"曲线段直线段路径积分决定":第二类曲线积分的物理背景是变力延曲线做功问题，那么必然有对力的分解！所以这里面就有的方向性的问题！

z_huohuo穷酸秀才

标题: 长度为1的线段A与长度为2的线段为什么不一样长？ [打印本页]

作者: ahnuzfm 时间: 2010-12-7 12:47 标题: 长度为1的线段A与长度为2的线段为什么不一样长？

4# views63

是他来我们学校时说的，他给我们做报告时说的。

作者: views63 时间: 2010-12-7 14:40

11# ahnuzfm
谢谢。那您记得是他说逻辑上怎么解决的吗？只要指个个方向就好，正为这个说不清无法结束那个本科毕业论文的。

作者: ahnuzfm 时间: 2010-12-7 17:35

本帖最后由 ahnuzfm 于 2010-12-7 17:38 编辑

哦，他说目前还没有解决啊！

他提到这个问题前后就几句话，我是觉得那些数学家真无聊才印象深刻的。你在做这个东西？

当时他说这是基础问题，如果这个都没解决，那么整个几何都没有逻辑基础，
因为直线不能抽象成点的集合。

作者: milksea 时间: 2010-12-7 17:53

本帖最后由 milksea 于 2010-12-7 17:55 编辑

12# views63


这算是基本的问题吧。集合“大小”的衡量有多种方法，用有限集合个数推广而来的集合的势（基数）来看，就是等势的，这个势是由映射关系决定的。能建立双射的集合就是等势的，显然 f(x) = 2x 就是一个这样的双射。
而长度是另一种不同的衡量方式，推广开来就是集合的测度。坐标轴上直线段的长度由坐标差决定，倾斜的加上勾股定理；曲线段用直线段的路径积分决定。
简单地说知道两种衡量方式不同就行了，长度有严格序不能推出基数有严格序关系。乃们本科论文写这个？

作者: views63 时间: 2010-12-7 18:12

本帖最后由 views63 于 2010-12-7 18:29 编辑

14# milksea

明白了，这就是我要的了，谢谢。你还真是什么都懂啊，佩服。

唉，很惭愧，这几年玩过头了本专业的荒废了。我写 2 维点集的度量，没什么内容（基本上就是挖坟，翻数学史）。一同学问我的“你能不能一句话很直接明了的让我明白为什么是长度不一样？”正因为两个区间（集合）是等势但却有不同的测度，我感觉自己没讲清楚。我之前是跟他说外测度不为 0 的点集都有不可测子集的，这些不可测子集是它们的测度不一样的。

作者: views63 时间: 2010-12-7 18:28

13# ahnuzfm
谢谢。我找了他和其他几个人讲无穷的书，翻了几遍都没找到，原来直线抽象成点的问题还没解决。

作者: milksea 时间: 2010-12-7 18:50

我什么都不懂，而且正在迅速遗忘中……再问深一点就不知道了。
不过这种论文题目太坑爹了。

作者: views63 时间: 2010-12-7 20:34

坑爹？唉，连词都不理解是什么意思了。去搜了，不知道理解错了没有。
不想写 问卷调查或者从某个统计网站上得到一堆的数据然后套模型数据处理的文章（还有小波分析的原理应用，这种一点都不会的就更不敢选了 ），只好选这种题目了。

作者: qingkuan 时间: 2010-12-8 03:00

本帖最后由 qingkuan 于 2010-12-8 03:04 编辑

15# views63

这个问题有点意思。用于计数的数和用于度量的数这两者之间的区别深刻地影响了人们思维和语言的习惯。这就好像我们头脑的一部分让我们感到这个世界是由不同的固体对象组成的，它们可以被计数；而另一部分又让我们把这个世界看作是一个由纤维、谷粒或流体组成的集合体，它们可以被分割和度量。

这就好比按照以前的虚岁的说法，你在某一天来到这世界上，这一天属于某一年，显然这就是你的第一年。如果 10 天以后，一个新的年开始，那就是你的第二年，这完全讲得通。但是，就计算年龄而言，现代人的已经习惯于把时间作为某种需要度量的东西来处理，这和以前把人的年龄作为某种要计数的东西来考虑就不同了。计数和度量的概念经常会引起我们思维上的一些混乱，比如以前曾经讨论过的千禧年到底是 2000 年还是 2001 年的问题。

