两个力学量对易就表明它们可以同时有准确的测量值，它们可以有共同的本征态,"若[F，G]=0，则[G，F]也为零。那么G的所有本征

[考研资料]一个关于对易的问题[复制链接]

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电梯直达 楼主 发表于 2006-3-3 22:56:15|只看该作者|倒序浏览 教主： 对易的具体含义是什么呀？我知道它的大概意思，但在数学上如何定义的呢？ Iceflame： 我的理解：数学上是指两个算符满足交换律，物理上是指两个算符分别作用在波函数上的结 果与顺序无关。 Cynical： 鉴于Dirac曾经说的他更倾向于认为不对易代数不是量子力学的本质，而波函数更能体现量 子化的本质。我的理解：不对易代数只是量子的数学描述。而数学中代数是一种很抽象的概 念，大多数情况下对一种关系的描述只要是完备的都可以称为一种代数。所以我认为矩阵力 学也应更加注意其物理本质。 Dionusos： 对易的具体含义是什么呀？我知道它的大概意思，但在数学上如何定义的呢？ 数学上讲，你可以看矩阵的对易与不对易。每个力学量算符在一定的基下都有相应的矩阵与 之对应。所以，力学量对易与否与矩阵对易与否是对应的。 从物理上讲，以后学了你就知道了，力学量对易与否是很重要的，性质很不一样。比方说， 两个力学量对易就表明它们可以同时有准确的测量值，它们可以有共同的本征态等等。 Galois： 在量子力学中，算符之间的对易关系似乎非常重要。我们不禁要问：对易的本质究竟是什 么？ 我们知道，对易或不对易，可以直接从算符在某一表象中所具有的矩阵形式看到。在这里头 有一个线索，即力学量的对易或者不对易，可以认为根源于这些力学量具有一种矩阵结 构。 矩阵结构是什么意思？比如，氢原子中的电子，其跃迁能谱可以由里德堡公式来给出，这里 头有两个参量，即初态和末态能级量子数。一个量联系着两个指标，这一定不是一种标量数 或矢量数（我们知道经典力学中物理量要么是标量数如能量，要么是矢量数，如三维位置和 动量）的结构。所以量子力学物理量一定是类似于矩阵的二阶张量结构。 由于量子力学的物理量具有矩阵结构，所以会出现某些力学量之间的对易或不对易，这似乎 是一条合理的路线。 而对易或不对易的物理本质，则是量子的力学量之间由于受到一种基本的限制（正比于 h ）而导致的它们能或者不能同时被确定下来。 教主： 若[F，G]=0，则[G，F]也为零。那么G的所有本征态都是F的本征态。然后如果G与H对 易，则G的所有本征态也是H的本征态，于是F与H有共同的一组本征态，即G的本征态。而G 的本征态是完备的，因此F与H有一组共同的完备本征态，那么岂不是F与H对易吗？ 我觉得 这样说肯定有问题，但我不知道问题出在那里。 Galois: "若[F，G]=0，则[G，F]也为零。那么G的所有本征态都是F的本征态。" 两个算符对易，只能推出它们有一系列共同本征态，并不能推出一个算符的所有本征态全是 另一个算符的本征态，也就是说，你上面的说法中“G的所有本征态都是F的本征态”错了。举 个例子，l^2 与 lz 对易，但是 l^2与 lx 的共同本征态（也是l^2的本征态）就不是 lz 的本征 态。 教主： 如果F,G都不简并，那么由[F,G]=0，如果ψ是F的本征态，有 FGψ=GFψ=G(Fnψ)=Fn(Gψ)，由于F不简并，所以Gψ 与ψ相差一个常数因子。所以ψ也是G的本征态。 由于任选ψ，所以F的所有本征态都是G的本征态。 加上这个条件，F,G,H都不简并，那么 若[F，G]=0，则[G，F]也为零。那么G的所有本征态都是F的本征态。然后如果G与H对易， 则G的所有本征态也是H的本征态，于是F与H有共同的一组本征态，即G的本征态。而G的本 征态是完备的，因此F与H有一组共同的完备本征态