庞加莱变换和洛伦兹变换 保证惯性原理与相对性原理一致, 即在某个惯性系的匀速直线运动在任意惯性系;两惯性系之间的坐标和时间变换

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30
第二章 狭义相对论
科学理性以经验为基础, “观念世界之依赖于我们经验的性质, 就象衣裳之依赖于人体
的形状一样”1. 但理性的真正成功不是经验的简单逻辑推演, 而是合乎经验的理性创造. 这
里所说的经验并非直观经验, 而是具有实验操作意义的物理内容. 爱因斯坦1905 年提出的
狭义相对论是科学理性的巨大胜利. 在理性思维的指引下, 狭义相对论超越了基于直观经验
的牛顿时空观, “使它们（牛顿的时空概念）从先验论的奥林匹克山降落到人间的实地上来”
2. 尽管我们熟悉的经验大多数遵从牛顿力学, 但必须用相对论才能解释的现象也是随处可
见的, 例如光电效应、无线电波、太阳能量等. 只有相对论能够描写接近光速的运动, 能够
描写原子核反应产生的巨大能量, 能够描写基本粒子的产生和湮灭. 在牛顿力学大致适用的
低速运动情形, 相对论又能够过渡到牛顿力学, 从而与我们的直观经验一致. 本章前六节介
绍狭义相对论的基本原理和运动学内容, 以洛伦兹变换和协变性为重点；从第七节开始介绍
狭义相对论的动力学内容, 以质能关系和能量守恒为重点.
2.1 狭义相对论的基本原理
狭义相对论是建立在两个基本原理上的.
（1）相对性原理
所有惯性系都是等价的：所有惯性系中的物理规律都是一样的.
（2）光速不变性原理
所有惯性系中的真空光速相等.
伽利略相对性原理和狭义相对论的相对性原理的差别仅在于：前者默认仅对力学规律成
立, 而后者推广为对所有物理规律成立. 不是力学规律的一个重要例子就是电磁学. 伽利略
相对性原理不要求适用于电磁学, 而爱因斯坦坚持相对性原理对电磁学也适用3.
伽利略变换可以导出经典速度叠加公式（1.4b）, 它与电磁学理论（麦克斯威方程）和
光速不变实验结果相矛盾. 因为伽利略变换是长度、时间不变和相对性原理的必然推论, 所
以我们如果不想放弃相对性原理, 就不得不怀疑长度不变性和时间不变性的正确性4.
2.2 因果性和最高速度
考虑一对指定惯性系Σ 和Σ′ （定义见第一章1.3 节图1-6 的说明）, Σ′ 相Σ 对沿X 轴
方向匀速运动, 速率为0
υ . 设在惯性系Σ 中一个作为原因的信号发生在X 轴的0 x , 经Δt 时
间后信号沿X 轴传播到x 并产生一个结果. 信号传播的速度为υ = Δx / Δt , 其中
0 Δx = x − x . 记惯性系Σ′ 中测得这个过程的时间间隔为Δt′ . 为了使惯性原理在两个惯性
1 A.爱因斯坦, 《相对论的意义》第一章, 李灏译, 科学出版社, 1961 年第一版
2 同注1. 奥林匹克山是希腊神话中诸神居住的地方.
3 事实上在伽利略时代, 电磁学还不存在. 庞加莱在爱因斯坦之前就提出了普遍的相对性原理, 并用了相对
论这个词. 但庞加莱没有认识其中包含的物理学.
4 洛伦兹放弃了相对性原理, 认为电磁学只在相对“以太”静止的参照系（绝对参照系）正确, 物体相对“以
太”运动其长度要缩短一个与速度有关的因子, 时间也要放大一个与速度有关的因子. 他得到的“洛伦兹变
换”能够解释光速不变. 洛伦兹和庞加莱倾向于认为, 在绝对参照系的尺度和时间才是真实的.
31
系中都成立, 两个惯性系的时空坐标变换必须是线性的, 一般的形式为
Δt′ = aΔx + bΔt = (aυ + b)Δt （2.1）
其中参数a 和b 与所论事件无关, 而只与两惯性系的相对速度0
υ 有关.
◆先讨论一个思想实验. 两列火车（即惯性系1 Σ 和2 Σ ）相对而行, 他们的速度大小都
是0 u . 当两列火车相遇时, 路基旁有人将举着的玻璃杯放开, 在地面参照系测得玻璃杯经过
时间0 Δt 后摔碎在地上（图2-1）.
1 Σ
设火车1 Σ 上的人测得杯子经过时间1 Δt 后摔碎, 杯子沿水平方向的位移为
1 0 1 Δx = −u Δt ；而火车2 Σ 上的人测得的时间间隔为2 Δt 和2 0 2 Δx = u Δt . 根据（2.1）式（杯
子相对路基的水平位移0 0 Δx = ）,
2 0 0
1 0 0
( )
( )
t b u t
t b u t
Δ = − Δ
Δ = Δ
设空间具有左右对称性, 则1 2 Δt = Δt , 故( ) ( ) ( 2 )
0 0 0 b u = b −u = f u . 前面讲过b 与所论事件
无关, 故( ) 0 b u 只与2
0 u 有关的性质应普遍地成立.
■
回到一般的讨论, 考虑Σ′ 相对Σ 的运动, 设运动速度为0
υ .
假如a = 0 , 则Δt′ = b( )Δt = f ( 2 )Δt
0 0 υ υ . 根据相对性原理, 可以等价地认为惯性系Σ
相对Σ′ 以速度0 −υ 运动, 故有Δt = b(− )Δt′ = f ( 2 )Δt′
0 0 υ υ . 因此( 2 ) 1
0 f υ = , 即Δt′ = Δt ,
与牛顿的绝对时间一致.
假如a ≠ 0 , 那么从（2.1）知, 当υ 很大且与a 反号时, Δt′ 和Δt 会异号. 这意味着在带
图2-1. 参照系1 Σ 和2 Σ 是两列以相同速度
对开的列车. 当两列车相遇时, 在路基参
照系一瓶子垂直落下.
2 Σ
32
撇惯性系中原因发生在结果之后. 这是不能接受的. 解决这个困难的办法是假设υ 的大小有
一最大值——因果关系的最大传播速度, |υ |≤| b / a |.
结论：如果时间不是绝对的（与参照系有关）, 就必须存在一个传播因果关系的最高速
度.
记这个速度为c, 根据相对性原理, 它必然是一个与惯性系选取无关的物理常数. 在任
何惯性系中都有相同的c.
实际上通过实验我们已经知道c 就是光速5, 因此为了方便起见我们把传播因果关系最
快的信号称为光. 按照通常的习惯, 称最高速度在所有惯性系中相等的假设为光速不变性原
理. 以最高速度传播的信号可能不止光. 理论上引力波传播的速度也是c, 不过实验上还没
有直接观察到引力波.
2.3 不变间隔
为了看清楚与惯性系无关的最高极限速度如何导致时间间隔成为相对的、依赖于惯性系
的量, 让我们来进行一个思想实验.
◆设想一列长为L 的列车匀速运动（如图2-2）, 车中央O 点发出一个光信号, 经过L/2c
时间后, 车头的司机A 和车尾的信号员B 将同时接收到光信号. 注意O、A 和B 都是固定在
列车惯性系上的.
设O 发出光信号的瞬间, O、A 和B 点分别与路轨上的O′ 、A′ 和B′ 点重合. 因此, 距
离O′A′ = O′B′ = OA = OB . 由于光速不变性, 光信号相对于路轨惯性系向前和向后的速
度均为c, 因此A′ 和B′ 也应该同时接收到光信号. 但相对列车上的观测者, 光信号一定是
先到达A′ 然后才到达B′ 的（因为光信号到达B 点时, 在另一头已经同时到达A 点）. 反过
来, 对于站在路基上的观察者, 光信号一定是先到达B 然后才到达A 的.
B O A
B′ O′ A′
■
可见, 同时性不是绝对的！从而, 时间差不是不变量, 在不同惯性系中测量两个物理
事件的时间差结果可能不一样. 为了满足相对论的两个基本原理, 惯性系坐标之间的变换需
要一种新的关系！
考虑下面两个事件：a）在( , ) 1 1 x t 发出一个光信号；b）在( , ) 2 2 x t 接收到上述光信号.
记1 x 的笛卡儿坐标为( , , 3)
1
2
1
1
1 x x x , 2 x 的笛卡儿坐标为( , , 3)
2
2
2
12
x x x . 因为光信号在
2 1 t − t 时间内从1 x 传到2 x , 故
5例如著名的迈克尔逊-莫雷观察以太风的零结果实验, 参见：《新概念物理教程——力学》, 赵凯华、罗蔚
茵, 高等教育出版社, 392-394
图2-2. 爱因斯坦的列车.
33
( ) ( )2 0
2 1
2
3
1
2
2 1
2 = − − − ≡Σ=
s x x c t t
i
i i （2.2）
因为光速c 为常数, 在另一惯性系中, 亦有
' ( ) ( ' ' )2 0
2 1
2
3
1
2
2 1
2 = − − ′ − ′ ≡Σ=
s x x c t t
i
i i （2.3）
s2 = s'2 是光速不变这一事实的反映. 也就是说, 对可以通过光信号产生因果联系的一对事
件, s2 是一不变量（与所选惯性系无关）. 事实上, 在相对性原理和光速不变性原理的前提
下, 对任意两个事件（其时空点不一定正好能够用光信号联系起来, 因而s2 不一定为零, 也
不一定为正数）, 都可以证明有不变量
2
2 1
2
3
1
2
2 1
s2 (x x ) c (t t )
i
i i − − − ≡Σ=
（2.4）
它在所有惯性系中都有相同的值. s2 称为两个事件的不变时空间隔平方, 或简称不变间隔.
◆【证明】不失一般性, 考虑一对指定惯性系Σ 和Σ′（参见图1-6）, Σ′ 相对Σ 以速度
0 υ
沿X 轴运动. 出于对称性的考虑, y′ = y , z′ = z . 所以下面只需考虑X 坐标.
为了保证惯性原理与相对性原理一致, 即在某个惯性系的匀速直线运动在任意惯性系
中仍然是匀速直线运动, 两惯性系之间的坐标和时间变换必须是线性变换,
x′ = ax + bt + d （2.5）
0 0 0 t′ = a x + b t + d (2.6)
其中0 0 0 a,b,d,a ,b ,d 与所讨论事件无关, 是与时空变量无关的常数. 设在惯性系Σ 中有两
个事件的坐标分别为( , ) 1 1 x t 和( , ) 2 2 x t , 在另一惯性系Σ′ 中他们的坐标为( , ) 1 1 x′ t′ 和( , ) 2 2 x′ t′ .
记2 1 Δx = x − x , 2 1 Δx′ = x′ − x′ , 2 1 Δt = t − t , 和2 1 Δt′ = t′ − t′ . 由（2.5）和(2.6),
Δx′ = aΔx + bΔt (2.7a)
Δt′ = a Δx + b Δt 0 0 (2.7b)
因此,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) b x (ab c a b ) x t
c
b x c t a c a b
c
b
a c a x ab c a b x t b c b t
s x c t a x b t c a x b t
Δ Δ − + Δ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− + − + Δ − Δ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= − −
= − Δ + − Δ Δ + − Δ
′ = Δ ′ − Δ ′ = Δ + Δ − Δ + Δ
0 0
2 2 2
2 0
2
2
0
2 2 2 2 2 2
2 0
2
2 2
0
2 2
0 0
2 2 2
0
2 2
2
0 0
2 2 2 2 2 2
2
2
34
上式可以写成
s′ = c s + b Δx + a ΔxΔt 1
2
1
2
1
2 (2.8)
其中1 1 1 a ,b ,c 为常数, 与所讨论事件的时空坐标无关. 考虑Σ 中两对可以用光信号联系的
事件, Δx = ±cΔt . 对于这两对事件都有s2 = 0 . 由（2.3）, 在另一惯性系Σ′ 中也有s′2 = 0 .
代入（2.8）式得,
2 0
1
2 2
1 b c Δt ± a cΔt =
上式对1 a 前面的正负号都要成立, 唯有0 1 1 a = b = . 因此,
2
1 0
s′2 = c (υ )s (2.9)
因为Σ 相对Σ′ 以速度0 −υ 沿X 轴运动, 故
2
1 0
s2 = c (−υ )s′ (2.10)
假设空间各向同性便有( ) ( ) 1 0 1 0 c υ = c −υ . 通过比较（2.9）和（2.10）可到
( ) 1 1 0 c υ = ±
如果s2 > 0 , 意味着两个事件之间不存在因果关系（| Δx / Δt |> c ）；如果s2 < 0, 意味着两
个事件可以存在因果关系（| Δx / Δt |< c ）. 两个事件之间是否允许存在因果关系是绝对的,
与所选择的惯性系无关, 因此s2 和s′2 应该同号, 所以1 1 c = .
因为1 1 1 a ,b ,c 与时空坐标无关, 所以0 1 1 a = b = 和1 1 c = 普遍地成立. 由（2.8）得
s′2 = s2 (2.11)
■
2.4 光锥
上节我们对任意一对事件定义了一个重要的量：不变间隔s2 . 从它的符号可以判定两个
事件是否可能存在因果关系.
令Δt = 0 , 则( ) 0
3
1
2 2 > Δ =Σ=
i
s xi , s2 等于空间间隔的平方.
令Δx = 0 , 则s2 = −c2Δt2 < 0 , s2 等于时间间隔的平方乘以常数因子（ − c2 ）.
35
若s2 >0, 则称s2 为类空间隔, 称两个事件是类空的(两事件的间隔类似于空间间隔), s
为实数, 两事件无因果联系；
若s2 <0, 则称s2 为类时间隔, 称两个事件是类时的(两事件的间隔类似于时间间隔), s 为
纯虚数, 两事件可以有因果联系；
若s2 =0, 则称s2 为类光间隔(两事件的时空间隔等于光信号通过的时空间隔), 两事件
只能通过光信号发生因果联系.
在空间位置和时间的坐标中, 每个质点的运动对应一条曲线, 称为世界线. 图2-3(a)给
出质点沿X 轴运动的几个例子, 实线、虚线和点线分别对应加速运动、匀速运动和减速运动.
取时间轴为ct, 则斜率为1 的直线对应光信号的世界线. 经过一个时空点的所有光信号的世
界线构成一对圆锥曲面, 称为该时空点的光锥, 如图2-3(b)所示. 从O 点沿直线到光锥表面
任一点的信号速度等于真空中的光速；从O 点到达光锥内任一时空点的信号速度可以小于
光速；从O 点到达光锥外任一时空点的信号速度必大于光速（在狭义相对论中是不可能的,
因此O 发生的信号不可能跑到光锥外面去）.
和发生在O 点的事件有因果关系的事件必须发生在光锥内或光锥表面. 上面的光锥是
O 的绝对未来, 下面的光锥是O 的绝对过去. 光锥外的点与O 绝对分离（无因果关系）. 此
处“绝对”的意思是指在任何惯性系中都一样.
对类空的一对事件, 事件的时间先后次序是无绝对意义的；而对类时的一对事件, 事件
