量子场论01 •对称性的量子破缺 在整个路径积分中，除了作用量之外，还有积分测度。这一部分也记录着理论的某些信息，而

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对称性的量子破缺 - [且来悟理]

2009-10-30

Tag：共形 规范场 反常 物理

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——关于反常（anomaly），共形（conformal）和规范（gauge）的口水

（1）反常

建立量子理论的一般方法是，先写下一种经典理论，然后将它量子化。下文所感兴趣的是这样一个问题，即当一种经典理论被量子化之后，它所携带的各种对称性是否能完好地被保留下来。或者，量子化的过程是否会破坏经典理论的对称性。

乍看上去，这似乎的确是一个不好轻易下结论的问题。但之所以这个问题能被当做“问题”，是因为我们在上文中的提问方式。在量子效应破缺经典对称性的确凿证据被发现之前，物理学家们对这个问题不太当真。因为，最“自然”的想法是，量子理论“理应”携带经典理论的所有对称性。

我们今天已经知道，量子化的过程的确会破坏某些经典的对称性。不过，物理学家最初发现这种现象的时候十分诧异，以至于将之命名为“反常”（anomaly）。

为什么会有反常？为了回答这个问题，我们不妨问，为什么会有对称性？

经典理论的核心是作用量。当你给出一个作用量时，基本上就可以算是确定了一种经典理论。从而，一种经典理论具有某种对称性，即指它的作用量在相应的对称性变换下保持不变。

而在量子理论中，作用量并不是全部。或者，示意地讲，一种量子理论所包含的信息量要多于相应的经典理论。

在路径积分方法中，这一点很容易被看出：当我们写下一个路径积分时，可以说给定了一种量子理论。而在这个路径积分中，作用量只出现在被积函数中，充当一个相位的角色。在整个路径积分中，除了作用量之外，还有积分测度。这一部分也记录着理论的某些信息，而且往往是作用量所不知道的信息。

到这里，你也许已经发现，所谓反常，就是指，虽然作用量在一种给定变换下保持不变，但是路径积分中的积分测度并不保持不变。这样一来，整个量子理论就不再具有这种对称性。到此，我们可以说，反常来源于路径积分的积分测度。这的确是一个有说服力的解释，但也许不能让所有人满意。因为它过于抽象。为什么量子化会导致反常？我们希望有一个物理的解释。为此，下文用共形反常作为一个例子。但在此之前需要花一点时间说说“共形”。

 

（2）共形

我们从尺度说起。尺度变换是一个不难理解的概念：将一个系统放大或缩小若干倍，然后去考察这个系统会发生什么变化，这就是尺度变换。比如，《格列佛游记》中的小人国是否与我们过着相同的生活？稍加分析，我们会发现，当尺度缩小之后，系统的很多参数会发生变化。比如说，小人会比我们耐摔，从高空跌落所受到的伤害会比我们小。正如小人国的情形，在通常情况下，物理体系并没有尺度不变性。（对此更多有趣讨论，可见赵凯华先生的《定性与半定量物理学》。）

但是的确存在一些理想的具有尺度不变性的物理系统，比如，经典电动力学。如果系统中的带电粒子无质量，则此系统就是尺度不变的。

尺度变换是一种全局的变换，也即，全时空的坐标同时进行变换。不太严格地说，如果将尺度变换局域化，就得到共形变换。稍微严格的定义是，保持度规在相差一个系数f(x)的意义下不变的坐标变换，即为共形变换。请注意这个系数可以依赖于时空坐标，此即局部变换的所指。稍加推导，你会发现，共形变换包括通常的洛伦兹变换（平移+转动），局部的尺度变换，以及一种“特殊共形变换”(special conformal transformation)，实际上就是反演。

（多说一句，复平面上的共形变换就是解析变换，它们全体构成共形群，这个群是无穷维的Lie群，不过它有一个不变子群，即著名的Mobius变换全体。）

为什么会有共形不变性？或者更简单一些，为什么会有尺度不变性？

在经典理论中可以证明，如果理论的能量动量张量无迹(traceless)，则此系统共形不变。证明本身很简单，这里略去。因为此处所关心的是结论。如果你熟悉电磁场，请回忆电磁场的能量动量张量，它的确可以写成无迹的形式。因此电磁场是共形不变的。

当然，这个解释不够直观。但是我们也可以给出一个仅凭直觉即可理解的结论，那就是，若系统具有尺度不变性，则它必须不能包含任何非零的特征尺度。否则，这个特征尺度在尺度变换下的变化必将破坏尺度不变性。形象地说，平面、直线、射线、角，这些几何对象都是尺度不变的，因为它们不包含任何特征尺度。而矩形、圆形、网格则不是尺度不变的，因为它们都包含内禀的特征尺度。再举一例，两条相交的直线是保持尺度不变，而两条平行的直线破坏尺度不变。

在物理学中，尺度的含义比几何中的长度更丰富，因为在自然单位制下，长度具有和能量的倒数相同的量纲，因此所谓尺度，还包括能量、质量等等。经过上一段的解释，我们就不太难理解，为什么无质量带电粒子的电动力学会是共形不变的：因为出现在其中的所有粒子（光子与无质量粒子），以及单位电荷e本身，都不包含任何特征尺度。一旦带电粒子是有质量的粒子，比如电子，则尺度不变性就不复存在。

