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而属于一定量能量的质量正是

这个能量除以光速的平方, newton's law

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标  题: Heisenberg的Physics and Philosophy第七章相对论
发信站: 南京大学小百合站 (Sun Jun 20 17:46:13 2004)

  在现代物理学的领域中，相对论一直起着很重要的作用。在这个理论中第一次认识到改

变物理学中基本原理的必要。因此，对于相对论所提出并由它部分解决的那些问题的讨论

，实质上属于我们对现代物理学的哲学涵意的探讨。在某种意义上可以这样说——与量子

论相反——从最终认识解决那些问题的困难到相对论的建立只花费了很短一段时间。莫雷

（Morley）和密勒（Miller）在19O4年对迈克耳孙（Michelson〕实验的重复，第一次确定

地证明了不能用光学方法检测地球的平移运动，而爱因斯坦的决定性论文在其后不到两年

时间就发表了。在另一方面，莫雷和密勒的实验和爱因斯坦的论文只是很久以来就开始的

发展中的最后几步，而这方面的发展可以用“运动体的电动力学”这个标题概括起来。

 

    显然，自从电动机发明以来，运动物体的电动力学已经是物理学与工程学中的一个重

要领域了。然而，麦克斯韦时光波的电磁本性的发现，给这个课题带来了严重的困难。这

些波在一个主要特征主与别的波（例如声波〕不同：它们能在似乎是虚空的地方传播。当

在抽空了空气的容器中打铃时，声音不能传播到容器外面。但光却很容易穿过抽空了的空

间。因此，人们假设，可以把光波看作是一种叫做以大的很轻的实体的弹性波，以大这种

东西既看不到，也感觉不出来，但却充满于抽空的空间和存在着别的物质（例如空气或玻

璃〕的空间之中。关于电磁波本身可以是一种与任何物体无关的实在这种观念，当时的物

理学家是没有想到的。既然以太这种假想实体似乎穿过了其他物质，就产生了这样的问题

：当那些物质运动时，将发生什么，以太参与这种运动吗？如果参与的话，光波在运动的

以太中是怎样传播的呢，

    有关这个问题的实验由干下述理由而显得困难：运动物体的速度常常比光速小得多。

因此，这些物体的运动只能产生很小的效应，这些效应同物体的速度与光速的比率成正比

，或者同这个比率的更高次慕成正比。威耳孙（Wilson）、劳兰（Rowland）、伦琴（Roe

ntgen）和爱欣瓦尔德（Eichenwald）以及斐索（Fizeau）所作的几个实验，能以相当于这

个比率的一次幂的准确度测量出这些效应。1895年洛伦兹发展起来的电子理论能够十分令

人满意地描述这些效应。但是，以后迈克耳孙、莫雷和密勒的实验开创了新的形势。

    对这个实验应该作比较详细的讨论。为了得到较大的效应，从而得到更准确的结果，

看来最好用很高速度的物体来做实验。地球以大约2O英里／秒的速度绕太阳运动。如果以

太相对于太阳是静止的，并且也不随地球运动，那么，以太相对于地球的这种快速运动，

将使它本身在光速的变化中被觉察出来。这时光的速度将因光是沿平行于还是垂直干以太

的运动方向的方向传播而有所不同。即令有部分以太随地球运动，也应当有人们称为以大

风的某种效应，而且这种效应大概与进行实验的地点的海拔高度有关。对预期的效应的计

算表明，它应当是很小的，因为它同地球速度与光速的比率的平方成正比，因此人们必须

从事非常精密的关于两条平行干或垂直于地球运动的光线的干涉的实验。这种类型的第一

个实验，由迈克耳孙在1881年完成，但还不够准确。但是即使在以后几次重复这个实验，

也没有些微征兆显示存在着预期的效应。特别是莫雷和赛勒在19O4年的实验可以看作是预

期数量级的效应并不存在的确定的证明。

    这个结果，虽然是很奇怪的，却与物理学家在以前曾经讨论过的另一个观点不期而合

。在牛顿力学中成立的某种“相对性原理”可以描述如下：如果在某个参考系中物体的运

动满足牛顿力学定律，那么在相对于这第一个参考系作匀速非转动运动的任何其他参考构

架中，物体的运动也满足牛顿力学定律。或者换句话说，一个系统的匀速平移运动，归根

到底并不产生任何力学效应，因而也不能通过这样的效应来观测。

    这样一个相对性原理在光学和电动力学中可能不是正确的——在当时物理学家看来似

乎是这样。如果第一个系统相对于以太是静止的，其他系统就不是静止的了，因此，它们

相对于以太的运动应当通过迈克耳孙所考察的那一类效应被觉察出来。莫雷和密勒在1904

年所作实验的否定结果真活了这种观念，即这样的相对性原理在电动力学中也是成立的，

就象在牛顿力学中一样。

    另一方面，斐索在1851年所作的一个古老实验似乎肯定地和相对性原理相矛盾。斐索

测量了运动液体中的光速。如果相对性原理是正确的，那么，光在运动液体中的合速度应

当是液体速度和静止液体中的光速之和。但事实不是这样，斐索的实验表明，合速度还要

稍为小一些。

    所有想觉察“相对于以太”的运动的更新的实验的仍然得出否定的结果这一点，启示

了当时的理论物理学家和数学家去寻找使光的传播的波动方程与相对性原理相协调的数学

解释。洛伦兹在19O4年建议了满足这些要求的数学变换。他曾不得不引入一个假说：运动

物体在运动方向收缩了，其收缩程度与物体速度有关，并且在不同的参照方案中有不同的

“表观”时间，它们在许多方面代替了“真实”时间。用这种方法，他能够表示某些类似

于相对性原理的东西：光的“表观”速度在每个参照系中都是一样的。彭加勒（Poincare

）、裴兹杰惹（Fitzgerald）和其他物理学家也曾探讨了类似的观念。

    然而决定性的步骤是爱因斯坦在1905年的论文中作出的，他在论文中认定洛伦兹变换

中的“表现”时间为“真实”时间，并废除了洛伦兹所谓的“真实”时间。这是物理学本

身基础的一个改变；一个未曾预料到的并且是非常根本性的改变，这种改变需要一个年轻

的革命天才的全部勇气。人们要在自然的数学表示中采取这一步骤，只需要前后一致地应

用洛伦兹变换就够了。但是由于它的新解释，空间和时间的结构改变了，对于物理学的许

多问题就有了新的见解。例如，实体以太也可以废除了。既然所有彼此相对作匀速平移运

动的参照系对于自然的描述都是等价的，说有这样一种实体以太，它仅仅在这些参照系当

中的一个参照系内才是静止的，那是没有什么意义的。这样一种实体事实上是不需要的，

说光波在空虚的空间中传播，而电磁场本身是一种实在，能够在空虚的空间中存在，那就

要简单得多了。

    但是，决定性的变化是在时间和空间的结构方面。很难不用数学而只用普通语言来描

述这种变化，因为通常“空间”和“时间”这两个词所表述的时间和空间结构，实际上是

真实结构的一种理想化和过分的简化。但我们还必须尝试描述这种新结构，或许我们可用

下面的方式来做到这一点。

    当我们用“过去”一词时，我们包含了全部我们至少在原则上可以知道的和我们至少

在原则上能够听别人说到的那些事件。类似地，我们用“未来”一词，包含了全部我们至

少在原则上能够给予影响的、我们至少在原则上可以试图去改变或阻止的那些事件。一个

非物理学家不容易理解，为什么“过去”和“未来”二词的这种定义是最为适用的。但是

人们容易看出，边种定义很准确地符合于这两个词的日常用法。如果我们以这种方式使用

这两个词，那么，从许多实验的结果我们知道，“未来”或“过去”的涵义并不依赖于观

测者的运动状态或其他性质。我们可以说，它们的定义对于观察者的运动是不变的。这在

牛顿力学中和爱因斯坦的相对论中都是正确的。

    但是，这里有一个差别：在经典理论中，我们假设未来和过去是由一个我们可以称为

现在的无限短的时间间隔所隔开的。在相对论中，我们已经知道情况是不同的：未来和过

去是由一个有限的时间间隔所隔开的，这个时间间隔的长短与距观察者的距离有关。任何

作用只能以小于光速或等于光速的速度传播。因此，一个观察者在一个结定瞬间可以既不

知道也不影响到远处一点上在两个特定时刻之间发生的任何事件。其中一个时刻是为了使

光信号在观察者观察的瞬间到达观察者处而必须从事件发生的地点发出光信号的那个瞬间

。另一个时刻是观察者在观察瞬间发出的光信号到达事件发生地点的瞬间。这两个瞬间之

间的整个有限的时间间隔对于观察者说来都可以说是属于观察瞬间的“现在”。任何发生

于这两个特定时刻之间的事件都可以说与观察动作是“同时”的。

    用“可以说是”这种说法，表明了“同时”一词的意义含糊不清，这是由于“同时”

