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第 18 卷 第 2 期 1995 年 4 月 荆州师专学报( 自然科学版) Jo urnal of Jingzhou T eacher s Co lleg e( N atur al Science) Vo l. 18 N o. 2 A pr . 1995 狭义相对论中加速度 a 与力 f 的关系 阳荣华 程庆华 ( 荆门市竹园中学) ( 物理系) 摘要 本文针对关于狭义相对论中加速度 a 与力 f 的方向关系的一些讨论 [ 1] , 采用更为直观、 简单的方法, 同样得出了加速度 a 与力 f 的方向关系的普适结果; 并 通过典型例子较全面地讨论和描述了加速度 a 和力 f 的方向和大小的相互关系, 揭 示了在狭义相对论和经典力学中 a 与 f 相互关系的不同; 并讨论了在 v / c→0 时它们 的一致性, 从一个侧面说明了经典力学的局限性。 关键词 四维矢量; 洛仑兹变换; 协变 1 引言 众所周知, 在洛仑兹变换下, 牛顿力学定律不能保持协 变性。 由牛顿第二定律 f = ma 可以看出, 在经典情 况下, f 与 a 方向一致, a 与 f 大小成正比。在狭义相对论中, 力 f 与加速度 a 的方向、 大小关系如何呢? 本文从 狭义相对论基本方程出发, 采用直观、 简单的方法 , 较全面地讨论了狭义相对论中 f 与 a 的关系。 2 相对论的基本方程 静止质量为 m 0 , 相对于参考系速度为 u 的质点, 其四维速度矢量为 [ 2] : U = u ( u , ic ) 其四维加速度矢量为: dU 1 1 A = = { u 2 a + 2 u 4 u( u?a ) } , i u 4 ( u?a ) d c c 其四维动量为 [ 2] : P = m 0 U = m0 u ( u , ic ) = ( P, ic u m 0 ) 质点所受的四维力为 [ 2] ( 1) ( 2) ( 3) : K = dP = d ( dp i dE , )= t c dt u ( f, i f?u) c ( 4) 狭义相对论的基本方程为 [ 3] : K = dP / d = m 0 A 将( 2) 、4) 两式代入( 5) 式可得: ( f= 其中 u u ( 5) m 0a + 1 c2 3 u m 0 ( u?a ) u ( 6) = ( 1- u / c ) 2 2 - 1/ 2 , a = du / dt 为三维加速度, P = m 0 u u 为三维动量, f 为三维力。 收稿日期: 1994 05 31 第 18 卷 第 2 期 阳荣华等: 狭义相对 论中加速度 a 与力 f 的关系 61 3 f, a , u 的关系 在经典力学中, 物体受到的力 f 和其产生的加速 度 a 的方向是一致 的。在狭义相对论中, 由( 6) 式可知, f 与 a 的方向一般是不一致的。f, u, a 三矢量共面, f 的方向由 a 和 u 共同决定。由下面的讨论我们还可看到, f 与 a 大小变化关系也与经典情 形不同。下面结合具体的例子, 分四种情况加以讨论。 ( Ⅰ) u= 0; 此时, u = 1, ( 6) 式成为 f= m 0 a , 即有 f∥a , 且 a 与 f 大小成正比, 与经典情形一致。 ( Ⅱ) u‖a; ( 6) 式为 f= m 0 3 a , 此时亦 有 f∥a , 我们称 3 m 0 为纵 u u 向质量。因 u 随 u 值 不断改变, 可知 a 与 f 不是简单的正比关系。我 们用初速度为零的带 电粒子在均匀电场中 的运动来说明 a 与 f 的大 小关系及其运动规律, 并与经典情形相比较。 设粒子静止质量 为 m 0 , 带电量 q , 在均匀电场 E 中从静止开始加 速, 如图 1。 粒子所受的力为 f= qE, 由( 6) 式可得: d ( m u) = qE ( 7) dt u 0 图 1 静止质量为 m 0 , 带电量为 q 的粒子在 初始条件为 u t = 0 = 0, 对 t 积分得: 匀强电场 E 中从静止开始加速 ( 8) u = ( qE / m 0 ) t / 1+ ( qEt/ m0 c) 2 式中( q E/ m 0 ) t 是经典加速度与时间之积, 即 经典速度 u经 = ( q E/ m 0 ) t. 于是: u= u 经 / 1+ u 2 / c2 经 从( 8) 、9) 两式可以看出 , 粒子的相对论加速度和速度均小于其经典加速度和 速度。 ( 将( 8) 式对 t 积分, 得: x = ( m 0 c 2 / qE ) [ 整理上式得: ( x + m 0 c/ qE ) 2 - ( ct) 2 = m 0 c 4 / q2 E 2 显然, ( 11) 式为 一双曲线方程。