到此为止，我们已经做好了介绍共形反常的一切准备。关于共性反常的正题，请容我下回再写。

转发塔尔塔罗斯的文章：QED漫谈

纤纤 发表于 2010-12-17 21:01:40

QED漫谈 作者：塔尔塔罗斯的永夜 应纤纤的要求，来说说QED吧。 在讲QED以前，先要说一下量子场论的基本框架。 量子场论的诞生可以说是由于量子力学与狭义相对论的时空观的融合而产生的。 这种融合，带来的就是相对论性的量子力学。但这个理论是不完善的。比如说，为了满足相对论性的色散关系，我们必须要想方设法把“算符的根号”这个问题解决。当时的两种不同的解决方案，就形成了后来的标量场论和旋量场论，分别对应的是KG方程和Dirac方程。但，无论是哪个理论都将面临负能量问题。还有就是，这样的方程中事实上只有波函数是量子化的，势能场什么的都还是经典的，因而当我们想用这样的方程去做类似经典的薛定谔量子力学的方法时，将遇到很多障碍，比如著名的势垒的Klein佯谬。 因而，在早期的相对论性量子力学的尝试中，会出现很多问题，为此，我们就必须要寻求突破。 从历史上会看，这种突破的寻求是通过如下的思考来实现的： 我们知道，非相对论的量子力学以一些基础的东西，比如描述几率的波函数，比如哈密顿方程（量子力学中就是薛定谔方程），比如算符化，比如线性叠加原理，等等等等。这些基本概念中，有些是不能动的，比如线性叠加原理，比如哈密顿方程，比如算符化——这是因为当时无论是矩阵力学还是波动力学还是路径积分力学，都要求最后要得到算符化。因而，一个个排除下来，能动的只有波函数了。 因而，相对论性量子力学中的波函数必须赋予新的意义——至少，它现在不是描述几率的“波函数”了。 在这里，事实上就可以存在两种不同的概念理解，一个是“二次量子化”，一个是“场化”。 这两个概念从操作意义上说是完全一样的，但在更深层次的概念理解上，两者是不同的。 什么是“二次量子化”？事实上，所谓的“二次量子化”的本意是说，粒子的波函数事实上并不是完全的量子化产物，波函数本身还需要被量子化，得到“算符场函数”。 事实上，从概念上说，“二次量子化”并不是“二次”，只是把之前没做完的量子化给做完。也就是说，波函数本身并不是描述几率的函数，只是在低速低能条件下近似可以这么认为。而波函数本身应该是被算符化的，这样才满足一贯完整的量子化手段。所以，“二次”这两字完全历史发展所遗留下的一个前缀。 而什么是“场化”呢？场化和二次量子化不同。二次量子化后，本质的实体还是粒子，只不过粒子现在是弥散在全空间的，量子化的。而场化则不同，场化中的本质的实体不是粒子而是场，场才是最根本的，粒子只不过是场的某个具体的激发态而已。 因而，所谓的“场化”就是将粒子的实体性剥夺了，认为是场的激发态，所以最根本的是场，不是粒子。这样，我们在量子力学中就要对“场”做量子化，而不是对粒子的波函数做量子化。 这两个不同的概念得到的物理实体是不同的，但巧的是，他们得到的数学形式是完全相同的。 无论如何，场化或者二次量子化以后的量子力学，就是量子场论了。 我们沿用场化的概念吧，因为场化的概念比较方便理解。 场化以后，我们得到了光子、电子或者别的粒子的场论，而粒子只不过是这些场的激发态，是不根本的，场才是根本的。 但最关键的是，这个时候的场是经典场，还没量子化。 于是，我们就需要对场做量子化。 这里的量子化事实上有两种做法，一个是正则量子化，一个是路径积分（应该还有别的，只不过我不知道……）。 正则量子化方案其实很简单，就是把场整体做个算符化，从而成为了满足经典场特性的算符场，当然，算符之间是要满足量子化以后的量子Poission括号的。 当然，正则量子化所遗留的问题，就是为什么要做算符化？为什么是这样做算符化？这些问题现在我们不知道，所以是“知其然不知其所以然”的状态。 还有一个方案就是路径积分。路径积分的思想，就是说所谓的量子化就是将所有可能的物体系统发展的路径（在位形空间或者相空间中）都做一个求和，被求和的系数是以路径对应的作用量为幂指数的东西（Exp(iS/h)）。有意思的是，当普朗克系数h趋向0的时候，这个求和将得到经典路径。 这个方案比较直观，不过也有问题，那就是为什么路径积分的被积因子是这么个东西？ 大家还是不知道。 正则量子化和路径积分量子化还有一个区别，就是双方所使用的基本工具是不同的。 正则量子化中，我们先要从经典物理的拉氏量出发，得到哈密顿量和共轭动量，然后做算符化，也就是算符替代。这个时候，事实上最关键的是哈密顿量和共轭动量。 但是在路径积分量子化的时候，我们并不需要哈密顿量，事实上我们连共轭动量都不需要（当然，严格说来还是需要的，只不过在那几个比较“正点”的场里面，正好不需要罢了），我们需要的只是拉氏量——或者说作用量。 从而，这里就体现出了很大的不同。 由于哈密顿量是显然时空(3+1)分解的，所以在量子化以后，Lorentz对称性就成了一个需要事后加上去的要求。