http://222.210.17.250/09/Physics/HTML/JA/e14.htm
第十五章 量子物理
§15-1 黑体辐射 普朗克能量子假设
一、热辐射
1．热辐射
（1）热辐射任何物体在任何温度下都要发射各种波长的电磁波。场中由于物体中的分子、原子受到热激发，而发射的电磁辐射现象称为热辐射。
（2）单色发射本领（单色辐出度）
根据实验，当物体的温度一定时，在一定时间内从物体表面一定面积上发射出来的、波长在某一范围的辐射能有一定的量值。令
为单位时间内从物体表面单位面积上发射出来的、波长在
内的辐射能，则与
之比定义为单色发射本领，用
表示，
对给定的物体，
是波长和温度的函数。
（3）全发射本领（辐射出射度）
物体表面单位面积上在单位时间内发射出来的含各种波长的总辐射能量称为全发射本领，用
表示。
（4）吸收率与反射率
当外来辐射能入射到某一不透明物体表面上时，一部分被吸收，一部分从物体表面上反射（如果物体是透明的，还有一部分透过物体）。如果用
分别表示波长在内的入射能量、被吸收能量和被反射的能量，则由能量守恒定律知，
定义：
为温度为T的物体对波长为内的单色辐射能的吸收率；
为温度为T的物体对波长为内的单色辐射能的反射率。
上式可写成：
+
=1
2．绝对黑体
（1）定义：如果一物体在任何温度下对任何波长
的入射辐射能全部吸收而不反射，则这一物体称为
绝对黑体，简称黑体。显然对黑体有
。
（2）黑体模型：设有一空心容器，器壁由不透明
材料制成，器壁上开有一小孔Ο。 图 15-1
3、基尔霍夫定律
早在1866年，基尔霍夫就发现，物体的辐射出射度与物体的吸收率之间有内在的联系。他首先从理论上推知，吸收率较高的物体，其单射发射本领
也较大，然而比值
是一恒量，这一恒量与物体性质无关，其大小仅决定所物体的温度和光的波长。具体地说，设有不同物体1，2，…和黑体B，它们在温度T下，其波长为λ的单色发射本领分别为
，
，…，
相应的吸收比为：
，
，…
那么：
=
=…=
= 
即任何物体的单色发射本领和吸收率之比，等于同一温度和波长下绝对黑体和单色发射本领，这为基尔霍夫定律。
二、黑体辐射实验定律
1、
的实验测定
从基尔霍夫定律知，要了解一物体的热辐射性质，必须知道黑体的发射本领，因此确定绝对黑体单色发射本领
曾经是热辐射研究的
中心问题。
根据实验可确定不同温度
下的与λ的曲线。结果
如图所示。
2、根据实验得出两条黑体辐射定律 图 15-2
(1)斯忒藩—玻尔兹曼定律
如图知，绝对黑体在温度T下得全发射本领（即为温度T得曲线下面积为
可知，
， 实验结果：
，即
（
）
此定律称为斯忒藩—玻尔兹曼定律。
称为斯忒藩—玻尔兹曼常数（用此定律可求T）
(2)维恩位移定律
如上页知，每一曲线有一极大值，令对应极大值的
，则实验
结果确定
与T的关系为
这一称为维恩位移定律。
三、瑞利—金斯公式 经典物理的困难（紫外灾难）
四、普朗克量子假设 普朗克黑体辐射公式
1、普朗克假设要点
(1)把构成黑体的原子、分子看成带电的线性谐振子；
(2)频率为
的谐振子具有的能量只能是最小能量（能量子）
的整数倍，即
式中：
称为量子数，
为普朗克常数。以后可以看到，
在近代物理中的重要性与光速c相当。谐振子具有上式所容许的某一能量时，对应的状态称为定态。
(3)谐振子与电磁场交换能量时，即在发射或吸收电磁波时，是量子化的，是一份一份的，按
的形式，从一个定态跃迁到另一个定态。