因而我们称这种运动为双曲线运动。 用二项式定理展开( 10) 式: x = ( m 0 c2 / qE ) [ 1+ ( 1/ 2) q2 ( E 2 t 2 / m 2 c2 ) + …- 1] 0 可见, 在 qEt/ m 0 < < c 时, ( 12) 式简化为: 1 ( qE ) 2 = 1 qE ?( ) 2 ( 13) t ct 2 m 0c 2 2 m0 这正是在经典常力作用下粒子运动的抛 物线。 图 2 给出了两种不同运动曲线的比较。从图 中可以看到, t 很小时, ct 较 小, 粒子 速度 u 也 较小, 虚线 与实线有 “ 合” 重 现象. 这说明 在低速 情况 下, 相对论结果与经典结果趋于一致。而随着 ct 的 增加, 两线 的“ 差别” 越 来越显著, 这是因为 u > 1, 相对论速 度( 加 速度) 小于经典 速度( 加速度) , 从而 导致相对论 位移小于 经典位 移, 而且两者 位移之 差随着 u 值的 增大 而增大。双曲线的渐近线与 ct 成 45° 夹角, A 为渐近线 与 ct 轴之交点。由 渐近 线性质, 随着 ct 的增 大, 双曲 线与渐近 线趋于一致, 在极 端情形 下两 图 2 经典抛物线( 虚线) 与相对论双 曲线( 实线) 之比较 者重合。此时, 双曲线满足 x = OA + ct 。所以, 粒 子的速度为 x = c ; 加速度 为 x = 0。 即极端情况下加速度为零。 这也可以说明电场不可能无限制地加 x= 速带电粒子, 带电粒子在加速电场中所获的最大速度为 c 。 因而, 在 u ∥a 时 , f 与 a 的关系虽然形式上与经典情形相同, 但其包含的物理内容却大不相同。 ( Ⅲ) u ⊥ a ; 此时, u ? a = 0, ( 6) 式成为 f = u m 0 a , 故亦有 f ∥ a , 我们称 u m 0 为横向质量。 还可看到, 只有当 u 值保持不变时, u 值才不会变, a 与 f 的大小才有正比关系。下面就用一带电粒子在均匀磁 场中运动的典型 例子来加以说明。 在均匀磁场内, 静止质量为 m 0 , 带电量为 q, 以速度 u 垂直于磁场的方向进入磁场, 磁场垂直于纸面向里, ( 11) 1+ ( qEt/ m 0 c) 2 - 1] ( 9) ( 10) ( 12) 62 大小为 B , 如图 3。 粒子所受力为: 荆州师专学报( 自然科学版) 1995 年 4 月 f= qu×B ( 14) 此时, f 分别垂直于 u 和 B, 又因 f= u m 0 a , 所以 u m 0 a = qu×B 即 q u×B ( 15) a= um 0 此时, a 与 f 方向相同, 故 a 始终垂直于粒 子速度 u. 粒子 速率为一常 量, 粒子就沿圆周运动, 其半径为 !, 向 心加速度为 u 2 / ! 这一加速度 , 应与( 15) 式大小相等, 所以 1 1 m u P = u 0 ( 16) quB = ! u 2 或 ! qB = qB um 0 经典情形下的半径公式为 ! m 0 u/ qB, 与上式相差因子 = 为 2. 0 Wb / m 2 , 电子能量 为 10M eV 进行计算。 经典情形下 P= u 图3 ,取B 2m 0 K = ( 2×9. 1×10- 31 kg ×10M eV ×1. 60×10 13 J/ M eV ) 1/ 2 = 1. 7×10- 21 kg ?m/ s 1. 7×10 - 21 ( 17) != m 0 u/ qB = P / qB = m = 5. 3×10 - 3 m = 0. 53cm 1. 60×10 - 19 ×2. 0 相对论情形下 1 1 P = ( K + m 0 c 2 ) 2 - ( m 0 c2 ) 2 = × ( 10+ 0. 51) 2 - 0. 51 2 M eV ? m / s ×1. 60×10- 13 J / M eV c 3×108 = 5. 6×10- 21 kg?m / s 5. 6×10- 21 ( 18) m = 1. 8×10- 2 m = 1. 8cm 1. 60×10- 19 ×2. 0 从以上可以看出, 在经典与相对论情形下, ! 所得的结果大不相同。而最早由玻歇勒所做的相对论动力学实验 证实了相对论结果。 != mu / q B = P / qB = 玻歇勒实验的电 子( 来自 放射粒子的 ? 衰变) 进入滤波器以确定 其速度, 然后 电子又进入一匀强 磁场, 在 其中可测得电子的回转半径, 将其实验结果列于表 1 [ 4] 。 表 1 玻 歇勒实验结果 u/ c e / m ( = u/ ! ) 库/ 千克 B e / m 0 ( = u e / m ) 库/ 千克 0. 3173 1. 