群论问题与物理问题（和众多牛人的讨论总结）
2009-11-30 22:44:44| 分类： 群：终极理论之梦 | 标签： |字号 大中小 订阅
一、与尤亦庄的讨论
2009/9/28 在2009-09-27，"Yi-Zhuang You" 写道：
1.有一本高等代数的书中说“幺正”是指矩阵与它的逆之积等于1，而“正交”则是之积等于单位阵E.
看书认真一点，我敢保证书上不是这样定义的。任何矩阵和它的逆之积都是1，这里的1不是数字，1 = E 都是是代表单位阵的符号。我不给你重复正确的定义了，你自己再去认真看，我只强调一下“幺正”和“正交”的区别就像复数和实数的区别一样，你要是体会清楚这个类比了，那你就算懂了。
2.有一本书说U代表酉群。为什么用“酉”这个词？另外，U既代表“幺正”，又代表“酉”，是不是说二者同义？
“幺正”=“酉”，这两个词是同一个英文单词(unitary)的不同翻译，前者是意译，后者是音译，这就是区别。
还说“正交”对应实数域上的线性空间，而“酉”是推广到复数域上的结果。那么与第1条比较，发现从实数域扩展到复数域时，矩阵与它的逆之积从E变为1.这说明什么？矩阵和群什么关系？“矩阵”中的概念是否可以移用到“群”中来？
ok，这里你已经看到这个类比了，实数和复数的关系。那么与第一条相比，你别瞎比了，第一条的定义是错的，E 和 1没有任何区别，他们都是单位阵的记号，不同的书不一样而已。O和U的区别不是 E和1的区别，而是转置(transpose)和厄米共轭(hermitian conjugate)的区别。
3.Hermite（埃尔米特）的意思是共轭转置。这与量子力学中可观测的“厄米算符”有什么区别？
厄米算符(Hermitian operator)是这样一类特殊的算符，特殊之处在于它的厄米共轭恰好就是它自己本身。
这个出现在“酉”中，与“幺正”的联系是什么？
再说一次，“酉”和“幺正”是同一个词的不同翻译，它们同义。“幺正”和“厄米”的关系是：幺正阵 = exp (i×厄米阵)，就类比于复数（幺正）和它的幅角（厄米）的关系。
4.O群经常用来讨论转动。那么用什么讨论平移呢？为什么转动那么特殊，使得讨论10维宇宙之类问题用的是O群而不是别的？
用平移群讨论平移，用转动群讨论转动。平移群的记号是R，转动群的记号是O。讨论10维宇宙之类问题用的是O群，这是你的认识，你只见过用O群讨论10维宇宙，但并不意味着10维宇宙只有O群的对称性，10维宇宙还有很多其他的对称性，你现在没见过而已。
5.电磁场为什么是U（1）？怎么由“相位变换”体现？
这两个问题是目前为止最有水准的好问题。你问电磁场为什么是U(1)之前应该先问，电磁场是什么？电磁场就是电场+磁场。那么你要继续问，电场是什么，磁场是什么？请注意，我很强调物理是一门实验科学，所以我希望你在思考任何问题的时候都能从实验出发。所以上面两个问题应该被翻译成：怎么用实验表明电场和磁场的存在，及其强度。那么就是要放测试电荷。电荷的在电磁场中的运动方式和自由空间中的匀速直线运动是不一样的。好了，这就是电磁场的定义。比较极端的说法是，电磁场什么都不是，它的全部意义就是去改变测试电荷运动方式，观察到这种改变，就是观察到电磁场。好了什么叫做电磁场是U(1)的，那就是说，物理学家给物质运动方式的所有可能发生的改变都编好号了，而且居然全部都是U群，有U(1),SU(2), SU(3)....电磁场是U(1)，就是说电磁场就是那个能够使电荷的运动按照U(1)那种方式的变化的东西。什么叫做按照U(1)的方式变化？那就要问题，电磁场中的电荷到底和没有电磁场的电荷有什么区别。举出一个例子来。那么比如说，磁场中的运动电荷会受Lorentz力，轨道会弯曲。任何时候，只要你见到一个东西它居然不走直线，而是走着走着就弯了，你就说，啊，我看到了磁场。比如地球上有地转偏向力，也就是Coriolis力，北半球水流会左偏，这就是磁场，但这不是地磁场，而是一种更广意义上的虚拟磁场。再比如说，陀螺你放手以后不会直接倒下来，它会进动。本应该倾倒，却不倾倒反而拐个弯进动，这就同样属于走着走着就弯了，这也是磁场。好了，为什么一个东西会走着走着就走弯了呢？这就是相位在作怪。这里我要开始解释Lorentz力的起源。你要去想象这个问题，就知道它是很深刻的。书本上告诉你有Lorentz力，但是却不告诉你为什么有，Lorentz力的机理是什么。Lorentz力的微观机理就是物质波的干涉效应！波的干涉，知道吧。波的干涉有什么现象，有的地方会相消，有的地方会相涨。波是携带能量的，波一会儿消没了，一会儿又涨出来，那能量不守恒吗。不是的，能量仍然守恒，只不过从相消干涉处转移到相涨干涉处。物质波转移了就是物质转移了，这就是量子力学的乾坤挪移大法，用干涉效应把物质从一个地方移到另一个地方，这就是Lorentz 力的起源，原来电荷好好的走直线，可是由于磁场的存在，它的物质波的相位会发生一个改变，干涉效应就使得它被挪移到偏离直线的旁边去。因此什么是电磁场，电磁场就是能造成电荷改变相位的那个东西。好了什么是改变相位的群，那就是U(1)，这就是为什么说电磁场是U(1)的。