普朗克量子假设与经典物理学有根本性的矛盾，因为根据经典理论，谐振子的能量是不应受任何限制的，能量被吸收或发射也是连续进行的，但按照普朗克量子假设，谐振子的能量是量子化的，即他们的能量是能量子的整数倍。普朗克假设与经典理论不相容，但是它能够很好地解释黑体辐射等实验。此假设成为了现代量子理论的开端。
2、黑体辐射公式
普朗克在其假设前提下，推出了如下的黑体辐射公式
（15-1）
其中λ为波长，T为热力学温度，K为玻耳兹曼常数，c为光速，h为普朗克常数。利用普朗克公式可推出斯藩—玻尔兹曼定律和维恩位移定律。
§15-2 光电效应 光的波粒二象性
在1887年，赫兹发现了光电效应。18年后，爱因斯坦发展了普朗克关于能量量子化的假设，提出了光量子的概念，从理论上成功地说明了光电效应的实验，为此，爱因斯坦获得了1912年的诺贝尔物理学奖。1917年发表的《关于辐射的量子理论》一文中，爱因斯坦又提出了受激辐射理论，后来完成了激光科学技术的理论基础。光电效应：在光照射下，电子从金属逸出，这种现象称为光电效应。
一．光电效应实验的规律
1．实验装置：
S为抽成真空德玻璃容器，容器内装有阴极K和阳极A，阴极K为一金属板，W为石英窗（石英对紫外光吸收最少），单色光通过W照射K上时，K便释放电这种电子称为光电子，如果在A、K之间加上电势差V，光电子在电场作用下将由
，形成AKBA方向的电流，称为光电流，A、K间电 图15-3
势差V及电流I由伏特计及电流计读出。
2. 光电效应的实验规律
(1)光电流和入射光光强关系
实验指出，以一定强度的单色光照射K上时，V越大，测光电流I就越大，当V增加到一定时，I达到饱和值Is（如图）。这说明V增加到一定程度时，从阴极释放出电子已经全部都由，V再增加也不能使I增加了。 图15-4
实验结果表明：饱和光电流Is与入射光强度成正比（如图）。设n为阴极K单位时间内释放电子数，则Is为
结论：单位时间内，K释放电子数正比于入射光强。（这是第一条实验定律）
从图知，V减小时，I也减小，但当V减小到0，甚至负的时（V>Va），I也不为零，这说明从K出来的电子有初动能，在负电场存在时，它克服电场力作功，而到达A，产生I。当V=Va时，I=0，Va称为遏止电压。
(2)光电子最大初动能与入射光频率之间关系
V<0时，外电场使光电子减速，即电子克服电场力做功，当V=Va时是产生光电流的临界状态，此时，从K释放的光电子最大初动能为：
（15-2）
 |
实验表明，Va与入射光频率成线性增加，
如图，Va可表示为：
Va=k(
)
轴上截距，k为斜率。 图15-5
由上二式有： 
（15-3）
结论：光电子最大动能随入射光的频率增加而线性增加，而与光的强度无关。（这是第二条规律）
(3) 发生光电效应与否与入射光频率关系
称为光电效应的红限（或截止频率），不同材料不同（
不同而K相同）
结论：只要
就能发生光电效应，而
时不能。能否发生光电效应只与频率有关，而与入射光光强无关。（这是第三条规律）
(4) 光电效应发生与时间关系
实验表明：从光线开始照射K直到K释放电子，无论光强如何，几乎是瞬时的，并不需要经过一段显著的时间，据现代的测量，这时间不超过
S。
结论：发生光电效应是瞬时的。（这是第4条规律）
3. 经典理论解释光电效应遇到的困难
光电效应的实验结果和光的波动理论之间存在着尖锐的矛盾。上述4条实验规律，除第1条用波动理论可以勉强解释外，对其它3条的解释，波动理论都碰到了无法克服的困难。