但是对于路径积分量子化，作用量本身就是Lorentz不变的，所以这点是先验地保证的。 这个在量子化的时候会体现出一定的不同——虽然结果是相同的。 因而，路径积分有时候又叫做“协变量子化”。 当然，无论我们知道还是不知道为什么要量子化这个问题，我们总可以用这两个方法来构造出场的量子化理论——量子场论。 此时，不同的场就可以对应不同的量子场论模型——当然，对应的经典场论也是不同的。 比如说，标量场就对应到了KG方程的拉氏量，旋量场就对应到了Dirac方程的拉氏量，矢量场就对应到了电磁场那种规范场的拉氏量。 还有，由于现在所有一切都已经场化了，所以先前的势垒的Klein佯谬就自然解决了——因为势垒必须也要量子化，而在相对论性量子场论中势垒没有量子化。 量子场论的一般框架，到这里基本上已经主体搭建完了。我们要做的无非就是找出某个粒子系统对应的经典场系统，然后量子化，就Over了。下面就是算啊算啊算。 这里，还会有一些东西被逐步加进来。 比如反常——我量子场论老师是专门研究反常的。 什么是反常？所谓反常就是说，在经典物理里面满足的守恒律或者说对称性，在对应的量子体系中就不再满足了。 比如说，大家最关心的一个反常就是共形反常。比如某个经典系统是共形不变的，结果你会发现基本上量子化以后不大可能还是共形不变的……而依然满足共形不变的场论就很有意思了，被称为共形场论。这种场论的性质很好——具体怎么好，我也不知道，没深入研究过…… 还有一个反常是必须要消除的，那就是规范反常。什么是规范反常？那首先要知道什么是规范不变，或者说规范自由度。 我们都知道，电磁理论中是有规范约束的，比如Lorentz规范，比如Column规范。所谓规范，就是说系统具有的自由度比描述这个系统的数学方法具有的自由度小，从而就会在理论上多出来很多“无用”的自由度，这些自由度只能通过非物理的手段来消去，这种纯数学约束就被称为“规范约束”，对应的自由度就是规范自由度。 经典系统，都是规范不变的，也就是说，取这个规范和取那个规范都一样，或者说在满足规范约束的情况下对场进行变化后，系统还是不变的。 这种规范约束也可以认为提供了一种系统的“规范对称性”，虽然是纯数学的，非物理。 而规范反常，就是说上述的规范对称性在量子化以后就消失了。这个我们认为是必须要杜绝的，也就是说，量子系统和经典系统的规范对称性必须是一样的。 当然，除了上述反常，还有手征反常，等等等等。反常的来源，用路径积分的话说，就是因为路径积分的“积分测度”不具有这些对称性。比如积分测度显然不会都是共形不变的——这是一个有趣的话题，有人研究过，如果一个物理系统不存在“特征尺度”，那么这个系统就可以是共形不反常的。比如无质量的阿贝尔规范场。但是有质量的阿贝尔规范场是共形反常的，同样的，无质量的非阿贝尔规范场也是共形反常的。前者的共形反常来源于质量是具有“特征尺度”的，而后者是因为非阿贝尔场自身是非线性的，从而存在“特征尺度”——比如渐近自由程。 当然，除了反常的对称性，还有一些对称性是在经典系统和量子系统中都保持的。比如Ward恒等式，它事实上就是经典的Nother流的量子推广。 除了反常，量子系统还有一些别的特性。 比如说，我们在用量子场论来做计算的时候，发现树图还没问题，但是一旦做到圈图，就会出现发散。从而，就需要量子场论所特有的数学手段——重整化。 当然，这里还是要说一下的，为什么会出现发散？我们用动量的语言来说，这是因为圈图中，内线动量可以从负无穷取到正无穷，从而如果没有一个相应的无穷小因子来抵消的话，就必然会出现发散。 这里，我们可以对圈图做一些拓扑上的分析，就能发现圈图的圈外线只要足够多，圈图一般都会收敛——因为那些线就对应了传播子，传播子都是动量在分母上的，从而可以起到“吸收无穷大”的作用。拓扑分析的结果，可以给出发散度和内外线数还有圈数的关系。 这里，我们可以对发散和重整化做出分类。 有些场论，圈图是不发散的，这个自然是最好了。 还有一些场论，我们发现随着圈数量的增加，发散度是降低的，从而只有有限阶的圈图发散。这种叫做“超可重整理论”。 还有一些场论，发散度和圈数没关系，这个叫做“可重整理论”。 最后，还有一些场论，发散度随圈数的增加而增加，那就是“不可重整理论”了。 电磁场的量子理论是可重整的，作为玩具的Phi4理论也是可重整的。还有就是标量场和旋量场耦合的Yukawa理论，也是可重整的。电磁场和旋量、标量场的耦合理论，也是可重整的。 多好啊。 但是，从GR直接出发得到的量子理论是不可重整的——这点以前闲来无聊和火焰一起证明过。 QCD也是不可重整的——现在是否可重整了就不知道了。 不可重整理论我们认为是不好的，因为这样就需要无穷多项彼此不同的抵消项来做无穷大减除——但事实上，我们认为抵消项总归是有限的，因为没那么多“裸量”来做重整化。 