的空间相对位置（例如两事件是否发生在同一地点, 那个事件在上方那个在下方等）是无绝
对意义的.
2.5 庞加莱变换和洛伦兹变换
我们将看到, 把时间和空间坐标合起来考虑是方便的. 定义为x1 = x , x2 = y ,
x3 = z , 和x4 = ict （引入虚数i 是为了以后方便）. 在t 时刻、(x1, x2 , x3) 点发生的事件可
以用四个分量的所谓时空矢量X 来标记,
图2-3. (a)世界线. (b)光锥.
ct
X
O
(a)
ct
Y
O
(b)
X
36
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
4
3
2
1
x
x
x
x
X （2.12）
以后我们总是用大写黑体字母表示四维时空矢量或矩阵, 用小写字母表示它们的分量. 三维
空间的矢量则用小写黑体字母表示. 由所有时空矢量构成的四维空间称闵可夫斯基空间.
闵可夫斯基空间中每一点代表一个事件的时空位置.
两个事件1 X 和2 X 的时空矢量差（时空位矢）定义为
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
Δ
Δ
=
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
Δ = − =
4
3
2
1
4
1
4
2
3
1
3
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2 1
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x
X X X （2.13）
它的转置矩阵ΔXT = (Δx1, Δx2 , Δx3 , Δx4 ) . 根据矩阵的乘法规则,
Σ Σ
= =
Δ Δ = Δ = Δ − Δ =
4
1
2 2 2
3
1
( )2 ( )2
μ
xμ x c t s
i
XT X i （2.14）
它正是（2.4）式定义的不变间隔. 相对论的惯性系变换必须保证(2.14)式不变（见2.3 节）, 即
惯性系变换前后时空位矢的“大小”不变,
ΔX′T ΔX′ = ΔXT ΔX （2.15）
保证惯性原理和相对性原理一致的惯性系变换必须是线性变换（参见1.3 节和附录1.1）.
在狭义相对论中, 惯性原理仍然被认为是正确的, 因此相对论的变换关系也要是线性的, 其
一般表达式为
μ
ν
ν μν
μ b x a x + = ′ Σ=
⋅
4
1
, μ = 1,2,3,4 （2.16）
其中μν
⋅ a 和bμ 是一些和惯性系有关但与事件时空坐标无关的参数(今后一般用上标表示矩阵
的行指标,下标表示矩阵的列指标). 相应地, 时空矢量差的变换式为
Σ=
⋅ Δ = Δ
4
1
'
ν
ν μν
x μ a x （2.17a）
记以μ
ν⋅ a （μ ,ν = 1,2,3,4）为矩阵元的4 乘4 矩阵为A , （2.17a）式进一步可写成
ΔX′ = AΔX （2.17b）
两边取矩阵转置,
ΔX′T = ΔXT AT （2.18）
其中AT 是A 的转置矩阵. 用（2.18）从左边乘（2.17b）得
37
ΔX′T ΔX′ = ΔXT AT AΔX = ΔXT ΔX
上式中的ΔX 是任意的, 所以(证明见附录2-1)
AT A = I （2.19）
其中I 为4 乘4 的单位矩阵. 因此A 是4 乘4 的正交矩阵. AT 的ν 行λ 列矩阵元为λ
ν
ν
⋅λ ⋅ a~ = a .
正交矩阵A 满足
Σ Σ
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =
4
1
4
1
~ ~
ν ν
μ
λ
ν
λ
μ
ν
ν
λ
μ
ν a a a a δ （2.20）
其中μλ
δ⋅
当μ = λ 时等于1, 否则等于0, 称为克罗内克尔(Kronecker)符号. 惯性系之间的相
对论四维时空位矢的变换（2.17a）式和等价的(2.17b)式称为洛伦兹变换. 联想到三维实空
间的正交变换对应三维空间的转动变换, 可以把A 想象成四维空间（闵可夫斯基空间）的“转
动”变换.
洛伦兹变换即闵可夫斯基空间的正交变换.
引进一个列矩阵B 来标记（2.16）式中的bμ ,
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
4
3
2
1
b
b
b
b
B （2.21）
则可将相对论时空坐标变换（2.16）式写成等价的矩阵形式
X′ = AX + B (2.22)
上式的A 和（2.17b）式的A 是相同的4 乘4 正交矩阵. 时空坐标的变换关系（2.22）式(或
(2.16)式)称为庞加莱变换6. 当B = 0 时, 庞加莱变换回到洛伦兹变换.
Y Y ′
Σ Σ′
0 υ
s O X s O′ X ′
选定两惯性系的坐标架可以更清楚地了解变换矩阵A 各矩阵元的物理意义. 下面是洛
伦兹变换的一个特例.
◆设在t = t′ = 0 时刻惯性系Σ 和Σ′ 的坐标架重合, Σ′ 相对Σ 以速度0 0 1 υ =υ eˆ 沿X 轴
运动, 如图2-4 所示. 对如此选定的两个惯性系, 特殊洛伦兹变换矩阵为（见附录2-1）
6 庞加莱证明此变换构成群（一种数学结构）, 其性质在物理学有重要应用, 例如基本粒子分类.
图2-4. s O 和s O′ 分别为两个惯
性系Σ 和Σ′ 的空间坐标原点.
Σ′ 相对Σ 以速度0
υ 沿X 轴运
动.
38
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
=
βγ γ
γ βγ
0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0
i
i
A (2.23)
其中
c
0 υ
β = （2.24）
2
0 1 ( / )
1
υ c
γ
−
= （2.25）
把（2.23）式代入(2.17a)式得到坐标间隔和时间间隔在两个惯性系之间的洛伦兹变换,
2
0
0
1
1
1 ( / c)
x x t
υ
υ
−
Δ − Δ
Δ ′ = （2.26a）
Δx′2 = Δx2 （2.26b）
Δx′3 = Δx3 （2.26c）
2
0
1
2
0
1 ( / )
'
c
x
c
t
t
υ
υ
−
Δ − Δ
Δ = （2.26d）
（2.26a）、（2.26b）和（2.26c）三式分别与（2.26d）式相比, 并令Δt,Δt′ → 0 , 得到相对论
的速度迭加公式,
1 2
0
0
1
1
1 υ υ / c
υ υ
υ
−
−
′ = （2.27a）
( )
1 2
0
2
0
2
2
1 /
1 /
c
c
υ υ
υ υ
υ
−
−
′ = （2.27b）
( )
1 2
0
2
0
3
3
1 /
1 /
c
c
υ υ
υ υ
υ
−
−
′ = （2.27c）
其中υ j = Δx j / Δt , j = 1,2,3 , 是质点相对惯性系Σ 移动的速度；υ ′ j = Δx′ j / Δt 是同一质
点相对惯性系Σ′ 移动的速度.
■
小结：时间和空间统一为四维闵可夫斯基空间. 闵可夫斯基空间（时空）的转动称为
洛伦兹变换. 相对论时空的几何特征表现为时空间隔s2 在洛伦兹变换下不变. 惯性系的
坐标变换对应闵可夫斯基空间的庞加莱变换, 它由洛伦兹变换和时间、空间平移构成（如
果没有时间和空间平移, 庞加莱变换就回到洛伦兹变换）.
39
◆ 例2-1. 动钟变慢
设某物体内部相继发生两个事件（例如分子振动一个周期的始点和终点）. 设Σ′ 为该物
体的静止惯性系, 在这参照系上观察到两事件发生的时刻为1 t′ 和2 t′ , 其时间为2 1 Δτ = t′ − t′ .
由于两事件发生在同一地点x′ , 因此两事件的不变间隔为
2 2 2
2 1
s2 = −c2 (t′ − t′) = −c Δτ （例2.1）
在另一惯性系Σ 上观察, 该物体以速度0 v 运动, 因此第一事件发生的地点1 x 不同于第
二个事件发生的地点2 x . 设Σ 上观察到两事件的时空坐标为( , ) 1 1 x t 和( , ) 2 2 x t , 则两事件
的不变间隔又可以写成
2 2 2
0
2 2 2 2
2 1
2 2
2 1
s2 = x − x − c (t − t ) = Δx − c Δt = (υ − c )Δt （例2.2）
（例2.1）式等于（例2.2）式, 因此
2
0 1 ( / c)
t
υ
τ
−
Δ
Δ = （例2.3）
可见, 同样物理过程经历的时间, 在不同惯性系测量的结果是不一样的. 在Σ 惯性系
测得的时间间隔Δt 比在Σ′ 测得的时间间隔Δτ 长. 或者说运动的时钟慢了.
■
◆ 例2-2 动尺缩短
长度为0 l 的刚性尺子固定在惯性系Σ′ 的X′ 轴上. 惯性系Σ′ 相对惯性系Σ 沿X 方向以
速度0
υ 匀速运动（如图2-5）.
Σ′
Σ
0 υ
1 x′ 2 x′
X′
1 x 2 x X
在惯性系Σ 中测量运动尺子长度的方法是, 在Σ 中同时记录尺子前后两端的坐标. 记
测得的前后端坐标为1 x 和2 x , 对惯性系Σ 上的观察者来说, 尺子的长度为2 1 l = x − x . 应
用洛伦兹变换公式（2.26a）, 注意到0 2 1 Δt = t − t = , 得
图2-5. 运动的尺子固定
在Σ′ 的X′ 轴上. Σ′ 相
对Σ 的速度为x eˆ 0
υ .
40
2
0
2 1
2 1 1 ( / c)
x x x x
− υ
−
′ − ′ = （例2.4）
因为尺子固定在Σ′ 上, 所以尺子两端的坐标差总是等于尺子在Σ′ 上的长度, 与什么时
候测量这两个坐标, 是否同时测没有关系. 因此, 2 1 0 x′ − x′ = l , 上式写成
2
0 0 l = l 1− (υ / c) （例2.5）
可见, 在不同惯性系中测量同样的尺子, 结果会不一样. 测量沿运动方向摆放的尺子
所得的长度比该尺子固定时的长度要短.
■
2.6 协变性
在相对论中, 所谓标量、矢量和张量是根据他们在惯性系变换下的变换规律来定义的.
标量只有一个分量s , 它在惯性系变换下不变,
s′ = s （2.28）
矢量有四个分量U = {u1,u2 ,u3 ,u4 }, 它在惯性系变换下如同四维时空位矢一样服从洛
伦兹变换关系,
U′ = AU 或 μ ν
ν
u μ a u ⋅ ′ = （2.29）
其中省略了对指标ν 求和的求和号. 由变换(2.29)式定义矢量完整的名称是反变洛伦兹矢(参
见下章3.3 节). 因为在相对论中大量出现这种对两个相同指标的求和, 爱因斯坦首先引入对
重复指标ν 求和的约定, 使表达式大大简化. 以后我们将采用这一约定. （2.29）式中的矩阵
A 和（2.17）式中的变换矩阵相同.
张量（通常指二阶张量）有十六个分量T = {tμν | μν = 1,2,3,4}, 它的每一个指标都如
同矢量指标一样按（2.29）式变换,
ν αβ
β
μ
α
t μν a a t ⋅ ⋅ ′ = （2.30）
有时把标量、矢量、张量统称为张量, 把标量称为零阶张量, 矢量称为1 阶张量, 等等.
由两个矢量U 和V 的“点乘”（更专业的术语为标积, 或内积）可以得到一个标量,
Σ=
=
4
μ 1
μ
μUTV u υ （2.31）
因为分量μ u 的指标μ 现在是横矩阵UT 的列指标, 故写成下标. 矢量和自己的标积是该矢
量的一个重要性质, 因为在惯性系变换下它是一个不变量. 例如（2.4）式定义的不变间隔就
是四维时空位矢和自己的标积.
◆ 例2-3 光波的相位差和四维波矢量分别为洛伦兹标量和矢量
考虑一平面光波, 它在惯性系Σ 中的角频率为ω 、波矢量为k . 取时空原点的相位等于
零. 则时空点(x,t) 的相位为
41
φ = k ⋅ x −ωt （例2.6）
我们首先要说明两个时空点的相位差是一个标量, 与惯性系无关. 为简明起见, 图2-6
只画出闵可夫斯基空间在X 和ict 平面的投影, 其中直线对应n n φ = 2π 的等相面, n 为整数,
直线上每一点对应参与波动的电磁场取峰值. 图中随意画出两个时空点( , ) 1 1 x ict 和
( , ) 2 2 x ict . 它们的相位差为
( ) ( ) 2 1 2 1 Δφ = k ⋅ x − x −ω t − t （ 例2.7）
设在另一惯性系Σ′ 中, 该波的角频率为ω ′ , 波矢量为k′ 的平面波. 约定两参考系时间
零点和坐标原点重合, 则时空点(x′,ict′) 的相位为
φ ′ = k′⋅ x′ −ω ′t′ （例2.8）
经过洛伦兹变换, 惯性系Σ′ 的坐标架在闵可夫斯基空间作了一个“转动”, 示意地由图2-6
中带撇坐标轴给出. 因为参与振动的电磁场取峰值的时空点与惯性系变换无关, 所以在惯性
系变换中等相面（直线）保持不变. 在Σ′ 看来, 时空点( , ) 1 1 x ict 和( , ) 2 2 x ict 的坐标分别为
( , ) 1 1 x′ ict′ 和( , ) 2 2 x′ ict′ , 可以通过庞加莱变换（2.22）式得到, 而他们的相位差为
( ) ( ) 2 1 2 1 Δφ ′ = k′ ⋅ x′ − x′ −ω ′ t′ − t′ （ 例2.9）
因为Δφ / 2π 和Δφ ′ / 2π 都等于两个特定等相面之间所包含的物理量取峰值的等相面数目,
所以Δφ = Δφ ′ . 即使两个惯性系的初始相位选择不同, 相位差亦相等. 如果所选的时空点
不是刚好对应电磁场峰值, 以上推理仍然成立, 只需把“峰值”换成“某一特定位形”即可.
X
ict
ict′
X’
O=O’
0 0 φ = 2 −
φ
1 φ
2 φ
3 φ
1 −
φ
4 φ
( , ) 2 2 x ict
( , ) 1 1 x ict
图2-6 等相面在X和ict 平面
的投影. X’和ict′ 坐标架是经
过洛伦兹变换的坐标架. 标
注n
φ 的直线上各点具有相位
2πn .
42
所以, 相位差是个标量.
把波矢和圆频率合记为行矩阵K = (k,iω / c) , 其前三分量是空间波矢的三个分量j k ,
第四个分量为k i / c 4 = ω . 采用四维时空矢量记号（2.13）式, 相位差（例2.7）式写成
Δφ = KΔX （例2.10）
上式在洛伦兹变换下不变, 要求K 如下变换：
K′ = KAT （例2.11a）
对矩阵方程作矩阵转置,
K′T = AKT （例2.11b）