1．按光的波动说，金属在光的照射下，金属中的电子受到入射光
振 动的作用而作受迫振动，这样将从入射光中吸收能量，从而逸出表面，逸出时初动能应决定于光振动振幅，即取决于光强，光强越大，光电子初动能就越大，所以光 电子初动能应与光强成正比。但是，实验结果表明，光电子初动能只与光的频率有关，而与光强无关。显然这与第二条实验规律相矛盾。
2．按经典波动光学理论，无论何种频率的光照射在金属上，只要入射光足够强，使电子获得足够的能量，电子就能从金属表面逸出来。这就是说，光电效应发生与光的频率无关，只要光强足够大，则就能发生光电效应。但是，实验表明，只有在时，才能发生光电效应。显然这与第三条规律相矛盾。
3．按照经典理论，光电子逸出金属表面所需要的能量是直接吸收照射到金 属表面上光的能量。当入射光的强度很弱时，电子需要有一定时间来积累能量，因此，光射到金属表面后，应隔一段时间才有光电子从金属表面逸出来。但是，实验 结果表明，发生光电效应是瞬时的，显然，这与第四条规律相矛盾。
二．光子 爱因斯坦光电效应方程
前面已经介绍了普朗克量子假说。根据这一假说，普朗克在理论上圆满地导出了热辐射的实验规律，为了解释光电效应的实验事实，1905年，爱因斯坦在普朗克量子假设的基础上，进一步提出了关于光的本性的光子假说。
1．爱因斯坦假说
(1)光束是一粒一粒以光速c运动的粒子流，这些粒子称为光量子，也称为光子，每一光子能量为
。
(2)光的强度（能流密度：单位时间内通过单位面积的光能）决定于单位时间内通过单位面积的光子数N，频率为的单色光，能流密度为
说明： 爱因斯坦光子概念与普朗克量子概念有着联系和区别。爱因斯坦推广了普朗克能量量子化的概念，这就是联系。区别：两人所研究对象不同，普朗克把黑体内谐振子 的能量看作是量子化的，它们与电磁波相互作用时吸收和发射的能量也是量子化的；爱因斯坦认为，空间存在的电磁波的能量本质就是量子化的。
2．爱因斯坦光电效应方程
按照光子假设，光电效应可解释如下：金属中的自由电子从入射光中吸收一个
光子的能量时，一部分消耗在电子逸出金属表面需要的逸出功W上，另一部分转换成光电子的动能
，按能量守恒有
（15-4）
此式称为爱因斯坦光电效应方程。由此出发，我们可以解释光电效应的实验结果。
由
知
3．用光子假说解释光电效应实验规律
(1）光强增加而频率不变时，由于的份数多，所以被释放电子数目多，说明了，单位时间内从阴极逸出的电子数与光强成正比，这解释了第一条实验规律。
(2)由光电效应方程知，光电子的初动能与入射光频率成正比，这解释了第二条实验规律。
(3)由光电效应方程知，在一个红限，只有时，才有>0。即才能发生光电效应，否则不能。这解释了第三条实验规律。
(4)按光子假说，当光投射到物体表面时，光子的能量一次地被一个电子所吸收，不需要任何积累能量时间，这就是很自然地解释了光电效应瞬时产生的规律（第四条规律）。
至此，我们可以说，原先由经典理论出发解释光电效应实验所遇到的困难，在爱因斯坦光子假设提出后，都已被解决了。不仅如此，通过爱因斯坦对光电效应的研究，使我们对光的本性的认识有了一个飞跃，光电效应显示了光的粒子性。
光子的能量
光子的动量
∴
∴ 
即
光子静止质量为零。根据
，对光子
，而
有限，所以
必为0。
例15-1：钠红限波长为5000
，用4000的光照射，遏止电压等于多少？
解： 由 
得，
例15-2：小灯泡消耗得功率为P=1W，设这功率均匀地向周围辐射出，平均波长为
。试求在距离
处，在垂直于光线面积元S=1cm2每秒钟所通过得光子数。
