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主题：【原创】＜闲聊原子吸收和质谱仪器的数学物理基础＞ 1-3
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zhangxuanzhong
该帖子已被 zhouyuhu设置为精华，下面是奖励积分记录：zhangxuanzhong(20分) （3）
原子中的电子，到底是怎么运动的呢？
这个问题，在海森堡年轻的时候，有一个错误的答案，那就是英国的物理学家卢瑟福提出的太阳系模型，认为原子中的电子，好象太阳系中的行星一样，是绕着原子核做圆周运动的。所以，在卢瑟福提供的原子漫画中，原子就好象一个小太阳系，温暖而和谐。实际上却不是，以后我们会发现，原子世界是一个充满鬼魅的黑暗世界。
那时候,海森堡年少春衫薄，他才24岁，不会轻易去动摇卢瑟福奠定的原子物理学的根基，但海森堡做物理有自己的风格，他的风格模糊但是深邃，同时充满了常识，这些用常识做学问的人，永远值得尊敬。海森堡问一个简单的问题：“原子中，电子的轨道是可以测量出来的吗？是可以观测的吗？”
很好的问题！
一针见血地让那些学究们不寒而栗。
海森堡知道，原子中，电子的圆周轨道是不可观测的，无论你用什么光学仪器，即使到现在，你都不太可能看到电子的轨道，至于为什么，是因为电子的波长很短，比可见光波长要短好几个数量级，所以，光照上去以后，就好象一个一只大象踩在蚂蚁上，蚂蚁很容易从大象的脚趾缝隙里溜走了。
既然如此，电子的圆周轨道是看不到的，那这里面就是一个鬼打架的事情了。海森堡不相信电子的轨道是一个圆周，他只相信他亲眼看见的东西：光的强度，光的波长。
于是，海森堡想把看不见的电子的轨道，而看得见的光谱的强度和波长，通过一套怪异的手法联系起来。
这套怪异的手法，就是海森堡独创的“变型的傅里叶展开法”。其实是拿看得见的光谱(注意光谱的频率可不是电子的运动频率)，把看不见的电子轨道从数学上做了变型的傅里叶展开。通俗一点讲，海森堡通过光栅去看电子的轨道的，却看到了另外一个怪物——矩阵。
当时在江湖上所传说的电子的圆周运动的轨道,是一个经典物理里的概念,姑且假装认为它是对的,那么,电子的坐标在一个方向上的投影是一个关于时间的正弦函数,这个正弦函数中最关键的特征数值就是电子做经典圆周运动的频率----如果大家还记得高中物理的向心力公式,就可以计算出这个频率来.海森堡把这个正弦函数用原子发出的光谱的频率做了变型的傅里叶展开——但是，原子的光谱的频率是一系列离散的数值——在任何分光光度计上都可以看到，矩阵就埋伏在这里。
如上图所表示的那样，如果原子有5个能级的话，那么，它发出的光谱会占据上面那个5乘5的矩阵的上三角部分（不包含对角线）----这就好象北京到杭州往返的火车要路过5个车站，那么在任何2站上车和下车的人数就可以排成以上的矩阵，其中纵向表示上车的车站，横向表示下车的车站。在物理上，这样的每一个矩阵的元（写着数字的方格）就表示一个光谱的波长（也就是频率，因为波长和频率是倒数关系）。
所以， 一个电子轨道，就可以被那些不同的矩阵元所对应的光谱频率所叠加出来（这个是海森堡的创意！），就好象火车的每天的赢利收益可以用刚才那些上车下车的人数来统计出来一样。
海森堡当时写出他的矩阵的时候,他其实还有一个老师，就是丹麦哥本哈根的 玻尔。玻尔在当地搞了一个研究所，生意非常红火，门庭若市。因为玻尔是一个忠厚长者，总是给年轻人很多关怀，所以，他的麾下，已经造就一个军团，战斗力极强。