可重整的理论，我们只需要有限多的抵消项，从而只需要有限多个“裸量”来做重整化就可以了。 而超可重整的理论，抵消项也是有限多个，而且，到了高阶就不变了，挺好的。 所谓重整化，事实上就是先做正规化减除，然后将抵消项放入相应的物理“裸量”中。比如我们可以把抵消项放在质量上，就会发现质量是随着能标跑动的；放在耦合常数上，就得到了跑动耦合系数；放在电荷上，就发现精细结构常数也是随能标而变的。这些最后都在实验上被观测到并证实了。 当然，就和量子化的本质一样，重整化的本质我们也是不知道的。 一般来说，考虑到和凝聚态等物理体系的类比，我们一般可以这么来理解重整化： 在量子场论所涉及到的时空尺度以下的时空尺度中，还隐藏这其它的更深层次的物理，这些物理我们现在不知道，所以只能将其“黑箱化”，尽量找出这些不知道的物理的表观效应和作用，将这些作用放在物理量的重整化上。至于这些效应和作用究竟是什么，到底是怎么产生的，我们不知道，也不用去关心。 举一个例子来说，凝聚态中的重整化是因为我们对分子及更小尺度上的物理不知道，所以只能用这种“黑箱化”操作。 对于量子场论来说，这种“更小尺度”上的物理，可能性有很多——因为我们现在还不知道。 比如说弦网凝聚，可以给出包括光子和费米子场在内的所有场论激发态，从而将这些东西看作是更小尺度上的凝聚态物理。 还比如说，比较“超前”的弦论、圈量子、标度相对论，这些东西可以作为更小尺度上的真正物理，而现在的量子场论都是这些更基本物理的“低能近似”。 反正，关于重整化的本质，一句话，就是我们现在还不知道，所以只能“黑箱化”。 到了这一步，事实上一般来说下面的工作就是去找出经典物理的拉氏量，然后做路径积分，就Over了。通过路径积分，我们可以得到生成泛函，从而得到各种传播子、顶角函数，以及费曼规则。通过费曼规则，我们就可以来“画出”各种图，树图啊，圈图啊，等等等等。这些图对应了一个计算过程，从而可以通过费曼规则来计算相应物理过程的散射矩阵。 在量子场论中，所谓的散射矩阵，事实上就对应于量子力学中的跃迁概率。只不过，散射矩阵给出了各种初态到各种末态的所有的跃迁概率。 在上个世纪60年代末，就流行散射理论，也就是完全不管物理机制是什么样的，就用各种方法去求散射矩阵。关于弦论中开弦和闭弦的作用量，事实上就是在研究强相互作用力的散射矩阵的时候发现的，因为从形式上说，当时得到的这个散射矩阵很像两根弦的散射矩阵——这完全是一个搞强相互作用力的物理学家没事翻数学手册的时候发现的。可见，书中自有黄金屋啊！ 散射矩阵的构成要素，就是传播子。传播子通过各种顶角，构成一个具体的费曼图——对应了一个具体的物理过程。 那么，什么是传播子？说白了，传播子是量子场论对应的经典体系中的波传播函数——从给定初态的波态传播到给定末态的波态的传播子。对应到点粒子的话，就是从给定位置运动到给定位置的Green函数。 因而，传播子事实上是经典系统运动方程（拉格朗日函数）的解。 而在费曼图中，要用到传播子的地方就是内线。外线是给定的（在动量空间中），所以不用理会（在坐标空间中，外线也要给出传播子）。 不同场的传播子对动量的依赖程度是不同的，所以不同场的发散情况也是不同的。 在费曼图中，还有一个关键的东西就是顶角。对于熟练的人，看着拉氏量就能写出顶角了。对于不熟练的人，则还是要用生成泛函做泛函微分才能知道了。 对于费曼图，还是有一点需要说明的，那就是费曼图说白了是一种近似的微扰方法。 真正的完整的散射矩阵应该就是初态和末态之间的路径积分，就是那个积分。问题是，对于路径积分，除了Gauss型的路径积分我们能做，别的路径积分我们都无从下手——而巧的是，Gauss型路径积分居然正好就是自由场的作用量。所以，我们原则上说，只能做自由场的量子场论。但，理论的预言性又要求我们不但要对自由场可以处理，对非自由的有相互作用的场我们也要运算。那没办法怎么办呢？就只能用微扰论的方法，做微扰展开。 费曼图就是这么一种微扰展开。 所以，虽然我们说一张费曼图就对应了一个具体的物理过程，但事实上这只是我们的一厢情愿而已。只有所有的费曼图都放在一起，才有资格说是给出了一个真实的物理过程。 由于是微扰展开，所以只能对弱场进行展开。对于强场而言，是无法做微扰展开的。就好比1+x+x^2+x^3+....=1/(1-x)，这个东西只有当x是小量的时候才有效，一旦x大于等于1，那么这个微扰展开就是无效的。 同样的，费曼图也只是对弱场才有效，一旦遇到强场，微扰展开的前提就消失了，费曼图自然失效。 我们一直说的QCD在低能情况下的困境，就是因为低能的时候不是弱场展开——这是QCD的特点，高能是弱场，因而自由的；而低能是强场，高度耦合，不自由。 还有就是弦论的非微扰解，就是说在不用微扰展开的情况下进行物理研究。 下面来说说规范场。 事实上，规范场是一个经典概念。量子化以后我们必须要叫做“量子规范场论”。