这个词是从日常生活经验中形成的，而在日常生活中光速总可以当作是无限大的。实际上

这个词在物理学中也能以稍稍不同的方式来定义，而且爱因斯坦在他的论文中也使用了这

第二种定义。当两个事件在空间中同一点上同时发生，我们说它们重合，这个词是毫无歧

义的。现在让我们设想空间中一条直线上有三个点，中间一点到两旁两个点的距离是相等

的。如果在外面两点有两个事件发生于这样的时刻，使得从这两个事件发出的光信号到达

中间点时相重合，那么，我们可以定义这两个事件是同时的。这个定义比第一个定义要狭

窄一些。它最重要的后果之一是当两个事件对一个观察者是同时的，它们对另一个观察者

可以不是同时的，如果他对第一个观察者作相对运动的话。两个定义之间的联系可用下面

的陈述确定下来：如果两个事件在第一种意义上是同时的，那么，人们总可以找到一个参

照构架，使得这两个事件在这个参照构架中，在第二种意义上也是同时的。

    “同时”这个词的第一个定义似乎更接近于日常生活的用法，因为两个事件是否同时

的问题在日常生活中并不依赖于参照构架。但是在两个相对论性的定义中，这个词已经获

得了日常生活语言所缺乏的严密性。在量子论中，物理学家必定早已就懂得经典物理学术

语只能不准确地描述自然，它们的使用变量子定律的限制，因而人们在使用它们时应当小

心。在相对论中，物理学家曾经试图改变经典物理学中词的涵义，使得那些术语更为准确

，使它们能符合于自然中的新状况。

    由相对论所揭示的空间和时间结构给物理学的各个部门带来许多后果。运动物体的电

动力学能立即从相对性原理导出。这个原理本身能够构成一个十分普遍的自然律，它不只

涉及电动力学成力学，而是涉及任何一类定律：在一切仅因彼此相对作匀速平移运动而有

所不同的参照系中，这些定律都取同样的形式；它们对于洛伦兹变换是不变的。

    或许相对性原理的最重要后果是能量的惯性，也就是质量和能量的等价性。因为光速

是任何物体永不能达到的极限速度，不难看出，要加速一个已经很快地运动着的物体比加

速一个静止物体更困难。惯性随动能的增加而增加了。但是，按照相对论，任何一种能量

都将毫无例外地对惯性作出贡献，也就是对质量作出贡献，而属于一定量能量的质量正是

这个能量除以光速的平方。由此可见，每一种能量都带有质量；但即令是颇大的能量也只

带有很小的一份质量，这正是以前未曾发现质量和能量之间有联系的原因。质量守恒律和

能量守恒律失去了它们的单独的有效性，两者结合成为一个单一的定律，它可以称为能量

也就是质量守恒律。五十年前，当相对论刚刚建立时，质量和能量等价性这个假说似乎是

物理学中的彻底革命，但关于这个假说只有很少的实验证据。在现在，我们在许多实验中

看到基本粒子能够怎样地从动能产生，以及这些粒子如何湮灭而成为辐射；因此，能量转

换为质量和质量转换为能量并未提出什么不寻常的东西。原子爆炸中能量的大量释放是爱

因斯坦方程的正确性的另一个更为惊人的证明。但我们可以在这里补充一点批判性的历史

评论。

    时常有人说，原子爆炸的巨大能量是由于质量直接转化为能量，并且只有根据相对论

，人们才能预计这些能量。然而，这是一种误解。原子核中可利用的巨大能量早在贝克勒

耳、居里和卢瑟福的放射性衰变的实验中就已经知道了。任何象镭一样的衰变物质产生的

热量差不多比同等数量的质料在化学变化过程中释放的热量大一百万倍。铀的裂变过程中

的能源正好和镭的alpha衰变中的能源相同，就是说，主要是原子核分裂而成的两部分之间

的静电斥力。因此，原子爆炸的能量是直接出自这个来源，而不是从质量转换为能量得到

的。具有有限的静止质量的基本粒子的数目在爆炸中并未减少。但是，原子核中基本粒子

的结合能确实在它们的质量上反映出来，因而能量的释放也以这种间接的方式和原子核质

量的变化相联系。质量和能量的等价性，除了它在物理学中的重要性外，也提出了一些涉

及非常古老的哲学问题的问题。实体或物质不灭曾经是过去好几个哲学体系的命题。然而

，在现代物理学中，许多实验已经证明，基本粒子，例如正电子和电子，能够湮灭并转变

成为辐射。这是否意味着这些较古老的哲学体系已为现代经验所否定，而早期哲学体系所

作的论证是误人的？

    这当然是一个轻率和不公正的结论，因为在古代和中世纪时代的哲学中，“实体”和

“物质”等词不能和现代物理学中的“质量”一词简单地等同起来。如果希望用古老的哲

学语言来表示我们现代的经验，人们可以把质量和能量当作同一“实体”的两种不同的形

式，从而保持实体不灭的观念。

    另一方面，很难说用古老语言表达现代知识能有多少收获。过去的哲学体系是在它们

那个时代全部有用知识的基础上形成的，是沿着得到这些知识的思想路线形成的。当然，

我们不应当要求千百年前的哲学家预见到现代物理学或相对论的发展。因此，很久以前哲

学家从智力探讨过程中所形成的概念可能不适合于那些只能用现代精密技术工具去观测的

现象。

    但在进入相对论的哲学涵义的讨论之前，必须先叙述它的进一步发展。

    假想的实体“以太”，它在十九世纪麦克斯韦理论的早期讨论中曾经超过如此重要的

作用，已经——如前所述——被相对论废除了。有时，这用绝对空间观念被放弃了的说法

来表达。但是，这样一种陈述必须十分小心地来接受。确实，人们不能指出一个具体的参

照系，其中的实体以太是静止的，因而它配得上绝对空间的称号。但如果说空间在现在已

失去了它的全部物理性质，那就错了。物体或场的运动方程在“正常”参照系中所取的形

式与在另一个相对于“正常”参照系旋转的或作非匀速运动的参照系中所取的形式仍然是

不同的。在旋转系中离心力的存在证明了——仅就19O5和1906年的相对论而言——空间的

物理性质的存在，这种性质使区别旋转系与非旋转系成为可能。

    从哲学观点看来，这似乎不能令人满意，从哲学观点看来，人们宁愿将物理性质只附

加在如物体或场这种物理实体上，而不附加在空虚的空间上。但就有关的电磁过程理论或

机械运动而论，这种空虚空间的物理性质的存在不过是对一些不容争辩的事实的一种描述

。

    差不多十年以后，在1916年，对这种状况的仔细分析，引导爱因斯坦对相对论作了很

重要的推广，这种推广通常称为“广义相对论”。在描述这种新理论的主要观念之前，稍

稍谈一谈我们能够信赖相对论这两个部分的正确性的可靠程度会是有用的。1905和1906年

的理论是以很大量充分确定的事实为根据的，这些事实是：迈克耳孙和莫雷实验以及许多

类似的实验，无数放射过程中的质量和能量的等价性，放射性物体的寿命对它们的速度的

依赖关系，等等。因此，这个理论是现代物理学的坚固基础，在我们目前情况下是不容争

辩的。

    对于广义相对论，实验证据就远远不能令人信服，因为实验材料十分稀少。只有少量

的天文观测可以对假设的正确性进行检验。因此，这整个广义相对论比起狭义相对论来，

就具有更大的假说性了。

    广义相对论的基石是惯性和引力之间的联系、非常仔细的测量已经证明，作为引力的

来源的物体质量准确地正比于作为物体惯性的度量的质量。即使最准确的测量也从未显示

过对这个定律的任何偏离。如果这个定律是普遍地正确的，那么，可以把引力等价于离心

力或其他因惯性反应而出现的力。因为如前面所述，必须把离心力归因于空虚空间的物理

性质，爱因斯坦就转向把引力也归因于空虚空间的物理性质的假说。这是很重要的一个步

骤，它对同样重要的、接踵而至的第二个步骤是必需的。我们知道，引力是由质量所引起

。如果引力是和空间的性质相联系的，那么，这些空间性质就必须是由质量所引起或受它

的影响的。旋转系中的离心力必定是由大概是很远的质量（相对于这个系统〕的旋转所引

起。

    为了实现以这寥寥数语概括出来的纲领，爱因斯坦必须把基本的物理观念和黎曼（Ri

emann）所建立的一般几何学的数学方案联系起来。因为空间的性质似乎连续地随引力场而

变化，它的几何学就必须与曲面几何学相类似，此时，欧几里得几何学的直线必须被最短

程线、即最短距离的线所代替，同时，曲率是连续地变化的。作为最后的结果，爱因斯坦

能够给出质量分布与几何学的决定性参数间的联系的教学形式系统。这个理论确实表示出

关于引力的常见事实。它在很高的近似程度上等价于引力的传统理论，并且还进一步预言

了少数有趣的、正好处于可测量的极限的效应。例如，引力对光的作用。当单色光从一个

很重的恒星发出时，光量子在离开恒星的引力场时会损失一些能量。从而发生了发射谱线

的红移。关于这样的红移目前尚没有实验的证明，弗罗恩特利希（Freundlich）对实验所

作的讨论清楚地表明了这一点。但就此作出爱因斯坦的结论与实验相矛盾的结论也为时过