玻尔年轻的时候，那大约是在1911年附近，也就是辛亥革命的时代，中国人还没有人搞量子力学，他解决了氢原子的能级问题。玻尔的思路是非常自然的，不会让任何人觉得吃惊。这个思路的核心就是所谓“对应原理”——其实就是一个自己发明的原理，目的是为了解释自然现象。这个原理成为海森堡后来最厉害的思想武器。实际上，对后来者来说，对应原理是一个真正的物理方法，换句话说——这是物理学家做事情的一般方法，浑然天成，不施粉黛。
在玻尔的原子模型里，电子还是按照卢瑟福的模型在不同的轨道上运动，但这些轨道可以用自然数n来标记。读者们一定要注意了，其实轨道是不存在的，但物理学家不可能先验地知道轨道不存在，所以，玻尔的思路是非常完整的。在经典力学里就可以知道，不同轨道的能量不一样，可以把第n个轨道的能量记为E（n）。 因为n是一个整数，所以E（n）是一个未知的数论函数。 玻尔认为，电子可以在不同的轨道之间相互跳跃。这被称为跃迁——类似于股票市场中的那种跳跃，比如，今天的上证指数到了收盘的时候已经有了一条轨道，收盘在2890点，那么，明天早上开盘不一定是在2890点，有可能跳空低开，比如在2820点开盘。
从能量高的轨道跳到能量低的轨道，类似于股票市场里的市值要蒸发，电子的能量肯定要释放出来，这就满足如下的能量守恒方程——光谱学上，早已经发现这个经验规律，美其名曰“里兹组合规律”:
E（n+m）-E（n）=hν(m,n)
这是一个函数方程，类似与F（n）+F（n+1）=F（n+2）这样的被称为菲波那切数列的函数方程。菲波那切数列的函数方程的目标是求出F（n）的表达式。同样道理，玻尔要求出E（n）的表达式——这个表达式整数与n有关系，具有能量量纲。
E（n+m）-E（n）=hν(m,n) 这个方程的左边是2个能级之间的能量差，而右边是放出光子的能量。这个方程可以解释世界上所有的线光谱，所以，求解它显得尤为重要。
这个方程的右边是可以观测的，就是光的频率（波长可以通过单色器测定，频率是波长的倒数）。但左边是不能观测的原子的能级。求解的关键自然在于确定右边的函数形式。
这个时候，对于频率ν(m,n)的表达式，正如大家在分光光度计上看到，频率的间隔是非常不规则的，也不是均匀分布的，所以这类似于素数在整数集里的出现，仿佛是一个随机的现象。因此，面对这个深重的困难，玻尔他使用了如下的假设，自诩为对应原理：当n很大同时m很小的时候，ν(m,n)作为放出光子的频率等于电子在圆周轨道上运动的圆周运动频率的m倍。
高中学生都知道，一个电子做圆周运动的时候，它的角频率是圆周运动的速度和半径之比。
为了计算方便，可以取m=1，那么我们可以得到E（n+1）-E（n）=hν(1,n)
对应原理说的是如下一个极限成立：lim（n趋向无穷大）E（n+1）-E（n）=hν(1,n)=hν
其中ν是经典圆轨道的频率，这个频率是和能量E的3/2次方成正比的（高中物理）。
所以，我们有如下表达式：lim（n趋向无穷大）E（n+1）-E（n）=C E（n）^{3/2}
其中C是比例系数，是常数。这个是一个差分方程，也可以写成微分方程的样子，也就是说E（n）对n的导数正比于E（n）的3/2次方，可以推出，E（n）正比与n的-2次方。这样就解出了氢原子的能级表达式。
对应原理解出的氢原子的能级非常符合观测到的光谱数据，所以，这个原理成为思想的利器----可惜对别的元素情况不会那么简单。玻尔在这个时候成为一个真正的物理学大师。真正的物理学大师不需要太多的数学，只需要在非常恰当的时候做出一些恰如其分的物理假设。在这个故事里， 玻尔为了解出一个函数方程做了一个当n无穷大情景下的渐近假设，这个假设看起来也是非常合理的，因为他只不过要求一个量子系统在量子数很大的时候非常接近与经典系统——也就是把光谱频率和电子的轨道频率认同起来。对应原理把量子力学拉回到经典力学，这是必须的，因为量子力学在某种意义上是一门画鬼的学问，但最后必须要能回到人的世界里。