因此K 是洛伦兹矢量. 准确地讲, 列矩阵KT 是洛伦兹反变矢量, 而行矩阵K 是洛伦兹协
变矢量(参见下章3.3 节).
■
◆ 例2-4 多普勒效应和光行差
因为K 是洛伦兹矢量, 据（例2.11a）式, 在洛沦兹变换下,
ν
μ ν ⋅μ k′ = k a~ （例2.12）
其中μ
ν
ν
⋅μ ⋅ a~ = a 是AT 的ν 行μ 列矩阵元. 对特殊洛伦兹变换（2.23）式, 有
⎟⎠
⎞
⎜⎝
′ = ⎛ − ω
υ
γ 2
0
1 1 c
k k （ 例2.13a）
2 2 k′ = k （例2.13b）
3 3 k′ = k （例2.13c）
( ) 0 1 ω ′ =γ ω −υ k （例2.13d）
对真空中的光波, 有k = ω / c . 设波矢k 与X 轴方向的夹角为θ , k′ 与X 轴方向的夹角
为θ ′ ,则有
θ
ω
cos 1 c
k = , θ
ω ′
′
′ = cos 1 c
k （例2.14）
代入（例2.13d）式得
⎟⎠
⎞
⎜⎝
′ = ⎛ − θ
υ
ω γω 1 0 cos
c
（例2.15）
43
这就是光波的多普勒效应公式, 其中0
υ 是惯性系Σ′ 相对惯性系Σ 的速度（设沿X 方向）7. 若
光源在Σ′ 静止, 0
ω ω ′ = 为静止光源的辐射角频率. 由（例2.15）式得运动光源在Σ 的角频
率为
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
=
θ
υ
γ
ω
ω
1 0 cos
0
c
（例2.16）
其中θ 为Σ 中光线方向与光源运动方向的夹角. 当光线方向垂直光源运动方向时, 经典公
式（ 1 = γ ）会给出0
ω ω = , 但相对论预言光频率变小, 称为横向多普勒效应, 为早期相对
论运动时钟变慢效应的实验证据之一（Ives 和Stilwell, 1938）. 对小速度, （例2.16）式近
似为
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ + θ
υ
ω ~ω 1 0 cos
0 c
（例2.16）
实验发现宇宙存在均匀的各向同性的微波背景辐射, 标准宇宙模型认为它是宇宙大爆炸早
期遗留下来的痕迹. 通过测量微波背景辐射频率的角度依赖关系, 可以确定出地球在宇宙
中的绝对速度约为369 公里每秒（COBE 结果, 1996；而2001 年发射升空的WMAP 公布了
更加精细的宇宙微波背景辐射数据, http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm.html）.
把（例2.14）式代入(例2.13a）式并利用（例2.15）式消去ω ′ 得
υ θ
θ υ
θ
cos
cos cos
0
0
−
−
′ =
c
c
（例2.17）
（例2.17）式可写成常用的形式,
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
′ =
c
tg
cos 0
sin
υ
γ θ
θ
θ （例2.18）
此为光行差公式.
光行差较早为天文观测所发现（Bradley, 1728）. 设地球相对太阳参考系Σ 的速度为0
υ ,
在Σ 上看到某恒星的光线与地球运动方向的夹角为θ .恒星距离太阳非常遥远, 可以认为它
相对太阳静止,因此恒星相对地球的速度为- 0
υ . 根据（例2.18）式, 在地球上看到恒星光
线的角度为
c c
tg
0 cos 0
sin
cos
sin
υ
θ
θ
υ
γ θ
θ
θ
+
≈
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ +
′ = （例2.17）
7对一般的波动, | k |=ω / c~ , 其中c~ 是Σ 中的波速. 把（例2.15）式中的c 换成c~ 则得到相应的多普勒
公式.
44
一年之内地球运动速度方向变化一个周期, 相应地, 观测恒星的表观方向也呈周期变化.
由此可以估计光的速度.
■
根据相对性原理, 物理规律在所有惯性系中都一样, 因而可以写成形式相同的数学方程
式. 为了使一条物理方程式在惯性系变换中保持相同的形式, 方程式中的每一项必须具有相
同的变换方式, 也就是说, 方程式的每一项都必须是同一类型的张量（包括：标量、矢量和
二阶张量等）, 或者是同一类型张量的同一分量.
洛伦兹协变性（简称协变性）：符合狭义相对论的普遍成立的物理规律都可以表述
为闵可夫斯基空间的张量方程, 其中每一项都是同一类型的张量.
另一种说法：物理方程式在庞加莱变换（包括洛伦兹变换）下保持不变.
仅依靠协变性不能判断物理方程是否正确. 但它对建立狭义相对论性的理论有重要的
指引意义. 物理规律是否协变和物理量的选取有关. 人们通常偏爱那些简单的、容易想象的
（有经验对应或有简单几何意义的）、容易和实验联系起来的物理量. 引入物理量的最终目
的是描写物理现象之间的联系. 已经知道, 为了完整描写物理现象, 有必要选用没有物理测
量意义的物理量（如电磁势, 量子概率幅）. 物理量的选取带有主观性. 而我们倾向于选取
几何量（张量）作为物理量, 使物理规律具有协变的形式, 在某种意义上也带有主观性. 除
了使物理规律明显不依赖于惯性系之外, 要求协变性的主要理由可能就是让物理量具有简
单的数学性质, 使规律具有简洁的数学形式.
2.7 相对论质点力学
至今我们只讨论了没有加速度的惯性运动. 加速运动一般是由力引起的. 力是什么？按
照牛顿第二定律： f = dp / dt . 在伽利略变换中, dt 不变, dp 和f 均为三维伽利略矢量,
故牛顿第二定律在伽利略变换下是协变的, 满足伽利略相对性原理. 对质点组构成的保守系
统, 牛顿力学假定质点之间的相互作用只和所有质点的瞬间位置有关, 力可以写成一个势函
数的负梯度, 例如第i 个质点受到的力为i N i f = −∂V (x , x , , x ) / ∂x 1 2 L . 这种超距瞬时相互
作用与相对论明显矛盾. 修正牛顿的超距瞬时相互作用是一个比较复杂的问题. 关于自然界
各种真实力（或相互作用）的研究属于动力学（dynamics）的范畴, 本节暂不展开讨论. 以
后我们会讲到引力和电磁相互作用. 现在我们试图建立一套符合狭义相对论的力学形式框
架, 在其中相互作用仍然用力来表示, 但不问力的具体物理内容.
我们首先注意到, 牛顿力学关于力的定义不满足洛伦兹协变性. 在惯性系变换中dp 和
dt 都会变化, 使得f 的变换规则与dp 不同. 事实上i p 和i f 都不成其为四维矢量的分量.
洛伦兹协变性要求我们把三个分量的经典力推广为四个分量的四维力矢量. 力是动量的变
化率, 因此动量也要推广为四个分量的四维动量矢量. 而为了定义四维动量要知道四维速度.
所以让我们先引入四维速度.
2.8 四维速度
速度量度质点运动的快慢, 定义为位矢的变化率
45
dt
υ = dx （2.32）
因为在惯性系变换中分母dt 也变化, υ 不成其为四维矢量的分量, 不适宜出现于洛伦兹协
变的物理公式中. 为了把υ 改造成四维矢量的分量, 必须用一个反映时间变化的标量（标量
不随惯性系变换而变化）取代dt . 迄今我们学过的四维时空标量有不变间隔s2 , 由（2.4）
式定义. 对无穷小的时空间隔, （2.4）式可写成
ds2 = dx ⋅ dx − c2dt2 （2.33）
由此可构造出一个具有时间单位的标量
ds dt
c
d
γ
τ = 1 − 2 = 1 （2.34）
其中
1 ( / )2
1
υ c
γ
−
= （2.35）
按 (2.34)式计算出来的dτ 在任意惯性系都是一样的. 若在某惯性系中测量时间间隔
dt 的瞬间有υ = 0 , 即质点在dt 的位移dx = 0 , 则有γ = 1, 从而dt = dτ . 可见dτ 是在
质点瞬时速度等于零的惯性系中测量到的时间间隔（参见例2-1）, 称为固有时间间隔, 而
τ 称为固有时.
dτ 就是我们寻找的反映时间变化的标量. 于是四维速度矢量可定义为
τ
μ
μ
d
u = dx , μ = 1,2,3,4 （2.36）
前三个分量具有速度的物理意义, 可以用来量度质点运动的快慢. 第四个分量u4 = icγ . 质
点通常意义的速度由（2.32）式定义, 仍记为υ . 因为dτ = γ −1dt , 四维速度可写成
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
u ic
u
u
u
3
2
1
4
3
2
1
υ
υ
υ
U γ （2.37）
当质点速度远远小于光速时, γ ≈ 1, 四维速度U 的前三个分量还原为由（2.32）式定
义的三维速度, U 的第四个分量则成为常数ic.
用四维速度U 能够得出通常意义的速度υ , 因此四维速度的概念可以取代（2.32）式所
定义的速度概念. 在相对论中四维速度比通常意义的速度更方便, 因为在惯性系变换中四维
速度按四维矢量的变换方式变换（参看（2.29）式）,
AU U = ′ 或 Σ=
⋅ ′ =
4
ν 1
μ ν
ν
u μ a u （2.38）
46
而通常的速度按（2.27）式变换. 参考上章1.3 节关于（1.8）和（1.9）式的讨论, U 和U′ 应
理解为同一个物理矢量在两个惯性系的表示, 而υ 和υ′ 却是不同的两个物理量.
2.9 动量四维矢量和惯性质量
有了四维速度, 自然想到把四维动量定义为
P U 0 = m （2.39a）
即
( , ) ( , ) 0 0
P = p p4 = γm υ icγm （2.39b）
式中质量0 m 必须是标量方可使P 成为四维矢量. 仿照定义固有时τ 的方法, 规定0 m 为质
点静止时的质量, 称为固有质量. 无论在哪一个惯性系中使用（2.39）式计算四维动量, 0 m
都等于在质点静止时测量到的质量, 它是一常数. 所以在惯性系变换下P 和U 具有相同的
变换方式, 因而是一个四维矢量.
P 的空间分量为
p υ 0 = γm （2.40）
在低速情形, 上式还原为经典的动量υ 0 m . 可见它是经典动量概念在相对论中的自然推广.
至此为止, 关于相对论动力学的讨论仅限于如何选择描写运动的合适变量, 而没有实质
的物理内容. 接下来, 要回答一个物理问题：在相对论力学中, 哪个量是守恒量？
考虑限制在一个方向的两体完全非弹性碰撞. 设想系统由两个固有质量同为0 m 的粒子
A 和B 组成, 它们只在接触时有相互作用. 在参考系Σ 中, 系统初始时A 静止, B 从左边以
速度υ 向A 运动, 两粒子碰撞后合而为一, 成为一个复合粒子以速度u 一齐运动. 这个过程
总能量和总动量守恒. 因为发生了非弹性碰撞, 有一部分机械能会转化为结合能, 所以机械
能不守恒. 而动量守恒比较简单. 从质心系看这个过程, 总动量等于零. 可设质心系Σ′ 中A
和B 碰撞前的速度分别为u′ − 和u′ . 显然u′ 等于Σ′ 相对Σ 运动的速度0
υ . 因为动量守恒,
碰撞后复合粒子的速度等于零, 所以Σ′ 相对Σ 运动的速度和Σ 中复合粒子的速度u 相同.
因此, = u 0
υ . 利用相对论速度变换公式（2.27a）式得
2 2
0
0
1 /
2
υ c
υ
υ
+
= （2.41）
假如粒子的动量定义为固有质量乘速度, 则在Σ 中碰撞前的总动量为
2 2
0
0
0 0 1 /
2
c
m m
υ
υ
υ
+
= （2.42）
如果固有质量是守恒量, 即复合粒子的质量为0 2m （稍后将知道这是不对的）, 那么碰撞后
47
的动量为0 0 2mυ , 和（2.42）式对比可见动量不守恒. 出现这个不合理结果的原因来自动量
的定义（2.42）式和（或）固有质量守恒假设.
让我们尝试（2.40）式定义的动量. 在Σ 中碰撞前的总动量为γ υ υ 0 ( )m . 其中γ (υ ) 的定
义见（2.35）式 .设复合粒子的固有质量为0 M , 则动量守恒给出
γ υ υ γ υ υ 0 0 0 0 ( )M = ( )m （2.43）
利用（2.41）式, （2.43）式写成（习题【2.1】）
0 0 0 0 0 0 γ (υ )M = γ (υ )m + m = γ (υ )m +γ (0)m （2.44）
古典力学中惯性质量等于动量和速度之间的比例系数. 借用这个概念, 很自然从（2.40）式
得到以速度υ 运动的质点有惯性质量
0 m(υ ) =γ (υ )m （2.45）
引入依赖于速度的惯性质量后, (2.44)式成为
( ) ( ) (0) 0 M υ = m υ + m （2.46）
上式表示惯性质量是一个守恒量. 在古典力学中有质量守恒定律, 但它和这里的惯性质量守
恒有所不同. 这里的惯性质量是随速度变化的. 事实上早在相对论建立前的1903 年就发现
高速运动电子的惯性质量随运动速度增加而增加. 相对论的惯性质量守恒在近代物理中已
被大量实验所证实. 稍后将说明惯性质量守恒实质上就是能量守恒. 因此, 如果惯性质量守
恒, 而动量按（2.40）式定义为惯性质量乘以速度, 则动量守恒得到保证.
2.10 动力学方程和四维力
下面给出牛顿第二定律在相对论的推广. 采用（2.40）式定义动量p , 力作为动量变化
率自然定义为
dt
m d
dt
d ( )
0
f p υ γ
= = （2.47）
假如f 等于υ 0 m 的变化率, 则在恒力作用下会出现超光速. 因为（2.40）式定义的p 有一个
γ 因子, 使惯性随速度增加而增加, 随着υ 的大小接近光速而趋向无穷, 所以可以避免在力
的持续作用下粒子的速度υ 超过光速. 这再次说明用（2.40）式定义动量是合理的.
注意, 上式的动量变化率是在同一惯性系测量的动量变化和时间变化之比. 因为dt 不
是标量, 所以f 并不象四维矢量的前三个分量那样变换. 而且（2.47）式定义的力和加速度
的方向不一定一致. 可以证明, 只在速度平行于加速度和速度垂直于加速度两种情况, f 才
与υ& 同线.
为了得到具有矢量性质的力, 把（2.47）式中的时间t 换成固有时τ . 四维力定义为四
维动量按固有时计算的变化率
48
dτ
Κ = dP （2.48）
其中P 为（2.39a）式定义的四维动量, dτ 为固有时间间隔. 因为固有时是标量, 因此四维
力Κ = (κ,κ 4 ) 是四维矢量. 四维力前三个分量和f 的关系为
κ = γ (υ ) f （2.49）
其中υ 是受力粒子的运动速度.
四维力K 的第四个分量
τ τ
κ
d
d mc
c
i
d