661×10″ 1. 752×10″ 0. 3787 1. 630×10″ 1. 761×10″ 0. 4281 1. 590×10″ 1. 760×10″ 0. 5154 1. 511×10″ 1. 763×10″ 0. 6870 1. 283×10″ 1. 767×10″ 表 1 的前两项 ( u / c 与 e/ m ) 为测量值, 第三项( e / m 0 ) 为计算值。 由表 1 可知, e / m 随着电子速率而变, 而 e / m 0 为一常数。这一结果与相对论关系式 ! u m 0u/ qB 相一致, 与经典关系式 != m 0 u/ q B 不符合。这 说明在 u = ⊥ a 的情况下, 相对论关系式 f = u m 0 a 与经典关系式 f = m0 a 虽然 形式上相似, 且两者都有 a ∥ f , a 与 f 大小成 正比( 此时 u 为一常量, u 不变) 等共同特征, 但是两者所反 映的问题的本质并 不相同, 后者 只是前者在 u / c → 0 的情况下的特例而已, 前 者包含更加丰富广阔的内容。 ( Ⅳ) u 与 a 成任意角; 此时, f 与 a 将成夹角 # 若 u 与 a 之夹角为 ? 由( 6) 式有: . , 2 3 f = m 0 u a + ( 1/ c ) uacos? u u ( 19) 在[ 0, 2%] 内, co s?曲线如 图 4( a) 。 我们取 a 的方向与水平方 向一致, u 与 a 夹角 ? 的变化看作 u 从与 a 重合( ? 0) 开始沿 逆时针“ 动” = 转 产 生, 则 co s? 的矢端曲线如 图 4( b) 所示。图 4( b) 中, ?在[ 0, %/ 2] 变化时, cos? 由最大变化到最小, 方向逆时 u u 针转过 90° 。在( %/ 2, %] 时, 因 co s?值为负, 其矢端曲线“ 到图中下半部分, 从而形成一闭合曲 线。在[ % 2%] 跳” , 时, 曲线与 ?在[ 0, % 内的结果相同。因而, 以下只讨论 ?取在[ 0, %] 区间即可。 ] 图 5( a ) 给出了( 19) 式描述的矢量关系。 a 为水平方向, a 与 u 夹 角为 ? a 与 f 夹角为 # 取 , 。当 ?在[ 0, %] 内 第 18 卷 第 2 期 阳荣华等: 狭义相对 论中加速度 a 与力 f 的关系 63 图 4( a) 图 4( b) 图 5( a) 图 5( b ) 变化时, #随 ?的变化如图 5( b) 所示。由图 5( a) 可得: cos&= ( m 0 2 u 2 a 2 + f 2 - ( 1/ c 4 ) m 0 2 2 u 2 u u 6 4 2 u a 2 co s 2 ? / 2m 0 u af ) ) ] - 1/ 2 a= ( f / m 0 u ) [ 1+ ? u cos ? 1+ ( 2 ( 20) ( 21) 式中 ?= u/ c。利用 = ( 1- u2 / c2 ) - 1/ 2 = ( 1- ?2 ) - 1/ 2 , 将( 21) 式简化: ] a = ( f / m0 ) ( 1- ?2 ) 3/ 2 [ ( 1- ?2 ) 2 + ?2 ( 2- ?2 ) cos 2 ? - 1/ 2 ( 22) 联立( 20) , ( 22) 消去 a, f 有: co s# ( 1- ?2 sin 2 ? / [ ( 1- ?2 ) 2 + ?2 ( 2- ?2 ) co s 2 ? 1/ 2 = ) ] ( 23) sin# ?2 sin? = cos? [ ( 1- ?2 ) 2 + ?2 ( 2- ?2 ) cos 2 ? 1/ 2 / ] ( 24) 由( 24) / ( 23) 得: 2 ? ctg ? ?2 tg ? ?2 sin? s? co = = ( 25) tg &= ( 1- ?2 sin 2 ? 1+ ctg 2 ? ?2 1+ tg 2 ? 1- ?2 ) 对( 25) 式求导可得( 我们取 ?在 0～ % 内) 如下结果。 ( i ) ?为锐 角时, ?= ? 处有极大 值。此时, t g?= tg ?= ( 1- ?2 ) - 1/ 2 > 1 即 ?∈( %/ 4, %/ 2) . 又 ctg 2? = c c c c tg # 所以 #极大值为 # 2?- %/ 2( 显然有 0< # %/ 2, 即 #为锐角) 。 , = c < ( ii) ?为钝角时, 在 ? % ? 处有极小值 # - ( 2? - % 2) ( ? 的大小同( i) 所论) 。 = - c = / c c 由以上讨论可知, #为锐角 . 由图 5( b) 也可以形 象地看出上述结论 . 在图 5( b ) 中, ?变化时, co s? 绕水平方向逆时针转动形成其矢端曲线 . ? %/ 2 时, 矢端曲线在 A 点, ?