重整化01 在临界点附近，涨落的关联长度趋于无穷大;在鞍点附近有两种不同的方向，一种是这个方向，另外一种是与它正交的方

【从千奇百怪的相变现象说起】——于渌院士讲座

2011-05-17 16:41:25

 

 

从千奇百怪的相变现象说起

nohup 2006年7月05日16:48:36 于[教育与学术]

于渌院士讲座

　　各位老师，各位同学，早上好。今天很高兴有机会跟大家讨论一些比较基本的问题。一下回到差

不多50多年前的中学生时代，又慢慢找到那个感觉了。”从千奇百怪的相变现象说起”，是要说一件事

情，说的是什么事情呢？讲到最后大家会明白。

　　先从最简单的事情说起，从一滴水说起，这是日常生活大家非常熟悉的事情。一滴水有多少

个分子很容易算出来，两毫米直径的水滴，算一下它的体积，乘上阿佛迦德罗常数，除上18，差不多

是10的20次方个分子。这么一滴水里面有非常多的学问。当然从日常生活当中大家都有经验，烧开水的时

候，在正常的气压下加温到摄氏一百度，水开了，有蒸汽，蒸汽升到天空形成彩云。同样一滴水在摄氏

零度的时候会结成冰，冰的晶体是非常漂亮的。这是从网上找到的，有一本书，给出一千多张冰晶的照

片。平常大家不太容易看到，到春天的时候，山沟里的冰溶化了以后再结晶，那个晶体就是非常漂亮的，

拿显微镜看就是这样的。我为什么讲这个事情呢？这么简单的事情里包含着一个问题：仔细想想，为什

么10的23次方个水分子，单个的水分子结构不变，相互作用也不变，为什么这么巨量的分子，会“集体

地”、“不约而同地”从一个相变到另外一个相。新的相在老的相当中又是如何孕育、如何形成的？大家

如果没想过的话，我建议这是一个值得思考的问题。不要说10的23次方，就是100个人，如何有秩序地从

一个门走出去，需要大家自觉地遵守纪律才行。为什么10的23次方个水分子，可以那么集体地、不约而同

地、很默契地做这件事情？不知道大家同意不同意，这是一个值得思考的问题。

　　水是非常复杂的。冰和水的相图很复杂，如果把相图中间的小块放大，就是下面的图，冰有10个

以上不同的相。这是三维的相图，这是气态，这是液态，左边的相图是三维图在温度－压力平面的投影。

即使我们最熟悉的物质――水和冰，还有非常、非常复杂的东西值得研究。这个相图里有些部分还不很确

定。

　　物质最简单的状态是气态，所谓理想的气体。气体比较稀薄，分子相互之间几乎没有作用。这是

体积和压力的相图，是抛物线。这是气体的压力和温度的相图，左下角阴影线的部分不对应理想的气体。

有一个理想气体的状态方程，压力乘上体积，等于n乘上RT，R是气体常数，等于Nak，Na 是阿佛迦德罗场

数，k 是玻耳兹曼常数，等于1.38乘上10的负23次方焦耳/度。这是理想的气体。

　　实际的气体不满足这样的方程。19世纪一个著名的荷兰物理学家，叫范德瓦耳斯，他在1873年做

的报告里提出一个现实气体方程，现在叫范德瓦耳斯方程。方程很简单，考虑了两个物理效应，一个是V减

掉NB，把分子本身的体积排除掉，另一个是内压力，是负的，分子在比较远的地方有吸引力，相当于负的

压力。把这两个修正考虑以后，就是这个相图，实际上与绝大多数气体的相图相当符合，这是现实气体。

　　我们看相图中温度和压力的曲线，这边是液体，这边是气体，从液态加热，到了相变线上，温度

不继续上升，这时有一个蒸发的潜热，当全部液体蒸发后，温度继续上升。问一个问题，这个相变线究

竟到什么地方结束呢？是无止境地走下去还是怎么样？19世纪的时候，英国的物理学家安德鲁斯说，不会

的，这根线会在一个点上嘎然而止，突然停住。他为这个点起了一个名字：当时实验是用二氧化碳做的，

在摄氏31度附近的时候，液体和气体的密度差消失了，所以这个点就叫“临界点”。看起来是孤零零的一

个点，但这个点本身非常重要，是我们今天要讨论的重点。这个点是什么意思呢？有了这个点以后，液体