dp4 ( 2 )
4 = = （2.50）
下节将说明, mc2 是粒子的能量. 因此四维力的第四个分量具有功率的意思, 其中的时间变
化用固有时来量度.
2.11 爱因斯坦质能关系
四维动量P 的第四个分量有什么物理意义？从定义看到,
2
0
4 mc
c
p = im cγ = icm = i （2.51）
它和惯性质量只差一个常系数, 而mc2 具有能量量纲. 考虑mc2 低速展开
⎥ ⎥⎦ ⎤
⎢ ⎢⎣
⎡
+ ⎟⎠
⎞
⎜⎝
= + + ⎛ L
2
2
0
2
0
2
4
1 3
2
1
c
mc m c m υ
υ （2.52）
其中第一项为物理常数, 在低速极限下, 第二项成为动能. 在2.9 节的讨论中已经提到惯性
质量守恒, 即mc2 守恒. 爱因斯坦认为那就是相对论粒子的总能量（粒子的动能和粒子内禀
能量之和, 不包括粒子在外场下的势能）
ε = mc2 （2.53）
这就是著名的爱因斯坦相对论质能关系. 质能关系不仅指出惯性质量正比于系统的能量,
而且意味着能量具有惯性. 此处的所谓粒子实际上可以是一个任意物理系统.
当粒子静止时, m 等于固有质量0 m , 动能为零, 相对论能量为2
0 0ε = m c , 称为静止能
量. 静止能量是洛伦兹协变性所要求的. 删去静止能量, 或用其他常数代替2
0m c , 都不能
使P 成为四维矢量 (习题【2.2】) . 四维动量矢量可写为
( , ε )
c
P = p i （2.54）
质点的相对论动能为
( ) 2
0
2
0 T = ε −m c = m−m c （2.55）
49
我们再从动能定理的角度检验爱因斯坦质能关系的合理性. 在无穷小位移中, 力f 对
粒子做的功
m c d d mc d mc m c dT
m c d
c
m d m c d
d d m d
dt
d d
= = = − =
= ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
−
= =
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅
( ) ( )
2
1 1
1 /
1
2
( )
2
1
( )
2
0
2 2 2
0
2 2
2 2 0
2
2 0
0
0
γ
γ
γ υ γ
γ
γ
γ
υ
f x p x υ p υ υ
（2.56）
和牛顿力学的动能定理一致.
因为P 是四维矢量, 它的标积是一个洛伦兹变换下的不变量（标量）, 与惯性系无关. 在
粒子静止的惯性系中此标量等于负的静止能, 所以
2 2
2 0
2
m c
c
T = ⋅ − = −
ε P P p p （2.57）
或者写成常用的形式, 即相对论能量动量关系
2 4 2 2
0
ε 2 = m c + p c （2.58）
易证另一有用的公式
p υ
c
c ε
= （2.59）
对以光速运动的粒子, γ = ∞ . 为使四维动量（2.54）式有限, 要求光速运动粒子的固有
质量0 0 m = . 此时能量动量关系成为
ε = c p （2.60）
零质量粒子的速度恒为c , 其动量不能由（2.40）式定义, 其能量全部来自运动能量.
2.12 质能关系的意义
若mc2 真正具有能量的物理意义, 它必须能够转化成其他形式的能量, 并且满足能量
守恒定律. 这一点需要实验的支持. 而试验已经证实, 在牵涉到总质量减少的过程中, 如正
负电子湮灭、核裂变和核聚变等, 都伴随着相应的能量释放（以动能、辐射能或热能等形式）.
在这些过程中, 能量守恒定律得到满足.
在非弹性碰撞中, 一部分动能转化为其他形式的能量. 碰撞前后总能量（不考虑系统在
外场下的势能）不变, Δε = 0, 因此由（2.55）得到重要的公式：
0
ΔT = −c2 Δm （2.61）
可见, 非弹性碰撞过程中固有质量的亏损和动能的增加联系在一起. 因为c2 是一个很大的
因子, 所有很少质量亏损就可以释放出巨大的能量. 因此实际问题中通常不用考虑过程中系
统与外场联系的势能的变化. 已经知道爱因斯坦的质能关系（2.53）与已知所有实验结果相
符合, 太阳放出的能量正是从质量转化而来的. 尤其在高能粒子物理实验中, 大量粒子之间
50
的转化、产生和湮灭的事例非常精确地证实了质能关系, 有充分的理由使人们相信mc2 就是
物理系统除外场引起的势能之外的全部能量.
除外场引起的势能之外, 系统的能量由系统的质心动能和内禀能量构成. 内禀能量是
系统所有物质相对质心系的所有形式的能量, 其中包括各组成粒子（和场）的固有质量所对
应的能量、他们相对质心的动能和系统组成物质的相互作用势能. 但是需要指出, 把一个系
统分成一些组分, 把内禀能量分配给每个组分和它们之间的相互作用, 在很多情形是没有意
义的. 通常, 只需笼统地把内禀能量看作与质心运动无关的和与系统外部相互作用无关的那
部分能量, 它等于质心参考系中整个系统的惯性质量乘光速平方（ 2
0m c ）.
前面已经提到, 与外力相联系的外部势能不包括在mc2 中. 例如粒子在稳定弱引力下
有势能mϕ (x) （见（1.48））, 则粒子的总能量是mc2 + mϕ (x) . 值得注意的是, 第一项中
代表惯性质量的m 和第二项代表引力质量的m 是相等的, 都随粒子速度变化. 下一章还会
回到这个话题.
习题
【2.1】考虑两个粒子的非弹性碰撞过程. 设两粒子的固有质量同为0 m , 一个粒子以速度υ
与另一个静止的粒子相碰后, 两粒子结合成固有质量等于0 M 的粒子并以速度0
υ 沿原来入
射的方向运动. 根据动量守恒, 证明惯性质量守恒.
【2.2】已知四维动量P = ( p,iε / c) 是洛伦兹矢量, 其中ε 是粒子的能量. 求Q = ( p,iT / c)
在惯性系变换中的变换方式, 其中2
0T =ε − m c 是粒子的动能, 而0 m 是粒子固有质量. 判
断Q 是否洛伦兹四维矢量.
【2.3】反射式高能电子衍射(RHEED)是研究固体表面原子结构的常用方法, 入射电子能量
（动能）通常在10 keV 的量级. 如果测量反射电子能量的精度达到入射电子能量的1％, 问
是否需要考虑相对论效应？
【2.4】不考虑电子加速时辐射的电磁波, 计算静止电子经过3 MV （ 3×106 伏）电势差加
速后的速度.
【2.5】已知静止μ 子的平均寿命是2.197×10−6 秒, 分别计算它以速度0.5c 和0.9c 运动时
飞越的距离, 并与牛顿力学的结果比较.
【2.6】根据速度迭加公式(2.27)式证明光行差公式（例2.18）式.
【2.7】在汤川秀树（Yukawa）模型中, 核力是通过π 介子传播的. 大概有98.8%的π 介子会
衰变为两个光子. 设在实验室观测到一个π 介子衰变为两光子. 其中一个光子和π 介子运
动方向相反, 能量为47.5 MeV ；另一个光子和π 介子运动方向相同, 能量为95.9 MeV . 求
π 介子的静止质量和衰变前的动量.
51
【2.8】按照爱因斯坦的光子假说, 光子具有能量ε = hν , 动量大小为p = h /λ , 其中ν 和
λ 分别为光的频率和波长, h 为普朗克常数. X 光被自由电子（或弱束缚电子）散射可以看
作光子和电子的弹性碰撞. (1)设电子初始时静止. 光子和电子碰撞后, 光子出射方向与其原
来的入射方向成θ 角的方向（如图2-8）. 用能量和动量守恒定律证明散射前后光的波长变
化满足康普顿公式8,
γ ′
其中0 m 是电子的静止质量. (2)设在实验室惯性系, 碰撞前电子以动量P 运动, 方向与入射
光平行. 请写出实验室惯性系的康普顿公式.
【2.9】一个在实验室静止的总质量为M 的处于激发态的原子, 跃迁到静止能量较原来低
ΔW 的状态. 它会发射一个光子, 同时得到一个反冲. 因此, 光子的频率不能正好等于
h W / Δ = ν , 而是略小一些. 证明发射光子的频率为⎟
⎠
⎞
⎜⎝
⎛ Δ
−
Δ
= 2 2
1 1
Mc
W
h
ν W .
附录2-1 洛伦兹变换矩阵
设在0 = ′ = t t 时刻惯性系Σ 和Σ′ 的坐标架重合, Σ′ 相对Σ 以速度0
υ 沿X 轴运动. 求
洛伦兹变换矩阵.
【解】根据对称性知x'2 = x2, x'3 = x3 . 从（2.16）式得到变换公式为
1 4 1
4
1 1
1
x′1 = a x + a x + b ⋅ ⋅ （ 附2.1a）
4 4 4
4
4 1
1
x′4 = a x + a x + b ⋅ ⋅ （附2.1b）
因为在t = t′ = 0 时刻惯性系Σ 和Σ′ 的坐标架重合, 所以b1 = b4 = 0 . 写成矩阵方程
X′ = AX , 变换矩阵A 具有下面的形式：
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
4
4
4
1
1
4
1
1
0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0
a a
a a
A
A 的转置矩阵和A 相乘,
8 此实验由康普顿（Compton）和中国物理学家吴有训在1922～1924 年间完成, 是证明光的粒子性的关键
实验.
γ θ
图2-8. 康普顿散射.
2
2 sin2
0
θ
λ
m c
Δ = h
52
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
+ +
+ +
=
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
4 2
4
1 2
4
4
1
4
4
1
1
1
4
4
4
4
1
1
4
1
1
4 2
1
1 2
1
4
4
4
1
1
4
1
1
4
4
1
4
4
1
1
1
0 0 ( ) ( )
0 0 1 0
0 1 0 0
( ) ( ) 0 0
0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0
0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0
a a a a a a
a a a a a a
a a
a a
a a
a a
AT A
由（2.19）式AT A = I 得
( ) ( 4 )2 1
1
1 2
1 + = ⋅ ⋅ a a （附2.2a）
( ) ( 4 )2 1
4
1 2
4 + = ⋅ ⋅ a a （附2.2b）
4 0
4
4
1
1
4
1
1 + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a a a a （附2.2c）
4 0
1
4
4
1
1
1
4 + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a a a a (附2.2d)
据（附2.1a）式, 惯性系Σ′ 的空间坐标原点s O′ 在Σ′ 的坐标' 1 4 0
4
1 1
1
1 = + = ⋅ ⋅ x a x a x , 故
s O′ 在惯性系Σ 中的运动速度为
1
1
1
4
4
1
1
1
4
1
0
⋅
⋅
⋅
= = − ⋅ = −
a
a ic
dt
dx
a
a
dt
υ dx （附2.3）
从（附2.1a）式还可得, 惯性系Σ 的空间坐标原点s O 在Σ′ 的坐标1 4
4
1 4
4
1 1
1
x'1 a x a x a x ⋅ ⋅ ⋅ = + = ；
据（附2.1b）式, s O 运动的时间在Σ′ 中对应于t x ic a x a x ic a4t
4
4 4
4
4 1
1
′ = ′4 / = ( + ) / = ⋅ ⋅ . 而s O
相对Σ′ 的速度等于0
υ − , 所以
4
4
1
4
4
4
4
1
4
1
0 ' ⋅
⋅
⋅
= ⋅ =
′
− =
a
a ic
dt
dx
a
a
dt
υ dx （附2.4）
比较（附2.3）和（附2.4）式, 得4
4
1
⋅1 ⋅ a = a . 令
= ≡ γ ⋅ ⋅
4
4
1
1 a a （附2.5）
从（附2-2d）式中约去1
1⋅ a 和4
4 ⋅ a , 得
4
1
1
⋅4 ⋅ a = −a （附2.6）
53
令
c
0 υ
β ≡ （附2.7）
由（附2.3）、（附2.5）和（附2.7）式得
a = −a = iβγ ⋅ ⋅
4
1
1
4 （附2.8）
把（附2.5）和（附2.8）式代入（附2.2a）式得
2
0 1 ( / )
1
υ c
γ
−
= （附2.9）
最后得到变换矩阵为
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
=
βγ γ
γ βγ
0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0
i
i
A (附2.10)
附录2-2 证明(2.19)式
因为对任意ΔX 有下式成立
ΔXT AT AΔX = ΔXT ΔX (附2.11)
所以对任意1 ΔX 和2 ΔX , 以及1 2 ΔX = ΔX + ΔX , 有
1 1 1 1 ΔXT AT AΔX = ΔXT ΔX (附2.12)
2 2 2 2 ΔXT AT AΔX = ΔXT ΔX (附2.13)
和
( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ΔXT + ΔXT AT A ΔX + ΔX = ΔXT + ΔXT ΔX + ΔX
即
1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2
X X X X X X X X
X A A X X A A X X A A X X A A X
= Δ Δ + Δ Δ + Δ Δ + Δ Δ
Δ Δ + Δ Δ + Δ Δ + Δ Δ
T T T T
T T T T T T T T
(附2.14)
利用(附2.12)和(附2.13)式, 上式化简为
1 2 2 1 1 2 2 1 ΔXT AT AΔX + ΔXT AT AΔX = ΔXT ΔX + ΔXT ΔX (附2.15)
其中每一项都是标量(1×1矩阵), 因此它们都转置不变. 而左边第一项的转置就是第二项,
所以左边等于2 1 2 ΔXT AT AΔX . 同样, 右边等于2 1 2 ΔXT ΔX . 故
1 2 1 2 ΔXT AT AΔX = ΔXT ΔX (附2.16)
因为1 ΔX 和2 ΔX 任意, 所以AT A = I .