如果U代表“幺正”，这和“矩阵与它的逆之积等于1”之间有什么联系？
再说一次，“幺正”不是定义成“矩阵与它的逆之积等于1”，它们之间没有关系。
6.O（3）中的“3”是代表空间的维数，而U（1），SU（2）中的数字为什么没有代表空间维数？如果这里的“1”代表一种性质（相位），那么“2”代表什么？
U(1)， SU(2)的数字也是空间的维数。我们说了O和U可以类比，O是什么意思，U就是什么意思，唯一的区别就是把实数改成复数。比如说，O(1)是一维实空间的转动（当然这个群实际上不存在，因为一维空间不能转动）；那么U(1)就是一维的复空间的转动。什么是一维的实空间，那就是一个实数轴，上面的每一个点都有一个坐标，坐标是一个实数，比如往东走1米。那么一维复空间就是一个复数，也就是说坐标是复数，比如往东走1+i 米，这当然就不是我们生活的空间了。这是波函数生活的空间。什么叫做转动一个复数呢，那就是改变它的相位嘛，这不是很容易理解了吗。那么SU(2)呢，那就是两维复空间嘛，就是说有两个坐标，两个坐标都是复数，也就是有两个复数。那么两个复数怎么转，它们要构成一个有两个分量的复矢量，然后实际上是在一个4维空间里面转，这个你自己去想象。
SU（3）、SU（2）×U（1）、SU（3）×SU（2）×U（1）、SU（5）的含义分别是什么？
SU(3)是强相互作用，SU(2)×U(1)是弱电相互作用，SU(3)×SU(2)×U(1)就是标准模型，SU(5)是强弱电大统一的一种可能的模型。他们的含义就像U(1)是电磁相互作用一样。就是说强相互作用，会使波函数按照SU(3)的方式（也就是三维复矢量空间里转动）发生改变。那就是意味这这个波函数是一个包含三个复数的矢量嘛，你知道波函数里面的每一个复数都表示一种粒子的几率幅，那么三个复数就是三个粒子，那么是哪三个粒子呢，那就是红、绿、蓝三种颜色夸克，因此这样的模型就描述了三色夸克之间的相互作用，那是什么，那当然就是强相互作用。
SU（3）×SU（2）×U（1）与SU（5）的区别是什么？如果表示同一种情况，为什么不是SU（6）？因为3+2+1=6而不等于5啊
你有没有注意到中间是直积×，不是乘法，更不是加法。谁告诉过你 SU(a)×SU(b) = SU(a+b) 了？U（3）×SU（2）×U（1）与SU（5）的关系是前者包含于后者，它们之间的关系就像有理数和实数之间的关系一样。
我发现一个大问题，物理类的书谈到这些符号时只说物理上代表什么相互作用，而避开它在数学中是什么意思；而去看数学类的书时，只是一般地讨论一些普遍的概念，而不会花时间在这些特殊符号具体代表什么。所以，希望学长把数学上的含义（怎么体现“幺正”）和物理上的含义（指代哪些相互作用）结合起来详细解释
这个不是你现在能理解清楚的，你都不知道力的起源是相位的干涉，你怎么可能理解。数学上的“幺正”代表相位的变化，物理上的相互作用就是施力和受力，用“幺正”表示相互作用，就是说相位的变化是造成力的原因，相位按不同方式变化（比如U(1),SU(2)），就有不同的力（比如电磁作用、弱作用）。
7.如果对称性意味着不可区分，那么“能级简并”也该对应一种对称吧？是哪一种对称呢？
能级简并分为偶然简并和必然简并。偶然简并是没有原因的简并，不意味着对称性，必然简并背后都有对称性。所有的对称性都能造成能级简并，比如左右对称性 P（就是宇称），就造成了左行波和右行波的能级简并，比如旋转对称SO(3)，就造成了氢原子里面3个p 轨道的简并、还有5个d 轨道简并，再比如平移对称性R，就造成Landau能级的简并。同样都是能级简并，理由可以完全不同。
如果不考虑电子间相互作用而只关心原子核与电子间的库仑力，元素之间化学性质的差异是不是也被“简并”得无法区分了？
不是。你自己想想你这句话的潜台词：因为能量是一样的，所以化学性质也是一样的。两个东西，只要能量是一样的，就没有办法区分了。你自己看看，这中想法是多么荒唐。能量只是一个实数，一个实数就能包含一个物体的全部属性的信息吗？能量相同的电子就全同不可区分了吗？那能量相同，我角动量还不同呢，我自旋还不同呢，怎么就不能区分了呢。元素的化学性质恰恰是蕴含在电子的轨道角动量之中的，轨道角动量不同，化学性质就不同，何惧你能量是不是简并的。
s轨道与p轨道可以看做同一个四维客体的投影而统一起来吗？