和气体的差别是相对的，不是绝对的。这么看是液体的状态，可以让体系绕过这个点，就可以连续地变到

气体的状态，就是因为有这么一个临界点的存在。

　　临界点上可以看到非常奇妙的现象，有所谓的“临界乳光”。这个实验是怎么做的呢？就是找一

个封着的试管，让气体密度正好处于接近临界的状态，将一束激光打在上面，就发现有一个亮点，在成像

的地方发现非常复杂的花纹。反映的是什么呢？在临界点的时候，水比沸腾的时候还要更“折腾”，这就

是临界乳光现象的起源。这是实验物理学家送的照片，说明了临界涨落的现象。这个现象是怎么回事呢？

封了一个瓶子，这个瓶子里装的是二氧化碳，大体上处于临界密度。这里放了三个球，它们的密度，一个

正好是临界密度，一个比临界密度稍稍高一点，一个比临界密度稍稍低一点。当温度高于临界温度的时

候，是气体的状态，球处在三个不同位置。把温度稍微降一点，但还没有降到临界温度的时候，就发现中

间的球掉下来了。再降的时候就已经降到临界点以下了，这时就出现了气体和液体的分界面，上面的球也

掉下来了。再降低温度，因为球的密度只是比临界点的密度稍微高一点，液体的密度更高，底下的球也浮

上来了，三个球都在界面上。为什么在接近临界点，但没有达到它时中间的球会掉下来？就是因为“折

腾”得很厉害，用物理的话讲涨落非常厉害，所以在那里待不住了，有随机的力作用就会掉下来。

　　再举一个例子，是铁磁相变。我们老祖宗最早用的指南针，是一种铁磁体，为什么能指南？就是

因为在地磁场当中有确定的指向。但是原来并不知道，那块磁铁如果用火烧一烧，温度很高以后就不能吸

铁了。这件事情其实是在17世纪才发现的。如果画一个卡通图，有一些小铁磁体，在转变温度以下都排好

了，到转变温度以上就乱了。看这个相图，温度和磁场的关系，叫居里点，是老居里自己发现的。磁铁有

一个自发磁化强度，和温度有关系，放在外磁场里可以看出磁化强度和磁场的关系。如果在转变温度以

下，居里温度以下就走这条线，如果在转变温度以上就没有磁性了，就走这条线了。

　　不光有铁磁体，还有反铁磁体，小的陀螺是这么交错排列的。看一看这两个系统，气体和液体的

临界点和铁磁的相变本身是非常像的，我故意用相应的坐标把它们画在一起。20世纪初，人们意识到这两

件事情实际上是一回事。还有更多、更多的相变。手机彩屏用的是液晶显示，笔记本电脑也是液晶显示。

液晶分子本身大体有两类，一类是棒状的，一类是盘状的，这些非常漂亮的照片是向列型液晶表面的照

片。这是向列型液晶的示意图，基本上是棒状分子。液晶介于液体和晶体之间，顾名思义，“液”指位置

是无序的，“晶”指方向有一定的序，分子取向虽然有一定的分散度，但有个平均取向，用一个单位矢量

—指向矢表示。这种叫做向列型的液晶。胆甾型的液晶，就是手机和计算机屏幕上用的。有一个选定的方

向，指向矢沿这个方向旋转，叫胆甾型液晶。近晶型液晶，顾名思义，跟晶体非常近，分子是一层一层

的，在每一层内部位置还是无序的，不是排好的，但是层和层之间是这样排的，有垂直的排法，还有斜着

的排法。

　　到目前为止，讲的还是比较经典的相变。现在讨论一些系统，粒子本身的运动规律已经不能够用

平常我们熟悉的经典的牛顿力学描述，这就是所谓的量子现象。当粒子变得非常小以后，粒子的运动规律

已经跟牛顿力学描述的不一样。牛顿力学描述的粒子是可以辨认的，眼睛可以盯着一个粒子，看着粒子怎

么走。到了微观的粒子以后，不存在粒子轨道的概念。粒子和粒子是不能区分的。不能区分的粒子分两

种，一种是“费米子”，每一个状态里最多只能容纳一个粒子。另外一种叫做“玻色子”，每一个状态里

可以容纳很多、很多粒子。今年纪念爱因斯坦发表五篇划时代论文的一百周年。我讲一个爱因斯坦和玻色

的故事。事请发生在1924 年，玻色住在原来的印度，现在属于孟加拉的城市达卡，当时是非常年轻的达卡