解：在所考虑得球面上，功率密度为：
在S=1cm2上的功率为： 
所求粒子数为：
即每秒中通过约20万个光子。
三．光电效应在近代技术中的应用
四．光的波粒二象性
（1）波动性：光的干涉和衍射
（2）粒子性：
（光电效应等）
§15-4氢原子的玻尔理论
自1897年发现电子并确定是原子的组成粒子以后， 物理学的中心问题之一就是探索原子内部的奥秘。人们逐步弄清了原子的结构及其运动变化的规律，认识了微观粒子的波粒二向性，建立了描述分子、原子等微观系 统运动规律的理论体系量子力学。量子力学是近代物理学中一大支柱，有力地推动了一些学科（如化学、生物、…）和技术（如半导体、核动力、激光、…）的发 展。本章介绍量子理论的一些基本概念。
一、原子光谱的实验规律
光谱分为下面三类：
线光谱：谱线是分明、清楚的，表示波长的数值有一定间隔。
（所有物质的气态原子（而不是分子）都辐射线光谱，因此这种原子之间基本无相互作用。）
带状光谱：谱线是分段密集的，每段中相邻波长差别很小，如果摄谱仪分辨本领不高，
密集的谱线看起来并在一起，整个光谱好象是许多段连续的带组成。
（ 它是由没有相互作用的或相互作用极弱的分子辐射的。）
连续光谱：谱线的波长具有各种值，而且相邻波长相差很小，或者说是连续变化的。
（如：太阳光是连续光谱。实验表明，连续光谱是由于固态或液态的物体发射的，而气体不能发射连续光谱。液体、固体与气体的主要区别在于它们的原子间相互非常强烈。）
1．氢原子光谱
19世纪后半期，许多科学家测量了许多元素线光谱的波长，大家都企图通过对线光谱的分析来了解原子的特性，以及探索原子结构。人们对氢原子光谱做了大量研究，它的可见光谱如下图。其中从光波向短波方向
数的前4个谱线分别叫做
、
、
、
，实验测得它们对应的波长分别为：
、
、
、
。在1885年从某些星体的光谱
中观察到的氢光谱谱线已达14条。这年，
瑞士数学家巴尔末(J.J.Balmer)，发现氢原子光谱在可见光部分的谱线，可归结于下式：
式中
为波长，
称为里德伯常数。我们把可见光区所有谱线的总体称为巴尔末系。巴尔末是第一个发现氢原子光谱可组成线系的。
1896年，里得伯用波数来代替巴尔末公式中德波长，从而得到光谱学中常见的形式：
波数=单位长度内含有完整波的数目，
（15-14）
在氢原子光谱中，除了可见光的巴尔末系之外，后来又发现在紫外光部分核红外光部分也有光谱线，氢原子谱线系如下：
（15-15）
以上各谱线系可概括为：
（15-16）
式中
依次代表赖曼系、巴尔末系、帕邢系、布喇开系、普丰特系。
讨论：
(1) 式（15-16）的意义：氢原子中电子从第
个状态向第
状态跃迁时发光波长德倒数。
(2) 值不同，对应不同线系；同一不同值，和对应同一线系不同谱线。
2．里兹并合原理：
对氢原子、波数
可表示为
（15-17）
式中，
,
,它们均称为谱项。可见，波数可用两个谱项差表示，式（15-17）称为里兹并合原理。
结论：对氢原子光谱情况可以总结出：
(1)光谱是线状的，谱线有一定位置。
(2)谱线间有一定的关系，如可构成谱线系。同一谱线系可用一个公式表示。
(3)每一条谱线的波数可以表示为二光谱项差。
说明：不同原子有不同形式的光谱项。
二、 氢原子的玻尔理论