早。经过太阳附近的光束应当为太阳的引力场所偏转。弗罗恩特利希已从实验发现了适当

数量级的偏转；但这个偏转是否与爱因斯坦理论所预言的数值定量地符合，尚不能决定。

广义相对论正确性的最好的证据，似乎是水星的轨道运动的进动，它显然很好地符合于这
理论所预言的数值。

    虽然广义相对论的实验基础还很狭小，但理论却包含了一些极为重要的思想。从古代

希腊到十九世纪这整个时期内，数学家都认为欧几里得几何是显而易见的；欧几里得的公

理被当作任何数学几何的基础，而且是一种不容争辩的基础。以后，在十九世纪，数学家

波利亚（Bolyai）和洛巴切夫斯基（Lobachevsk）、高斯（Gauss）和黎曼发现，可以创建

另外一些几何学，它们能象欧几里得几何学一样，以同样的数学严密性建立起来；因此，

究竟哪一种几何学是正确的问题，就变成一个经验问题。但是，只有通过爱因斯坦的工作

，问题才真正由物理学家承担起来。广义相对论中讨论的几何学不仅是关于三维空间，而

是关于由时间和空间组成的四维簇的几何学。广义相对论建立了这种四维簇的几何学和宇

宙中质量分布的关系。因此，这个理论以全新的形式提出了时间和空间在最大尺度上的性

状这些老问题；它能够提出可通过观测来检验的可能答案。

    因此，自从科学和哲学的最早时期就引人注意的一些很古老的哲学问题又被捡起来了

。空间是有限的还是无限的？在时间开始之前有什么？在时间终了时又将发生什么，或者

时间是无始无终的，这些问题在不同的哲学中和宗教中曾经找到不同的答案。譬如，在亚

里士多德的哲学中，整个宇宙空间是有限的（虽然它是无限地可分的）。空间是起因于物

体的广延，它与物体相联系；没有物体也就没有空间。宇宙由地球、太阳和星球所组成，

即由有限个数的物体所组成。在星球范围之外没有空间；因此，宇宙空间是有限的。

    在康德哲学中，这个问题属于他称为“二律背反”的问题——即不能回答的问题，因

为两种不同的论证可以导致相反的结果。空间不能是有限的，因为我们不能设想空间有一

个边界；对于我们所到达的空间的任一点，我们总能够设想我们还能跨越过去。同时空间

又不能是无限的，因为空间是我们能够设想的东西（否则“空间”一词就不会形成），而

我们不能设想一个无限的空间。关于这第二个命题，这里没有逐字逐句地重复康德的论证

。“空间是无限的”这句话对于我们意味着某些否定性的东西；即我们不能到达空间的终

点。对于康德来说，这意味着空间的无限性确实是规定了的，这无限性在我们很难再现的

意义上“存在”着。康德的结论是：对于空间是有限还是无限这个问题，不能给出合理的

答案，因为整个宇宙不能成为我们的经验的对象。

    关于时间的无限性问题，可以看到类似的情况。例如，在圣奥古斯丁（St．Angustin

e）的《忏悔录》（Confessions）中，这个问题取如下的形式：在上帝创造世界之前，他

在干些什么，奥古斯丁不满足于这种玩笑：“上帝在忙于为那些提傻问题的人准备地狱呢

。”他说，这样一种回答太浅薄了。他试图对这个问题作一合理的分析。时间仅仅对于我

们是在不断地消逝；我们所期待的时间是“未来”；正在过去的时间是“现在”，我们所

回忆的时间是“过去”。但上帝不在时间之中，对于上帝，千年如一日，一日犹千年。时

间是和世界一同被创造出来的，它属于世界，因此时间并不在宇宙存在之前存在。对于上

帝，整个宇宙过程是一次给定的。在他创造世界之前没有时间。显然，在这样的陈述中，

“创造”一词立刻引起了全部主要的困难。这个词，如通常所理解，意味着某些过去没有

的东西产生了，而在这个意义上，它预先假设了时间的概念。因此，不能用合理的术语规

定“时间已被创造出来”一句话的意义是什么。这个事实又提醒我们从现代物理学中学到

的一个时常讨论的教训，它就是：每一个词或概念，尽管它可能看来很清楚，也只能在有

限范围内适用。

    在广义相对论中，关于时间与空间的无限性这些问题，能够在经验基础上提出问题并

作部分回答。如果理论正确地给出了时间空间四维几何学与质量在宇宙中分布之间的联系

，那么，对空间中星系分布的天文观测将给予我们关于整个宇宙的几何学的信息。至少人

们能够建立宇宙的“模型”，即建立宇宙学图象，它的结论能够同经验事实相比较。

    根据现有的天文学知识，不能肯定地在几种可能的模型之间作出判别。宇宙所充塞的

空间也许是有限的。这并不意味着宇宙在某个地方有一个尽头。它可能只是意味着朝着宇

宙的一个方向前进又前进，人们最后将回到他们出发的地点。这种状况类似于地球表面的

二维几何学，在地球上，当我们从一点向东方出发，最后将从西方回到这一点。

    对于时间，似乎有某种类似于起点的东西。许多观测指出宇宙起源于大约四十亿年前

；至少它们似乎证明在那时，宇宙的全部物质集中于较现在小得多的空间之内，并且一直

以不同的速度从这个小空间向外膨胀。从许多不同的观测（例如，从陨石的年龄、地球上

矿物的年龄等等〕，发现了同样的四十亿年，因此，很难找到一个本质上不同于宇宙有一

个起源这种观念的解释。如果它是正确的，就可能意味着在这个时间之外时间的概念将遭

受根本的变化。在天文观测目前的状况下，关于大尺度的时间空间几何学的问题还不能作

任何程度的确定的回答。但想到对这些问题最终可能在坚实的经验基础上作出回答，那是

极为有趣的。当前，即令是广义相对论，也是建立在一个很狭窄的实验基础上，并且必须

认为它比用洛伦兹变换表示的所谓狭义相对论要靠不住得多。

    即使人们限制进一步讨论广义相对论，但毫无疑问，相对论诚然已经深深地改变了我

们对时间空间结构的观点。这些变化的最激动人心的方面或许不在于它们的特殊性质，而

是在于这些变化已成为可能这一事实本身。牛顿所定义的成为他对自然作数学描述的基础

的时间和空间结构是简单而前后一致的，并且十分密切地符合于日常生活中所用的时间和

空间概念。事实上这种符合是如此密切，以致牛顿的定义可以认为是这些日常概念的准确

的数学形式化。在相对论之前，事件按照时间排成序列而与它们空间中的位置无关，这似

乎是十分明显的。我们现在知道，这种印象是在日常生活中，由于光速比实际经验中碰到

的任何其他速度大得多这一事实而产生的；但是这个限制在当时当然没有被认识到。并且

即使我们现在知道了这种限制，我们也仍然很难想象，事件的时间序列应当与它们的位置

有关。

    康德的哲学后来集中注意时间和空间概念属于我们与自然的关系而不属于自然本身这

一事实；集中注意我们不用这些概念就不能描述自然的事实。因此，这些概念在某种意义

上是“先天的”，它们是经验的条件，而根本不是经验的结果，而且一般都相信，它们不

会受到新的经验的触犯。因此，改变这些概念的必要性的出现，就象是一次巨大的奇袭。

科学家这才第一次知道，他们在将日常生活概念应用到现代实验科学的精密经验中去时，

必须何等地小心谨慎。即令在牛顿力学的数学语言中建立了这些概念的准确和前后一致的

形式系统，或者在康德的哲学中对它们作了仔细的分析，也不能保护它们免受绝顶准确的

测量所可能作出的批判性分析。后来证明，这个警告在现代物理学的发展中非常有用，并

且，假如没有相对论警告物理学家不要不加批判地使用来自日常生活和经典物理学的概念

，假如相对论没有取得成功，那么，要理解量子论当然将更为困难。

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• ds01 曲线的活动标架 在该空间曲线的每一点，单位向量组(α(s),β(s),γ(s))构成了一个附着在该点的三维右手直角坐标 -marketreflections- ♂ (8156 bytes) () 12/06/2011 postreply 20:46:54

• math01 mathworld.wolfram.com/Jacobian.html -marketreflections- ♂ (106 bytes) () 12/07/2011 postreply 10:19:30

• 曲线的基本三棱形, 或称Frenet 标架:曲线的活动标架 在该空间曲线的每一点，将离散后的每段空间曲线，分别向三 -marketreflections- ♂ (557 bytes) () 12/07/2011 postreply 11:01:24

• frenet01 设C : r = r(s) 是一条正则的弧长参数曲线. 我们将标架®(s0); ¯(s0); -marketreflections- ♂ (12334 bytes) () 12/07/2011 postreply 11:14:34

