为何要把控制方程归一化
2009-08-13 11:43
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这是在傲雪上看到的，讨论很多，我也不明白，到现在也这样，因此把大家的答复简单整理一下保存在这里。
为何要把控制方程归一化? 流体实验一般都是根据相似关系做的，所以经常给出的实验条件是Re数等，推过来计算就自然用无量纲的来对应了，这应该是主要的原因 我的理解是这样的： 1. 流体力学的控制方程（N-S方程）从数学的角度来看，在不同条件下可以分为椭圆、抛物和双曲型，不同类型的方程应该尽量采用相应的求解方法，比如说亚声速流动，任意一点的扰动是传遍全场的，也就是说在数学上具有椭圆型方程的性质。在无粘超声速流动中任意一点的扰动只有有限的依赖域和影响域，因此具有波的传播性质，可以归结为双曲型方程，双曲型方程最大的一个特点就是存在弱解，具体地说就是任何一个光滑的初始条件都可能演变为具有间断的解，因此在现代空气动力学中如何准确或者说尽量准确的捕捉间断的位置和形状是最难解决的问题。 因此在解决CFD问题之前首先要了解流动方程的类型，而判断方程类型的最主要一个参数就是马赫数，所以从这个角度来讲无量纲化有助于针对特定的方程选择特定的求解方法。 2.从流动实验的角度来看，模型的缩放，人工流场的实现也离不开这些无量纲参数。在低速风洞中雷诺数能否准确模拟很大程度上影响了层流到湍流专捩位置。这个雷诺数也是无量纲参数。在高超声速风洞中有的要模拟低密度，那么描述密度大小的无量纲参数就是Knudson数（拼写似乎不对）。所以在实验流体力学中无量纲参数也决定了流动的性质，实际的实验只能针对具体关心的问题选择合适的无量纲参数进行模拟，而不可能完全模拟实际的流动状态。 3.理论分析中，无量纲化也是一个简化问题的手段，尤其是在飞行器相关的空气动力学中，如何正确的忽略所谓的高阶项，也取决于马赫数的大小。在边界层理论中也很类似，没有无量纲化也没有所谓的相似解和动量积分关系式。 所以说无量纲化在整个流体力学，尤其是空气动力学的发展历史中占有极为重要的地位。 但从目前计算流体力学的发展来看，无量纲化并不是必须的，有时候似乎可以简化编程，但往往也会让人没有具体的针对现实世界的参考概念。我现在做的有限体积法程序就没有无量纲化，但有些时候很难收敛，我不知道是不是无量纲化可以降低求解矩阵的条件数，暂时还没推导。 其它的没想起来，反正还没解决您的问题，您参考一下。 能不能简单的说，无量纲化将一类问题归类而有利于处理，这样如果是无量纲化的问题得到求解，那么完全就可以代表一大类问题？ 我的感觉，无量纲化不是简单地因为相似性。 可能在流体力学方面，如果不用无量纲，就无法求解，或因为步长太小而没导致实际有限元和数值解“没法算”，就是要算几年:D 如果采用无量纲，可能有些变量无量纲化后就成了极小量，可以忽略不计。这样，用无量纲可以发现最重要的变量，同时忽略去不重要的小量。步长可以加大，反而利于求解。 这是俺猜的。。。。 无量纲化以后，流体的流动特性可以通过雷诺数，马赫数，傅劳德数等反映出来。 也谈谈我的体会; (1)对于方程，无量纲化可以减少变量的个数，有利于方程的求解。极端的例子是，可以直接通过无量纲化和量纲分析得出变量之间的关系式。 （2）对于实验，无量纲参数的作用就更明显了。因为实验的相似准则分四个层次：几何相似，运动学相似，动力学相似，热力学相似，不同的准则需要不同的无量纲参数相等。所以实验的要求不同，就可以根据需要的相似准则确定实验参数。 （3）可能也是一种习惯，早期的流体力学研究都是解析和半解析，所以用无量纲化方程有时会有利求解。因此留下的方程也大多是无量纲的，一代传一代，就成了习惯了。包括现在，很多搞流体的，由于老板擅长用解析方法，所以也学会了一整套的解析解办法，求方程时，根本不问为什么，先无量纲化了再说。甚至一些老先生在审文章和项目时，看到没有无量纲化的非常不爽，非要你无量纲化了之后才行。 