基数是计数的概念，测度是度量的概念。就好比速度跟时间，根本就没有可比性，完全不同的两种衡量方式嘛。不可数的集合未必测度就一定比可数的大，比如 Cantor 集。

这里还有一些常见的问题，比如线段是由点构成的，但是为什么线段的测度却不等于组成它的那些点的测度之和呢？这就涉及到什么是“和”，即什么是“加法”。

加法的过程完全是一个递归的过程：只有定义了 n 个数的和，我们才能够继而定义 n+1 个数的和。然后，这样一直进行下去，我们就能够对任意有限多个数求和。——只是“任意有限”，还不是“无限”。真正把无穷个数加起来的方法，是数学中所谓的“级数”理论。——所以加法至多能对“可数无穷”个数来定义（也就是级数加法）。把“不可数无穷个”数加在一起，这件事情是毫无意义的！当人们想当然的说着“把无穷个点的测度加在一起”的时候，他们以为他们是在说一件自然而然的事情，可是事实上，除非这无穷个点是可数个，否则这里的加法根本无法进行。不幸的是，任何线段都偏偏是由不可数个点构成的（它们是连续统）。

为什么线段是由点构成的，而线段的测度却不等于组成它的那些点的测度之和？因为“组成它的那些点的测度之和”这话根本没有意义，所以两者也不必相等。这也就回答了为什么两个区间（集合）是等势但却有不同的测度，因为测度并不是这两个区间内的点的测度的相加，更何况，这些点（不可数）的测度也加不了。

这也就回答了“飞矢不动”的悖论：一支飞驰的箭，在每一个确定的时刻都静止在一个确定的位置上，为什么经过一段时间后会移动一段距离？因为任何一段时间（不管多么短暂）都是一个连续统，包含了不可数个时刻，所以箭在每一时刻的静止根本不需要对一整段时间之内的移动负责。——后者并不是前者的相加，而前者也根本不可能相加。

作者: views63 时间: 2010-12-8 10:33

本帖最后由 views63 于 2010-12-8 10:37 编辑

19# qingkuan
连续统，我最开始给那个同学说这个的，但对方觉得我在回避问题，没讲到实质。我自己也是一知半解的，就想找其它角度解释，正好看到 ahnuzfm 说到那个，跑去看逻辑方面的了。

作者: milksea 时间: 2010-12-8 11:48

本帖最后由 milksea 于 2010-12-8 11:52 编辑

这个确实扯远了。从定义出发，先把什么是个数什么是长度简单说明白就行了。（按长度的定义只涉及可列可加性）现在就像是把一个人的身高和年龄做比较，这是没有用的。

作者: ahnuzfm 时间: 2010-12-8 12:34

本帖最后由 ahnuzfm 于 2010-12-8 21:17 编辑

$\sqrt{-1}$对古人没意义，在现代有意义。

$1/0$, $0/0$这个式子对中学生来说没有意义，但学过微积分的人可以看出他们
的意义，前者是$\infity$, 后者是不定式。

$-1=1+2+4+8+\cdot$这个式子在数学分析里没意义，但在$p$-adic里其实有意义，是等式。

不可数个数相加在目前来看没有意义，谁知道以后会不会有一个理论可以赋于它
意义呢，是不是目前人类的知识不够，无法计算不可数个数相加呢？
讨论直线点集的基数与长度的关系是不是可以理解成与不可数个数相加有关呢？

作者: qingkuan 时间: 2010-12-8 17:17

12# ahnuzfm

加法并不是“一下子”加起来的，总得一项一项的加，不可数个数是按照通常加法的意义是加不起来的。即便是可数个数的加法（级数）也不是一项一项加起来的，而是依靠极限理论，当这个级数的部分和收敛时，我们就说这个级数的和就是部分和的极限值。当然对于级数的收敛定义，还有其他的定义，比如 Fourier 级数的 Cesaro 和。同样的道理，在某些场合下也可以对不可数个数定义和，但是，这种特殊意义上的“和”是为了应付特别的目的而定义的，它和我们平时所说的求和已经不是一个意思了。

点集的基数和长度都是点集本身固有的属性。有人会问，为什么区间 [0,1] 的长度是 1，而 [0,2] 的长度是 2？其实这是一个伪问题。因为人们把从 0 这个点到 1 这个点的线段赋予一种属性是 1，现在我们把这个属性叫作长度。好吧，在我们承认 1 是 [0,1] 的长度基础上，我们必然能够通过长度的一些性质（如可数可加性、平移不变性等）得到 [0,2] 的长度必然是 2。

当然，你也可以把 0 这个点到 1 这个点的线段赋予一种属性是 0.5，只不过你自己定义的那种属性不再被人们称作“长度”了，可以把这个属性叫作“短度”啊什么的，一点问题都没有。

测度论的伟大也就体现在这里，只要我们承认了诸如从 0 这个点到 1 这个点的线段的长度等于 1 这样一些朴素的论断，那么仅仅靠着逻辑推演，我们就能够给直线的几乎所有子集（可测集）计算出对应的“长度”来，哪怕它们已经变得不是那么直观。譬如说，单点集的“长度”是 0，2 到 5 之间的全体无理数的集合的“长度”是 3，某个广义康托集（一种有着复杂分形结构的点集）的“长度”是 2.86……这一切本来似乎都可以问一问为什么的事情，其实都只是逻辑的自然推论罢了，你要是不承认它们，就必然导致逻辑上的不自洽。