• frenet01 设C : r = r(s) 是一条正则的弧长参数曲线. 我们将标架®(s0); ¯(s0); -marketreflections- ♂ (12334 bytes) () 12/07/2011 postreply 11:14:37

• diffgeom01 切矢量01 -marketreflections- ♂ (178 bytes) () 12/07/2011 postreply 13:04:43

• diffgeom01 切矢量01 微分流形函數双线性 -marketreflections- ♂ (17280 bytes) () 12/07/2011 postreply 13:12:34

• diffgeom01 微分流形函數双线性對偶基底 :果V 上有非退化对称双线性函数g( , ) , 那么V 与V* 有一个由这个 -marketreflections- ♂ (28964 bytes) () 12/07/2011 postreply 13:22:29

• diffgeom01 共同切向量對偶基底 -marketreflections- ♂ (24694 bytes) () 12/07/2011 postreply 13:35:00

• diffgeom01 完备内积空间的对偶空间可以等同于自身，这种情况，一个线性函数 f 在向量 v 上取值相当于 f 所对应的向 -marketreflections- ♂ (65224 bytes) () 12/07/2011 postreply 13:44:32

• diffgeom01 仿射坐标系，各个坐标轴不是正交的，那么变换矩阵久不是对角形式，协变矢量和逆变矢量就不一样。这是绝对平直空间 -marketreflections- ♂ (199 bytes) () 12/07/2011 postreply 13:46:16

• diffgeom01 仿射坐标系之间的广. 义正交变换: 5.黎曼几何学 相应的张量分别称为仿射联络的挠率张量和曲率张量 -marketreflections- ♂ (24733 bytes) () 12/07/2011 postreply 13:51:00

• diffgeom01 《几何基础》用运动公理可以推出平面的所有运动;仿射不变性: 相似变换不再保持两点间的距离不变，相似变换的特 -marketreflections- ♂ (8392 bytes) () 12/07/2011 postreply 14:00:55

• 非线性高阶抛物型偏微分方程没有极值 -marketreflections- ♂ (413 bytes) () 12/07/2011 postreply 16:35:37

• diffgeom01 仿射微分几何 曲线和曲面的在仿射变换群下的不变量、协变图形及其性质 -marketreflections- ♂ (1710 bytes) () 12/07/2011 postreply 14:04:01

• diffgeom01 拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运 -marketreflections- ♂ (12854 bytes) () 12/07/2011 postreply 14:10:14

• diffgeom01 拓扑01 任意一個三角形在任意延伸、伸縮的變形變換中，可以疊合住一個形。所以這個延伸、伸縮變換是一種同胚變 -marketreflections- ♂ (18773 bytes) () 12/07/2011 postreply 14:31:56

• economist01 刘煜辉 欧洲危机 更似政治危机：需要很大政治意愿去解决 -marketreflections- ♂ (27321 bytes) () 12/07/2011 postreply 14:58:48

• dow01 刘老实 3M的确很强，这是道指30家中我唯一认可的公司 -marketreflections- ♂ (5624 bytes) () 12/07/2011 postreply 15:12:25

• fin01 The UK Trail Of The MF Global Collapse May Have "Apocalypt -marketreflections- ♂ (44126 bytes) () 12/08/2011 postreply 08:20:42

• fin01 MF Global, and many others, to use its own clients’ funds -marketreflections- ♂ (25642 bytes) () 12/08/2011 postreply 08:58:51

• repo rate01 In return for “selling” the securities, the seller r -marketreflections- ♂ (18013 bytes) () 12/08/2011 postreply 09:58:49

• diffgeom01 為何切向量可以當成映射 blog.udn.com/DeutschHK/article -marketreflections- ♂ (176 bytes) () 12/08/2011 postreply 10:22:14

• diffgeom01 "基底與對偶基底" google -marketreflections- ♂ (724 bytes) () 12/08/2011 postreply 11:28:35

• math01 www.mathland.idv.tw/ -marketreflections- ♂ (76 bytes) () 12/08/2011 postreply 10:29:57

• math01 分析與綜合的方法。追究事物的組成要素就是分析法，反過來由組成要素組合出事物就是綜合法。孫子在他的兵法 -marketreflections- ♂ (254 bytes) () 12/08/2011 postreply 10:57:19

• 離散的差和分簡單明瞭，再連續化就得到了微積分 -marketreflections- ♂ (201 bytes) () 12/08/2011 postreply 11:02:43

• 張量01 -marketreflections- ♂ (94 bytes) () 12/08/2011 postreply 11:50:08

• 張量01 把一个向量变成另一个向量 -marketreflections- ♂ (740 bytes) () 12/08/2011 postreply 12:22:42

• 張量01 特征向量的几何含义 一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已,特 -marketreflections- ♂ (4000 bytes) () 12/08/2011 postreply 12:31:28

• 协方差01 标准差和方差一般是用来描述一维数据的 -marketreflections- ♂ (1467 bytes) () 12/08/2011 postreply 12:45:00

• 張量01 有限变形理论认为描述物体变形状态的合理的应变分量应具备4个基本条件：① 应变为无量纲 -marketreflections- ♂ (103421 bytes) () 12/08/2011 postreply 13:30:03

• 張量01 ，Kirchhoff应力张量分量在刚体转动中是一个不变量，即刚体运动时它们不会变化 -marketreflections- ♂ (32953 bytes) () 12/08/2011 postreply 13:34:22

• econ01 ECRI's Lakshman Achuthan economic growth doesn't "muddle -marketreflections- ♂ (249 bytes) () 12/08/2011 postreply 14:12:47

• 張量01 還有，中醫主張人體有經絡和穴位。通過針灸等針對經絡和穴位的療法，可以養生和治病。有人曾解剖過死人，嘗試尋找所謂的經絡和 -marketreflections- ♂ (418 bytes) () 12/08/2011 postreply 14:56:31

• 張量01 health01 relativehumanity.com.tw -marketreflections- ♂ (112 bytes) () 12/08/2011 postreply 15:00:25

• 張量01 非线性的Navier-Stokes方程，也就没有根本解决湍流场问题。当今流体力学的湍流理论是将该方程简化，将一个未知数 -marketreflections- ♂ (128160 bytes) () 12/08/2011 postreply 15:12:05

• 張量01 无量纲物理量的成因一般为两个量纲相同的物理量的比值。 　　例如，线应变ε=(l-l0)/l0(长度的增量除以初始长度) -marketreflections- ♂ (536 bytes) () 12/08/2011 postreply 15:14:33

• 参照参考构形，所以不同的参考构形产生不同的变形度量和应力度量 -marketreflections- ♂ (32215 bytes) () 12/09/2011 postreply 06:29:43

• gr01 随体坐标系 同一质点的物质坐标值 始终保持不变, -marketreflections- ♂ (1581 bytes) () 12/09/2011 postreply 08:40:35

• gr01 比较上述几种描述方法可知：在E坐标系中，物体的变形表现为质点的坐标 不断变化．而坐标系本身却保持不变 -marketreflections- ♂ (784 bytes) () 12/09/2011 postreply 08:48:06

• gr01 把位移后质点的坐标看成是位移前质点物质坐标的函数 -marketreflections- ♂ (13332 bytes) () 12/09/2011 postreply 09:09:33

• gr01 tensor01 向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个 -marketreflections- ♂ (696 bytes) () 12/09/2011 postreply 09:40:44

• gr01 张量01 张量是一组相互有规律联系着的变量，例如一矢量在某种坐标系轴上的分量，介质内某点的应力或变形状态的分量。 -marketreflections- ♂ (587 bytes) () 12/09/2011 postreply 09:57:58

• gr01 "质点物质坐标里奇张量与曲率不变量" -marketreflections- ♂ (28995 bytes) () 12/09/2011 postreply 10:03:38

• gr01 赫兹的理解所谓“直”的和“最直”的路径是什么样的呢？所谓直路径是全体路径元都有相同方向，且以此区别于有不同方向路径元的 -marketreflections- ♂ (72841 bytes) () 12/09/2011 postreply 10:15:58

• sr01 dim01 四维时空的“距离”和三维的纯空间的距离不同，它是洛仑兹变换下的不变量。表征质点或质点系在某一时刻的量是四维 -marketreflections- ♂ (222 bytes) () 12/09/2011 postreply 14:31:29

• dim01 dimensions-math.org 當一個多面體在空間中運動，遇到蜥蜴的平面時，多面體與平面的截面是個多邊形。當 -marketreflections- ♂ (524 bytes) () 12/09/2011 postreply 14:52:49

• perspective01 dim01 ，“日心说”比“地心说”更科学:地球不动，昼夜交替是太阳绕地球运动形成的。那么，每天的情 -marketreflections- ♂ (9942 bytes) () 12/09/2011 postreply 20:05:47

• perspective01 dim01 两只眼睛投影表面视网膜不是一个平面 -marketreflections- ♂ (26527 bytes) () 12/09/2011 postreply 20:20:07