不可以，因为s就是一个标量，p是一个矢量，它们不是四维矢量的分量。你不觉得这样想很幼稚吗，你把5个d 轨道放到哪里去了，d 轨道后面还有7个f 轨道、9个g轨道、11个h轨道……它们直接被你无视了吗？你是不是要把他们都包含进来构成一个无穷维矢量。1+3 = 4就让你产生联想了吗？这不是物理，这是数学游戏。什么是矢量。什么是四维时空，那是要满足狭义相对论Lorentz协变的，s轨道和p轨道哪里Lorentz协变了，你用的是Schordinger方程，一个非相对论的量子力学方程，你怎么可能得到跟相对论有关的东西。有依据的猜想，那是创造；没有依据的瞎想，那是胡闹。
自由空间中，局部的规范结构是一个对称性的问题。但是如果在一个闭合的曲面上，比如球面，环面，那么规范结构就会有拓扑不变性。所以规范是一个既有对称性，也有拓扑不变性的问题。
2009/12/25 einstein.newton <einstein.newton@163.com>
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学长的比喻真好！物理学到一定境界，真的是一种享受了~
刚接触群论时读到“不变性”，就想起了拓扑。不过没有深究。
原来拓扑比群论广泛得多。
学长提起对称性与不变性的差别时，我想起了你曾经讲过的规范结构。这是一种不变性，但我觉得是狭义的对称性，不是广义的不变性。
规范结构、对称群、拓扑不变性三者关系是什么？是不是这样：规范包含于对称性，对称性包含于拓扑不变性？如果这样，规范的问题都可以用群论解决，对称的问题也都可以用拓扑学解决。
在2009-12-24，"Yi-Zhuang You" <you.everett@gmail.com> 写道：
道理很简单，这表明人类永远不可能区分什么事情是偶然，什么事情属于必然。从哲学上来说，任何关于偶然和必然的区分都是辩证的，是相对的，把这种区分绝对化就要犯形而上学的错误。所谓偶然即是无原因，而原因的有无完全取决于人类找原因的能力。因此，任何偶然都可以因为人类认识的深化，而转化成必然；相反，任何必然都可以因为人类认识的不足，而退化成偶然。
a，既然偶然简并可以消除，正则简并不能消除，而Zeeman效应消除了简并，那么它该是偶然简并；
论据错误，因此结论也错误。你的论据来源于《群论》说“偶然简并可以消除，正则简并一般不可消除”。请注意“一般”不可消除。意思是，正则简并也可以消除，但需要用特殊方法消除。真理是：没有不能打开的锁，也没有不能消除的简并。实际情况是，你必须找到正确的钥匙才能打开一把锁。难以找到钥匙的情况下，你就会说，哦，这把锁打不开，它是正则简并，不可消除。Zeeman效应消除了简并的原因是磁场就是打开正则简并的那把钥匙，正好被你找到了。但是你根本没有意识到磁场就是那把钥匙，所以你一看到这锁打开了，还以为是不打自开的，于是你说，哦，这锁是偶然打开的，属于偶然简并。
任何一个简并，它打不开都是有原因的，原因就是有对称性在保护这个简并，而对称性就像锁齿一样，是埋藏在现象的内部的，不深入考察，你是看不出来的。任何一个对称性都有办法破坏，但是要根据对称性的特点才能设计出破坏对称性的方法，就像要根据锁齿才能设计出钥匙一样。在我们没有认识到简并背后的原因的时候，我们就说，哦，这个简并是偶然的，那是人类认识不足使然。
比如你知道为什么加磁场之前，上下自旋是简并的吗？你不知道，那就是偶然简并，你知道了就是必然简并。
我说，“偶然简并不意味着对称性”，这句话的意思是偶然简并肯定不意味着任何一种人类已知的对称性。而“偶然简并意味着一种未知的对称性”，说的是偶然简并可能暗示人类未知的对称性。这两者没有任何逻辑矛盾，这无非说明人类现在还没有认识到偶然简并的原因罢了，而没有原因正是人类对所谓“偶然”的定义。
那么未知的原因很多，你们老师说的动力学对称性是一种可能，但是这只是太小太小的一个方面了，近20年的物理学研究表明，对称性不是造成简并的唯一原因。就是说这个锁它打不开，锁齿不对不是唯一的原因，还有更深刻的原因，比如锁头生锈了。这个原因就是拓扑不变性。拓扑不变性是对称性的推广，但是比对称性要丰富得多。人类已经知道用群论给对称性分类了，但是如何给拓扑不变性分类，目前还是最前沿的数学问题，没有解决，可见后者是多么困难的问题。
现在你知道，自旋简并的原因是SU(2)旋转对称性。偶然简并获得原因就转化为必然简并。必然简并一般不能消除。所以你身体里面的电子自旋都是简并的。要消除这种简并除非找到钥匙。那么群论就是用来找钥匙的一套系统方法。找钥匙的第一步是弄清楚锁齿是什么样的，也就是先分析对称性。当然如果你分析不出来，那就失败了，可是现在我已经告诉你结果了，就是SU(2)旋转对称性。那么好了，第一步算是做完了。第二步是根据锁齿的形状找人配钥匙，那么就是把SU(2)告诉一个数学家，他首先会根据群论分类，告诉你SU(2)是李群，然后会利用一种叫做“无穷小变换”的方法，这是专门针对李群设计的配钥匙方法，我们得到SU(2)的生成元。数学家会告诉你，SU(2)一共有三个生成元，分别叫做 σ1, σ2 和 σ3.
