只有引入了电磁作用后，带电粒子的运动方程才能够在局域规范变换下不变

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只有引入了电磁作用后，

带电粒子的运动方程才能够在局域规范变换下不变

 

 

 

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Page 1
《原子物理学》
讲授：徐仁新
北京大学物理学院天文学系
“Atomic Physics”
http://vega.bac.pku.edu.cn/rxxu
R. X. Xu
粒子物理标准模型简介
存在“万物之理” （TOE）？
“Atomic Physics”
http://vega.bac.pku.edu.cn/rxxu
R. X. Xu
物质由分子、
原子构成
核（核子）+电子
夸克
弦？
弦？
终结真理 T.O.E?
本次课程内容参考：
徐仁新，《天体物理导论》，
北京大学出版社，2006；
附录2（266-275页）
“Atomic Physics”
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R. X. Xu
1，电磁学中的规范变换
Maxwell方程组：电磁规范不变性
引入任意标量函数Λ，将{A, φ}变换成{A′, φ′}
“Atomic Physics”
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R. X. Xu
4 ,
1
,
0,
1
4
.
E
B
E
c t
B
E
B
J
c t c
πρ
π
⎧∇∙ =
│
∂
│∇Ũ = -
│
│
∂
⎨
∇∙ =
│
│
∂
│∇Ũ =
+
│
∂
⎩
,
1
.
A
A
c
E
t
B
φ
⎧ = ∇Ũ
│
⎨
∂
= -
-∇
│
∂
⎩
⇒ B ∇ŨA=
1
A
A A
c t
φ φ φ
′
⎧ → = +∇Λ
│
⎨
∂Λ
′
→ = -
│
∂
⎩
(
)
1
B
A
A
B
A
E
E
c t
φ
′
′
⎧ =∇Ũ =∇Ũ +∇Λ =
│
⎨
′
∂
′
′
= -
-∇ =
│
∂
⎩
规范
变换
非相对论情形
•量子力学中，微观运动状态用波函数Ψ描述，
而观测量只依赖于|Ψ|2。即作如下的变换时
运动状态是不可区分的，其中为Λ任意函数。
•若Λ与(r, t)无关，该变换称为整体规范变换；
反之，若Λ = Λ (r, t)，则为局域规范变换。
“Atomic Physics”
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R. X. Xu
2，电荷与电磁作用
(,)
(,)
(,)
i
r t
r t
r t e
Λ
′
Ψ
→Ψ
= Ψ
“Atomic Physics”
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2，电荷与电磁作用
非相对论情形
•非相对论性电子运动方程：Schroedinger方程
Schroedinger方程式在整体规范变换下具有不变性，
但在局域规范变换下，却不再具有不变性。若改写成
（此即带电粒子在外场{A, φ}中的运动方程）
2
2
(,)
(,)
2
r t i
r t
m
t
∂
-
∇ Ψ
=
Ψ
∂
2
1
(
)
( , )
( , )
2
e
i
A
e
r t i
r t
m
c
t
φ
∂
⌈
⌉
- ∇-
+
Ψ
=
Ψ
│
│
∂
⌊
⌋
2，电荷与电磁作用
非相对论情形
•上式在如下局域规范变换下，
可以证明是不变的。可见：只有引入了电磁作用后，
带电粒子的运动方程才能够在局域规范变换下不变。
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
i r t
r t
r t
r t e
c
A
A A
r t
e
r t
e
t
φ φ φ
Λ
⎧
│
′
Ψ
→ Ψ
= Ψ
│
│
′
→ = + ∇Λ
⎨
│
∂Λ
│
′
→ = -
│
∂
⎩
若要满足局域规范对称性，势必引入与电荷
有关的{Aφ}（规范场，此即电磁场）；规,
范场量子称为规范Boson（此即光子）
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2，电荷与电磁作用
非相对论情形
•比较规范场引入前后的运动方程：
发现只需做一替换，就能够
做到引入规范场（即运动方
程中考虑电磁作用）。
2
2
(,)
(,)
2
r t
r t
t
m
i
Ψ
=
∂
∂
Ψ
-
∇
2
1
( ,
( )
(
)
,
2
) e
r t
r t
m
i
c
i
t
e
A
φ
⌈
⌉
+
Ψ
=
Ψ
│
│
⌊
⌋
-
∂
-
∂
∇
,
ˆ
.
i
i
e
t
t
e
p
i
i
A
c
φ
∂
∂
⎧
→
-
│
│ ∂
∂
⎨
│
= - ∇ → - ∇-
│⎩
2，电荷与电磁作用
相对论情形
•相对论性电子运动方程：Dirac方程
其中σ
i
(i = 1, 2, 3)为Pauli算符，
作替换以考虑电磁场的存在后，才具有局域规范不变性：
2
( , ) 0
i
c p
mc
r t
t
α
β
∂
⎛
⎞
- ∙ -
Ψ
=
│
│
∂
⎝
⎠
1
2
3
0
0 1
0
1 0
0
1 0
,
,
;
,
.
1 0
0
0 1
0
0
0 1
i
i
i
i
I
I
i
I
σ
σ
σ
σ
α
β
σ
-
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
=
=
=
=
=
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
-
-
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
2
(
)
( , ) 0
i
e
