矩阵,本征值,本征向量,本征函数, - 量子力学,结构化学

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矩阵,本征值,本征向量,本征函数,

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Recap: Mathematical Concepts 1.Some Basic Elements of Statistic 2. Matrices, Eigenvectors and Eigenvalues 矩阵的基本概念 1. 矩阵的定义由 m × n 个数 aij (i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) 排成的 m 行 n 列的数表, 称为 m 行 n 列的矩阵,简称 m × n 矩阵. 记作: a11 a21 am1 A, B, C , a12 a22 am 2 a1n a2 n amn aij Am × n A = ( ai j ) m×n 2. 几种特殊形式的矩阵 (1) 行矩阵与列矩阵 A = (a1 , a2 , , an ) (2)同型矩阵与矩阵的相等 a1 a2 A= am 两个矩阵行数相等、列数也相等时,称为同型矩阵. 如果矩阵 A = (aij )与矩阵 B = (bij )是同型矩阵,且它们的对应 元素相等,即 aij = bij (i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) 那么就称这两个矩阵相等.记作 A = B (3) 零矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵.记作 Om×n 或 注意:不同型的零矩阵是不同的. O (4) 方阵 行数与列数都等于 n 的矩阵称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵 a11 a12 a21 a22 A = An = an1 an 2 a1n a2 n ann 称为主对角线元素 n 阶方阵 A = (aij )n×n 的元素 a11 , a22 , , ann (5) 上(下)三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵 a11 0 a21 a22 A= an1 an 2 0 0 ann a11 a12 0 a22 A= 0 0 a1n a2 n ann λ1 0 0 λ2 Λ= 0 0 0 0 = diag(λ1 , λ2 , λn 1 0 0 1 , λn ) E = En = 0 0 0 0 1 矩阵的运算 1. 矩阵的加法 A = ( ai j ) m×n B = (bi j ) m×n a11 + b11 a21 + b21 A+ B = am1 + bm1 2.运算规律 a12 + b12 a22 + b22 am 2 + bm 2 a1n + b1n a2 n + b2 n am n + bm n A + B = B + A, ( A + B ) + C = A + ( B + C ) A = (aij ) A = ( aij ) A B = A + ( B) 2. 矩阵的乘法 (1) 数 λ 与矩阵的乘积 λ a11 λ a12 λ a21 λ a22 λ A = Aλ = λ am1 λ am 2 λ amn λ a1n λ λ a2 n 0A = O λ ( A + B) = λ A + λ B (λμ ) A = λ ( μ A) (λ + μ ) A = λ A + μ A (3) 矩阵与矩阵的乘法定义 A = ( ai j ) m×s B = (bi j ) s×n AB = C = (ci j ) m×n 其中 ci j = ai1b1 j + ai 2b2 j + + ais bsj = ∑ aik bkj , n) k =1 s (i = 1, 2, , m; j = 1, 2, 说明: a. AB 的元素 ci j 就是第一个矩阵 A 的第 i 行与第 二个矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积和. b. 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数 时,两个矩阵才能相乘 c. 运算规律(假定运算都是可行的) : ( AB )C = A( BC ) (矩阵的乘法一般不满足交换律,一般 AB ≠ BA ) λ ( AB ) = (λ A) B = A(λ B ) (其中 λ 为数) A( B + C ) = AB + AC (左分配律) ( B + C ) A = BA + CA (右分配律) Am×nOn×s = Om×s , Os×m Am×n = Os×n Em Am×n = Am×n En = Am×n En An = An En = An 3.矩阵的转置定义 设 A = (aij ) m×n a11 a21 = am1 a12 a22 am 2 a21 a22 a2 m a1n a2 n amn m×n an1 an 2 anm n×m 称 AT = (a ji ) n×m a11 a12 = a1m 为矩阵 A 的转置矩阵. 即把矩阵 A 的行换成同序号的列得到的一个新矩阵. 运算规律(假定运算都是可行的): ( AT )T = A ( A + B)T = AT + B T (λ A)T = λ AT ( AB )T = B T AT 逆矩阵 1. 逆矩阵的定义 定义 设 A 为 n 阶方阵,若存在 n 阶方阵 B ,使 AB = BA = E ,则称方阵 A 可逆, B 称为 A 的逆矩阵. 