这样不是得到一把钥匙，而是同时得到了三把钥匙。任何一把都能开启自旋简并之锁。那么最后一步就是把钥匙应用到锁上，这就是要靠物理学家的地方了，物理学家必须对σ1, σ2 和 σ3的物理意义做出解释，并且设计实验来实现它们。那么物理学家已经知道了，σ1, σ2 和 σ3 就是磁场的 x,y 和 z 三个分量。所以钥匙就是磁场，随便你沿什么方向加磁场都能破除自旋简并。所以你看到了，自旋简并作为必然简并是因为一般都不存在磁场。只要没有磁场，随便你怎么弄，加压、振动、旋转、辐射……随便怎么微扰，都不可能消除自旋的简并，因为这是被SU(2)对称性保护的。SU(2)这个原因没有发现，没有破坏，那自旋就永远简并，这就是说它是必然简并的原因。
也就是说既然你发现一个简并很坚强，难以破坏，说明这里面一定有对称性或者拓扑不变性或者人类未知的跟强大的东西在抵抗微扰。但是我们说其实简并又是很容易消除的，因为空间处处有磁场，你敢说你周围完全没有磁场吗，至少你电脑的硬盘里面就有磁场。那么好了，自旋简并很容易就被解除了，那么你可以说这是偶然简并，因为你不知道什么原因，反正随便弄弄正好就解除了。
2009/12/23 einstein.newton <einstein.newton@163.com>
看马中骐《物理学中的群论》（以下简称《群论》）中关于偶然简并与必然简并的论述，想起你回复的这封邮件。
1.正则简并与必然兼并
《群论》中提到的是偶然简并和正则简并（原文说，偶然简并可以消除，正则简并一般不可消除）。而你这封邮件提到的是偶然简并和必然简并。这是否说明正则简并就是必然简并？
2.偶然简并与对称性
《群论》中引用邹鹏程 黄永畅在高能物理与核物理杂志上的论文《不可约性假设的证明及应用》（见附件1）说明偶然简并意味着一种未知的对称性。而你这封邮件说“偶然简并是没有原因的简并，不意味着对称性，必然简并背后都有对称性”。我去查原文（附件1），却同时发现与之相关的另外两篇论文（附件2，附件3）。我们老师的回答是，这种未知的对称性可能是动力学对称性（参见L.I.Schiff《量子力学》第七章）。我看过之后没发现动力学对称性是否就是《群论》中提到那篇论文指出的未知对称性
3.微扰与简并的消除
正好我们量子力学课讲到微扰与简并。老师举的是Zeeman效应，将磁场看作微扰，那么在微扰下简并被消除。Greiner《量子力学导论》也这么说。但《群论》说“偶然简并可以消除，正则简并一般不可消除”。并补充说，“在对称微扰下”。还说“简并度会降低，但只能降到正则简并的情况，不能将简并完全消除。”于是就有问题：a，既然偶然简并可以消除，正则简并不能消除，而Zeeman效应消除了简并，那么它该是偶然简并；b，按前面的讨论，“偶然简并不意味着对称性，必然简并背后都有对称性”，那么Zeeman效应发生前的简并不意味着对称性；c，Zeeman效应是磁场微扰使得简并消除，而前面b的结论是“Zeeman效应发生前的简并不意味着对称性”，这两句合起来就与《群论》说的“在对称微扰下简并被消除”矛盾；d，为什么“简并度会降低，但只能降到正则简并的情况，不能将简并完全消除”？《群论》中没有解释清楚。
不知有没有一个逻辑上前后一致的答案……
在2009-09-28，"Yi-Zhuang You" 写道：
A 曾以为,用"势"的梯度只能讨论保守力.但有一些怀疑.记得以前某次讨论中,学长提到"势"的广义理解.除了势能还有势动量.我觉得它与Lorentz 力有关(但不清楚具体关系是什么).现在的问题是:如果Lorentz 力既与势动量有关,又与相位有关,那么"势动量"与"相位"的关系是什么?
势动量就是单位距离上积累的相位。不论保守力还是涡旋力都可以用相位的观点解读。这里我们要问一个问题，我们为什么要用相位来解释一切？这就是因为只有量子力学才是真正从微观上解释动力学的理论，经典力学只是量子力学的一种近似，因此经典力学中的各种概念的起源不可能蕴于经典力学自身的框架下，经典力学的起源只有在量子力学里面才能找到。量子力学是什么？量子力学就是关于相位的动力学。而相位的经典意义是什么？相位就是作用量。经典力学的原理就是作用量决定一切，所以在量子力学里面对应的版本就是相位决定动力学。
这就可以回答什么是势能，势能就是单位时间上积累的相位。势动量就是单位距离上积累的相位。能量和动量的关系就类比于时间和空间的关系。如果空间中有紧挨着的两点A和B，间距为 x ，他们的势能差为ΔU，就会产生保守力 F = ΔU/x。现在你不要用势能去解释保守力了，势能也起源于相位，相位才是最根本的。势能是单位时间相位的变化，因为A和B的势能不用，因此相位积累的速度也不同，那么经过 t 时间，A和B之间就出现了相位差 Δφ = ΔU t，而A和B是位于不同位置的，动量是单位距离改变的相位，那么A和B之间相位的不同就造成了动量 p = Δφ / x = (ΔU/x) t = F t，这就是说因为A和B的势能不同，积累相位的快慢不同，一段时间后，它们之间就会积累相位差，相位差存在于空间中就体现为动量，因此粒子就获得动量，粒子在单位时间内获得的动量就是粒子受到的力，这就是保守力的起源。
B 如果Coriolis力不是重力而是磁力的结果,那么重力与磁力的关系是什么?这就是将引力场与电磁场放到高维空间的那个场量(忘了具体名字了,应该是数学家外尔的想法)吧?