cp eA
mc
r t
t
φ α
β
⌈
∂
⌉
⎛
⎞
-
- ∙
-
-
Ψ
=
│
│
│
│
∂
⎝
⎠
⌊
⌋
（此即带电粒子在外场{A, φ}中的Dirac方程）
“Atomic Physics”
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R. X. Xu
描述（规范）对称性的语言：群
•群的定义：
定义乘法、且具有“封闭性、结合律、单位元、逆元”的集合
•乘法满足交换律：Abel群；否则：非Abel群
•幺正群U：独立参数个数n2(n)
n维复线性空间上的所有非奇性线性变换矩阵{u}中满足u+u = I
（I为单位矩阵，u表示u的转置复共扼）的集合+
•SU：独立参数个数n（n）>12-1(n)
各元素行列式值为1的U群（特殊幺正群）。n=1时自然满足(n)
3，规范相互作用
3，规范相互作用
“Atomic Physics”
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R. X. Xu
例：波函数Ψ (r, t)的变换
构成群U(1)群。其群元乘法是可交换的，为Abel群。
•规范Boson （即光子）的数目为1，与描述U(1)的独立参数个
数一致。
•电磁规范理论成功而漂亮的框架导致广泛而丰富的联
想：自然界其它基本相互作用也是规范理论吗？
( ,)
( , )
( , )
( , )
i r t
r t
r t e
r t
Λ
′
Ψ
→ Ψ
=
Ψ
Noether定理
电荷
守恒
电磁规范
对称性
3，规范相互作用
“Atomic Physics”
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非Abel群规范理论？
•Yang-Mills：同位旋守恒与同位旋规范不变性
3，规范相互作用
“Atomic Physics”
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R. X. Xu
弱电统一理论：另一成功实现的规范理论
•规范群SU(2)ŨU(1)：非Abel群
•独立参数数目：4
•规范Bosons：W
ą
（带电流作用）、Z0（中性
流作用）；γ（电磁作用）
•预言：
中间Boson（W
ą、Z0）质量
中性流弱作用（β衰变是一种带电流作用）
•Higgs机制：真空对称性自发破缺而使得规范Boson质量非零
•真空相变：真空从高对称状态转变为低对称状态的过程
Glashow、Shalam、Weiberg
获1979年Nobel物理学奖
80.4GeV
91.2GeV
3，规范相互作用
“Atomic Physics”
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R. X. Xu
QCD：有望描述基本强作用的规范理论
•规范群SU(3)：非Abel群
•独立参数数目：8
•规范Bosons：胶子（带色荷）
•成功之处：高能极限下“渐近自由”
Gross、Wilczek、Politzer
获2004年Nobel物理学奖
2
2
2
4
( )
2
(11
)ln
3
s
f
Q
Q
n
π
α
=
-
Λ
夸克味数n
f
= (3~6)，参数Λ≈220MeV
“Atomic Physics”
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R. X. Xu
引力规范理论：超统一？
3，规范相互作用
GeV
4，粒子物理标准模型简介
“Atomic Physics”
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R. X. Xu
基本粒子：基本Fermions和Bosons，Higgs
重
轻
•质量
(MeV)
s
I
3
K+(u‾s)
K0(d‾s)
π-(‾u d)
π+(u‾d)
K-(s‾u)
η
π0
‾K0(s‾d)
s
I
3
K*+
K*0
ρ-
K*-
ρ+
‾K*0
ρ0
ω
ϕ
s
I
3
n(udd)
p(uud)
Σ-(dds)
Σ0 (uds)
Λ0
Σ+ (uus)
Ξ-(dss)
Ξ0(uss)
(sss)
△0
△
-
△+
△++
Σ0
Σ*-
Σ*+
(ddd) (udd) (uud) (uuu)
(dds)
(uds) (uus)
Ξ*-
Ξ*0
(uss)
(dss)
Ω-
自旋为0
π0 = u
‾u-d‾d
√2
自旋为1
4，粒子物理标准模型简介
4，粒子物理标准模型简介
“Atomic Physics”
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基本相互作用：规范作用
•几种较成功的规范相互作用理论
•胶子零质量，
为何强作用
却是短程的？
色禁闭!?
红
反红
红
绿
蓝
色力线
介子
重子
5，超出标准模型？
“Atomic Physics”
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R. X. Xu
“点”粒子导致的疑难：发散！
•例：点粒子电子自身的电磁能
⇒ 基本粒子不是零维的“点”！
是一维的弦？p维的膜？
0
2 2
2
0
0
1
~
d ~
d ~
r E r
r r
r
∞
∞
-
∞
→∞
∫
∫
！
QED: δ
m
∝ αm
0e
ln(Λ/m
0e
)
CED:
总　结
1，电磁学中的规范变换
2，电荷与电磁作用
3，规范相互作用
4，粒子物理标准模型简介
5，超出标准模型？
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作　业
补充：试述Yang-Mills（1954）的
工作分别与QED、电弱统一理论和
QCD之间的关系。
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