大学开课的时候，基本就叫“规范场论”，量子二字没了，搞得我一开始以为“规范”是个量子概念，仔细看了才知道，哦，是经典的啊…… 规范场论到底做了件什么事情呢？ 说白了，规范场论就是在完成前面所说的量子场论大框架中的第一件事情——建立经典场论。因为，只有建立的经典场论，我们才能量子化它，得到量子场论，然后给出费曼规则，分析可重整性，给出重整化物理量（也就是相应的减除项），从而做计算，给出散射矩阵。 那第一步，就是建立经典场论。 规范场论所作的就是这个事情。 规范场的历史来源是很有意思的。 规范场最早的提出，事实上是广义相对论GR。当然，这里需要说一下，GR的规范场论化工作到现在都不能认为很完美地解决了。LQG算是GR的一个不错的规范理论吧，不过还有很多问题解决呢。 当年在老爱提出了广义相对论GR后，有个叫Weyl的牛人开始想这么一个问题：GR的等效原理说的是时空从局部上来说都是闵氏平直时空的。这点说白了，可以这么理解，那就是时空在局部上都是Lorentz不变的。 牛人Weyl就开始想一个很BT的问题：如果局部上不仅仅是Lorentz不变的呢？比如说，还是缩放不变的呢？当然，正规一点应该叫“共形不变”的。当然，Weyl当年称之为“规范不变”。后来的所有“规范不变性”都是因为这个历史渊源。 以此为出发点，Weyl研究了GR，并且发现Riemann张量可以分解为三部分，分别是标量部分、纯迹部分以及无迹部分——这最后一部分，就是Weyl张量。 只要一个时空的Weyl张量为零，那么这个时空就具有Weyl所希望的共形不变性。 只不过，满足这个条件的时空实在是太少了…… 从而，Weyl的引入更多局部对称性的想法到此就破灭了。 经过许多年以后，杨振宁在研究场论，尤其是突破QED研究弱相互作用的量子场论的时候，才重新提及了Weyl的局部规范不变性，并最后得到了规范场论。 规范场论的基本物理思想，就是认为粒子场的局部电荷变换将不改变整个物理系统——也就是说，在局部电荷变换下，系统作用量不变。 这里，就把Weyl对GR的规范不变性给推广了，推广到了场的内部时空对称性——这一步说起来简单，事实上是很不容易的。 现在，在场论中的电荷，事实上就是该场的相位。比如复标量场的相位，旋量场的相位。规范场比如电磁场是标量场，所以电磁场的中间粒子（光子）是不含电荷的。作为比较，SU(3)的强相互作用QCD的规范场是有相位的（也就是也具有SU(3)结构），所以QCD的中间粒子（胶子）是带色荷的——当然，这个问题也可以这么看，那就是QCD是非阿贝尔场，所以八个生成元会非线性耦合，这里没色荷什么事…… 上述原理（局部规范变换不变性）可以外推到电荷以外的情况，从而可以如下描述： 粒子场的局部内秉空间变换不改变整个物理系统。 这里的“内秉空间变换”，对电荷来说就是相角变换，但对于SU(2)群或者SU(3)群来说就可以很复杂了。 这种思想的来源，其实是跳跃性的。因为，整体规范不变是很好理解的，那就是全局电荷守恒。但换到局部规范变换，就不好理解了，似乎应该理解为电荷与某种额外的东西都成了个“流体”，从而才能保证局部上这种“流”守恒——不是场论中的“流守恒”哦。 但是，如果换一个角度的话，规范场的思想就比较合理了。 那就是从“不可积相位差”来理解规范场。 我们知道，场的相位“零点”在哪是一个无关紧要的问题，也就是说，场的具体相位是不重要的。那，什么是重要的？重要的是相位差。 这个就好比，能量的“零势能点”的位置是不重要的，重要的是两个能级的能量差。 这个相位差，我们可以发现，是可以分为两部分的。一个是纯运动学相位，一个是非运动学相位。 运动学相位与场如何从初态变化到末态无关，或者说，是（演化）路径无关的。它只与初末态有关。 而非运动学相位就比较有意思了。它有一部分可能是路径无关的，但总有一部分是肯定路径相关的。也就是说，初态到末态的相位差，与你这个系统如何演化是有关系的。 这方面最好的例子就是量子力学的AB效应和AC效应。 这部分相位，叫做“几何相位”，或者叫“不可积相位”——所谓不可积，就是说局部相位差不满足可积性条件。 关于这个几何相位，Dirac提出，相位差本身和相位一样，也是无意义的，有意义的是局部的无穷小领域内的相对相位差。 由于这个局部相位差可以是不可积的，所以对应的就是几何相位。而如果局部相位差满足可积性条件，那么对应的就是非运动学相位中的非几何相位——这个基本上最后就作为无意义的东西扔掉了。 现在有意思的是，这个几何相位和规范场有什么关系呢？ 我们先来看一下规范场的场强。 假定规范场为A_a，其中a可以取0、1、2、3，分别对应t、x、y、z，那么这个规范场的场强就是： F_{ab}=D_a A_b-D_b A_a 这里的D_a就是a方向的协变微分算符，在平直时空为：D_a=\partial_a+iA_a。