 

 

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   2009年7月29日 – 尽管我不是太清楚，但是经典物理学只适应于低速的宏观物体速度增加，好像按照爱因斯坦等人的理论，质量是随着变化的，这也是为什么不会超过光速的原因。 ...
   

   为什么速度增加，质量会增加？增加的是惯性质量，对吗？实验室观察到了 ...‎
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   2011年5月26日 – 到了1904 年9 月, 在美国圣路易国际技艺和科学大会的讲演中 ...
   
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3. 庞加莱说：惯性随速度的增加而增加。应该只跟质量有关-科学技术-QQ问答网

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   7 个帖子 - 6 个作者 - 新贴子： 2010年1月19日

   相对论的先驱早在1900年之前，庞加莱就掌握了建立狭义相对论的一切必要 ... 预见了新力学的大致图景：惯性随速度而增加，光速会变为不可逾越的极限。 ...
   

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5. [PPT]

   彭佳勒简介及思考

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   庞加莱在1904年圣路易斯的讲演中甚至惊人地预见了新力学的大致图 景：“……惯性随速度而增加，光速会变为不可逾越的极限。原来的力学仍然保持 一级近似，……”。 ...
   

6. 庞加莱，J.-H._互动百科

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   庞加莱，J.-H. 编辑词条 分享. 新知社; 新浪微博; 人人网; 腾讯微博 ... 到电磁学;1904年,他预示了新力学的大致图像：惯性随速度而增加，光速会变为不可逾越的极限。 ...
   

7. 从伽利略相对性到德西特狭义相对论 - 欢迎访问科学文化评论

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   对爱因斯坦理论基本原理的重新考察可以追溯到惯性运动的伽利略相对性、牛顿理论及其宇宙佯谬。 ... 于是，存在庞加莱、德西特和反德西特不变的三种相对论，三者伴有对偶庞加莱 .... 在仔细观察这些事情之后，再使船以任何速度前进，只要运动是匀速、不要左右 .... 而惯性力的来源，却是因为绝对空间的存在。 按照牛顿的解释，如果在“闭舟”即 ...
   

8. 引力：1687——2001 - 科学杂志文章!

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   庞加莱立即发现其中蕴藏的珍宝，进一步从数学上给出更简捷的变换形式，并命名为洛伦兹变换。他还论证了惯性随速度加大而增加，光速是一个不可逾越的速度极限，从而给出 ...
   
9. [PPT]

   张璞扬力学ppt-10

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   力学定律在一切惯性系中都是相同的，即所有惯性系都是等价的。 ... 1899年洛仑兹提出运动物体上的时间间隔将变长及洛仑兹变换；; 1904年庞加莱提出物体所能达到的速度有一最大值－真空光速；; 1905年爱因斯坦 ... 例题9.3 飞船A中宇航员观察到飞船B正以0.4c的速度尾随而来。 .... 故相对论动能等于因运动而引起质量增加量乘以光速的平方。 ...
   
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    第三章狭义相对论

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    庞加莱在爱因斯坦之前就提出了普遍的相对性原理, 并用了相对. 论这个词. ...... γ 因子, 使惯性随速度增加而增加, 随着υ 的大小接近光速而趋向无穷, 所以可以避免在力 ...
    