原子中的电子，到底是怎么运动的呢？
这个问题，在海森堡年轻的时候，有一个错误的答案，那就是英国的物理学家卢瑟福提出的太阳系模型，认为原子中的电子，好象太阳系中的行星一样，是绕着原子核做圆周运动的。所以，在卢瑟福提供的原子漫画中，原子就好象一个小太阳系，温暖而和谐。实际上却不是，以后我们会发现，原子世界是一个充满鬼魅的黑暗世界。
那时候,海森堡年少春衫薄，他才24岁，不会轻易去动摇卢瑟福奠定的原子物理学的根基，但海森堡做物理有自己的风格，他的风格模糊但是深邃，同时充满了常识，这些用常识做学问的人，永远值得尊敬。海森堡问一个简单的问题：“原子中，电子的轨道是可以测量出来的吗？是可以观测的吗？”
很好的问题！
一针见血地让那些学究们不寒而栗。
海森堡知道，原子中，电子的圆周轨道是不可观测的，无论你用什么光学仪器，即使到现在，你都不太可能看到电子的轨道，至于为什么，是因为电子的波长很短，比可见光波长要短好几个数量级，所以，光照上去以后，就好象一个一只大象踩在蚂蚁上，蚂蚁很容易从大象的脚趾缝隙里溜走了。
既然如此，电子的圆周轨道是看不到的，那这里面就是一个鬼打架的事情了。海森堡不相信电子的轨道是一个圆周，他只相信他亲眼看见的东西：光的强度，光的波长。
于是，海森堡想把看不见的电子的轨道，而看得见的光谱的强度和波长，通过一套怪异的手法联系起来。
这套怪异的手法，就是海森堡独创的“变型的傅里叶展开法”。其实是拿看得见的光谱(注意光谱的频率可不是电子的运动频率)，把看不见的电子轨道从数学上做了变型的傅里叶展开。通俗一点讲，海森堡通过光栅去看电子的轨道的，却看到了另外一个怪物——矩阵。
当时在江湖上所传说的电子的圆周运动的轨道,是一个经典物理里的概念,姑且假装认为它是对的,那么,电子的坐标在一个方向上的投影是一个关于时间的正弦函数,这个正弦函数中最关键的特征数值就是电子做经典圆周运动的频率----如果大家还记得高中物理的向心力公式,就可以计算出这个频率来.海森堡把这个正弦函数用原子发出的光谱的频率做了变型的傅里叶展开——但是，原子的光谱的频率是一系列离散的数值——在任何分光光度计上都可以看到，矩阵就埋伏在这里。
如上图所表示的那样，如果原子有5个能级的话，那么，它发出的光谱会占据上面那个5乘5的矩阵的上三角部分（不包含对角线）----这就好象北京到杭州往返的火车要路过5个车站，那么在任何2站上车和下车的人数就可以排成以上的矩阵，其中纵向表示上车的车站，横向表示下车的车站。在物理上，这样的每一个矩阵的元（写着数字的方格）就表示一个光谱的波长（也就是频率，因为波长和频率是倒数关系）。
所以， 一个电子轨道，就可以被那些不同的矩阵元所对应的光谱频率所叠加出来（这个是海森堡的创意！），就好象火车的每天的赢利收益可以用刚才那些上车下车的人数来统计出来一样。
海森堡当时写出他的矩阵的时候,他其实还有一个老师，就是丹麦哥本哈根的 玻尔。玻尔在当地搞了一个研究所，生意非常红火，门庭若市。因为玻尔是一个忠厚长者，总是给年轻人很多关怀，所以，他的麾下，已经造就一个军团，战斗力极强。
玻尔年轻的时候，那大约是在1911年附近，也就是辛亥革命的时代，中国人还没有人搞量子力学，他解决了氢原子的能级问题。玻尔的思路是非常自然的，不会让任何人觉得吃惊。这个思路的核心就是所谓“对应原理”——其实就是一个自己发明的原理，目的是为了解释自然现象。这个原理成为海森堡后来最厉害的思想武器。实际上，对后来者来说，对应原理是一个真正的物理方法，换句话说——这是物理学家做事情的一般方法，浑然天成，不施粉黛。