1808年，道尔顿为了阐述化学上的定比定律和倍比定律创立原子论，认为原子是组成一切元素的最小单位，是不可分的。1897年，汤姆孙通过阴极射线实验反县电子，这个实验以及其它实验证实了电子是一切原子的组成部分。原子是可分的。但是电子是带负电的，而正常原子是中性的，所以在正常原子中一定还有带正电的物质，这种带正电的物质在原子中是怎样分布的呢？这个问题成了19世纪末，20世纪初物理学的重要研究课题之一，它也困扰了许多物理学家。
1903年，英国物理学家汤姆孙首先提出原子的模型 来回答了这个问题。此模型称为汤姆孙模型。内容简述如下：原子是球形的，带正电的物质电荷和质量均匀分布在球内，而带负电的电子浸泡在球内，并可在球内运 动，球内电子数目恰与正电部分的电荷电量值相等，从而构成中性原子。但是，此模型存在许多问题，如：电子为什么不与正电荷“融洽”在一起并把电荷中和掉 呢？而且这个模型不能解释氢原子光谱存在的谱线系。不仅为此，汤姆孙模型与许多实验结果不符，特别是
粒子的散射实验(见图)。1909年，卢瑟福进行了粒子散射模型，实验发现，绝大多数粒子穿透金属箔后沿原来方向（即散射角
）或沿散射角很小的方向（一般
为
）运动，但是，也有1/8000的粒子，其散射角大小为
，甚至接近
，即被弹回原入射方上。如果按汤姆孙模型来分析，不可能有粒子的大角散射，因此此模型与实验不符。因此此模型就很快被人们放弃。
 |
 |
||
1911年，卢瑟福在粒子散射的基础上提出了原子的核式结构，它被人们所公认。
（一）原子的核式结构
1、原子核型结构：
原子中心有一带电的原子核，它几乎集中了原子的全部质量，电子围绕这个核转动，核的大小与整个原子相比很小。
对氢原子，电子质量占原子质量的1/1873倍。原子线度~
，原子核线度
。
原子核式模型的实验基础：粒子散射实验。
2、原子核式结构能解释实验结果
按此模型，原子核是很小的，在粒子散射实验中，绝大多数粒子穿过原子时，因受核作用很小，故它们的散射角很小。只有少数粒子能进入到距原子核很近的地方。这些粒子受核作用（排斥）较大，故它们的散射作用也很大，极少数粒子正对原子核运动，故它们的散射角接近。
3、原子核模型与经典电磁理论的矛盾
如果核式模型正确的话，则经典电磁理论不能解释下列问题：
（1）原子的稳定性问题
按照经典电磁理论，凡是作加速运动的电荷都发射电磁波，电子绕原子核运动时是有加速度的，原子就应不断发射电磁波（即不断发光），它的能量要不断减少，因此电子就要作螺旋线运动来逐渐趋于原子核，最后落入原子核上（以氢原子为例，电子轨迹半径为
，大约只要经过
的时间，电子就会落到原子核上），这样，原子不稳定了，但实际上原子是稳定的，这是一个矛盾。
（2）原子光谱的分立性问题
按经典电磁理论，加速电子发射的电磁波的频率等于电子绕原子核转动的频率，由于电子作螺旋线运动，它转动的频率连续地变化，故发射电磁波的频率亦应该是连续光谱，但实验指出，原子光谱是线状的，这又是一个矛盾。
新思想
原子核模型与经典电磁理论的矛盾不是说明原子核模型不正确，因为原子核模型是以粒子散射实验为基础的，而是说明经典电磁理论不适用于原子内部的运动，这是可以理解的。因为，经典电磁理论是从宏观现象的研究中给出来的规律，这种规律一般不适用于原子内部的微观过程，因此，我们必须建立适用于原子内部微观现象的理论。
（二）玻尔理论的基本假设
玻尔根据卢瑟福原子核模型和原子的稳定性出发，应用普朗克的量子概念，于1913年提出了关于氢原子内部运动的理论，成功的解释了氢原子光谱的规律性。
基本假设：
1o 定态假设：
电子在原子中可在一些特定的圆周轨迹上运动，不辐射光，因为具有恒定的能量，这些状态称为稳定状态或定态。