对于电磁相互作用，那么上述场强就可以写为： F_{ab}=\partial_a A_b-\partial_b A_a 可见，如果规范场A居然是可积的，那么对应的场强就必然为零。 所以说，如果存在非平庸电磁场，或者说非平庸规范场，那么规范场强就不为零，所以规范场就是不可积的。 同时，我们现在来看复标量场的运动方程，在含规范场的时候为（这里为了方便，取e=1）： \partial^\mu \partial_\mu \phi+2iA_\mu \partial^\mu \phi=(A^\mu A_\mu+m^2)\phi 这里度规为{-1,1,1,1}。从而，这个方程的平面波解要满足如下条件： \partial_\mu \phi=i(p_\mu-A_\mu)\phi 也即D_\mu \phi=ip_\mu \phi。而\partial_\mu \phi恰恰体现的是标量场的局部相位差。 从上面就可以清楚地看到，在有规范场的时候，标量场的局部相位差可以分解为两部分：运动学相位差p_\mu，以及非运动学相位差A_\mu，而后者就是几何相位，或者说不可积相位。 因而，物质场的不可积相位就是规范场，或者说是由规范场提供的。而不可积相位的存在，也就表现为规范场强不为零——这样才是不可积的。 上面说得比较技术，不过从这里我们可以看出局部规范变换不变的意义了：物理系统中局部点的相位是不重要的，没意义的，有意义的是局部相位差。而规范场就是这局部相位差的体现。因而局部做相位变换是没问题的，只要相应地改变周围的相位差就可以了。而这种局部相位和与周围的相位差，就构成了一个稳定的不变体，这个不变体就是局部规范变换所追求的。 事实上，全局规范变换是说：全局的相位变换不变，对应的就是说相位是不重要的，重要的是相位差。 而局部规范变换就是说：局部的相位变换不变，对应的就是说相位差也是不重要的，重要的是局部相位差。 我们再深入一点。 在从局部规范不变得到物质场与规范场耦合的协变微分算符的时候，我们事实上就是要求空间各点的相位都发生变化，而且彼此不依赖（这点很重要），这样，事实上就修改了局部相位差，因而这种局部相位差就必须做出相应的调整，从而让我们知道：普通微分是不合适的，必须要协变微分，而多出来的部分就是为了弥补这个局部相位差——因为它也是随着你相位变换而变换的。因而，物质场的时空各点相位变换必须辅助以规范场的变化，后者弥补了前者变化引起的局部相位变换。 这么说很技术很绕，下面说得简单点，那就是只要你改了某个点上的电荷值（相位），那么就要相应修改这个点领域里的相位差（废话），而这个差就是规范矢势。所以，电荷值和规范场构成的整体，是不变的。 不过有意思的部分不在这里，而在于由规范不变引出规范场的那个推导，那里事实上真正发生变化的是运动学相位！也就是说，那里并不能将几何相位确定下来，也不能到处它必然是几何相位，但结果就是：它还真的居然就是不可积的。 这点很有意思。 当然，事实上就和相对论中做一般坐标变换来得到联络的变换关系一样，如果没有适配条件，联络也是无法确定下来的，只能得到在坐标变换下的“连带变换关系”。 简单说，规范场和不可积相位是紧密联系的，差不多可以认为是一体的。 不过，也就因为相位差是几何相位，是不可积的，所以就导致了一个问题，那就是一点的相位可能是多值的！比如AB效应和AC效应中，同一点上就会出现相位差，从而引起可观测效应。因而，在规范场论中，相位不但是不重要的，事实上也是无法给出唯一确定值的。所以，对于到底什么是相位，这是一个既值得思考，又不需要思考的问题。 上述描述虽然是针对阿贝尔的QED而言的，但事实上对于更加宽泛的别的内秉空间，也是一样成立的。 比如说，如果场的内秉空间满足某种对称性，比如说群G，那么就是说，在各点各不相同的群变换G(x)作用下（f=>Gf），整个物理系统依然保持不变，也就是说作用量或者拉氏量不变。这就等于要求微分项在G作用下也是不变的，从而可以引入协变微分：D'f'=G(Df)，而协变微分可以写为D=\partial+A，其中A就是这个群作用对应的规范场，从而就有：A'=GAG'-\partial G G'。其中G'是群元G的逆元。 满足以上关系的矢量A，就是群G所对应的规范场。同时，这个矢量A不单单是矢量，也是群G的生成元，所以也可以看作是场的内秉空间中的矢量。因而，如果群G是非阿贝尔的，那么矢量A就是不可交换的：A_1 A_2-A_2 A_1≠0。当然，对于阿贝尔的情况，群的生成元是对角化的，所以可以看作是一组常数，从而可以看作不具有群结构，所以是“不带荷”的。 从上面的关系也可以看出，物质场事实上就是群变换的表示空间的矢量，而规范场则是群变换的李代数的矢量。而这个群，就是内秉空间的变化规律，同时也可话了这个内秉空间的几何特性——比如，必须是群的齐性流形。 所以，我们在粒子物理中都说，基本粒子就是群的一个表示，就是这意思。 