Coriolis力是惯性力，不是磁力。我只是说类比于磁力，不是说Coriolis力就是磁力。在广义相对论的框架下重力也是惯性力，所有的惯性力都统称为引力。所以重力和Coriolis力都是引力的不同分量。重力就类比于电力，Coriolis力就类比于磁力，引力就类比于电磁力。电力和磁力统一为4阶反对称电磁张量，重力和Coriolis力也统一成4阶对称引力张量。
C 关于陀螺的进动和章动,我没有认真考虑过.只知道用数学公式怎么解释,而不知道物理概念上的解释.学长简单说说吧
实验！实验！自己去实验室拿一个陀螺出来玩一个下午，你就什么都知道了。
D 可不可以这样理解:复数i的平方根有2个,因而有费米子和玻色子2类粒子
错！任何复数的平方根都有两个，你凭什么认定是复数i ？事实上恰恰就不是复数 i ，而是实数 1 ，是因为 1 的平方根有两个，所以才有费米子(-1) 和玻色子(+1)，他们不是复数 i 的平方根。
(另一种说法是有正负两种电荷或正反两种粒子.因为电荷与相位有关,相位与复数有关); i的立方根有3个,因而有SU(3)群(这可能是复数与群论的某种联系吧),有三种夸克.
你对2和3 的认知就这样吗？任何复数的平方根都有2个，所以人有两条腿，任何复数的立方根都有3个，所以凳子有三条腿。你自己去体会一下这是什么逻辑？你都是这样建立因果关系的吗？
E 还有一个问题:数学上共轭或转置这个操作有什么物理意义?也许明白了这个,才能真正明白算符与微观世界的内在联系(即这样一个操作刚好是量子世界的本质).目前我们老师只讲过厄米算符与矩阵特征值关系,从而我懂得了它确实可以与可观测的力学量对应.
这个操作的意义就是时间反演。如果物理规律是时间反演不变的，那么物理量都是厄米的。
彭罗斯说的是SU(3)的3是夸克的三种颜色，这个我也跟你说过；但是i的有三个立方根这是你自己说的，彭罗斯没说过，我也没说过。转置共轭是时间反演，转置不是，共轭也不是。空间反演、时间平移、空间平移、空间旋转都有对应的算符，这些算符就是那些相应的对称群的表示，你可以自己先研究一下。
二、与洪然的讨论
在2009-09-27，HongRan 写道：
欧几里德空间内两个向量作内积，只要把第一个向量转置即可。而复空间（也就是你说的酉空间）上的向量做内积，转置要变成共轭转置才行。为什么用酉这个字我也不知道有什么渊源。而你说的““幺正”是指矩阵与它的逆之积等于1，而“正交”则是之积等于单位阵E”是不对的，应该是这样：欧式空间中，矩阵和它的转置矩阵相乘等于单位矩阵，则这个矩阵是正交矩阵。复矩阵空间中，矩阵和它的共轭转置（即厄米转置）相乘等于单位矩阵，则这个矩阵是幺正矩阵，“幺”有着乘积为1的意思。反正英文叫unitary，自己理解吧。我没见过在欧式空间中讨论幺正的。
你了解什么叫群吗？非空集合（譬如n阶方阵，且行列式大于0），定义元素间的一种运算（譬如矩阵乘法）且此运算封闭，满足结合率，集合中存在恒元（单位阵），每个元素都有唯一逆元（逆矩阵），这个集合和这种运算就构成了群。你试试复n阶方阵（行列式大于0）是否满足这些条件。量子力学中的厄米算符可以用矩阵来表示，表示出来就是厄米矩阵。厄米算符就是某个算符的厄米转置就是它本身。你看了这么多量子力学了，应该看到算符和狄拉克符号这里了吧？如果这里看懂了这些问题自然就都解决了。其实幺正变换很多时候在量子力学中表示的是表象变换，非常重要，我还是建议好好看书，国内比较经典的量子力学教材上都有详细解释。
接下来的几个问题暂时我还没研究到，暂时无法回答。。。。 而关于简并的问题，我简单说两句。很多时候能级简并就是由空间的某种对称性和某些动力学对称性造成的（例如平方反比定律的中心场会有更高的对称性，以至于造成s，p态的能级简并）。如果不考虑其他电子的影响，当然无法从能量上区分两种轨道，但是从角动量、轨道对称性角度还是可以区分。另外，电子间的作用，自选轨道耦合，核磁矩的作用是不能忽略的，所以这种对称性会被破坏，以至于能级发生分裂。首先，因为内层电子的屏蔽，碱金属的s，p轨道能量差很多，由于自选轨道耦合，p轨道也发生分裂。如果加上磁场，不同m的轨道能量也不同。所以现在没有必要也没有可能把s，p看成“同一客体的投影”了。
三、与殷义豪的讨论
有些问题我也学得不是很透，所以我就挑一些我觉得我能说得清的回答：
1. "1"只是一个符号，也代表单位阵，有时为了与普通的1区别，会把它写成空心的。
2. “酉”和“幺正”一样，英文 Unitary 。矩阵是群的一种 representation （中文可能翻译作“表示”，我不确定）。群是一个抽象的东西，矩阵只是一种经常被采用的用于表示群元素的符号，因为矩阵的乘积可以与群元素之间的乘积一一对应起来。
3. 量子力学里的厄米算符用矩阵表示就是厄米矩阵。厄米矩阵的特征值都是实数，对应着可观测量的各个探测结果。酉矩阵和厄米矩阵的联系是：U = exp ( i a H ) 。酉矩阵作用在一个矢量上，就代表着将这个矢量转换。若将这个转换分割成一个一个微元，厄米矩阵就是这种微元转换。举个例子，二维平面上的旋转用矩阵表示就是：