大学的讲师。那时量子论还处于建立的时期，他写了一篇文章投到英国的《哲学杂志》，但被拒绝了。他

把那篇六页的文章寄给了爱因斯坦。这篇文章说的是什么呢？如果假定光子是粒子的话，就可以推导出普

朗克的辐射定律。爱因斯坦是大家，对年轻人非常提携，他意识到文章的重要性，自己将它翻成了德文，

帮助玻色在《德国物理学报》发表了。当时玻色考虑的光子是没有质量的，爱因斯坦把它推广到有质量的

粒子。如果是有质量的玻色子，就会出现一个新奇的现象，叫做玻色－爱因斯坦凝聚。

　　玻色没有留过学，是自己土生土长出来的，但是学习成绩一直非常优秀，百分制，他得了110分。

后来他成功以后，虽然他做了这么多重要的工作，在印度还是不能得到承认，只是一个副教授。后来实在

没有办法，又给爱因斯坦写了一封信，问能不能给他写推荐信，帮助提升。爱因斯坦非常惊讶，说你做了

这么重要的事情，还不是教授，所以爱因斯坦真的给他写了推荐信，后来被提升成教授。他这个人非常专

心做学问，有些风趣的笑话。大物理学家N ×玻尔去达卡大学讲演，玻色是主持人，坐在那儿听。著名科

学家“挂黑板”了，推不出一个式子，说：“玻色教授，你能不能帮帮忙”?，那时大家发现玻色的眼睛

是闭着的，突然站起来了，在黑板上写了一些式子，把问题解决了，完了以后，他又坐回自己的座位半眯

着。他基本上是自学成才的，在发展中国家的环境下还是可以做出非常有创意的工作。

　　通常气体凝聚成液体，是气体的分子在坐标空间凝聚，而这里说的玻色－爱因斯坦凝聚，是在动

量空间里的凝聚，分子都掉到最低的能态上去了。现在用的是激光冷却的办法，还有叫做“分子逃逸”

的办法，让温度降下来。为什么爱因斯坦1925年预言的效应，过了整整70年以后才实现，因为温度要求非

常、非常低，要达到亿分之几度。这是计算机模拟的卡通。最后阶段的冷却是靠什么实现的？让气体中速

度快的分子跑掉，剩下的那部分气体的温度降下来了，但密度也就低了，玻色－爱因斯坦凝聚的温度也降

低。这里画了两个温度计，一个是真正的温度，一个是玻色－爱因斯坦凝聚的温度，当真正的温度降到相

应密度的玻色－爱因斯坦凝聚的温度时，气体动量分布突然冒出一个尖峰，标志玻色－爱因斯坦凝聚。因

为这项重要的发现，E. Cornell, W. Ketterle 和C. Wieman三位获得了2001年诺贝尔物理奖。

　　真正观测到气体的玻色－爱因斯坦凝聚是在1995年，而实际上类似于玻色－爱因斯坦凝聚的现

象，早在30年代就被观测到了。发现的人是苏联著名的物理学家，叫Kapitsa，他原来在英国的卢瑟夫实验

室工作，后来苏联把整个实验室买回去，他在物理问题研究所工作。这个现象叫做液氦的超流。把水倒在

水杯里，水是出不来的，如果把氦冷到绝对温度2.16度以下，氦会从杯子里“爬”出来，放一段时间以后杯

子就空了。原因是什么呢？因为氦跟器壁之间没有摩擦力，这个现象本身叫做超流，是Kapitsa在1938年发

现的。发现以后并不清楚这个现象是玻色－爱因斯坦凝聚。那时Kapitsa利用这个发现帮助了他的朋友，非

常著名的理论物理学家朗道。当时朗道有一点麻烦，被关在牢里，Kapitsa专门给斯大林打了一个报告，说

他发现了一个新奇的现象，没有别人能够解释，只有朗道可以解释这个现象。果然朗道被放出来了，他不

负厚望，41年发表了两篇文章，解释了超流的现象。他们两位分别在78年和62年获得了诺贝尔物理奖。

　　另外一件事情发生的更早， 原来也不知道它和玻色－ 爱因斯坦凝聚有关系。1908年荷兰

的Kamerlingh Onnes把氦液化，在1911年发现汞是“超导”的，就是电阻准确为零。除了没有电阻以外，更

重要的一个性质是完全抗磁，跟磁铁的吸铁是相反的，磁力线完全不能穿透。这是一块超导体，这上面是

一块磁铁，磁铁是浮在超导体上面的，因为磁力线被完全排斥。1911年发现了超导，一直到1957年才由J.