注： (1)如果矩阵A 是可逆矩阵,那么 A 的逆矩阵是惟一的, A 的逆矩阵记作 A1 ，即 AA1 = A1 A = E . (2)满足 AB = BA = E 的 A 与 B 互为逆矩阵, 即 B = A1 , A = B 1 . 2. 方阵 A 可逆的充分必要条件及 A1 的求法 定理1 若 A 可逆,则 A ≠ 0 ,即 A 为非奇异矩阵. 1 * A ,其中 定理2 A ≠ 0 ,则矩阵 A 可逆,且 A = A 1 A 为矩阵 A 的伴随矩阵. n 伴随矩阵： 阶方阵 A 的行列式 A 的各个元素的代数余子式 Ai j 所构成的 n 阶方阵 A11 A12 A = . A1n A21 A22 A2 n An1 An 2 Ann 1 若 A 可逆,则 A1 也可逆,且 ( A ) = A, A = A ； 1 1 1 3 . 可逆矩阵的性质 ( AT )1 = ( A1 )T ； 若 A 可逆,则 A 也可逆,且 T 1 A 可逆,数 λ ≠ 0 则 λ A 也可逆,且 (λ A) = A ； 若 1 1 λ A, B 为同阶可逆矩阵,则 AB 也可逆,且 ( AB ) 1 = B 1 A1 ； 若 A 可逆,则 An 也可逆,且 ( An ) 1 = ( A1 ) n . 若 特征向量，特征值定义： 给定一个向量空间E，线性变换T是一个保持向量加 法和标量乘法的函数。 线性变换T(E→E)的特征向量v是在这个线性变换下 简单乘以一个标量λ的非零向量，也就是说λ满足: T( v ) = λ v 其中的缩放因子λ称为这个特征向量的特征值，也是 这个线性变换T的特征值。反过来，一个实数λ是线性变 换的一个特征值，当且仅当有一个非零向量v满足上面的 式子 。 特征向量也可以看作是关于系数λ的方程： T( v ) = λ v 的非零解。显然只有在λ是变换T的特征值之时， 方程才有非零解，即存在解v。 应用： 1. 矩阵 特征值与特征向量。在A变换的作用下，向量 ξ仅仅在尺度上变为原来的λ倍。称ξ是A 的 一个特征向量，λ是对应的特征值。 求矩阵的特征向量与特征值的步骤 AX = λX λX Ax = 0 (λE A)x = 0 ①. (λE A)x = 0有非零解的充要条件是系数行列式 |λE A| = 0。 ②. 求出矩阵A的特征方程|λE A| = 0 的所有的根，即A的 全部特征值。 ③. 对每个不同的特征值λj(j=0,1,2…), 求齐次线性方程组 (λjE A)X = 0的一个基础解系。 ④. 若该方程组的一个基础解系为P1,P2,…,Pi 则方程组的所有非零解为X＝ K1P1+K2P2+…+KiPi Sturm-Liouville型本征值问题二阶线性齐次常微分方程 a ( x) y′′ + b( x) y′( x) + c( x) y ( x) + λ y ( x) = 0 d dy ( x) [k ( x) ] Q( x) y ( x) + λρ ( x) y ( x) = 0 dx dx d 2 dy ( x ) 勒 让 德 方 程 　 　 [(1 x )] + λ y ( x ) = 0 dx dx d m2 2 dy ( x ) 关联勒让德方程　　 [(1 x ) ] y ( x) + λ y ( x) = 0 dx dx 1 x2 d dy ( x) ν 2 贝塞尔方程　 [x ] y ( x) + λ xy ( x) = 0 dx dx x 由边界条件都可归结为求解本征值及相应的非零解本征函数的问题 第一类边值条件：y ( a ) = 0 　　　y (b) = 0 第二类边值条件： y ′ ( a ) = 0 　 　 　 y ′( b ) = 0 第三类边值条件： y′(a) hy(a) = 0　 　 ′(b) + hy(b) = 0 　 y 3. 谐振腔 令 u+k u =0 w2 μξ = k 2 u ( x, y, z ) = X ( x)Y ( y ) Z ( z ) 2 2 分离变量可得 d2X + k x2 X = 0 dx 2 d 2Y 2 + k yY = 0 dy 2 d 2Z + k z2 Z = 0 dz 2 Ex =0 x Ex = 0( y = 0) E x = 0( z = 0) Ex = A1 cos k x x sin k y y sin k z z kx = E y = A2 sin k x x cos k y y sin k z z Ez = A3 sin k x x sin k y y cos k z z mπ L1 nπ ky = L2 pπ kz = L3 iE = 0 k x A1 + k y A2 + k z A3 = 0 wmnp 2 kx2 + ky + kz2 = w2 μξ 4. 定态薛定谔方程 ψ (r, t ) = ψ (r ) f (t ) i [ 2 2 i ψ (r, t) = [ +U(r)]ψ (r, t) t 2u 2 d f (t ) = E f (t ) dt 2u 2 + U (r)]ψ (r) = Eψ (r) 哈密顿算符　H = [ 2 2u + U (r )] 2 Hψ n (r ) = Enψ n (r ) 体系的能量可以取一系列的 E1 , E2 ,..., En ,... 本征值,对应一系列的本征态ψ n (r ). Thanks for your attention! －－PPT by Li Hao

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贡献时间：2010-09-07

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矩阵 本征值 量子力学 结构化学

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