2o 量子化假设：
电子绕核运动时，只有电子角动量
的整数倍的那些轨道上才是稳定的，即
(15-18)
或 
(15-19)
式中，h为普郎克常数，r为轨道半径，n称为量子数。
3o 频率条件：光电子从高能态
向低能态
轨道跃迁时，发射单色光的频率为：
(15-20)
说明：(1) 假设1o是经验性的，它解决了原子的稳定性问题；
假设2o表述的角动量量子化原先是人为加进去的，后来知道它可以从德布罗意假设得出；
假设3o是从普朗克量子假设引申来的，因此是合理的，它能解释线光谱的起源。
(2) 此假设提出了与经典理论不相容的概念：
定态概念： 虽然电子做加速运动，但不辐射能量；
量子化概念：角动量及能量不连续，是量子化的；
频率条件：频率是由初终二态原子的能级差决定的，这与经典理论中原子发射光的频率等于电子绕核运动的效率相违背。
（三）用玻尔理论计算氢原子轨道半径及能量
1、氢原子轨道半径
设电子速度为
，轨迹半径为
，质量为
，可知：
即
(15-21)
由量子化条件：
得 
，代式(15-21)中有
如此得电子轨迹半径为：
（
） （15-22）
时，
，
称为玻尔半径。电子轨迹半径可表示为
（15-23）
 |
可见，电子轨迹只能取分立值，
，
，
，…。如图15-2。
结论：电子运动轨迹半径是量子化的，
即电子运动轨道量子化。
2、氢原子能量
氢原子能量等于电子动能与势能之和，
当电子处于第个轨迹上时，有：
（15-24）
由式（15-21）知，
，代入上式中有
（
） （15-25）
时，
，
是氢原子最低能量，称为基态能量。
时称为激发态。电子在第个轨道上时，氢原子能量为
（15-26）
可知，氢原子的能量只能取下列分立值：，
，
，
，…这些不连续能量称为能级。
讨论：原子的能量是量子化的。（
时，能量
连续）
（四）玻尔理论解释了氢原子光谱的规律性
1、能级图（能级与谱线对应关系）可解释谱线系问题。
2、里德伯常数理论值与实验值相符
按玻尔理论，
，电子从
态向
态跃迁时，根据频率公式有
波长倒数为：
（15-27）
式中，
。又知
（见里德伯公式中
值），可见，
与
符合。这样，玻尔理论很好地解释了氢原子光谱的规律性。
（五）对玻尔理论的评价
1、玻尔理论建立的基础与成功之处
（1）光谱的实验资料和经验规律；
（2）以实验为基础的原子的核式结构模型；
（3）从黑体辐射发展出来的量子论。
玻尔在以上基础上研究了原子内部的情况，在原子物理学中跨出了一大步。它成功在于圆满地解释了氢原子及类氢类系的谱线规律。玻尔理论不仅讨论了氢原子的具体问题，这还包含着关于原子的基本规律，玻尔的定态假设和频率条件不仅对一切原子是正确的，而且对其它微观客体也是适用的，因而是重要的客观规律。
2、玻尔理论的缺陷
玻尔理论不能解释结构稍微复杂一些的谱线结构（如碱金属结构的情况），也不能说明氢原子光谱的精细结构和谱线在匀强磁场中的分裂现象。1915年—1916年， 索末菲和威尔逊，各自独立地把玻尔理论推广到更一般的椭圆轨迹，考虑到相对论校正，并考虑到在磁场中轨迹平面的空间取向，推出一般的量子化条件，对这些理 论，虽然能够得出初步的解释，但对复杂一点的问题，如氦和碱土元素等光谱，以及谱线强度、偏振、宽度等问题，仍无法处理。这一系列突出地暴露了玻尔—索末菲理论的严重局限性。