在玻尔的原子模型里，电子还是按照卢瑟福的模型在不同的轨道上运动，但这些轨道可以用自然数n来标记。读者们一定要注意了，其实轨道是不存在的，但物理学家不可能先验地知道轨道不存在，所以，玻尔的思路是非常完整的。在经典力学里就可以知道，不同轨道的能量不一样，可以把第n个轨道的能量记为E（n）。 因为n是一个整数，所以E（n）是一个未知的数论函数。 玻尔认为，电子可以在不同的轨道之间相互跳跃。这被称为跃迁——类似于股票市场中的那种跳跃，比如，今天的上证指数到了收盘的时候已经有了一条轨道，收盘在2890点，那么，明天早上开盘不一定是在2890点，有可能跳空低开，比如在2820点开盘。
从能量高的轨道跳到能量低的轨道，类似于股票市场里的市值要蒸发，电子的能量肯定要释放出来，这就满足如下的能量守恒方程——光谱学上，早已经发现这个经验规律，美其名曰“里兹组合规律”:
E（n+m）-E（n）=hν(m,n)
这是一个函数方程，类似与F（n）+F（n+1）=F（n+2）这样的被称为菲波那切数列的函数方程。菲波那切数列的函数方程的目标是求出F（n）的表达式。同样道理，玻尔要求出E（n）的表达式——这个表达式整数与n有关系，具有能量量纲。
E（n+m）-E（n）=hν(m,n) 这个方程的左边是2个能级之间的能量差，而右边是放出光子的能量。这个方程可以解释世界上所有的线光谱，所以，求解它显得尤为重要。
这个方程的右边是可以观测的，就是光的频率（波长可以通过单色器测定，频率是波长的倒数）。但左边是不能观测的原子的能级。求解的关键自然在于确定右边的函数形式。
这个时候，对于频率ν(m,n)的表达式，正如大家在分光光度计上看到，频率的间隔是非常不规则的，也不是均匀分布的，所以这类似于素数在整数集里的出现，仿佛是一个随机的现象。因此，面对这个深重的困难，玻尔他使用了如下的假设，自诩为对应原理：当n很大同时m很小的时候，ν(m,n)作为放出光子的频率等于电子在圆周轨道上运动的圆周运动频率的m倍。
高中学生都知道，一个电子做圆周运动的时候，它的角频率是圆周运动的速度和半径之比。
为了计算方便，可以取m=1，那么我们可以得到E（n+1）-E（n）=hν(1,n)
对应原理说的是如下一个极限成立：lim（n趋向无穷大）E（n+1）-E（n）=hν(1,n)=hν
其中ν是经典圆轨道的频率，这个频率是和能量E的3/2次方成正比的（高中物理）。
所以，我们有如下表达式：lim（n趋向无穷大）E（n+1）-E（n）=C E（n）^{3/2}
其中C是比例系数，是常数。这个是一个差分方程，也可以写成微分方程的样子，也就是说E（n）对n的导数正比于E（n）的3/2次方，可以推出，E（n）正比与n的-2次方。这样就解出了氢原子的能级表达式。
对应原理解出的氢原子的能级非常符合观测到的光谱数据，所以，这个原理成为思想的利器----可惜对别的元素情况不会那么简单。玻尔在这个时候成为一个真正的物理学大师。真正的物理学大师不需要太多的数学，只需要在非常恰当的时候做出一些恰如其分的物理假设。在这个故事里， 玻尔为了解出一个函数方程做了一个当n无穷大情景下的渐近假设，这个假设看起来也是非常合理的，因为他只不过要求一个量子系统在量子数很大的时候非常接近与经典系统——也就是把光谱频率和电子的轨道频率认同起来。对应原理把量子力学拉回到经典力学，这是必须的，因为量子力学在某种意义上是一门画鬼的学问，但最后必须要能回到人的世界里。
[2010-5-22 23:49:49 Last edit by zhangxuanzhong]
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