说说我的感觉，学空气动力的时候，无量纲很重要，因为考虑理论计算与实验的对比，相似率是必须用的，否则没法比较，马赫数，雷诺数的引入可以解决这个问题。再就是对于计算收敛性考虑，对于高速、大尺度和粘性问题，这个无量纲可以使计算更好进行。 后来做一些别的工业运用的流体力学，低速、小尺度或层流流动，这个时候无量纲就显得不是那么重要了。这与他们所具有的流动特性有关。 归一化是为了编制程序的时候方便，解决一个类型的方程的数值求借程序就全部ok了，也有利于对方程的理解 无量刚化是为了计算时候避免过大或者过小的数，比如判断收敛是用残差判断的，而默认的残差标准各个方程是一样的，如果不使用无量刚，那么有的植天生的就大，有的天生的就小，就不好办了。用无量刚之后大家都差不多数量及便于统一啊 一家之言： 无量纲化出现在流体力学发展的早期，当时的数学方法和数值计算水平都很有限，为了对一些流体现象做出理论分析（如机翼和船体附近边界层的流动现象），需要将粘性流体控制方程加以简化，于是对目标流体赋予一个特征长度和特征速度。利用特征长度和特征速度（通常相对于边界层是一个较大的数）使得某些变量（如 X，Y，V变成X/L《1或Y/L《1或V/U《1）这样就可以减少控制方程的变量数目。 对于边界层外的流动则采用不考虑粘性势流模型求解，无须简化。 重力加速度 g 的数值是怎么确定？ 还不是由于使用了无量纲分析？ 无量纲方程只可以求解简单的流动，对于复杂几何边界，非定常边界条件等问题，由于无维参数变得很大，不能用了。 说点个人见解: 1 首先流体力学的数值模拟,即CFD,不管是有限差分,有限体积,还是有限元,从求解的角度并不需要必须对方程进行无量纲化,大家所熟悉的商业化的求解器中就有不少是有量纲的,比如fluent,等等,在输入速度参数时,直接输入在三个方向上的速度分量每秒几米即可,并不要求输入马赫数,似乎fastran 也是这样?(不熟悉) 2 对于可压缩流动而言,CFD研究者(初始大多与航空航天有关)习惯于使用能够表征流动本质特征的参数作为来流的条件,例如无粘流下的马赫数,考虑粘性流动后需要加上雷诺数,等等,因此求解的方程也就大多采用了无量纲的形式,我个人认为这样的好处,一是方便,几何相似的飞行器,不管具体的飞行速度,飞行高度,只要这两个参数相同,气动绕流流场就相似,气动力系数就相同;二是能够将流场变量数值控制在绝对值较小的范围内,有利于减少数值误差;三是可以直接与风洞试验数据对比(有凑数字3的嫌疑). 3 在现在包括时间项的NS/EULER方程的求解器中,无量纲化本身对于"特定的方程选择特定的求解方法"似乎已经没有意义,因为时间方向就是双曲方向,求解方法也只是沿时间方向推进.斑竹所言的"椭圆、抛物和双曲型"应该是对定常的方程组而言的. 4 对NS方程的无量化能够导出流体力学中关键的相似参数,而量纲分析本身是力学理论研究中的有利工具,不管是对实验还是计算都具有指导意义...(力学经典中都有,不再絮叨) 我的理解是。（1）jackliucheng说的，有历史原因（2）为了简化边界条件设置，比如了RE等与10，比你设置密度，速度，黏度，搞出个雷诺数方便多，另外看看温度周期边界的问题就更能证明这点。所以其灵活性也就降低不少，（3）便于讨论,尤其你要把数值结果搞出来跟那些分析理论得到的东西对比的时候。（4）计算精度。比如你尺寸特小，或特大的时候，这个玩意就非常有用，比如我做颗粒碰撞，你算你1厘米或几十毫米的东西就知道怎么回事了 从我切身的体会，我觉得无量纲化还有一个重要的一点是避免了不同量级的变量同时耦合求解时被“淹没”，减少数值计算过程中出现的误差！ 个人感觉，采用无量刚化，其实主要是当年算法不够好的问题。 因为在N-S方程中，有一个对流项，当年处理这类问题的时候，受到计算机以及当年算法的限制，只好采用无量刚化，来简化计算量。并且这样也可以避免大数吃小数的问题，保证计算精度。 |