在玻尔—索末菲理论中，一方面把微观粒子（电子、原子等）看作经典力学的质点，用坐标和轨迹等概念来描述其运动，并用牛顿定律计算电子的规律；另一方面，又人为地加上一些与经典理论不相容的量子化条件来限定稳定状态的轨迹，但对这些条件提出适当的理论解释。所以，玻尔—索末菲理论是经典理论对量子化条件的混合体，理论系统不自给。这些成了玻尔—索末菲理论的缺陷。
尽管如此，玻尔—索末菲理论对学电子系统和碱金属问题，在一定程度上还是可以得到很好的结果。这在人们在原子结构的探索中是重要的里程碑。
例15-4：氢原子从n=10、n=2的激发态跃迁到基态时发射光子的波长是多少？
解：
，
依题意知：
，
所以：
，
n=10：
；
n=2：
。
例15-5：求出氢原子巴尔末系的最长和最小波长？
解：巴尔末系波长倒数为
（n=3,4,5,…）
（1）n=3时，
（2）
时，
例15-6：求氢原子中基态和第一激发态电离能。
解：氢原子能级为
（n=1,2,3,…）
（1）基态电离能=电子从n=1激发到时所需能量
；
（2）第一激发态电离能=电子从n=2激发到时所需能量
。
§15-5弗兰克-赫兹实验
证实了原子能级的存在
§15-6德布罗意波 实物粒子的二象性
一、德布罗意假设
根据所学过的内容，我们可以说，光的干涉和衍射等现象为光的波动性提出了有力的证据，而新的实验事实——黑体辐射、光电效应和康普顿效应则为光的粒子性（即量子性）提供了有力的论据。在1923年到1924年， 光的波粒二象性作为一个普遍的概念，已为人们所理解和接受。法国物理学家路易·德布罗意认为，如同过去对光的认识比较片面一样，对实物粒子的认识或许也是 片面的，二象性并不只是光才具有的，实物粒子也具有二象性。德布罗意说道：“整个世纪以来，在光学上，比起波动的研究方面来，是过于忽视了粒子的研究方 面；在物质粒子理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把关于粒子的图象想的太多，而过分地忽视了波的图象？”德布罗意把光中对波和粒子的描述，应用 到实物粒子上，作了如下假设：
每一运动着的事物粒子都有一波与之相联系，粒子的动量与此波波长关系如同光子情况一样，即
（15-28）
（15-29）
式（15-28）或（15-29）式称为德布罗意公式，与实物粒子相联系的波称为德布罗意。
说明：
。
讨论：以电子为例，电子经电场加速后，设加速电压U，电子速率v<<c时，德布罗意波长为
。
此时 
即： 
，（U单位：伏特）。
二、德布罗意波的实验证明
实物粒子的波动性，当时是作为一个假设提出来的，直到1927年戴维孙和革末用电子衍射实验所证实。该实验情况如下：
1、实验装置：
如图所示，K是发射电子的灯丝，D是一组光栏缝，M是单晶体，B是集电器，G是电流计。灯丝与栏缝之间有电势差U，从K发射的电子经电场加速，经光栏变成平行光束，以 射角射到单晶M上，并在M上向各方向散射，其中沿方向反射的电子进入集电器B中，反射电子流的强度由电流计G量出，集电器只接受满足反射定律的电子，目的是改变这一情况下反射电子强度和U之间的关系。实验中角保持不变（2个角），改变U而测I。
图 15-5
2、实验结果
I与U的关系如图所示，可知，
单调增加时，I不是单调变化，而是有
一系列极大值，这说明电子从晶体上沿
角方向反射时，对电压U的值有选择
性，即遵守反射定律的电子对电压有选
择性。
3、实验结果说明了电子具有波动性 图 15-6
如果只认为电子具有粒子性，则上述结果难以理解，那么，如何去认识电子的这种行为呢？我们知道，X射线在晶体体上反射加强时，有下列规律，即布拉格公式
（k=1,2,…）