同样的，场论中我们说标量场是Lorentz群的一维表示，旋量场是Lorentz群的二分之一表示，矢量场是Lorentz群的伴随表示，也就是这个意思——只不过，这个的出发点不是规范不变，是局部Lorentz不变。 因而，在规范场论中，群论的作用被摆到了一个极其重要和突出的位置。 在现实世界中，我们可以采用的内秉对称群有U(1)、SU(2)和SU(3)，分别对应了电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用。相应的，它们的李代数分别是1维的、三维的和八维的，从而分别对应了各自的相互作用媒介粒子：电磁相互作用只有光子；弱相互作用有三个：Z0、W+和W-；强相互作用有八个媒介粒子，通称为胶子，都带有双色。 引力场的规范理论到现在都没找到，不过从一些线索看来，有可能是Lorentz群，或者GL群，所以也是非阿贝尔的，因而引力子可以和引力子发生相互作用。 在弱电统一理论中，我们将U(1)群和SU(2)直积在一起，作为囊括电磁相互作用和弱作用的内秉空间的对称群。同样的，在GUT（大统一理论）中，我们所采用的内秉空间对称群为U(1)×SU(2)×SU(3)——有人提出可以进一步扩大为SU(5)，也有人提出用例外群E(8)。 规范场论的重要意义，就在于它将相互作用归结为了内秉空间的局部变化导致的时空中的不可积相位变化——从而，所有的一切都可以用内秉空间的群变换来描述了。 在有了规范场论来描述经典层面上的相互作用后，下面我们就可以对这个场论做量子化，从而得到量子规范场论。 不过，规范场论即使作为一个经典理论，也存在一些东西是与我们所熟知的物理不同的。 比如，弱力如果也作为规范理论，那应该具有内秉对称群SU(2)，但是弱力是短程力，其媒介粒子都是有质量的，而规范场论中的规范场必然是无质量的。 规范场为什么必须是无质量的？因为规范场必须在物质场做内秉空间对称变换的时候是会发生变化的：A'=GAG'-\partial G G'。而质量项的形式为m^2 A_\mu A^\mu，在规范变换下，它将变成： A'_\mu A'^\mu=G A_\mu A^\mu G'-G A_\mu G' \partial^\mu G G'-\partial_\mu G G' \partial^\mu G G' 可见，并无法将其变到我们所想要的A'_\mu A'^\mu=G A_\mu A^\mu G'。 因而，质量项的存在会破坏整个理论的规范对称性。 可见，如果要保持规范不变，那么规范场必须无质量。而如果规范场论能描述所有相互作用，那么规范场必须有质量。 这是一个矛盾。 如何才能缓解这个矛盾呢？那就是Higgs机制。 而Higgs机制的背后基础，则是对称性自发破缺。 所谓对称性自发破缺，我们可以这么来理解：系统本身从形式上来说，是满足某种对称性的，但系统的经典物理态却必须破坏这种对称性。 为什么系统的经典物理态必须要破坏这种对称性呢？这是因为两个基本约定： 一，经典物理的物理态必然是总能量最低的能态。这个很好理解。 二，经典物理的物理态是唯一的。这就是最关键的地方：唯一性。 经典物理的物理态必须是唯一的，所以如果系统最低能态是简并的，那么可选的基态就不唯一，但由于真实的物理的物理态是唯一的，就必须在这些备选基态中选出一个来，从而就带来了某些“不对称的特性”。 我们来看这样的一个势能：V(x)=(x^2-a)^2。当a>0时，这个势能场的最低能态是x^2=a的位置。对于一维空间，就是x=sqrt(a)和x=-sqrt(a)这两个位置，所以最低能态是二重简并的。而如果是三维空间，那么就是r=sqrt(a)的球面，简并度为无穷大。也就是说，球面上的任何一个点，都是这个系统的总能量最小位置。 但是，经典物理的物理态只能是这所有无穷多个最低能态中的一个，而不能是所有，所以我们就必须要做出选择，而一旦选择做出了，对称性就破缺了——因为，现在你所选出的点是物理态，别的最低能态不是物理态，就好比在球面上用水彩笔点出了一个点，球面的转动对称性就破坏掉了。 量子场论中也是如此，因为量子场就是经典场上加上了量子扰动。所以对于量子场的基态，就是经典物理的物理态加上微弱的量子扰动，而激发态，也是经典物理的物理态加上的量子扰动，只不过这个量子扰动在这个量子激发态上恰好能稳定。 因而，一旦经典的物理态破坏了系统本身具有的对称性，那么加上量子扰动以后也肯定依然破坏了系统的对称性。 这么一来，本来V(x)=(x^2-a)^2的势场是多么地对称啊，但一旦在其上要做出物理，那这个对称性就几乎不可避免地破坏了——量子化以后也依然是破坏的。 Higgs机制就是建立在对称自发破缺的基础上的。规范场与Higgs场耦合，原本系统本身是无质量的，但在选定基态后，便落入到了“有质量”的状态，从而弱力的三个媒介粒子有质量，而且还很重——在无Higgs机制的QCD模型下，这三个媒介粒子可以通过QCD的费米子凝聚而获得质量，不过比Higgs机制所给出的质量小很多。 