空间的拓扑性质是指空间在做连续变换下不变的那些性质。这里空间的定义也是十分广泛的。为形象起见。不妨将空间看成是橡皮做成的曲面，只要不发生撕破或粘合的情况，任意地改变曲面的形状就对应为我们所说的连续变换。通过连续变换得到的那些曲面相互之间称为拓扑等价的，而那些保持不变的性质就称为拓扑性质mkt can't go in in dimension too far away, to maintain
balancing between different sectors!
3.3.3拓扑场论
相对论量子场论的最终目标是要建立一个包罗万象的统一理论，所以这样的理论难以严格求解就不足为奇了。为此，人们必须发展近似又足够准确的计算方法。长期以来，量子场论中这样的方法就是所谓的戴逊-费曼-施温格微扰展开法。然而量子场论的很多特性无法在这个近似展开中得到反映，所以人们不得不尝试其它的近似方法。半经典展开就是这种尝试的成果，它被成功地用来揭示量子场论的许多新特性。
半经典近似方法以量子场算符满足的海森堡运动方程为出发点，在经典极限下忽略所有的量子效应把场方程看成纯粹的经典非线性偏微分方程。当然这样的方程仍是非常难解的。物理学家借助各种各样的数学工具进行分析。这些工具是数学家按照他们自己的想法发展起来的，双方从这种结合中相互受益，这样的情况在科学的发展史中多次出现。利用数学上的拓扑分析，人们可以超出半经典近似从而得到一些量子场论的精确解。这些结果主要有三个方面。第一个方面是认识到可能存在一些标志量子场论特性的参数，这样的参数并不都出现在理论的拉氏作用量中；第二，对于自洽的量子场论而言，拉氏量中的参数如耦合常数、质量等，不可以随意选取；第三，规范场与物质场(指费米子场)的耦合形式受到很强的约束。除非恰当地安排费米子，那些看上去规范不变的自洽理论很可能在量子化之后变得不自洽，如出现反常。人们希望对于拓扑场论的进一步研究为量子场论的精确解提供更多的线索。
我们通过简单的例子来看看拓扑性质在这里的重要作用。空间的拓扑性质是指空间在做连续变换下不变的那些性质。这里空间的定义也是十分广泛的。为形象起见。不妨将空间看成是橡皮做成的曲面，只要不发生撕破或粘合的情况，任意地改变曲面的形状就对应为我们所说的连续变换。通过连续变换得到的那些曲面相互之间称为拓扑等价的，而那些保持不变的性质就称为拓扑性质。
求证两个空间拓扑等价是一个几何问题，将涉及怎样造出两个空间之间具体的同胚变换，所用的技巧则随问题的不同而互异。求证两个空间不同胚。则是性质完全不同的另一个问题。因为不可能枚举所有的变换来检验是否同胚，所以这时多采用拓扑不变量。如果两个空间的拓扑不变量不同，那末它们一定不可能拓扑同胚。连通性是拓扑不变量。利用这个拓扑不变性可以证明一维直线和一个二维平面不同胚。从直线上挖去一点(如原点)，则空间分成了两块(相应于正实轴和负实轴)，这就是一个不连通的空间。假如有一个同胚映射把直线变成平面，那末，挖掉一点的直线就相应地变成挖掉一点的平面。但是，挖掉一个点的平面仍是个连通空间(即还是一整块)。所以一维直线和二维平面拓扑不等价。