U = [ cos a - sin a
sin a cos a ]
其微元（即旋转角度 a 很小很小）是，
[ 1 0 + i a [ 0 i
0 1 ] -i 0 ]
即，将 U 泰勒展开的前两项。其中第二项，去掉前面那个系数 i ，去掉参数 a ，就是厄米矩阵 H 。如果把后面无穷多的展开项都补上，那么就类似exp的展开，所以写作 U = exp ( ia H ) 。从感性上说，H 就相当于告诉你一种类似“变化率”的东西，a 就告诉你总的变化程度，二者结合，就是一个“变化”U，也就是群里的一个元素。
4.关于平移群，你可以看看这个网页en.wikipedia.org/wiki/Translation_(geometry)
5.电场该是什么样就是什么样，不好说为什么... 具体要说电磁场和 U(1) 的关系，那要用到场论了。参见规范场论里的电动力学http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_theory#A_simple_example:_Electrodynamics
6.酉群括号里的数字代表其表示所需矩阵是几乘几的。SU（3）是强作用力，SU（2）×U（1）是弱力-电磁力，SU（3）×SU（2）×U（1）是标准模型，SU（5）是一种备选的（未被验证的）大统一理论。具体的来龙去脉是规范场论的东西。
四、与王璟的讨论
1.对于正交，还是建议按量子力学中的表象理论中的理解吧，幺正变换或者说是酉变换是同一个意思，至少在物理上，没有什么特别的含义，就是指从一个表象到另一个表象的变换而已，就好比力学中从一个参考系变换到另一个参考系一样，当然之前的表象和变换的表象，我们肯定希望它们是等价的，这也跟力学中相识。为了保证它是等价的这个变换矩阵就应该是幺正或酉 变换，即 它的厄米共轭 等于它的逆。并不是你所说的 '有一本高等代数的书中说“幺正”是指矩阵与它的逆之积等于1" 很显然矩阵和它的逆（只要它存在逆）肯定等于1啊！这是逆的定义啊！！
3.你还是先把学量子力学学好吧，从这个问题可知你现在对QM根本不了解呢。在QM中 所有的力学量都是用算符来描述的 ，比如 坐标 动量 能量等，而所有的力学量算符都是 Hermite算符，翻译过来就是厄米算符，它的重要性质是 厄米共轭等于它本身，这样就保证了 它们的本征值都是实数，因为所有的力学量算符都是厄米算符，，而力学量本征值都是实的，这样就自洽了。
5. 因为电磁场具有整体规范不变性，对应于群论中的U（1）群，它是一种阿贝尔群，即群元素是可以交换的，从而它是一种规范场，当它与其他场耦合时，比如同DIRAC 场或费米子场耦合实，则要求其中的普通微商需要换成协变微商。这个以后学QFT，时会详细介绍。
7. 不同的情况造成的简并，则那系统所具有的对称性是不同的。你只要学点量子力学就知道了。
五、与李靖阳的讨论
2.幺正和酉应该都是对unitary的翻译。不要管第一条。可逆矩阵才能表示群，群能用矩阵表示说明它是有限维的，其他限制我不清楚。
3.埃尔米特和厄米当然是对同一个词的翻译。量子力学需要使用自伴算符，要求比厄米高，不过你可以不用管这些。
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| 李新洲 孙珏岷 |
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科学之所以是科学，在于它本身是不断发展着的。科学知识的增长并不单单指观察资料的积累，而主要是指不断扬弃一种旧的理论，由一种新的理论取而代之。格罗斯（D. J. Gross）、波利策（H. D. Politzer）和威尔切克（F. Wilczek）证明了非阿贝尔（N. H. Abel）规范场的渐近自由性质，为强相互作用理论奠定了坚实的基础，导致了量子色动力学的诞生，他们三个人因此获得了2004年诺贝尔物理学奖。诺贝尔物理学奖获得者温伯格（S. Weinberg）曾说过一段针对渐近自由发现的话：“理论物理有一种悠久的传统，它决不会影响到每个人，但肯定是影响了我。那就是强相互作用对人的心智而言真是过于复杂了。”渐进自由是人类走向粒子物理标准模型的关键一步，而这条漫长的道路是从量子场论开始的。 量 子 场 论 1831年法拉第(M. Faraday)探测到，磁场的突然改变会产生电流。同时，法拉第设想电力起因于力线，而力线发源于荷电物体，并充斥于荷电物体之间的空间。紧接着这种见解的出现，关于电磁场的现代观念随之诞生。以后的进展表明，场的概念是物理学最基本的概念。开始时，法拉第只是把电磁场与荷电物体联系在一起。但不久他便意识到，电磁场也可以独立存在。光也不外乎是一种电磁现象。 但是，法拉第未能根据其相当直觉的观念成功地建立完备的理论。直到1861年，苏格兰的麦克斯韦（J. C. Maxwell）才系统地阐述了关于电磁现象的正确理论。该理论是迄今最伟大的智力成就之一，甚至在相对论和量子力学问世之后，这些方程还基本上保留了原先的形式。