继 = u 续增大, 形成下部矢端曲线 . 在 ? % 时, 矢 端曲线在 B 点; ?继续增大, 重复以上过程。由图 5( a ) 知, 当 co s? = u 在矢端曲线上 移动时, f 也 在矢端曲线上滑动, 从而与 a 形成夹角 # 从图 5 ( b ) , 我们一眼即可看出 #角变化 . 范围为( - % 2, % 2) , 即其大小始终为一锐角, 这比 J. L . R edding [ 4] 的论述要较为直观 . / / 由( 20) , ( 21) 式知, 当 ?取 %的整数倍时, 我们可推出 co s# 1 及 a= f / m 0 u 3 , 可见 #为零, 即为( Ⅱ) 所述。 = 在 ?取 % 2 的奇数倍时, 亦可导出 co s# 1 及 a= f / m0 u , 可见 #亦为零, 即 为( Ⅲ) 所 述。 / = 由上可见, ( Ⅱ) , ( Ⅲ) 只是( Ⅳ) 的一种特例 . 即( Ⅳ) 更具一般性。 带电量为 q 的粒子, 以速度 u 斜射入匀电场 E , 粒子静止质量为 m 0 , 试分析其运动情况。 如图 6( a ) 示, 粒子在电场 中受力 f = qE , u 与电 场 E 夹 ? 角, 且有 ? ? # #为 f 与 a 之夹角, ?为 u 与 a = + ( 之夹角) . 由( 20) , ( 21) 式: cos# ( m 0 2 u 2 a 2 + q2 E 2 - ( 1/ c 4 ) m 0 2 u 6 u4 a 2 cos 2 ? / 2m 0 u qE = ) a= ( qE / m 0 u ) [ 1+ ?2 u 2 co s2 ? 1+ u 2 ) ] - 1/ 2 ( ( 26) 64 荆州师专学报( 自然科学版) 1995 年 4 月 图 6( a) 图 6( b) 显然, 在我们不考虑 相对论效应时, 单粒子在电场 中作抛物线运动; 考虑相对论效 应后, 粒子作 类似双曲 线的复杂的曲线运动。至此, f 与 a 的空间关系及大小变化 关系在( 26) 式中清 楚地体现出来了, 从中我们便能 看出其与经典表现形式的不同。但是, 一旦满足 u/ c→0 时, 其又趋于经典情形。 ( 26) 式中 ? 0 时, 我们 得到( Ⅱ) 所述情形。 = 4 结束语 综上所 述, 狭义相对 论中力和加速度在 方向及大小变化等 方面的关系与经典情 形显著不同, 而一旦满足 u/ c→0 时, 它却又与经典情形趋于一致。从而可以看出, 经典力学只是相对论 力学在低速时的近似, 而狭义相 对论中力和加速度的关系更具一般性。 参 考 文 献 1 R eding J L . 大学物理, 1986, ( 3) 2 郭硕鸿 . 电动力学 . 高等教育出版社, 1978 3 泡利 W . 相对论 . 上海科学技术出版社 4 [ 美] 瑞斯尼克 R . 相对论和早期量子论中的基本概念 . 上海科学技术出版社 THE RELATION BETWEEN THE ACCELERATION AND FORCE IN THE SPECIAL THEORY OF RELATIVITY Y ang Rong hua Cheng Q inghua ( Zhuy uan M iddle Scho ol , Jing men City) ( P hysics Department ) Abstract In t his paper , w e hav e present ed a gener al r esult of direct ion relation of acceler at ion a and fo rce f based on t hose discussed in special rel at ivit y t heory , described t he r elatio nship bet w een direct ion and st reng th of t he acceleration and fo rce , rev ealed dif ferences o f t he r elat ions bet wean a and f in special relat ivit y t heo ry and in classical m echanics and interpret ed t he limit at io n of classical m echanics . Key words fo ur - dimension v ect or; L orenz t ransf orm ation; corariance
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