更一般地研究拓扑不变量的理论是所谓的同伦论和同调论。彭加勒提出基本群的想法，认为每个拓扑空间对应以一个群，使得同胚的空间具有同构的群。如果这些群不同，那末空间就是不同的。比如图3.20的两个空间它们显然是不同胚的。因为两圆盘一个有孔一个没有。这个孔洞的影响可由图3.21内的环道α很好地反映出来。正是由于有这个洞，使得环道α不能连续地缩成一点。彭加勒就是用象α这样的环道来产生一个群，称基本群。环道β和α一样也能使我们识别洞的存在，因为β可以作不经过洞区的连续形变而变成α。它们给出基本群的同一个非平凡元素。有孔圆盘的基本群为整数所构成的自由循环群，对应为环道绕孔洞的圈数(也称绕数)。图3.22就是这个群的几个元素。
无孔圆盘的基本群是平凡群，因为任何环道可连续地缩成一点。如果得到的是相同的群，就得寻求更为精细的不变量来区别这两个空间。比如对于实心球和空心球，它们的基本群都是平庸的，但它们显然是拓扑不等价的。为了区别实心球和空心球，把基本群的环道相应地推广到二维球面。这样得到的群称为(二阶)同伦群，那些类似环道α和β一样可以连续转变的环道称为同伦的。空心球面的二阶同伦群是非平凡的，而实心球的则是非阿贝尔规范场具有非平庸的拓扑结构，这表现在它具有非平凡的同伦群。以SU(2)纯规范场为例。在规范场路径积分量子化过程中，首先要挑出真正独立
如果库仑规范是一个好的规范条件的话，应能在上面的规范变换U(r)下得以保持。也就是说，上面的方程与库仑规范合在一起只应有平庸解Ai=0。事实上，由于规范场的非平庸拓扑性质，上面的方程不仅有平庸解还有非平庸解。
就规范群元素U(r)而言，它是将三维空间映射到群上的函数。三维空间在把无穷远作为一点的情况下拓扑同胚于四维欧氏空间里的三维球面。另一方面，SU(2)群有三个生成元，它的参数空间也是一个三维球面。这样，规范变换U(r)就是从一个三维球面到另一个三维球面的连续映射。这种映射对应于三维球面的三阶同伦群。Ai=0相当于绕数为零的同伦环道。因为球面中有洞的事实，所以同伦群是非平庸的。因此还存在绕数n不为零的同伦映射：
规范场真空的这种非平庸拓扑结构与量子力学中的周期位势类似，实际的真空为一个确定的θ所标志，称为θ真空。将不同的真空联系起来的是瞬子解。相当于隧道效应。这些问题的研究对于规范理论，特别是理论的量子化，是非常重要的。
场的这种非平庸拓扑结构在很多方面将会给理论的构造带来一定的约束。非线性σ模型在加上一个依赖于紫外截断的外斯—组米诺项之后就构成量子色动力学在低能下的有效理论。它能够正确地描写诸如手征对称破缺。低能定理和介子衰变等。更令人惊奇的是，考虑到场的拓扑性质后，外斯—组米诺项前的因子—耦合常数——一定是整数，并且就是夸克颜色的数目。这类似于狄拉克磁单极子的量子化条件。事实上，非线性σ模型具有拓扑稳定的孤立子解的根源在于其规范群的非平庸拓扑结构。这些拓扑稳定的孤立子可以用来解释量子色动力学中的重子。
量子陈—塞蒙斯(Simons)场论在过去的几年中一直是拓扑场论研究的主题。在量子陈—塞蒙斯模型中，拓扑研究的手段不再局限于半经典近似的范围。事实上，无须再作任何近似，量子陈—塞蒙斯场论是一个“真正”的拓扑场理论，在这个理论中得到的任何观测量和观测结果都有其拓扑上的根源与含义。做为一个完全的量子理论，陈—塞蒙斯模型不仅在R3和S3中可严格求解，而且在任何一个闭的、三维连通定向流形上都是严格可解的。