麦克斯韦方程组正确地描绘了包括从星系范围到原子核内的一切电磁现象。 相对论和量子论正好用来进一步阐明麦克斯韦方程组的涵义。用现代语言来说，麦克斯韦方程组描述了电磁量子（即光子）在空间中的传播过程。按照量子场论的观点，电磁波由许多光量子组成。光子是没有静质量、自旋为1且不带电荷的粒子。光子携带的能量大小由光的波长决定，波长越短，能量越大。 量子场论中通常用称为耦合常数的强度参量表示相互作用的强度。强作用力是自然界四种基本力中最强的(在短距离内)。如果两个质子间的强作用强度定为1，那么，其电磁相互作用强度约为10-2，弱作用力的强度约为10-5，而引力简直是微不足道，实际强度只有10-38。电磁相互作用强度参量称为精细结构常数，由实验确定为α=1/137.036。 α是那么小，这一点颇为实用，使人们得以对电磁现象进行高度精确的量子修正。量子场论原则上能适用于四种力中的每一种力，但在实际计算某些量子贡献的概率时，会出现无穷大。但这些困难首先在描述电子、正电子和光子的量子场论，即量子电动力学中得到克服，并使量子电动力学的预言极其精确地得到了证实。例如，该理论预言电子具有微小的磁性，而实际测得的电子磁矩为1.0011596524，误差不到2×10-10。 对称性和规范场 几何对称性可理解为一种运动，通过这种运动，图案或物体形状可保持不变。物理理论也具有类似的对称性，但在物理理论中，经过变换后保持不变的不是图案或物体形状，而是该理论本身的数学形式。例如，质子和中子的强相互作用有相同的数学形式，即它们有同位旋对称性。20世纪的科学家公认，对称性在人们对自然界的认识中起着极为重要的作用。 物理学中存在两类性质很不相同的对称性：整体对称性和局部对称性。整体对称性听起来好像是较大的概念，可局部对称性在理论上却蕴含着更严格的要求，更深刻地揭示了自然界的统一性。整体对称性向局部对称性过渡后就能描绘电磁力的起源，并且有理由猜测其他的力也产生于局部对称性。用群论的语言来说，电磁力起源于U(1)局部对称性，弱力起源于SU(2)局部对称性，而强力起源于SU(3)局部对称性。U(1)是阿贝尔群，SU(2)和SU(3)都属于非阿贝尔群。整体对称性是对空间中一切点施以相同变换的一种对称性，而在局部对称性中空间每一点都可独立变换。 在量子场论中，荷电粒子由场来描述，而这种场在时空中的每一点都有两个参数：场的振幅和相位。振幅度量在某一点粒子出现的概率，相位描述粒子的波动性。在场中所有点的位移都相同时，像一组荷电粒子总能量那样的可观察量就保持不变，于是，场在相位变换时就具有整体对称性。局部对称性要求当相位在每一点都可独立变化时，可观察量仍不变。要满足局部对称性，就必须引进作为规范场的电磁场，这种场的量子就是产生电磁力的光子。如果仅要求相位的整体对称性的话，带电粒子之间就没有电磁力，没有光子，也就没有光。 前面已初步讨论过电磁量子理论的重正化问题。事实上，重正化过程只能适用于一类特殊的量子场论。在这类场论中无穷大可以用校正该理论中的基本参数(如电子的质量和电荷)得以消除。所观察到的电子质量是其“裸质量”与电子本身电磁场的作用产生的“自能”之和。自能可以计算出来，是无穷大。至于裸质量，人们并不知道它是什么，所以规定它为负的无穷大量。结果两个无穷大量相互抵消，得到了所观察到的电子的有限质量。 标度无关性 到了1960年代，物理学家发现，参与强相互作用的粒子已达到数百种之多，这些粒子叫作强子，它们分类如下： 面对杂乱无章的强子，日本物理学家坂田昌一试图利用对称性更高的群对它们进行统一描述。他从同位旋的SU(2)转向了SU(3)。1956年，坂田用质子、中子和Λ超子作为SU(3)群的基本三重态，但大自然拒绝了这种安排。直到1961年，美国物理学家盖尔曼(M. Gell-Mann)等人使强子结构的研究得到了重要发展。更高的对称群确实就是SU(3)，但重子属于SU(3)的一个八维表示。盖尔曼根据佛教中通往涅槃境界的八正法典故，将这一原理命名为八正法。1962年，盖尔曼利用八正法预言存在一种称为Ω-的重子，并预言了Ω-的所有相关特征。实验物理学家根据这一预言很快找到了这种重子，为此盖尔曼被授予1969年诺贝尔物理学奖。 1963年，盖尔曼和茨威格(G. Zweig)独立提出了夸克概念。夸克理论中扮演特别重要角色的数字“3”就是对称性群SU(3)中的“3”，例如，一个质子包含三个夸克。在乔伊斯(J. Joyce)的小说《芬尼根彻夜祭》中，海鸟对着芬恩先生高叫三声“夸克”。芬恩先生有三个儿子，他通过三个儿子的行为来表现自己。正是“3”这个数字促使盖尔曼引入“夸克”这个新名词。 一把小刀可以切开一块糖，但是无论怎样锐利的刀也劈不开原子，这是因为刀刃的厚度远远大于原子的尺度。依据这个浅显的道理，卢瑟福（E. Rutherford）用α粒子探测原子核的结构；弗里德曼（J. I. Friedman）、肯德尔（H. W. Kendall）和泰勒（R. E. Taylor）用高能加速器产生的轻子去探测核子的结构。 