• dim01 感觉的分析第十章各个视觉相互之间以及它们与其他心理要素之间的 ... -marketreflections- ♂ (2651 bytes) () 12/10/2011 postreply 09:00:55

• 季候风 相空间是位形空间的 “余切丛”，cotangent bundle, 也就是把每一位形上的余切空间（该位形所有可能广义动量 -marketreflections- ♂ (15076 bytes) () 12/10/2011 postreply 09:26:06

• 最通常的空间完整性，即空洞区域内空洞数量的度量，测量法称为欧拉函数,欧拉数=（空洞数）-（碎片数-1），这里空洞数是外部多边形自 -marketreflections- ♂ (6054 bytes) () 12/10/2011 postreply 17:33:59

• Thurston 博士期间研究的分叶结构是三维流形上的, 这些研究使得他对三维流形的内部构造有了非常敏锐的感觉, 这种感觉把他引 -marketreflections- ♂ (101594 bytes) () 12/10/2011 postreply 18:35:49

• Thurston01 每个3维流形都可以沿着2维球面和环面进行本质上唯一的切割，从而分成 -marketreflections- ♂ (291 bytes) () 12/10/2011 postreply 19:16:11

• Thurston 这些几何片必是8种具有双曲度量的3维流形之一”，Poincare猜想只是Thurston猜测的特例 -marketreflections- ♂ (1976 bytes) () 12/10/2011 postreply 22:12:45

• Thurston 微分几何中，流形的曲率（Riemann张量）是由联络给出的。事实上，双下标的Ricci张量也可以说是由联络唯一 -marketreflections- ♂ (179003 bytes) () 12/11/2011 postreply 10:22:47

• 天天泡咖啡 曲面第一形式、第二形式比如从三维中看二维曲面，那么真实弯曲情况就是实际上所看到的曲面形态。 -marketreflections- ♂ (814 bytes) () 12/11/2011 postreply 11:04:24

• Einstein01 求和约定01 RiemannSurface 如果一个函数带有下标i, 就表示是对第i 个变量xi 求偏导数 -marketreflections- ♂ (7036 bytes) () 12/11/2011 postreply 16:18:32

• 我们其实生活在“非交换空间”里面，这个非交换空间是量子可观察量代数的谱 定义向量空间上的附加结构，比如内积或者范数的时候总要使用 -marketreflections- ♂ (5192 bytes) () 12/11/2011 postreply 16:28:02

• phymath01 flightwithinfinity 拓扑流形和可微流形之间有多少差距？这个大问题迄今尚未完全解决(尤其是在 -marketreflections- ♂ (3285 bytes) () 12/11/2011 postreply 11:39:24

• "曲面整体坐标" 最高点法百先是在 XOY 坐标面上确定一个有限的矩形区域,将这个矩形区域按一定的步 ... 整体坐标系·由于局 -marketreflections- ♂ (23509 bytes) () 12/11/2011 postreply 16:40:21

• diffgeom01 按我们的方法定义的曲面, 只表示了曲面的一部分, 或者说只定义了一个曲面片,整个曲面的性质? -marketreflections- ♂ (6001 bytes) () 12/11/2011 postreply 16:51:56

• diffgeom01 定方向叫柱面的方向，定曲线叫准线, 是它的一条准线．这个柱面称为抛物柱面 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 12/11/2011 postreply 17:13:25

• diffgeom01 定方向叫柱面的方向，定曲线叫准线, 是它的一条准线．这个柱面称为抛物柱面 -marketreflections- ♂ (369715 bytes) () 12/11/2011 postreply 17:14:59

• 二次曲面91 定方向叫柱面的方向，定曲线叫准线, 是它的一条准线．这个柱面称为抛物柱面 -marketreflections- ♂ (22008 bytes) () 12/11/2011 postreply 17:18:35

• 一维的intrinsic曲率永远为0:直线总可等距拉直，因此内蕴曲率总为零,而在球面，这个就无法办到，因此有正的内蕴曲率 -marketreflections- ♂ (7806 bytes) () 12/11/2011 postreply 17:24:37

• diffgeom01 曲线的参数表示一样, 曲面的参数方程不是唯一的. 换言之, 可以用 -marketreflections- ♂ (27300 bytes) () 12/11/2011 postreply 17:28:24

• k :二次曲線常數,球面上每一點的曲率半徑皆相同,非球面(AsphericSurface),以狹義的觀點來看,其曲率會隨著曲面各 -marketreflections- ♂ (1207 bytes) () 12/11/2011 postreply 18:43:36

• 二次曲线常数 k 几何上定义为与垂直轴的交点的纵坐标， 横坐标为零时的纵坐标值， 是一次项与二次项都为零时的值 -marketreflections- ♂ (3593 bytes) () 12/11/2011 postreply 18:47:33

• 二次曲线, 椭圆的绳长,焦距,焦点在Y轴上,焦点在X轴上:二次曲線為基礎再加高次項.實際上,光學系統在很多的情況之下,二次曲面只 -marketreflections- ♂ (73041 bytes) () 12/11/2011 postreply 18:57:37

• "曲面线性化":非線性理論(在恰當意義下) 的線性化：梯度估計, 幾何分析與幾何 -marketreflections- ♂ (10980 bytes) () 12/11/2011 postreply 19:00:25

• 回复：diffgeom01 非平凡的黎曼曲面的例子. 和复平面中的区域不同曲面上一般不再有整体坐标. 为了进一步研究这些曲面, -marketreflections- ♂ (4450 bytes) () 12/11/2011 postreply 17:37:55

• 武际可01 勒让德变换是在坐标作对偶变换时，从老不变量得到新不变量的重要方法 -marketreflections- ♂ (723 bytes) () 12/11/2011 postreply 17:53:28

• 几何结构是量子世界的“经典幻象”。或者说这个世界其实只有结合代数及其交换子定义的自然李代数结构，而经典相空间及其上Poisson -marketreflections- ♂ (72623 bytes) () 12/11/2011 postreply 18:37:01

• diffgeom01 二元函数线性化的实质就是曲面上某点邻近的一小块曲面被相应的一小块切平面近似 -marketreflections- ♂ (5725 bytes) () 12/11/2011 postreply 17:42:45

• check01 counterparties.com -marketreflections- ♂ (90 bytes) () 12/12/2011 postreply 10:59:32

• 研究流形之间的映射及其线性化 一个欧式空间R^N 中的k-维光滑子流形是一个这样的子集，其每一点的一个邻域是一个从R^k到R^( -marketreflections- ♂ (2102 bytes) () 12/12/2011 postreply 11:10:15

• Jacobi01 Arnold的数学观 雅可比行列式是把一个体积元（蓝色）变换成另一个（红色）时两者的体积之比 -marketreflections- ♂ (76778 bytes) () 12/12/2011 postreply 14:52:40

• 新物理首页 ›现代场论 ›《量子场论》——何宝鹏-S矩阵 -marketreflections- ♂ (263 bytes) () 12/12/2011 postreply 20:07:55

• 旋度01 旋度告诉你的是,一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的 -marketreflections- ♂ (512 bytes) () 12/12/2011 postreply 20:13:10

• 旋度01 若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系,一个向量不过是四元数的向量部分，但 -marketreflections- ♂ (3395 bytes) () 12/13/2011 postreply 14:59:02

• 旋度01 方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小,始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量 -marketreflections- ♂ (4068 bytes) () 12/13/2011 postreply 15:02:05

• 旋度01 向量的数量积 力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F与s的夹角,保守力做的功 W 只与积分的始、末位置门、和 -marketreflections- ♂ (20136 bytes) () 12/13/2011 postreply 15:22:45

• Vector01 F 随位移变化的图象，图象与位移s 轴所围的“面积”即为变力做的功 -marketreflections- ♂ (14978 bytes) () 12/13/2011 postreply 15:29:26

• Vector01 功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间的积累效应。单位为J （焦耳）。 空间某点的势能Ep在数值上等于 -marketreflections- ♂ (108285 bytes) () 12/13/2011 postreply 15:35:31

• vector01 若坐标系是满足右手定则的，则将右手的拇指指向第一个向量的方向，右手的食指指向第二个向量的方向，那么结果向量的方 -marketreflections- ♂ (126 bytes) () 12/13/2011 postreply 16:00:02

• 若坐标系是满足右手定则的，则将右手的拇指指向第一个向量的方向，右手的食指指向第二个向量的方向，那么结果向量的方向就是右手中指的方 -marketreflections- ♂ (1661 bytes) () 12/13/2011 postreply 16:05:28

• vector01 由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量;特征向量不是一个向量而是一个向量族 -marketreflections- ♂ (33403 bytes) () 12/13/2011 postreply 16:10:51

• 非线性动力学系统的几何积分理论及应用 -marketreflections- ♂ (463 bytes) () 12/13/2011 postreply 17:39:20