Bardeen, L. Cooper 和J. R. Schrieffer三个人建立了一个微观理论给予解释。1911年发现的超导，1913年得了

诺贝尔奖。1957 年建立的微观理论，过了15年，1972年才得到诺贝尔奖。

　　氦3的同位素也有超流的现象，跟超导类似。这个现象是1971年，当时做博士论文的年轻学生，

叫Osheroff在康奈尔大学发现的。超导微观理论建立后许多理论物理学家都预言氦3会超流，分析了各种可

能性，估计了转变温度。等了很多年以后在实验上才发现，当时他们意识到这是一个新的现象。真正证明

这个现象是超流的“决定性理论”，是英国理论物理学家，现在美国的Leggett提出的。氦3的超流并不是用

原来所设想的理论模型描述的。

　　我们说了半天的相变，从一个相变到另外一个相，还需要把相变现象先分类一下。相变的分类是

艾伦菲斯特提出的。体系的热力学势（如自由能）是温度、体积、压力这些变量的函数，如果在相变点，

热力学函数本身是连续的，但是它的一阶导数（切线的斜率）是不连续的，比如体积、熵有跃变，叫做第

一类相变。冰的溶化和水的汽化是一类相变。如果斜率本身在这儿也是连续的，只是二阶导数（曲率）不

连续，有跃变，就叫第二类相变，超导、超流、铁磁居里点，气－液临界点都属于第二类相变。有时我们

称它们为“连续相变”，或“临界现象”，说的都是同一件事。这类现象是我们讨论的重点。

　　描述相变要引入“序参量”，液体和气体的密度差，或者铁磁体的自发磁化强度，就是序参量。

在一类相变点序参量有跃变，而在连续相变点它是连续变化的。

　　还有一个重要的概念叫做“对称破缺”。温度比较高的时候对称比较低还是比较高？通常情况

下，温度比较高的时候对称比较高，温度比较低的时候对称比较低。什么叫“对称破缺”？举个例子，有

一个自旋，可以向上，也可以向下，就有一个向上、向下的对称。如果自旋是确定地向上或者向下，就没

有这个对称。对称元素的减少就叫做对称的“破缺”。正方形的图，图中的点表示可以通过对称的操作连

起来，这个点跟这个点通过在这个线上反演等价，这个点和这个点通过在这个线上反演等价。一看是正方

形的，有8个对称元素。如果我们设想，沿一个方向伸长一点，变成长方形以后，只有两个对称操作，一个

相对于这根线的反演，一个相对于这根线的反演，从8个对称元素变成了4个对称元素，这就叫对称破缺。

　　在液体和气体的相变中，液体和气体的密度差，就是序参量。到了临界点以上液体和气体就不能

分了。铁磁体有一个自发磁化，或者向上，或者向下，这时上下是不对称的。温度高于居里点以后就没有

自发磁化，上下的对称就恢复了。还要考虑连续的对称。如果自旋可以在平面上转，具有平面上的旋转对

称；如果指定一个特定的方向，就是连续对称的破缺。

　　怎么描述相变？有一个最简单的理论，就是所谓的“平均场理论”。粒子和粒子之间有相互作

用，怎么简化？平均场理论，顾名思义，认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一

下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。范德瓦耳斯的状态方程是最早的平均场理论，后来

还有很多不同的名称。1937年朗道提出了二类相变的普遍理论。朗道的平均场理论，拿一个具体的例子说

明，单轴各向异性的铁磁体，磁化强度只能向上或者向下，现在是向上的。认为热力学函数是序参量的解

析函数。这是一个假定，热力学函数可以展开，有二次方和四次方项（由于反演对称，没有奇次方项），

展开系数是温度的函数，a是一个正数,b也是一个正数。曲线在高于Tc的时候和低于Tc的时候是不一样的，

高于Tc的时候，最小值是Mo=0，就是没有自发磁化；如果低于Tc，就有不等于0的极小点。按照平均场理

论算出来，临界指数β等于二分之一；算出与磁场的关系，在临界点上是这样的关系，d=3。可以算出平

常说的磁化率，和T的相对温度之间有一个关系，指数是1。还可以算比热，从低温到高温的时候有一个跃

变，本身是一个常数。如果铁磁体不是单轴各向异性，而是平面各向异性的，序参量会有两个分量。我们

可以拿这个曲线转一圈，最低能量态是“简并”的，所有“酒瓶底”的状态都具有最低能量，实际体系可

能处于某一个位置上。这就是对称破缺。平均场理论是“多次被发明”的理论。从最早的范德瓦耳斯方