为入射光波长，d为晶格常数。将这一事实与上述结果对照一下，电子的反射和X射线的反射极为相似，因此，要解释上述实验结果，要考虑电子的波动性。假设电子具有波动性，反射时也服从布拉格公式，其波长代以德布罗意波长，用上面公式可得结果，看看是否能解释上面的实验结果。
德布罗意波长为：
即加速电压满足此式时，电子流强度I有极大值，由此计算所得加速电势差U的各个量值和实验相符，因而证实了德布罗意的假设的正确性。
电子既然有波动性，自然会联系到原子、分子和中子等其它粒子，是否也具有波动性。用各种气体分子作类似的实验，完全证实了分子 也具有波动性，德布罗意公式也仍然是成立的。后来，中子的衍射现象也被观察到。现在德布罗意公式已改为表示中子、电子、质子、原子和分子等粒子的波动性和 粒子性之间关系的基本公式。
三、德布罗意波的统计解释
既然电子、中子、原子等微观粒子具有波粒二象性，那么如何解释这种波动性呢？
为了理解实物粒子的波粒二象性，我们不妨重新分析一下光的衍射情况。根据波动光观点，光是一种电磁波，在衍射图样中，亮处表示 波的强度大，暗处表示波的强度最小。而波的强度与振幅平方成正比。所以，图样亮处博得振幅平方大，图样暗处波的振幅平方小。根据光子的观点，光强大处表示 单位时间内到达该处光子数多，光强小处表示单位时间到达该处光子数少。从统计观点看，这相当说：光子到达亮处的几率大于到达暗处的几率。因此可以说，粒子 在某处出现的几率与该处波的强度成正比，所以也可以说，粒子在某处附近出现的几率与该处波的振幅平方成正比。
现在应用上述观点来分析一下电子的衍射图样。从粒子观点看，衍射图样的出现，是由于电子不均匀地设向照相底片各处所形成的，有 些地方很密集，有些地方很稀疏。这表示电子射到各处的几率是不同的，电子密集处几率大，电子稀疏处几率小。从波动观点看，电子密集处波强大，电子稀疏处波 强小。所以，电子出现的几率反映了波的强度，因为波强正比与波幅平方。
普遍的说，某处出现粒子的几率正比与该处德布罗意波振幅的平方。这就是德布罗波的统计解释。
说明：（1）一切实物粒子都具有波粒二象性。宏观物体的波长一般是很短的，它们的波动性不能通过观察而得到；相反，微观粒子，特别是匀速运动的粒子，它们物质波波长十分显著，不能把它们再看作经典粒子。
（2）微观粒子的波动性已经在现代科学技术上得到应用。电子显微镜分辨之所以较普通显微镜高，就是应用了电子的波动性。我们提到过，光学显微镜由于受到可见光的限制，分辨率不能很高。放大倍数只有2000倍左右，而电子的德布罗意波长比可见光短得多，按知，U为几百伏特时，电子波长和X射线相通。如果加速电压增大到几万伏特，则更短。所以，电子显微镜放大倍数很大，可达到几十万倍以上。
（3） 应该指出，德布罗意波与经典物理当中研究的波是截然不同的，如：机械波是机械振动在空间中的传播，而德布罗意波是对微观粒子运动的统计描述，它的振幅平方 表述了粒子出现的几率。我们绝对不能把微观粒子的波动性，机械地理解成经典物理当中的波，不能认为实物粒子变成了弯弯曲曲的波了。
例15-7：一电子束中，电子的速率为
，求德布罗意波长。
解：因为 比c=
小的多，
所以可用经典理论：
。
例15-8：已知第一玻尔轨道半径为，试计算当氢原子中电子沿第n个玻尔轨道运动时，其相应的德布罗意波长是多少？
解：
依玻尔量子化条件 
有：
代入中，有
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