• 如果外电场场强为0，无感应电荷；若外电场场强不为0，感应电荷的场强一定不为0（大小与外电场场强相等，方向相反）。因为导体内自由电 -marketreflections- ♂ (302 bytes) () 12/15/2011 postreply 17:12:18

• 心灵感应是一种大多数人认为存在的能力。此能力能将某些讯息透过普通感官之外的途径传到另一人的（大脑）心中。这种讯息在报导中往往描述 -marketreflections- ♂ (433 bytes) () 12/15/2011 postreply 17:26:07

• 人體細胞中充滿了電解質、或帶電的離子與分子。這些帶電的原子分子在人體正常體溫下，無時無刻不在動，也就是隨時都在產生電流。人體中的 -marketreflections- ♂ (1267 bytes) () 12/15/2011 postreply 17:29:02

• 连续介质力学，也叫连续统理论，或者叫理性力学。叫连续介质力学，是因为他的框架内 -marketreflections- ♂ (12820 bytes) () 12/16/2011 postreply 15:49:41

• 回宏观无穷小， 微观无穷大：连续介质的基元（比如物质点和即将引入的物体单元等）具有多方面的意义： （1）从热 力学的角度，必须能 -marketreflections- ♂ (55109 bytes) () 12/16/2011 postreply 16:02:58

• 人能运动。靠的是生物电在细胞上的作用。体力运动将损耗大量生物电能。并使身内电解质表现过放电状态 -marketreflections- ♂ (4389 bytes) () 12/16/2011 postreply 16:14:34

• brain01 随着电生理技术的发展和资料的积累，兴奋性和兴奋的概念有了新的含义。大量事实表明，各种可兴奋细胞处于兴奋状态时，虽 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 12/16/2011 postreply 16:22:38

• 张量分析完全建立在仿射联络空间的基础之上:黎曼幾何主要建構在弧長s 上，弧長微分的平方會等於坐標的一個二次微分式:既然普通仿射几 -marketreflections- ♂ (2400 bytes) () 12/16/2011 postreply 17:58:47

• 回复：brain01 磁共振造影以氫原子以生物體內豐富的水分子(其可量測的擴散長度正適用於身)為天然追蹤劑，偵測大腦內的微細構造 -marketreflections- ♂ (1872 bytes) () 12/17/2011 postreply 07:41:41

• brain01 水分子擴散的速度於神經,水分子於神經纖維中的擴散運動為橢圓型分佈,橢圓長軸方向即為標的擴散時 -marketreflections- ♂ (42563 bytes) () 12/17/2011 postreply 07:55:16

• brain01 扩 散 张量01 分 子 运 动和 这些 方 向上 的相关 性 ，这个 参数 是 对称　 性 的 ， ｘ Ｄｙ -marketreflections- ♂ (55891 bytes) () 12/17/2011 postreply 08:12:00

• brain01 扩 散 张量 射击运动员脑白质微结构不同于普通人。运动技能学习可引起运动相关区域脑白质结构发生可塑性变化,且这 -marketreflections- ♂ (298 bytes) () 12/17/2011 postreply 08:18:36

• brain01 大脑是由上百亿个神经元组成的,而神经元又是由细胞体和神经纤维组成的,细胞体中有细胞核(颜色深)，神经纤维中有细胞 -marketreflections- ♂ (321 bytes) () 12/17/2011 postreply 08:23:52

• brain01 職業鋼琴家的某些白質區遠比非音樂家來得發達，這些白質區所連結的大腦皮質部位，是那些協調手指運動的重要腦區，以及與 -marketreflections- ♂ (8292 bytes) () 12/17/2011 postreply 08:35:14

• brain01 "扩散张量仿射几何" 扩散张量成像(Diffusion Tensor Magnetic Resonance Im -marketreflections- ♂ (25221 bytes) () 12/17/2011 postreply 09:11:17

• brain01 偏微分方程01 仿射几何01 张量01 变形后的微元与变形前相比，所发生的变化分为两类：质点间距离的变化以及原来 -marketreflections- ♂ (12484 bytes) () 12/17/2011 postreply 09:21:49

• 回复：brain01 布朗粒子运动自由度随时间演化的动力学方程中,惯性张量、粘滞张量,扩散张量;巴切勒1976年正是用了这个布朗 -marketreflections- ♂ (24146 bytes) () 12/17/2011 postreply 09:26:30

• brain01 phymath01 惯性质量的概念“质量是物体惯性大小的量度”出现在高中物理教材中，要明确一切物体都具有惯性，惯 -marketreflections- ♂ (19823 bytes) () 12/17/2011 postreply 09:32:33

• brain01 phymath01 当物体作转动时，就不能单一地用质量来量度物体贯性的大小了，这时需要用所谓“转动惯量”来描述惯 -marketreflections- ♂ (431 bytes) () 12/17/2011 postreply 09:36:06

• brain01 phymath01 重要物理概念规律的形成与发展;数学：武装工程的利器 -marketreflections- ♂ (2524 bytes) () 12/17/2011 postreply 09:39:37

• brain01 phymath01 擴散運動為橢圓型分佈，並以一擴散張量. 描述這個橢圓的大小、形狀與方向 扩散过程包含有分子布 -marketreflections- ♂ (24774 bytes) () 12/17/2011 postreply 09:43:14

• brain01 phymath01 广义相对论張量橢圓 www.math168.com -marketreflections- ♂ (22435 bytes) () 12/17/2011 postreply 09:50:37

• brain01 phymath01 圆锥截线引人数学大约1800 年以后，开普勒用椭圆来描述行星的轨道;相对论的黎曼张量空间，四 -marketreflections- ♂ (22078 bytes) () 12/17/2011 postreply 10:00:26

• brain01 phymath01 《基礎幾何學》圓柱。它的正切截線是一個圓，但是其斜切截線則不再是圓的，這也許就是「橢圓」 -marketreflections- ♂ (12207 bytes) () 12/17/2011 postreply 10:04:41

• brain01 phymath01 em01 东京梦华 第十二章 电磁感应和暂态过程 -marketreflections- ♂ (160 bytes) () 12/17/2011 postreply 10:31:48

• brain01 phymath01 em01 生物體主要是由含氫、碳、氮、氧之化合物所組成，PET 的放射藥物即由此四種化合物之 -marketreflections- ♂ (2456 bytes) () 12/17/2011 postreply 10:34:34

• brain01 phymath01 em01 正电子与电子碰撞时会产生湮灭现象，这一过程遵守电荷守恒、能量守恒、动量守恒和角动量 -marketreflections- ♂ (3995 bytes) () 12/17/2011 postreply 13:58:44

• 忽略了三维属性后，我们将会发现，任意一个四维物体在时间轴上都表现为一条线段 -marketreflections- ♂ (4335 bytes) () 12/17/2011 postreply 14:30:16

• 高斯先是經由曲面的法線在三度空間的變動來定義曲率K,他發現曲率僅用E、F 和G 三個量就可以完全的表示出來曲率是一種曲面內在性質 -marketreflections- ♂ (10414 bytes) () 12/17/2011 postreply 17:58:31

• Gauss01 一个多边形之外角和在数量上不等于360。，⋯⋯而是成比例于曲面的面积 -marketreflections- ♂ (518 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:05:12

• 回复：Gauss01 u-线，v-线越密，完整的曲边四边形就越接近于平行四边形，而不完整的曲边四边形的面积在整个区域内所占比重越 -marketreflections- ♂ (57339 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:19:20

• Gauss01 u-线，v-线越密，薛定谔方程中的Laplacian 符号同样是双原子分子的坐标的二次微分;相对论的黎曼张量空间 -marketreflections- ♂ (35812 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:43:11

• Gauss01 u-线，v-线越密， 为曲面 的参数或曲纹坐标,曲面的曲纹坐标网是正交网,曲面的曲纹坐标网是正交网(即任何 -u -marketreflections- ♂ (15281 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:04:43

• 回复：Gauss01 u-线，v-线越密， 与曲面上的一族曲线中的每一条均正交的曲线称为该族曲线的正交轨线,微分方程 所代表的曲 -marketreflections- ♂ (9432 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:07:24

• Gauss01 三角形的球面映像的“定向” -marketreflections- ♂ (702 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:23:15

• Gauss01 黎曼的核心思想是要建立所谓的多重广义尺度中的各种各样的度量关系 季候风 -marketreflections- ♂ (240 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:21:11

• Gauss01 黎曼的核心思想是要建立所谓的多重广义尺度中的各种各样的度量关系 季候风, A,B,C 的值跟它的出发点的位置有关 -marketreflections- ♂ (10492 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:24:06

• 黎曼01 对于空间中任意给定的一个曲面，可以通过弯曲、拉伸或压缩来连续地改变它的形状,弯曲、拉伸或压缩这个曲面而保持它每一点的角 -marketreflections- ♂ (993 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:33:54

• 黎曼01 微分几何教案（二十） 5.2曲面的黎曼曲率张量和高斯—科达齐—迈因纳 -marketreflections- ♂ (34490 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:53:32