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• 物理01 普朗克01假设要点 把构成黑体的原子、分子看成带电的线性谐振子 -marketreflections- ♂ (223717 bytes) () 08/14/2011 postreply 06:40:43

• 不确定关系波粒二象性01 在t+Dt时刻，微观粒子的位置矢量是不确定 -marketreflections- ♂ (7879 bytes) () 08/14/2011 postreply 07:31:40

• 波矢是波的矢量表示方法,其大小表示波数（|k|=2π/λ），其方向表示波传播的方向,波矢在狭义相对论背景下可定义为四维矢量 -marketreflections- ♂ (8871 bytes) () 08/14/2011 postreply 07:35:54

• 物理01 全新观念的得出必须对人类认识论的整体框架有清晰的把握，不是知识的堆积所能及的;物理对象具有粒子性，那么，该物理对象必须 -marketreflections- ♂ (377 bytes) () 08/14/2011 postreply 07:46:53

• 麦克斯韦!玻耳兹曼统计01 分布律的相对论修正 -marketreflections- ♂ (1171 bytes) () 08/14/2011 postreply 06:59:01

• 牛顿知道物体的质量也是个变量，只是在当时牛顿还不可能提出静质量和动质量的概念，因此牛顿没有将m从微分号中拿出来 -marketreflections- ♂ (17509 bytes) () 08/14/2011 postreply 07:12:39

• 高量01:厄米的，它们代表的物理量在旋转下与位置矢量，动量矢量等向量算符的变换方式相同 -marketreflections- ♂ (1679 bytes) () 08/14/2011 postreply 07:15:31

• klein-Gordon 方程,Dirac 方程,"吴兆颜direc方程, look lik e无限维, qcd,经典电磁场的m -marketreflections- ♂ (1985 bytes) () 08/14/2011 postreply 08:30:08

• 在弯曲时空（非闵可夫斯基式）中，动量根本没有被定义.物体的动量指的是这个物体在它运动方向上保持运动的趋势 -marketreflections- ♂ (26804 bytes) () 08/14/2011 postreply 07:23:29

• 经典力学 位置矢量的二阶导数为质点运动的加速度,洛伦兹变换下相对论四维动量,动量是量子力学中，动量被定义为波函数的一个算符。海森 -marketreflections- ♂ (44705 bytes) () 08/14/2011 postreply 07:27:16

• 物体之间或物体各部分之间的位置随时间而变化的过程:角动量定理无论是在经典力学、相对论力学、量子力学都是普适的 -marketreflections- ♂ (3411 bytes) () 08/14/2011 postreply 08:36:14

• 角动量01 守恒的级别是最高的:角动量守恒证明了当物体在真空中“整体”转动时，实际上和真空是相对静止的 -marketreflections- ♂ (240468 bytes) () 08/14/2011 postreply 09:15:45

• 经济规律从原来的经济坐标变换到对它平行发展（移动）的新的经济坐标是一样的普适性成立。或者简单地说，经济规律同所用的经济坐标的发展 -marketreflections- ♂ (9969 bytes) () 08/14/2011 postreply 08:47:02

• 基本粒子01 自由中子重.可以通过弱相互作用衰变为质子，而质子不可能通过任何相互作用衰变成一个真实的中子。后者为能量和动量守恒定 -marketreflections- ♂ (34624 bytes) () 08/14/2011 postreply 09:26:05

• 基本粒子01 镜反射不会使物理规律发生变化 -marketreflections- ♂ (1366 bytes) () 08/14/2011 postreply 09:27:57

• 群论问题与物理问题 电荷的在电磁场中的运动方式和自由空间中的匀速直线运动是不一样的 -marketreflections- ♂ (18262 bytes) () 08/14/2011 postreply 09:52:36

• 尤亦庄 phymath01 “因为小而造成的不确定，是量子不确定性；因为多而造成的不确定，是统计不确定性。两者有明确的区别，但 -marketreflections- ♂ (9139 bytes) () 08/14/2011 postreply 11:11:05

• 东京梦华 phymath01 两个黑洞相互缠绕过程中，因为黑洞始终处于变化状态，附近的时空也跟着发生变化，从而不断散发出引力波 -marketreflections- ♂ (10623 bytes) () 08/14/2011 postreply 20:51:38

• fanglizhi.info -marketreflections- ♂ (1935 bytes) () 08/14/2011 postreply 21:11:42

• fa01 住房和汽车等周期性领域的增长率低于人口增长率时，就是商业周期向好的兆头,股市可能出现6%至9%的反弹，也就是相当于这波 -marketreflections- ♂ (5525 bytes) () 08/15/2011 postreply 17:42:23

• SU(3)是强相互作用，SU(2)×U(1)是弱电相互作用，SU(3)×SU(2)×U(1)就是标准模型，SU(5)是强弱电大统 -marketreflections- ♂ (39001 bytes) () 08/23/2011 postreply 21:19:11

• check01 fin01 financeandeconomics.org -marketreflections- ♂ (15181 bytes) () 08/24/2011 postreply 14:55:39

• check01 fin01 OT 2 is nothing more than the Fed doing all it can -marketreflections- ♂ (131187 bytes) () 08/24/2011 postreply 15:21:02

• check01 fin01 Operation Twist 2″ -marketreflections- ♂ (18812 bytes) () 08/24/2011 postreply 15:32:49

• check01 fin01 http://www.fmxconnect.com/fmxmetalsconnect -marketreflections- ♂ (5449 bytes) () 08/24/2011 postreply 15:47:04

• 尤亦庄 相互作用强度:不确定性的根源 -marketreflections- ♂ (2729 bytes) () 10/22/2011 postreply 17:33:06

• phymath01 什么叫做转动一个复数呢，那就是改变它的相位嘛，这不是很容易理解了吗。那么SU(2)呢，那就是两维复空间嘛 -marketreflections- ♂ (41889 bytes) () 10/22/2011 postreply 17:52:10

• 尤亦庄 phymath01 波和振子是不同的 能量密度和能量是不同的 -marketreflections- ♂ (5684 bytes) () 08/14/2011 postreply 11:21:13

• 相位 任何一个波包都是由分波构成的，波包代表的是真实的物理粒子，它的速度（群速度）是绝对不能超过光速的。而相速度本身的定义就是分 -marketreflections- ♂ (20741 bytes) () 08/14/2011 postreply 17:59:50

• 光波本身不与周围的环境交换能量.满足波动能量守恒,水波是横波,由表面张力的波动来实现传播,然而这比理想气体的情况要复杂些,但由共 -marketreflections- ♂ (38247 bytes) () 08/14/2011 postreply 18:12:17

• 在色散介质中，群速度不等于相速度（dvp/dλ≠0，vg≠vp），并且在正常色散区域 -marketreflections- ♂ (6316 bytes) () 08/14/2011 postreply 18:40:15

• 只有“波形”发生变化，才能携带有效的信息,只有波包的群速度可代表信号传播的速度:The SPX keeps having a t -marketreflections- ♂ (9188 bytes) () 08/16/2011 postreply 19:59:16

• phymath01 场强张量的分量是可以测量的物理量;时空是平 ... 引力场的所有场强分量满足相同的方程, 因此在场强表示式中 -marketreflections- ♂ (1466 bytes) () 08/16/2011 postreply 20:34:29

• 类似静电学方法，引进引力场强度概念E。这样根据牛顿力学我们可以得到div E= - 4πGρ。 -marketreflections- ♂ (279 bytes) () 08/15/2011 postreply 20:09:35

• 绕地球转动的‘人造卫星舱体’中的乘客和物体和‘死亡电梯’一样，由于运动方向不断改变所产生的惯性力同样也和引力等效，因此在‘人造卫 -marketreflections- ♂ (345 bytes) () 08/15/2011 postreply 20:17:43

• gr01 牛顿力学认为引力场由物质分布产生。由. 引力势描述，它与物质分布的联系体现在泊. 橙方程V簪＝4＊tp中． -marketreflections- ♂ (1344 bytes) () 08/15/2011 postreply 20:32:29

• 广义相对论认为，物体的质量会因引力势而增加 -marketreflections- ♂ (1346 bytes) () 08/16/2011 postreply 11:33:28

• "在球壳外的引力势相当于所有球壳质量集中在球心的质点所发出的引力" -marketreflections- ♂ (30009 bytes) () 08/16/2011 postreply 11:44:24

• 在牛顿的力学中，每当讨论一个有限的力学体系的运动时，总要假定可以选取的一个参考系，使引力势（相当于电学中的中势）在无限远处成为常 -marketreflections- ♂ (1861 bytes) () 08/16/2011 postreply 15:26:35

• Beat Wittmann 经济形势能否改善，这取决于政策决定如何，且取决于公司是否继续进行扩展投资，以及消费者是否进行消费 -marketreflections- ♂ (13589 bytes) () 08/16/2011 postreply 15:51:58

• 相位01 相位决定了任意一点任意时刻场强振荡的状态，这个场强是一个客观物理量，不应随参考系不同而改变 -marketreflections- ♂ (53751 bytes) () 08/16/2011 postreply 16:18:57

• 相位01 相位决定了任意一点任意时刻场强振荡的状态，这个场强是一个客观物理量，不应随参考系不同而改变 -marketreflections- ♂ (53751 bytes) () 08/16/2011 postreply 16:19:00

• 静止粒子内部仍然存在着运动。一定质量的粒子具有一定的内部运动能量，反过来，带有一定内部运动能量的粒子就表现出有一定的惯性质量。 -marketreflections- ♂ (1882 bytes) () 08/16/2011 postreply 16:21:32

• sr01 在相对论中速度&#61557;不是一个协变量，即不是一个四维矢量的分量 -marketreflections- ♂ (1823 bytes) () 08/16/2011 postreply 21:04:54

• sr01 推广力的定义，变成4个分量的力，其中时间分量是功率的意思，空间分量类似于原来意义上的力，但是差别一个膨胀因子。这样的力 -marketreflections- ♂ (36218 bytes) () 08/16/2011 postreply 21:19:39

• 大爆炸初期的万分之一秒,光子能量非常大,甚至超过强子的静止能,因此可以通过强相互作用产生各种强子. -marketreflections- ♂ (53286 bytes) () 08/16/2011 postreply 21:44:54

• bidu01 jingji.cntv.cn/special/wlcx/index.shtml -marketreflections- ♂ (114 bytes) () 08/17/2011 postreply 20:36:44

• sr01 《相对论、宇宙与时空》连载 -marketreflections- ♂ (2075 bytes) () 08/17/2011 postreply 20:54:55

• 在箱体里的波函数都是驻波。它的动量期望值是零 -marketreflections- ♂ (54912 bytes) () 08/17/2011 postreply 21:11:26

• 温度作为热平衡的判据”，其实是粒子碰撞过程中能量动量交换上体现出来的一种平衡,考虑大质量粒子与小质量“热力学分子”混合 -marketreflections- ♂ (54561 bytes) () 08/17/2011 postreply 21:30:56

• www.programtrading.com/stocks.htm block trade dog and flea -marketreflections- ♂ (6773 bytes) () 08/18/2011 postreply 12:07:16

• hft day trade zero positions at two ends of the day -marketreflections- ♂ (16607 bytes) () 08/18/2011 postreply 16:20:17

• check01 www.thetrader.se algorithms and automated systems are t -marketreflections- ♂ (31844 bytes) () 08/18/2011 postreply 16:35:51

• www.thetrader.se/ OUTFGAF:IND Philly, Jobs and SPX -marketreflections- ♂ (2974 bytes) () 08/18/2011 postreply 16:48:14

• gamma01 Kathy Lien When the market is long gamma, market makers -marketreflections- ♂ (29233 bytes) () 08/18/2011 postreply 16:58:14

• gammatrading01 www.optiontradingtips.com/greeks/gamma.html -marketreflections- ♂ (15424 bytes) () 08/18/2011 postreply 17:10:22

• Vega01 bidu theta (which measures time decay, or how much extrin -marketreflections- ♂ (5474 bytes) () 08/18/2011 postreply 17:15:23

• Gamma01 is a second derivative and measures how much your delta -marketreflections- ♂ (95737 bytes) () 08/18/2011 postreply 17:30:31

• gld01 Gamma01 tradingfloor.com implied volatilities have started -marketreflections- ♂ (5520 bytes) () 08/18/2011 postreply 17:44:35

• check01 websites -marketreflections- ♂ (365 bytes) () 08/18/2011 postreply 17:32:03

• gamma01 www.4-traders.com 1 hedgefund strategy 072011 -marketreflections- ♂ (27437 bytes) () 08/18/2011 postreply 17:37:51

• gamma01 www.wilmott.com volatility process is exogenously speci -marketreflections- ♂ (27804 bytes) () 08/18/2011 postreply 17:57:49

• gamma01 www.wilmott.com in general, if mkt long gamma they sell -marketreflections- ♂ (3477 bytes) () 08/18/2011 postreply 18:00:54

• gamma01 HFT delta hedge -marketreflections- ♂ (14045 bytes) () 08/18/2011 postreply 18:03:44

• 8 standard deviations below that 20-day moving average. -marketreflections- ♂ (1667 bytes) () 08/18/2011 postreply 20:21:32

• gama01 Asymmetric Information about Volatility and Option Market -marketreflections- ♂ (3882 bytes) () 08/18/2011 postreply 20:40:35

• volatility:exogenous,result of new information;endogeneity of pr -marketreflections- ♂ (33769 bytes) () 08/19/2011 postreply 12:15:28

• finance01 Michael Darda negative velocity shock -marketreflections- ♂ (2939 bytes) () 08/19/2011 postreply 12:29:12

• velocity01 重整化 联系不同能标下理论的一种方法。圈图（即微扰展开的高阶项）的计算结果含有发散（即无穷大）项 -marketreflections- ♂ (22646 bytes) () 10/09/2011 postreply 07:30:21

• fa01 tax withholdings as proxy for actual jobs. From BNY Converg -marketreflections- ♂ (19513 bytes) () 10/09/2011 postreply 08:46:01

• fata001 Money, Macro And Markets Update By Sean Corrigan -marketreflections- ♂ (27074 bytes) () 10/09/2011 postreply 09:19:59

• fata001 量子场论中，并不关心振动的粒子——这只是一个基底，一般来说，我们并不关心这个基底本身。基底的振动产生了一个场，能 -marketreflections- ♂ (7793 bytes) () 10/10/2011 postreply 11:08:03