程，到外斯的分子场理论，描述合金有序化的布喇格－威廉姆斯理论，都说的同一回事。即使朗道这么大

的物理学家，也没有认识到这是一回事，在他写的著名的理论物理教程里，二类相变和临界点是在两个地

方分开描述的，说明人的认识有一个过程。

　　相变点的涨落和关联特别强。有一个小磁矩，可以向上，也可以向下。它的平均值是宏观的磁

矩。还可以求出所谓的“关联函数”，关联函数在通常情况下是指数衰减的，衰减的速率本身随着温度变

化。也有一个临界指数n，按平均场理论是二分之一，描述关联长度在临界点如何发散。真正在临界点上，

关联长度是无穷大。为什么在临界点上磁化率发散，发生临界乳光的现象，说明涨落非常厉害，真正的起

因是关联长度发散。

　　现在讨论一下连续相变的物理图像。体系本身在接近临界点的时候互相关联起来了，不约而同地

集聚。虽然粒子和粒子之间的相互作用是短程的，但是在快到临界点的时候互相有关联的粒子会变得越来

越多，这个长度的尺度叫做关联长度，变得非常长了，真正在二类相变的时候是趋向于无穷的。这是一个

卡通图，用自旋来表示的，作为一个例子。如果拿一个显微镜来观察，发现自旋向上的区域和向下的区域

是互相套着的，是“你中有我，我中有你”。既然关联长度是无穷打，用不同放大倍数的显微镜看到的图

像是一样的，叫做“自相似性”。

　　平均场理论看起来非常简单，但很可惜，跟实验不符合，而且差别非常明显，是不可能“调和”

的。比如临界指数b算出来应该是二分之一，实验上看到的大体是三分之一。g应该是1，而实验上大体是三

分之四。更重要的是1944年Onsager，荷兰的物理学家，找到了二维的Ising模型的严格解，发现比热对数发

散，不是平均场理论预言的有限跃变，这是对平均场理论最大的挑战。有了现在新的重正化群理论以后才

发现，这个平均场理论要到四维以上的空间才对，我们生活在三维空间，它是不对的。

　　这大体是20世纪60年代的情形。人们不可能停止在这个阶段，必然会继续研究这一现象。那个时

候人们注意到一个非常有意思的现象:虽然平均场的理论是不对的，但是如果用平均场理论也满足的所谓

“标度假定”，把磁场、磁化强度和温度重新“标度”，仍旧可以很好地描述实验。这是铁磁体系，这是

气－液体系，标度以后，不同体系的实验点都落在同一条线上。不是没有规律可循，还是有规律可循的。

所谓“标度变换”，就是一个尺度的变换，拿自旋的例子来讲，考虑一个自旋的团簇，有两个向上，一个

向下，我们按照“少数服从多数”，把这个自旋的团簇用一个向上的有效自旋代替，再做一个尺度的变

换。这个尺度变换以后各种热力学量就会做相应的变换，可以推出所谓的“标度律”：发现六个临界指数

里，实际上只有两个是独立的。开始这是从经验里归纳出来的，后来做了标度假定，可以推导出来。

　　真正解决了这个问题的是原来研究量子场论和粒子物理的Kenneth Wilson，他提出了临界现象的

重正化群理论，因为这个划时代的贡献，获得了1982年的诺贝尔物理奖。简单的意思是考虑不同尺度的涨

落，先把短距离、小尺度的涨落处理掉，然后再考虑比较大的尺度的涨落，最后给出一个算法，能够算出

临界指数，直接与实验比较。

　　现在用一个卡通图说明一下，在这个理论的框架里，物理体系用参量空间来描述。它的图像非常

像一个马鞍。这是一个鞍点，在鞍点附近有两种不同的方向，一种是这个方向，另外一种是与它正交的方

向。如果球在这个方向运动，就会往下滑，越走越远，叫做“有关参量”，如果球在另一个方向运动，越

走越近，叫做“无关参量”。刚刚所说的标度率，就表示只有两个有关参量。很多不同体系都表现出来同

样的性质，叫做普适性，同样一个不动点（鞍点）控制参量空间的一个区域，属于这个区域的系统对应同

一个“普适类”，具有相同的临界指数。临界指数依赖空间的维数，依赖内部自由度的数目和相互作用力

程的长短。

　　这个理论本身对不对，必须依靠实验来检验。平均场的理论跟实验不符合，重正化群的理论跟实

验符合不符合呢？这是用重正化理论计算出来的临界指数，这是最新的在太空的实验结果，在没有重力影

响的情况之下做的实验，相对温差从10的负2到10的负9次方，七个数量级的范围之内，试验点和拟合曲线

符合得非常之好，临界指数的数值在理论和实验的各自误差范围内完全符合。而且，实验走在理论前面，

实验的误差小一些。这个计算里没有任何可以调节的参数，应该承认，这充分显示了理论物理的威力，真

正懂得了这个现象，可以从理论上把数值精确地算出