• 黎曼01 微積分講義01 -marketreflections- ♂ (114 bytes) () 12/18/2011 postreply 08:38:33

• 黎曼01 数学备课大师 曲面的“内在”几何学．他用曲线坐标(好像球面上经纬度)来代替三维笛卡儿坐标，证明曲面在一点的全曲率(即 -marketreflections- ♂ (3954 bytes) () 12/18/2011 postreply 08:44:58

• 假如我们应用非惯性坐标系统，四度坐标x0，x1，x2，x3将是曲线坐标 -marketreflections- ♂ (63483 bytes) () 12/18/2011 postreply 08:50:41

• gr01 其中 gij 称为度规，在直角坐标系下它就是一个对角元素为 1 的单位矩阵。当空间弯曲时，两点间可能并没有直线，比如在 -marketreflections- ♂ (975 bytes) () 12/18/2011 postreply 14:26:38

• tw01 黎曼大膽地採取了（數學）分析方法，由一先在的空間（Space a Priori）出發，認為研究空間之局部性質後，才能夠 -marketreflections- ♂ (392 bytes) () 12/18/2011 postreply 08:54:44

• 黎曼01 (1) 复流形的观点: 黎曼面是一维的 K础忙r流形. 这里的棠耍工具是分析、拓扑和微分几何,例如曲率1 示性类1残敌 -marketreflections- ♂ (4196 bytes) () 12/17/2011 postreply 21:00:16

• 黎曼01 近代幾何的發展 丘成桐 -marketreflections- ♂ (28590 bytes) () 12/18/2011 postreply 09:02:11

• 黎曼01 丘成桐 測地線 庞加莱圆盘 一個質點在空間的移動，可以由映射 x : [0,T] R3來描述。它的速 -marketreflections- ♂ (56884 bytes) () 12/18/2011 postreply 10:20:40

• gr01 sr01 http://staff.ustc.edu.cn/~jmy/ -marketreflections- ♂ (11807 bytes) () 12/18/2011 postreply 14:32:20

• gr01 卡斯勒度规是爱因斯坦场方程的一个解 该度规可描述这样一种宇宙：随宇宙演化，某些空间维度变小（紧缩场，compacti& -marketreflections- ♂ (115682 bytes) () 12/18/2011 postreply 21:52:36

• gr01 卡斯勒度规是爱因斯坦场方程的一个解 该度规可描述这样一种宇宙：随宇宙演化，某些空间维度变小（紧缩场，compacti& -marketreflections- ♂ (115682 bytes) () 12/18/2011 postreply 21:52:50

• economist01 在中国，一个GDP增长点大致能创造2000万个就业岗位，保8就是保证每年能新增1.6个亿就业岗位，基本解 -marketreflections- ♂ (344 bytes) () 12/18/2011 postreply 22:00:57

• 在场论中，经典相空间一般都是无穷维空间。无穷维缺少有限维的一个重要性质，即平移旋转不变的 Lebesgue 测度的存在性。 -marketreflections- ♂ (140624 bytes) () 12/19/2011 postreply 11:38:56

• Riemann 积分对应于 Jordan 测度，Stieltjes积分对应于推广的 Jordan 或者 Lebesgue 测度， -marketreflections- ♂ (14103 bytes) () 12/19/2011 postreply 11:43:31

• Brown 運動與Lévy 泛函分析(中)∗ -marketreflections- ♂ (28168 bytes) () 12/19/2011 postreply 13:44:20

• 对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯 -marketreflections- ♂ (2207 bytes) () 12/19/2011 postreply 13:46:55

• LZ談到人類的思維是幾維的？立體思維是任何人都具有的，你說STOKES公式和GUASS公式是人類處於懶惰的簡化？您又錯了，你所學 -marketreflections- ♂ (108 bytes) () 12/19/2011 postreply 17:46:46

• LZ談到人類的思維是幾維的？立體思維是任何人都具有的，你說STOKES公式和GUASS公式是人類處於懶惰的簡化？您又錯了，你所學 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 12/19/2011 postreply 17:52:48

• JACOBBI行列式是可以到無窮維的，積分學的三大公式在微分學中都可以得到統一，這樣我們就可以研究更高維度的概型。爲什麽非要去想 -marketreflections- ♂ (266 bytes) () 12/19/2011 postreply 17:55:52

• 路径积分01 当曲线变形的时候，被积量会剧烈震荡而不是衰减（想象一下如果一个一维积分中的被积函数是sin(x^n),当你从负无穷 -marketreflections- ♂ (4965 bytes) () 12/19/2011 postreply 17:57:20

• 回复：路径积分01 当曲线变形的时候，被积量会剧烈震荡而不是衰减.粒子是封锁在特定小空间内的能量,他是某种东西的某种振动，最后谐 -marketreflections- ♂ (1181 bytes) () 12/19/2011 postreply 18:12:51

• info01 businessinsider.com mni-news.com/content/ecb-calls-bids-f -marketreflections- ♂ (12825 bytes) () 12/20/2011 postreply 09:05:50

• trade01 spy vs hyg fxe tnx gld uso -marketreflections- ♂ (3609 bytes) () 12/20/2011 postreply 13:25:18

• nq december initial balance -marketreflections- ♂ (4895 bytes) () 12/20/2011 postreply 14:01:44

• ES01 is the most liquid E-mini futures contract open 23.25 hours -marketreflections- ♂ (2025 bytes) () 12/20/2011 postreply 14:08:57

• The 3-year funds will be offered at an interest rate indexed to -marketreflections- ♂ (4119 bytes) () 12/20/2011 postreply 16:19:22

• 无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责;黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这 -marketreflections- ♂ (943 bytes) () 12/20/2011 postreply 14:56:29

• riemann01 黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所 -marketreflections- ♂ (619 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:04:35

• 柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。 -marketreflections- ♂ (22900 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:12:51

• 定积分01 黎曼圆函数不连续点构成一个零测度集,变力作功 -marketreflections- ♂ (24790 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:24:18

• 定积分01 約當測度 和逼近理論密切相關的有正交級數理論 -marketreflections- ♂ (6715 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:28:13

• 定积分01 对任 意一 函数都可 用一 正交　 函数来实现逼 近 正交泛函网络函数逼近理论及算法 -marketreflections- ♂ (32437 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:35:58

• 定积分01 数学一级学科硕士研究生培养 -marketreflections- ♂ (26434 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:41:11

• 回复：定积分01 分析学科普 黎曼曲面理论是复变函数多值函数域和几何间的一座桥梁 -marketreflections- ♂ (18669 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:47:58

• measure01 双曲周期点的稳定流形和不稳定流形相交会产生非常复杂的动力学现象 -marketreflections- ♂ (58934 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:58:52

• measure01 庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广;如果一个 accessible 部分双曲系统有一个 -marketreflections- ♂ (23062 bytes) () 12/20/2011 postreply 16:12:00

• measure01 Peter Tchir Lisa Pollack Marc Chandler Jens Nordvig 双 -marketreflections- ♂ (11435 bytes) () 12/20/2011 postreply 17:17:15

• measure01 John J Hardy,Morgan Stanley's Huw Van Steenis Jamie Co -marketreflections- ♂ (6856 bytes) () 12/20/2011 postreply 17:27:25

• measure01 Cam Hui "Sarko trade" Felix Salmon Nicolas Sarkozy Sco -marketreflections- ♂ (15057 bytes) () 12/20/2011 postreply 17:37:10

• measure01 ltro Peter Tchir Lisa Pollack Marc Chandler Jens Nord -marketreflections- ♂ (33401 bytes) () 12/20/2011 postreply 20:46:21

• 回复：黎曼01 外尔对黎曼几何的推广，旨在建立一个统一电磁场和引力场的数学框架。我们知道，广义相对论的数学框架是广义黎曼几何，即 -marketreflections- ♂ (4719 bytes) () 12/18/2011 postreply 10:25:05

• 回复：黎曼01 local 度 量,保形特性,因果结构,sr;仿射联络,射影特性,惯性场, gauge field, sr; -marketreflections- ♂ (2843 bytes) () 12/18/2011 postreply 10:31:38

• economist01 你所不知道的冰冷的经济真相（上）作者：大盘剧本 -marketreflections- ♂ (42876 bytes) () 12/18/2011 postreply 22:20:51

• 回欧式空间中的曲纹坐标系（参阅[4]）往往只定义在欧式空间的一个开子集上，而不是定义在整个空间上,球面上不能建立单个的坐标系，使 -marketreflections- ♂ (2334 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:40:16

• 他在活動標架之間介紹進所謂聯絡(Carton Connection),類似克利斯多夫符號的幾何量,不定要與長度度量有任何關係,嘉 -marketreflections- ♂ (8175 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:30:51

• brain01 phymath01 古人说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。但是，2-120<10-36，因此事实上，在“日取其 -marketreflections- ♂ (6789 bytes) () 12/17/2011 postreply 17:19:11