为什么这个东西的长度是 0？那个东西的长度是 1.2？为什么这个奇奇怪怪的集合也会有长度？为什么它的长度不等于别的，偏偏等于根号 2？

因为长度满足非负性、可数可加性、正则性这三条性质，所以必然如此。为什么长度要满足那三条性质？因为人们把满足那三条性质的属性就叫做长度。你当然也可以用别的几条性质定义出来一个什么度，只是不能再叫长度就是了。这就好比为什么只有在春天桃花才会开？因为是你把桃花会开的那个季节叫做春天的！

数学家发明测度的概念的初衷确实只是想把“长度”的概念精确化和逻辑化，（事实上也确实做到了，就是勒贝格测度），但是人们很快发现，那些更一般的测度（这些测度只满足非负性和可数可加性，而未必满足正则性，也就是说，这些“测度”并不保证从 0 点到 1 点的线段的测度是 1，甚至也未必保证单点集的测度是零）虽然未必还符合人们对“长度”这个词的理解，但是它们作为一种数学概念却能在大量的学科里得到应用，甚至成为很多理论的基础语言。一个最简单的例子是概率论，这门古老的学科在测度论建立之后就完全被测度的语言所改写，以至于今天一个不懂一般测度的人完全没办法研究概率论；另一个例子是著名的狄拉克测度，这些都是后话了。

作者: ahnuzfm 时间: 2010-12-8 21:29

可能有些跑题了，原题是 "线段上只有点，但点的个数相等的线段为什么长度不等？"
那么"线段上除了点之外是不是还有类似于胶水(用来粘住点的)的东西？"(也是徐利治说的)

作者: milksea 时间: 2010-12-8 21:36

无非是用有限的直观去揣测无限的不直观罢了。又凭什么说点的基数相同就一定长度相同了？

作者: ahnuzfm 时间: 2010-12-8 21:48

本帖最后由 ahnuzfm 于 2010-12-8 21:51 编辑

是啊，用有限推测无限会有很多矛盾。可能只有上帝能回答这个问题。
另外我再问两个类似(都是"无中生有")但不太相干的无聊问题。

1. 点的长度是0，线段上只有点，那为什么会有长度为1的线段？

2. 人由原子构成，每个原子的运动都无目的，但人的每个动作都有目的。
为什么无目的的运动的迭加会产生有目的运动？

作者: qingkuan 时间: 2010-12-9 00:53

16# ahnuzfm


晕。我前面费半天劲说那么多，你没看啊，怎么还问这种问题。

线段的长度不是由组成线段的点的长度加起来的，更何况不可数个零也加不了，它是线段本身固有的一种属性，满足那三条性质，不看帖就算了。

至于后面那个原子运动的问题，跟飞矢不动的问题类似。从另一个角度说，单个原子的运动虽然没有规律，但是大量原子的运动总会体现出一定的统计规律性。就好比在房间里的空气分子的运动是无规律的，但它们在自然条件下大体上还是在房间里平均分配着的，不会一下子都跑到房间的一个角落了，而让我们窒息。

作者: ahnuzfm 时间: 2010-12-9 08:16

看了你的帖子了，可能没有理解。算了，不争了，这类问题争下去也不会有结果。

作者: LiYanrui 时间: 2010-12-9 09:16

我很庆幸我不搞数学

作者: milksea 时间: 2010-12-9 11:53

没受过整套抽象思维摧残的人都不好理解，因为和经验不一样。但其实本身没什么难的。

作者: scyfo 时间: 2010-12-9 16:26

很多年前,有篇"长度是怎样炼成的"帖子,和这里讨论的有点类似.....

作者: views63 时间: 2010-12-9 16:41

本帖最后由 views63 于 2010-12-9 16:44 编辑

21# scyfo
那篇是用连续统解释的，很多作者也只是点到为止。我正是看了那篇才想写这个题目的（2 维（平面）点集的度量）。

作者: queachie 时间: 2010-12-13 22:26

A: 木头做的碗和石头做的碗为什么不一样硬？
B: ......难道......必须......是......一样......硬......吗？
A: 但是它们形状完全一样啊！
B: ......被你打败了！

作者: lytyuan 时间: 2011-1-1 22:06

太高深了

作者: Marlin 时间: 2011-8-4 16:14

回复 23# queachie


嗯，这个形象的说

第二类曲线积分的物理背景是变力延曲线做功问题，那么必然有对力的分解！所以这里面就有的方向性的问题！这是与第一类积分最大的区别！因而你在积分的时候总是处理两个二元函数，一个是x轴方向的，一个是y轴方向的。只要注意这两个二元函数的内在联系，其他的我想就是基本功的问题了

！