象对所有的量子场论一样，人们感兴趣算符乘积的真空期望值。在拓扑场论中，特别典型的是考虑与一些1维环路相联系的、称为威尔逊圈算子的期望值，它定义在一个定向的环结(link)上，是一组有用的规范不变的观测量。如果一般地考虑一个有m个分量｛C1，…，Cm｝的环结(link)L，则得到相应的环结(link)多项式。从纯数学的角度来研究环结(link)和纽结(knot)问题是一个古老的话题。只是当琼斯(Jones)发现关于环结(link)和纽结(knot)的新的不变多项式后，才重新引起人们对这个问题的兴趣，特别是对它们与物理问题的联系。人们认识到这些多项式在很多方面与2维系统的物理有着极为密切的联系。然而，更具挑战性的工作是找出这些多项式在3维空间的定义。威腾解决了这个难题。事实上正如前面已经看到的，这些多项式在陈—塞蒙斯理论中自然地出现；它们就是陈—塞蒙斯理论中威尔逊圈的真空期望值，它们的拓扑不变性由理论满足广义协变性而得到保证。
一旦求得环结多项式，接下来的主要问题就是如何识别它们。前面已经提到，从陈—塞蒙斯理论得到的环结不变量是与准三角型准Hopf代数的辩子群表示相联系的。另一方面，这种联系同时有利于揭示陈—塞蒙斯作用量所描写的模型的奇特物理行为。考虑3维空间的一个(2+1)维分解，等时面可能与给定环结相交数次。这情形就好比点粒子的世界线与等时面相交，随着时间的演化，这些粒子将在空间运动，而且它们当中的每两个一对还有可能一起湮灭或产生(图3.23)。于是期望值＜W(L)＞可以做为由环结L代表的全部过程的量子力学振幅。对于k取一般的值，每个粒子与等时面的交点由规范群不等价不可约表示提供的量子数来标志；而当k为整数时，不同种类的粒子的数目是有限的。例如，对于SU(2)规范群，k＞2的情况，只有｜k│-2种不同的粒子。当｜k｜=2时，态空间是1维的，任何态矢量都正比于真空态。当｜k｜=1时，态空间是2维的，即除真空态外只有一个非平庸的粒子态。
此外，用威尔逊圈有可能描写引力理论。这时，遵循狄拉克处理约束系统量子化的一般程序，那些湮灭态空间的约束可以表达为环结和纽结不变量。而从上面的图可以看到，环结不变量为微分同胚约束所湮灭是极为自然的。人们发现3维陈—塞蒙斯理论与4维量子引力有很强的联系。当然量子引力本身不可能是一个拓扑场论，因为在引力理论中存在着定域的激发。尽管如此，广义相对论在圈方程的表示中与拓扑量子场论的联系是极富启发性的。用圈表示，在陈—塞蒙斯理论中出现的环结不变量同时也是量子引力中的一个态。有关这一结论的可靠性正在进一步研究中。在威腾最初从陈—塞蒙斯理论中得到琼斯的环结多项式时，2维共形场论起了关键作用。关于共形场论与3维拓扑量子场论的关系得到人们的极大重视。然而从路径积分的角度如何在数学严格意义下建立两者的联系仍然是没有解决的问题。
拓扑量子场论是一个比较新的方向，这方面的发展也非常快，已经取得了许多重要的结果。80年代中期以来利用微分几何的方法对于量子场论中反常问题的研究表明反常是与场在大范围拓扑性质密切相关的。由此而建立了一些拓扑场论模型，如外斯—祖米诺—威腾模型，陈—塞蒙斯规范理论。由于4维时空中量子场论的巨大困难，这些模型通常是建立在较低维空间，特别是在两维空间和一维时间，因为1+1维时空中的纯规范场是平庸的。2+1维非阿贝尔规范场是超可重整的理论，为研究禁闭现象以及3+1维规范场的高温性质提供了合适的模型。尽管对于反常的研究已经取得了很大的进展，但是仍然存在着一些很基本的问题有待回答。例如，反常即使对于那些拓扑平庸的阿贝尔规范场也存在，另外，拓扑研究自然地涉及到一些积分的量，而反常却在本质上是定域的量。总之，拓扑量子场论中还存在许多有意义的重要课题等待进一步的研究。