• fata001 量子场论ray representation 射线表示 -marketreflections- ♂ (6001 bytes) () 10/10/2011 postreply 11:21:37

• 我们假定电子中微子是零阶细胞，而电子为一阶细胞就可以了，现实世界中零阶细胞包括病毒等，一阶细胞包含细菌等，这在形式逻辑中有一个对 -marketreflections- ♂ (348 bytes) () 10/10/2011 postreply 11:35:48

• fata001 量子场论 量子效应，类似于热效应，表现为某种微观的涨落，这种涨落的强度由不确定性原理控制。而其效果，就相当于在真 -marketreflections- ♂ (4238 bytes) () 10/10/2011 postreply 11:46:56

• 惯性效应实质上是一个起源于加速引起的真空"形变"的局域效应,惯性力就是真空"形变"所造成的反作用力.;安鲁证明了安鲁效应:匀加速 -marketreflections- ♂ (1862 bytes) () 10/10/2011 postreply 12:56:56

• 安鲁还证明,真空态与热平衡态有共同的本质,选择不同的能量零点,二者之间可以相互转化,热辐射起源于真空能级的变化.安鲁效应的温度正 -marketreflections- ♂ (1943 bytes) () 10/10/2011 postreply 13:08:58

• 由于摩擦等耗散效应而损失的机械功称耗散功，以Wl表示。当孤立系统内部存在不可逆耗散效应时，耗散功转化为热量，称为耗散热，以Qg表 -marketreflections- ♂ (5553 bytes) () 10/10/2011 postreply 14:31:40

• entropy01 “最大广义熵原理”，即系统总是寻找一种优化过程使得在给定的约束或代价下广义熵最大，即总是使自身得到最大限度 -marketreflections- ♂ (1180 bytes) () 10/10/2011 postreply 15:35:18

• entropy01 广义熵原理驱动下的股市演化 -marketreflections- ♂ (1185 bytes) () 10/10/2011 postreply 15:41:34

• 应用拉格朗日力学解密股票行情 根据我们对于拉格朗日力学体系的多年研究，我们认为金融市场（包括股票期货黄金外汇等）行情曲线遵循能量 -marketreflections- ♂ (3458 bytes) () 10/10/2011 postreply 20:34:32

• gr01 基于广义熵原理的生态系统演化动力学:用更为广泛的广义信息概念取代力、物质和能量 -marketreflections- ♂ (3125 bytes) () 10/10/2011 postreply 15:53:25

• 这里就需要用到全息原理了。在Verlinde看来，描述一个空间最初的系统不是这个空间以及存在于这个空间中的物体，而是包围这个空间 -marketreflections- ♂ (627 bytes) () 10/10/2011 postreply 16:09:56

• "曲线段直线段路径积分决定":第二类曲线积分的物理背景是变力延曲线做功问题，那么必然有对力的分解！所以这里面就有的方向性的问题！ -marketreflections- ♂ (16243 bytes) () 10/10/2011 postreply 21:17:57

• “路径”的时空间隔涵义使其成为分形时空的基础:路径积分、小波变换与爱因斯坦的完整量子力学理论 -marketreflections- ♂ (6363 bytes) () 10/10/2011 postreply 21:23:56

• 熵是用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大。一个体系的能量完全均匀分布时，这个系统的熵就达到最大 -marketreflections- ♂ (139 bytes) () 10/10/2011 postreply 16:11:42

• 当两个粒子靠得很近时（所谓很近，是比原子甚至原子核的尺度更小），这些看不见的自由度会变轻，从而变得容易被激发出来，那么这个系统的 -marketreflections- ♂ (5161 bytes) () 10/10/2011 postreply 16:18:57

• 保守体系的位形，即在保守体系中各质点的相对位置发生变化时，其间的相互作用力作功，作功之和只与各质点相对位置有关。将保守体系在保守 -marketreflections- ♂ (2811 bytes) () 10/12/2011 postreply 18:11:20

• check01 Wilbur Ross markets never really discount the same thing -marketreflections- ♂ (14704 bytes) () 10/14/2011 postreply 05:40:01

• vix01 If the VIX is at 16, as it was a little over a month ago, -marketreflections- ♂ (6328 bytes) () 10/14/2011 postreply 08:59:38

• phyath01 ：volume has been abysmally low for the duration of the -marketreflections- ♂ (4245 bytes) () 10/14/2011 postreply 14:28:36

• trading01 Douglas Borthwick models and Commodity Trading Advise -marketreflections- ♂ (50551 bytes) () 10/14/2011 postreply 15:47:44

• fx01 黄惠兰 欧债问题并非没有解决办法，只是欧元区各国还在寻求一个利益平衡点，这个过程不会一直持续，而且一定会有一个结论，因 -marketreflections- ♂ (3673 bytes) () 10/14/2011 postreply 14:51:18

• check01 liuyuhuiblog.blog.hexun.com/ 欧债危机并非无解 索罗斯的三点 一是保卫银行 -marketreflections- ♂ (1373 bytes) () 10/14/2011 postreply 15:06:23

• check01 http://www.cnbc.com/id/20398120/ Bob Pisani -marketreflections- ♂ (1771 bytes) () 10/14/2011 postreply 15:26:03

• Soros01：Europe Banking System Needs to Be Bolstered -marketreflections- ♂ (12930 bytes) () 10/14/2011 postreply 15:18:16

• 回复：gr01 全息原则 3维空间是幻影，实际地信息只是存于2维平面上(万有引力是由空间和时间地基本属性产生地一种现象)。由二维 -marketreflections- ♂ (12237 bytes) () 10/10/2011 postreply 16:32:27

• 无限制地复印一份材料，图像中的信息逐级降低，最后将彻底地消失。在这个过程中，信息没有彻底消失，或者说没有大量丢失，而是转化成了能 -marketreflections- ♂ (44465 bytes) () 10/10/2011 postreply 17:26:10

• 声子01 在晶体中，离子偏离平衡位置会破坏晶格的周期场，从而引起势能的改变，将使晶体中传导电子受到位移所产生附加势的作用，这是电 -marketreflections- ♂ (1045 bytes) () 10/14/2011 postreply 17:17:19

• 布朗运动扩散系数01 -marketreflections- ♂ (2113 bytes) () 10/10/2011 postreply 12:22:48

• 空位和同类填隙原子的产生和移动主要是依靠原子的热涨落——热缺陷（本征缺陷） 热缺陷（ 热涨落热缺陷本征缺陷） ... -marketreflections- ♂ (1838 bytes) () 10/10/2011 postreply 12:39:28

• 系统的演化方向，在个体层次上组织化程度不断提高，对称性破缺，熵值减少；而在种类层面上多样性和丰富化程度提高，系统的规模增大，熵值 -marketreflections- ♂ (13396 bytes) () 10/10/2011 postreply 15:20:27

• phymath01 "对称性破缺熵" Entropy in Highly Correlated Systems: Market -marketreflections- ♂ (3819 bytes) () 10/10/2011 postreply 15:27:40

• poincare01 庞加莱提出了相和相空间的概念。因此你可以把世界上的一切都有相空间中的几何结构表示。所以自庞之后的物理中，基 -marketreflections- ♂ (14358 bytes) () 10/09/2011 postreply 10:09:34

• CPU与大脑 -marketreflections- ♂ (2882 bytes) () 10/09/2011 postreply 10:22:54

• “高能过程”。 在这些过程中，涉及到的能量转化跟所参与粒子的静质量相比不能忽略 -marketreflections- ♂ (1766 bytes) () 10/09/2011 postreply 14:37:29

• 生最终幻想X 理质量相当于熵性质量，人体智力活动能相当于物体引力场能，精神智慧相当于引力质量 -marketreflections- ♂ (2715 bytes) () 10/09/2011 postreply 14:46:40

• velocity01 qe01 现在的以长债换短债大概要到2012年夏结束, 届时会有QE3吗? -marketreflections- ♂ (3784 bytes) () 10/09/2011 postreply 15:35:37

• qe01 Alessio de Longis european banks funded >30% of emerging mk -marketreflections- ♂ (14474 bytes) () 10/18/2011 postreply 16:03:25

• fin01 TimmyG and Madame Lagarde, other systemic supporters conti -marketreflections- ♂ (7481 bytes) () 10/09/2011 postreply 15:46:05

• Sean Corrigan表示，危機亦良機。EFSF是轉向財政聯合的秘密途徑 EFSF由歐洲投資銀行(European Inve -marketreflections- ♂ (5668 bytes) () 10/09/2011 postreply 17:50:30

• 重整化01 在临界点附近，涨落的关联长度趋于无穷大;量子场论的相互作用从一开始就存在，我们没有办法象把电子拿到固体之外那样把它除 -marketreflections- ♂ (4867 bytes) () 10/09/2011 postreply 18:18:29

• 在粒子物理里，人们猜测当尺度变大，相互作用变强，从而无法把夸克分开。这就是著名的夸克幽禁猜测。这是标准模型中的核心问题之一。 -marketreflections- ♂ (7931 bytes) () 10/09/2011 postreply 18:48:15

• 在多维相空间中适当选取一截面，在此截面上对某一对共轭变量取固定值，该界面称为庞加莱截面。每当轨道按一定方向穿过该面，就将相应的交 -marketreflections- ♂ (21772 bytes) () 10/09/2011 postreply 18:54:01

• 广义相对论中重要的一课教导了我们没有固定的时空背景，而在牛顿力学与狭义相对论则有出现；时空几何是动态的。虽然在原则上容易掌握，这 -marketreflections- ♂ (355 bytes) () 10/09/2011 postreply 18:55:46

• 重整化01 在临界点附近，涨落的关联长度趋于无穷大;在鞍点附近有两种不同的方向，一种是这个方向，另外一种是与它正交的方 -marketreflections- ♂ (17359 bytes) () 10/09/2011 postreply 19:01:06

• 量子场论01 给“为什么电子都是一样的？”这种问题给出了一个令人满意的答案：分 -marketreflections- ♂ (18017 bytes) () 10/09/2011 postreply 18:33:34

• 量子场论01 &#8226;对称性的量子破缺 在整个路径积分中，除了作用量之外，还有积分测度。这一部分也记录着理论的某些信息，而 -marketreflections- ♂ (35984 bytes) () 10/09/2011 postreply 20:36:49

• 物理学家认为把夸克束缚在一起的强作用力，就是导致我们永远无法看到莫雷的夸克单独存在的原因所在。但是这种解释有一个问题：根据实验的 -marketreflections- ♂ (5968 bytes) () 10/09/2011 postreply 21:01:32

• 单个粒子的具体空间分布不再像以往在薛定谔方程中重要，只用抽象的ψi来表示。x和p不再重要，代替它们的核心地位的是升降算符 -marketreflections- ♂ (1243 bytes) () 10/10/2011 postreply 08:07:48

• phymath01 凡是能被量化的都可以归为广义坐标 -marketreflections- ♂ (1850 bytes) () 10/10/2011 postreply 10:35:45

• ta001 Tom DeMark exhaustion and trend change. -marketreflections- ♂ (18982 bytes) () 10/09/2011 postreply 08:07:26

• check01 www.economist.com/blogs/freeexchange -marketreflections- ♂ (188 bytes) () 08/19/2011 postreply 12:53:50

• check01 Doug Cliggott between 1100 and 1300 on the S&P -marketreflections- ♂ (19280 bytes) () 08/20/2011 postreply 11:31:15

• check01 Tim Hoyle The general theme is slow growth means that th -marketreflections- ♂ (7919 bytes) () 08/20/2011 postreply 11:49:10

• check01 Todd Salamone 10-year breakeven price on the SPX is loca -marketreflections- ♂ (16376 bytes) () 08/20/2011 postreply 14:23:06

• check01 www.newsmax.com Aftershock-book -marketreflections- ♂ (175 bytes) () 08/20/2011 postreply 12:19:01

• euro01 欧元区10年期共同债券的利息率将比德国目前的10年期国债利息率高出两个百分点，德国每年将为此多支付约470亿欧元 -marketreflections- ♂ (4228 bytes) () 08/20/2011 postreply 16:00:47

• Jeremy Grantham Michael Burry -marketreflections- ♂ (16375 bytes) () 08/20/2011 postreply 16:14:58

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• finance01 "Jean-Philippe Bouchaud",copycat heuristic rule, appli -marketreflections- ♂ (3845 bytes) () 08/19/2011 postreply 16:06:18

• 时空度规参数化 在不同的引力度规理论中，决定时空度规的场方程具有很大的差异。 ... 这样一个统一的理论称为参数化后牛顿（PPN -marketreflections- ♂ (16367 bytes) () 08/19/2011 postreply 21:18:05