• brain01 phymath01 真理是确定的、没有间隙的,排中律;康托爾發現，原來有理數集合與代數數集合也是可數的。於是乎在 -marketreflections- ♂ (2499 bytes) () 12/17/2011 postreply 17:43:59

• brain01 phymath01 真理不是相对的,概念、思想应该是大脑中的神经元结构，语义指称关系应该是大脑神经元与事物之间的 -marketreflections- ♂ (9227 bytes) () 12/17/2011 postreply 17:48:51

• 电生磁的过程是一个暂态过程 -marketreflections- ♂ (31041 bytes) () 12/15/2011 postreply 20:52:52

• check01 economist01 bdi 卢麒元 www.caogen.com/blog/Infor_detail.asp -marketreflections- ♂ (164 bytes) () 12/16/2011 postreply 12:51:59

• bear01 Morgan Stanley's Adam Parker Inflection Point Investing L -marketreflections- ♂ (2668 bytes) () 12/16/2011 postreply 17:21:02

• math01 对实数理论也可以作结构主义的解释，即认为一个关于实数的判断是关于任何具有连续统属性的系统的判断，但如上一节所说的， -marketreflections- ♂ (17157 bytes) () 12/16/2011 postreply 15:28:48

• Electromagnetic01 电生磁的过程是一个暂态过程 -marketreflections- ♂ (23093 bytes) () 12/16/2011 postreply 15:34:01

• vector01 旋度: 量度向量场倾向绕著一个点旋转的程度；向量的卷曲是个向量场;叉积的长度 |a × b| 可以解释成以 a -marketreflections- ♂ (212 bytes) () 12/13/2011 postreply 16:14:02

• 场实际上不是由三个完全独立的矢量所组成的，而是由两个独立的“场量”，有时把它称为“膺矢量”，即形式上的矢量所组成。什么是膺矢量呢 -marketreflections- ♂ (205 bytes) () 12/13/2011 postreply 17:49:51

• 膺矢量01 形式上为矢量，其实是反对称的二阶张量,称为轴矢量 常见的物理量矢量有两类。一类是真正的矢量（如电场强度、电位移强度、 -marketreflections- ♂ (476 bytes) () 12/13/2011 postreply 21:40:26

• math01 动画演示 华南理工大学理学院应用数学系 -marketreflections- ♂ (108 bytes) () 12/13/2011 postreply 16:18:19

• math01 為了表示這種空間的‘扭曲’ 程度﹐微分幾何學在解析幾何學中‘平坦’ 的坐標系數值上﹐引入了兩個參數p與q﹐指示‘空 -marketreflections- ♂ (482 bytes) () 12/12/2011 postreply 20:25:45

• math01 為了表示這種空間的‘扭曲’ 程度﹐微分幾&#65533;&Icirc;學在解析幾&#65533;&Icirc;學中 -marketreflections- ♂ (100254 bytes) () 12/12/2011 postreply 20:26:41

• 黎曼张量01 在连续场的空间描述法（欧拉描述法）中，一个固定的坐标系可以变换为另一个固定的坐标系，只要点与点之间是一一对应的。因 -marketreflections- ♂ (16171 bytes) () 12/12/2011 postreply 20:54:58

• Schrodinger波动方程描述的电子是以正交本征波函数为“坐标标架”的位置波矢量，该波矢量的二次几何不变量（平方长度）被给予 -marketreflections- ♂ (13466 bytes) () 12/12/2011 postreply 21:14:01

• 统计学的方法导致把与概率性相关的运动作为与温度有关的能量。由此推断：与确定性的运动相关的能量就对温度无直接贡献。 -marketreflections- ♂ (13039 bytes) () 12/12/2011 postreply 21:25:20

• 从维尔几何出发，时间的矢量属性是由空间的矢量属性引出的（是导出的而不是本体的）；从闵可夫几何出发，时间的矢量属性是纯数学的（有独 -marketreflections- ♂ (1368 bytes) () 12/12/2011 postreply 21:29:58

• 欧拉示性数是0 李邦河 -marketreflections- ♂ (9766 bytes) () 12/10/2011 postreply 18:01:55

• math01 202.38.126.65/nankaisource/graphics 马鞍面)只有两族直母线, 所以参数曲线即直 -marketreflections- ♂ (348 bytes) () 12/11/2011 postreply 16:57:47

• dim01 感觉的分析 如果我们想要相互作用，我们就必须假设“过去”和“未来”的真空期望值都是“向量”，而整个宇宙的真空期望值是 -marketreflections- ♂ (5192 bytes) () 12/10/2011 postreply 09:52:44

• Gauss01 dim01 以一个奇点为圆心，画一个圆，如果顺时针环绕了一圈，圆周上的向量也顺时针旋转n圈，则奇点指数为n，若圆 -marketreflections- ♂ (33295 bytes) () 12/10/2011 postreply 10:15:55

• chen01 霍普夫的一个定理，向量场的指标之和等于空间的欧拉数 向量场的指标与场的指向无关 -marketreflections- ♂ (21930 bytes) () 12/10/2011 postreply 10:32:41

• 張量01 剪切应力）； 无量纲，其值的大小表征了该流体偏离牛顿流体的程度 -marketreflections- ♂ (3593 bytes) () 12/08/2011 postreply 15:20:47

• 張量01 广义相对论数学方程用的是张量数学，使用了分属于里奇张量和韦尔张量的两组类型。里奇张量指当球面围绕着物体（此处为星球）时 -marketreflections- ♂ (622 bytes) () 12/08/2011 postreply 15:27:12

• 張量01 gr01 里奇张量指当球面围绕着物体（此处为星球）时，就有一个纯粹向内的加速。这类似对称的向心力，是类似球面庞加莱猜想 -marketreflections- ♂ (133 bytes) () 12/08/2011 postreply 15:44:45

• 張量01 gr01 里奇张量和韦尔张量的两组类型。里奇张量指当球面围绕着物体（此处为星球）时，就有一个纯粹向内的加速。这类似对称 -marketreflections- ♂ (11834 bytes) () 12/08/2011 postreply 16:01:36

• 張量01 一个以相对论量子场论、弱电统一理论与量子色动力学为基础的现代核结构理论正在兴起。1969年比约肯首先提出在高能极限下， -marketreflections- ♂ (379 bytes) () 12/08/2011 postreply 15:29:02

• 張量01 有限变形理论 普适的系统自发演化问题，纯粹从对称美学等角度理论推衍出发,系统本身成为唯一的参照对象，拒绝以任何经验为出 -marketreflections- ♂ (3140 bytes) () 12/08/2011 postreply 15:42:22

• 張量01 黎蔓曲率实际上分为2部分，一部分是里奇的，由物质分布在代数上决定，另外一部分，则是外尔张量，属于引力本身的自由度 -marketreflections- ♂ (21009 bytes) () 12/08/2011 postreply 16:06:53

• 張量01 外尔张量使得物体被拉伸，或者扭曲——这个就是潮汐力，它不是牛顿引力那样的平方反比的，而是立方反比的。当然这是在四维时空 -marketreflections- ♂ (7676 bytes) () 12/08/2011 postreply 16:11:20

• ds01 Green 定理01 -marketreflections- ♂ (130 bytes) () 12/06/2011 postreply 21:04:07

• phymath01 牛顿第二定律；物体速度每秒的增加量正比于它所受到的总外力。用数学的语言可以将其写成一个方程（方程的未知量就是 -marketreflections- ♂ (28659 bytes) () 12/05/2011 postreply 20:32:10

• gr01 Hessian 矩阵就是一个多元实函数的二阶导数,Jacobi矩阵就是一个多元矢量函数的一阶导数,稳定点附近的稳定性, -marketreflections- ♂ (872 bytes) () 12/06/2011 postreply 13:47:33

• phymath01 分子运动论的思想方法是：将单原子理想气体分子视作弹性小球，这些弹性小球在重力作用下将发生加速运动，小球的动能 -marketreflections- ♂ (20410 bytes) () 12/06/2011 postreply 14:38:41

• 电场与磁场在空间中的分布并不相同，其二者是正交的。正是由于电、磁场的正交性，在一个坐标系中是不能看到与之正交坐标系中运动物质的存 -marketreflections- ♂ (39192 bytes) () 12/06/2011 postreply 14:40:14

• phymath01 场的运动形态之一是波，而波就可能由几个能量低的波而叠加成高能量的波，即场物质系统中的能量并不一定是由高能向低 -marketreflections- ♂ (33071 bytes) () 12/06/2011 postreply 14:50:38

• gr01 引力波在传播过程中会带走系统的能量和角动量，这里的能量是指跟质量直接挂钩的，质量越大，块头儿越大，能量就越多，角动量就 -marketreflections- ♂ (7122 bytes) () 12/05/2011 postreply 20:44:43

• gr01 物质的分布和运动都会导致时空的弯曲程度发生变化，即引力场的变化，自转当然也在考虑之列。两个没有自转的物体之间的引力场与 -marketreflections- ♂ (943 bytes) () 12/05/2011 postreply 21:12:52