推而广之，所有的物质场和规范场都可以通过与Higgs场的耦合，最终自发破缺到有质量的状态。或者说，所有的物质场与规范场都通过吸收Higgs场而获得质量。 所以，Higgs场被称为“质量之源”。 在无超对称的标准模型中，Higgs场是很不稳定的，也是很随意的，所以粒子的质量也颇为随意。但是在引入超对称以后，Higgs将变得稳定，粒子的质量也才被唯一确定。所以如果我们找到了稳定的Higgs粒子，而且由此给出的粒子质量谱是符合物理实际的，那几乎就可以肯定，这个世界是超对称的。 当然，如果是这样，超对称为何会破缺又将成为问题——当然，相对于质量的起源和规范不变的破坏，这似乎是可接受的问题。 好吧，我们现在总结一下。 如果物理系统真的是满足规范不变的，那么Higgs机制就是必然，所以就肯定存在Higgs粒子。反过来，如果LHC以及后续的粒子对撞机都没能找到Higgs粒子，那么我们就要面临这么一个问题：规范场论是否真的是物理的？或者，有没有别的机制可以让规范场获得质量？ 这将是非常头疼的事情。 规范场论量子化以后，将具有许多别的特性。 比如，规范场需要重整化——量子理论都需要重整化。合理有意思的事情出来的了。U(1)的QED在量子化以后，我们可以给出跑动耦合常数，也就是说，能标不同，电荷这个耦合常数也是不同的。这个可以用真空激化来解释。 但是，SU(2)的QCD在量子化以后的跑动耦合常数就出了有趣的现象——这个跑动耦合常数随着能标的升高而降低，反言之，随着能标的降低而升高。而低能标就是距离远，色荷反而强烈——这就是著名的“夸克色禁闭”。 在《生活大爆炸(TBBT)》的第四还是第五集中，Leslie起床后顺便把Sheldon的板上的公式给改了，从而给出了正确的Zeta函数正负号，从而给出了夸克色紧闭，这说的就是这件事情。 夸克色禁闭带来的技术上的问题，就是Yang-Mills理论中的无穷远自由态现在不能用了——无穷远处，色荷无穷大，所以不是自由态。这个问题后来被口袋强子模型给解决。 带来的一个现实的问题，就是原则上说，我们不可能看到自由的夸克——夸克必然是成团结对出现的。 可以说，如果规范场论成立，内秉空间也真的是SU(2)的，那么必然有夸克色禁闭。 色禁闭的一个超级特例，就是传说中的“胶子球”。更离谱的是，继中子星和夸克星以后，还出现了胶子星……这事说来很囧…… 色禁闭要求夸克绝对不自由，不过没说多少个结对。 可以是两口之家，那是介子。 也可以是三口之家，那是强子。 甚至于，也可以是四口或者五口之家——前几年我老板和师兄在研究的pentquake就是五夸克粒子。这些东西被称为exotic物质（不是GR或者宇宙学上的奇异物质），在粒子物理实验上有迹象表明是存在的，不过也不能说这些迹象就只能是由exotic物质产生。 对于规范场，还有一个东西是息息相关的，那就是规范约束条件。 在之前已经提到过了，物质场的相位是不重要的，所以就会导致一个问题，那就是规范场一般不能被完全确定下来。比如，原本一个规范场在空间上的分布是给定的，然后物质场的相位改变改变，规范场就跟着改变改变，从而分布就不同了，但这种改变不会改变物理，因为规范不变性，所以规范场虽然不同，但对应的物理确实相同的。 可见，与规范不变性相伴随的，就是规范自由度，一种冗余自由度。而为了消除这些冗余自由度，我们就要引入规范条件，或者说规范约束——这是一种完全人为的引入，为了能在众多完全相同的物理中选出一种来。同时，也正是由于这种将规范自由度剔除的机制，我们可以发现许多在场论中出现的东西，事实上都可能是非物理的。比如说QED中的光子，原本可能有除了两个横模以外的纵模光子，但这个光子随后会被规范条件给消除——当然，事实上这个纵模光子也应该被别的物理条件给消去。 还比如QCD，它别QED特殊的地方在于，由于内秉对称性是非阿贝尔的，所以当选择的规范条件不同时，将看到不同的“物理对象”。比如选择Lorentz规范，我们将得到鬼场，而如果选择轴规范，将没有鬼场。 所谓鬼场，就是具有规范场一样的行为特性，却满足旋量场的反对易代数规则的“非物理”场。 当然，鬼场的起源除了因为我们选择了Lorentz规范条件，还有一个原因就是当我们在计算路径积分的时候，会出现重复积分的问题，所以需要引入一个Faddev分母，这个分母就给出了鬼场。而这个重复积分的问题，则和规范条件有关，而且也是非阿贝尔规范场论的一个特点。 当然，如果我们认为理论必须满足BRST对称性，那么上面所有这一切的引入就是自然的——非阿贝尔的规范场必然是有鬼的。 鬼场是不会在真实物理世界中被观测到的，但胶子等的相互作用过程中会出现它们。它们是真正的“虚拟粒子”，和真实无关，却不可或缺。 到此，关于规范场论的基础概貌就介绍的差不多了。都是一些叙述性的说明，希望对了解规范场论有所帮助