• chart01 http://chart.ly -marketreflections- ♂ (68 bytes) () 08/20/2011 postreply 18:08:51

• chart01 baiduplanet.blogspot.com/ -marketreflections- ♂ (86 bytes) () 08/20/2011 postreply 18:20:55

• 理性和博弈的充分理性化是一个过程，而且并不是一个不可逆的过程,2nd day -marketreflections- ♂ (136 bytes) () 08/21/2011 postreply 09:00:21

• data01 Harm Bandholz Nick Bloom correlation between the Philly -marketreflections- ♂ (21990 bytes) () 08/21/2011 postreply 09:59:37

• check01 economist01 www.voxeu.org/ -marketreflections- ♂ (64 bytes) () 08/21/2011 postreply 10:05:17

• 磁场的势是矢量，称为磁矢势。通过分析磁矢势的变化，我们可以看到磁矢势的变化导致这个运动带电粒子受到力的作用 -marketreflections- ♂ (2368 bytes) () 08/21/2011 postreply 14:22:49

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• econ01 Ambrose Evans-Pritchard telegraph.co.uk Ben Bernanke has -marketreflections- ♂ (10901 bytes) () 08/21/2011 postreply 17:28:50

• gold01 30-week trend for gold will have seen gold extend 20 per -marketreflections- ♂ (7672 bytes) () 08/19/2011 postreply 21:34:14

• informed trades vs non-informed trades. -marketreflections- ♂ (1466 bytes) () 08/19/2011 postreply 21:50:23

• people are buying gold and they don't understand why they are bu -marketreflections- ♂ (3777 bytes) () 08/20/2011 postreply 16:51:42

• sr01 gr01 刚体的特性本质上基于同时性。在SR中，一个惯性系中可以建立全局时钟，所以可以获得统一的同时性，所以SR中惯性 -marketreflections- ♂ (478 bytes) () 08/21/2011 postreply 18:06:57

• sr01 gr01 GR中根本无刚体，连时间和空间的坐标线都是蠕动的 -marketreflections- ♂ (53 bytes) () 11/06/2011 postreply 09:36:33

• 不知道庞加莱离相对论到底差多远？ - 琢玉坊- 新繁星客栈- -marketreflections- ♂ (14569 bytes) () 08/21/2011 postreply 18:13:14

• gr01 钟是在非刚性参考物体上的某一点固定着。这些钟只满足这样的一个条件，即从（空间中）相邻的钟同时观测到的“读数”彼此仅相差 -marketreflections- ♂ (2859 bytes) () 08/21/2011 postreply 18:20:26

• gr01 Trading on the edge: neural, genetic, and fuzzy systems for -marketreflections- ♂ (1344 bytes) () 08/21/2011 postreply 20:38:35

• gr01 finance01 Peters praises the Austrian School for its recogn -marketreflections- ♂ (1064 bytes) () 08/21/2011 postreply 20:59:51

• Peters used Mandelbrot's fractal theory to study .... relativity -marketreflections- ♂ (3759 bytes) () 08/21/2011 postreply 21:20:06

• These systems find a temporary equilibrium around which activity -marketreflections- ♂ (519 bytes) () 08/19/2011 postreply 22:15:51

• Market orders cross the half-spread -marketreflections- ♂ (807 bytes) () 08/19/2011 postreply 22:21:13

• WonderDawg :we (humans) are hard-wired to move along a mood spec -marketreflections- ♂ (8250 bytes) () 08/20/2011 postreply 16:45:23

• finance01 "The neoclassical paradigm Efficient-market hypothesis -marketreflections- ♂ (23948 bytes) () 08/21/2011 postreply 18:57:04

• finance01 The Keynes vs. Hayek rematch ,Chicago school of “ratio -marketreflections- ♂ (8488 bytes) () 08/22/2011 postreply 11:00:16

• finance01 Kyle Townsend Austrians maintain that the economy cons -marketreflections- ♂ (6704 bytes) () 08/22/2011 postreply 11:17:37

• check01 www.worldeconomiccalendar.com/ -marketreflections- ♂ (96 bytes) () 08/22/2011 postreply 11:49:01

• Eugen Fama puts it: "Theoretically, derivatives increase the ran -marketreflections- ♂ (31765 bytes) () 08/31/2011 postreply 15:57:34

• derivatives01 Eugen Fama derivatives increase the range of bets -marketreflections- ♂ (7740 bytes) () 08/31/2011 postreply 16:27:08

• check001 Lawrence G. McMillan 20-day historical volatility the m -marketreflections- ♂ (47737 bytes) () 09/01/2011 postreply 15:49:52

• emh01 http://www.eurojournals.com/irjfe_43_04.pdf -marketreflections- ♂ (108 bytes) () 09/01/2011 postreply 16:02:12

• emh01 information, not panic contributes to the price change -marketreflections- ♂ (133869 bytes) () 09/01/2011 postreply 16:02:37

• gr01 每一点的引力场是有一个相应的引力场强度，可用有一个与之相等的加速度（相对于静止的观察者）的局域的加速参考系，亦即是局域 -marketreflections- ♂ (27920 bytes) () 09/01/2011 postreply 20:27:10

• gr01 均匀引力场与加速系等效，惯性力与引力等效;在自由空间中没有必要引入局部惯性系的概念。但在非均匀引力场中，我们只能找到局 -marketreflections- ♂ (184 bytes) () 09/01/2011 postreply 20:35:49

• gr01 在加速参考系中, . 一般不能使用笛卡尔坐标系, 必须使用曲线坐标系来确定物理空间中点的位置 . 在非欧氏空间中由于几 -marketreflections- ♂ (9715 bytes) () 09/01/2011 postreply 21:02:30

• gr01 爱因斯坦发现，如果认为惯性质量和引力质量等效的话，那么，在引力场里面的惯性参照系，和非引力场作用下作加速运动的非惯性参 -marketreflections- ♂ (110 bytes) () 09/01/2011 postreply 21:19:50

• ，“非对称”意味着封闭车厢观察者可以借力学等实验来确定该车厢的绝对运动，而绝对参考系的概念势必破坏惯性空间的均匀性和各向同性 -marketreflections- ♂ (5520 bytes) () 09/01/2011 postreply 21:22:48

• 爱因斯坦的异议是说，不可积标度因子理论如果正确，那么从0出发的两条路径，由于标度的连续变化，一般将会有不同大小，因而两个钟快慢将 -marketreflections- ♂ (17395 bytes) () 09/01/2011 postreply 21:35:36

• 量子力学描述的物质的存在方式，有四种，而不是经典物理的二种,量子力学的时空不是刚性的，也不是弹性的，而是离散的。空间和时间，也粒 -marketreflections- ♂ (9043 bytes) () 09/02/2011 postreply 15:10:45

• 时空貌似光滑， 其实却不然。 当我们探索到比原子核还小 10000 亿亿倍的尺度 (被称为普朗克尺度) 上时， 时空也许会显示出 -marketreflections- ♂ (78832 bytes) () 09/02/2011 postreply 15:21:15

• 矩阵力学。海森堡:定量的关系来代替玻尔定性的对应原理 -marketreflections- ♂ (5337 bytes) () 09/02/2011 postreply 21:00:39

• 他把所有物理规则都按照矩阵形式书写，把已有的经典动力学方程和许多传统的物理量都按照矩阵数学来处理。在玻尔的量子化原子模型里，已经 -marketreflections- ♂ (19917 bytes) () 09/02/2011 postreply 21:08:36

• 两个力学量对易就表明它们可以同时有准确的测量值，它们可以有共同的本征态,"若[F，G]=0，则[G，F]也为零。那么G的所有本征 -marketreflections- ♂ (8037 bytes) () 09/02/2011 postreply 21:40:39

• 矩阵,本征值,本征向量,本征函数, - 量子力学,结构化学 -marketreflections- ♂ (35659 bytes) () 09/03/2011 postreply 06:57:33

• dδ2 是与时间无关的空间坐标的微分二次型， -marketreflections- ♂ (5055 bytes) () 09/01/2011 postreply 21:40:06

• 量子化01 二次量子化—一个误解 -marketreflections- ♂ (14289 bytes) () 09/05/2011 postreply 10:49:26

• 这里所说的矢量、 轴矢量、 标量、 赝标量都是依据时空变换性质区分的， 与那些量在 SU(2) 内禀空间内的变换性质无关 -marketreflections- ♂ (24104 bytes) () 08/31/2011 postreply 21:17:46

• The best explanation for the last two days can be related to Mon -marketreflections- ♂ (4593 bytes) () 08/18/2011 postreply 20:53:15

• gamma01 All About High-Frequency Trading - Google Books Result -marketreflections- ♂ (1216 bytes) () 08/18/2011 postreply 20:55:20

• euro01 when you onboard corporate risk to the sovereign, someone -marketreflections- ♂ (3106 bytes) () 08/18/2011 postreply 13:52:47

• Gillian Tett: zerohedge Bankers fear sovereign risk in 2010 -marketreflections- ♂ (7935 bytes) () 08/18/2011 postreply 14:03:15

• check www.defaultrisk.com/ -marketreflections- ♂ (76 bytes) () 08/18/2011 postreply 16:03:55

• 静止系中气体分子在各个方向上的平均动量都是相等,在运动系看来气体分子在不同方向上的平均动量是不同的，这是否可以认为此时系统不是平 -marketreflections- ♂ (2863 bytes) () 08/17/2011 postreply 21:34:01

• 相位01 物理上真正和混沌扯上关系的是热力学，相对论和量子力学似乎都不太搭得上边。一个最明显的地方就是，相对论和量子力学对于时间 -marketreflections- ♂ (11835 bytes) () 08/17/2011 postreply 21:43:55

• tafa01 The P/E contraction junkies seem to be everywhere in the -marketreflections- ♂ (7637 bytes) () 08/16/2011 postreply 16:30:26

• check01 Eric Bleeker top tech stories -marketreflections- ♂ (765 bytes) () 08/16/2011 postreply 16:41:09

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• 电场强度概念的引入对电荷周围空间各点赋予了一种局域性，如果知道了某一小区域的E，无需更多的需要，就可以知道任意电荷在此区域内的受 -marketreflections- ♂ (1370 bytes) () 08/16/2011 postreply 15:40:35

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• phymath01 大学基础物理学, 第 2 卷 张三慧 由于运动的相对性,或者说由于从不同的参考系观测, ... 同一电磁场有 -marketreflections- ♂ (846 bytes) () 08/16/2011 postreply 16:10:51

• 牛顿支持宇宙无限的观点。牛顿说，如果构成我们太阳和行星的物质以及宇宙的全部物质都均匀分布于整个天空，每个质点对于其它质点而言都有 -marketreflections- ♂ (74227 bytes) () 08/15/2011 postreply 20:36:06

• 牛顿物质分布 -marketreflections- ♂ (18588 bytes) () 08/15/2011 postreply 20:39:34

• 在牛顿的力学中，每当讨论一个有限的力学体系的运动时，总要假定可以选取的一个参考系，使引力势（相当于电学中的中势）在无限远处成为常 -marketreflections- ♂ (1289 bytes) () 08/16/2011 postreply 10:58:57

• 引力佯谬 意识虽然可以使成千上万亿个细胞在行为中运动起来，但却不能使一个细胞或很少细胞反映于一件被作用的因素 -marketreflections- ♂ (13134 bytes) () 08/16/2011 postreply 11:28:57

• tsptalk.com Technical damage in the charts, no matter what the r -marketreflections- ♂ (8921 bytes) () 08/16/2011 postreply 06:02:18

• 對於巨觀系統，非保守力的概算，比起額外幾百萬自由度的計算，會簡單很多。 -marketreflections- ♂ (23083 bytes) () 08/16/2011 postreply 09:10:34

• 內能並不能由巨觀的力學量來表示，他代表系統內原子隨機振動 -marketreflections- ♂ (958 bytes) () 08/16/2011 postreply 09:36:50

• QED中，四维力的概念不再有用 -marketreflections- ♂ (4121 bytes) () 08/13/2011 postreply 15:30:29

• 空虛空間意味著無論是場值還是它的變化率都精確地為零。 (如果場的變化率不為零，則空間不會保持空虛。) 由於不確定性原理不允許場和 -marketreflections- ♂ (19118 bytes) () 08/13/2011 postreply 15:43:17

• 相对论能量质能关系及其与动量的关系 仍用动量变化率定义质点受到的作用力,质量随速度变化;牛顿定律，动能增大时，速率可以无限增大 -marketreflections- ♂ (23289 bytes) () 08/12/2011 postreply 14:13:45

• 接近c，那么质量将会变得很大很大,不会超过光速的原因 -marketreflections- ♂ (216 bytes) () 08/12/2011 postreply 14:48:17