到，我们不能只是积分一个函数而是要积分这样一个对象，它会在 变量变换时自动地考虑到行列式法则。行列式的基本特征是：如果两行或两列对换 时，它会变号，即是说它是反对称的。处理反对称性的代数就是外代数，我们将要 用到它。” 这么简单的一点东西可能对很多人来说是很平凡的。遗憾的是，我只在苏竞存的书 里才看到这样明了的解释。要点的确就在于我们很多人都曾百思不得其解的一个问 题上：积分号内的dx 到底是什么含义？我曾经以为是一个形式的记号，有时又把它 看作是定积分中被求和的微元的代号（或许也有人把它看作实数轴上Lebesgue测度 的记号）。直到看了苏竞存的解释，才明白是为了保证积分的结果与坐标的选取无 关而引入的一个记号，它自动记录下换元的效果；实质上它确实是某种测度，但用 微分形式的语言更干净而便于处理（并且适用于不定积分的情形，此时显然被积对 象必须是一微分形式例如df才有可能与积分运算相抵消得出原函数）。苏竞存在下 一章“积分”的开头特别指明，流形上积分理论有两个要点，一是不变性，即积分 在坐标变换下的性态；第二是化约，即微积分的基本定理。这就把以前书本上的一 大堆做法都解释清楚了。特别地，我们由此回顾，就知道外形式及外微分完全是对 应于这两个要点的建构，前者的反称性对应于换元时的行列式法则，后者的dd=0对 偶于链复形（积分区域）的边缘算子性态，这样就“人为地”建立起de Rham上同调 ！ 对我来说，苏竞存的这本书是灵感的一个源泉。几乎每一次拿起它来，我都会为其 中精彩的解说诱惑（哪怕是我不懂的内容），并不时感到震撼。这种影响之大超过 了其它的任何一本书。 更多 ▼ |