1967年，大型粒子加速器（Stanford Linear Accelerator Center，SLAC）在斯坦福大学建成。弗里德曼等人在SLAC上做了被称作深度非弹性散射的实验。他们在实验中首先得到的重大发现是，测得的电子大角度散射概率比弹性散射实验大得多。详细分析又表明，代表过程发生概率的散射截面只与一个量有关，这个量是电子传递给粒子的能量和传递给离子的动量之比，而以往能量低于深度非弹性散射的轻子与核子碰撞实验的散射截面与传递的能量和动量都有关。轻子与核子深度非弹性散射截面的这种特征称为标度无关性。 当时正在SLAC工作的比约肯（J. D. Bjorken）首先在理论上预言：标度无关性反映出电子轰击质子时撞到了其内一些点状结构中的一个，而且发生碰撞时与除此点状结构之外的其他结构没有关系，也就是说，点状结构间几乎没有相互作用。随后，费恩曼（R. P. Feynman）仔细研究了强子内点状结构的分布后得出，相对于高速运动的电子，这些点状结构相互间几乎没有作用。如果认为这些点状结构就是夸克，上述实验将得到很好的解释。核子的深度非弹性散射实验证实了盖尔曼的夸克模型，弗里德曼、肯德尔和泰勒因此获得了1990年的诺贝尔物理学奖。 深度非弹性散射实验给出了如下物理图像：电子虽然未从质子中打出单个夸克，但电子碰到了夸克，在电子能量很高、传递给质子的能量也很大的情况下，电子探测到的是质子内部空间的小尺度区域，这时候，夸克行为表现为相互无关的自由态，即夸克间的相互作用很弱，且能量愈高，相互作用愈弱。人们将上述图像称为“渐近自由”。另一方面，由于实验没有观测到单个夸克从质子中游离出来，因此人们认为，夸克之间的吸引力会愈来愈大，最终将企图离开的夸克拉回到质子里，这种图象称为“红外奴役”。 渐 近 自 由 在可重正化量子场论中，存在一个被称作卡伦-西曼吉克（Callan-Symanzik）方程的一阶微分方程，其中的β函数是微分算子的系数，它依赖于微扰计算。1970年，西曼吉克指出，只有β函数为负的理论才会蕴涵标度无关性。而1950年代，盖尔曼等人已经证明了量子电动力学是标度依赖的。 事实上，在量子电动力学的情形，β函数是正的，它的有效耦合常数随能量增加而增加。西曼吉克找到了一种具有负β函数的场论模型。然而，这是一类不完善的理论，因为它不具备稳定的粒子谱。奇迹发生在1971年，当时还是研究生的霍夫特利用其导师韦尔特曼的计算方法，证明了非阿贝尔规范理论可以重正化，并因此与其导师共同获得了1999年度的诺贝尔物理学奖。 接下去最重要的工作是对非阿贝尔规范场进行微扰计算，导出其β函数。普林斯顿大学的格罗斯和他的合作者、研究生威尔切克深入研究了非阿贝尔规范理论，同时，哈佛大学研究生波利策也独立进行了相同的研究。1973年，在美国《物理评论快报》（Physical Review Letter）上同时发表了他们的两篇文章。他们的结论是一致的，即非阿贝尔规范理论的β函数是负的。这两篇文章为渐近自由的物理图像奠定了理论基础，格罗斯、威尔切克和波利策因此共同获得了2004年诺贝尔物理学奖。 于是，一门崭新的学科——量子色动力学诞生了。在量子色动力学中，有效色荷受两种竞争性的效应支配。一种是与量子电动力学相类似的屏蔽效应，即真空极化现象。量子色动力学的真空充满了不断出现而又迅速消逝的虚夸克-反夸克对。如果一个实在夸克放在真空申，则带相反色荷的虚粒子就会被吸引，而带相同色荷的虚粒子则被排斥，因而该夸克的色荷就被包围在一层异性色荷中，这样有效色荷就随距离的增大而减小。 但是，这种极化真空中的夸克本身也不断发射和吸收胶子，从而改变自己的色。带色胶子能传播到相当远的距离，实际上它们是将自己散布到整个空间，从而掩饰了作为色荷源的夸克。以夸克为中心的某一任意空间区域越小，该区域中所包含的该夸克的色荷便越少。于是当带不同色的另一夸克趋近这夸克时，它所“感受”到的色荷便越来越少。仅在较大距离上，色荷的全部作用才能充分表现出来。 量子色动力学认为，强相互作用的行为是屏蔽效应和掩饰效应的净效应。由量子色动力学方程组所得出的强相互作用行为与观测到的夸克二重性是一致的：夸克既是永久禁闭的，又具有渐近自由性质。 耗费了大约50年时间和大量金钱在亚原子物质方面所取得的成就是：所有的物质均由夸克和轻子组成，它们通过交换不同类型的量子而相互作用，这些量子由规范场来描述。这样一种图景被称为SU(3)×SU(2)×U(l)标准模型。该标准模型能解释关于亚原子粒子的所有实验数据，因此，说它是物理学史上最成功的理论并不为过。包括渐近自由在内的标准模型的发现的确激动人心、惊世骇俗，人类将永远铭记这些发现的历史。
（本文作者李新洲和孙珏岷分别为上海师范大学天体物理联合研究中心的教授和讲师。）
[1] Gross D J, Wilczik F. Phys Rev Lett, 1973, 30: 1343 [2] Politzer H D. Phys Rev Lett,1973, 30: 1346
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