回复：Gauss01 u-线，v-线越密，完整的曲边四边形就越接近于平行四边形，而不完整的曲边四边形的面积在整个区域内所占比重越

u-线，v-线越密，完整的曲边四边形就越接近于平行四

分成完整的和不完整的曲边四边形。u-线，v-线越密，完整的曲边四边形就越接近于平行四

 

边形，而不完整的曲边四边形的面积在整个区域内所占比重越小，以至可以略去，而对每一个 曲边四边形 ，设 ， ， ，则 ， ，

以 为邻边的平行四边形的面积近似为 ，所以，  区域D的面积元素 ，区域D的面积  ，其中 为曲面上区域D对应(u,v)平面上的区域。

    定义  仅由第一基本形式出发所能建立的几何性质称为曲面的内在性质或内蕴性质。

可知曲线的弧长，曲面上两方向的夹角，曲面域的面积都是曲

面的内在性质。

2.5等距变换

1 曲面S到曲面 的变换

    定义 给出两个曲面S: ， 。把S上的点P(u,v)与曲面 上的点 之间建立一个1-1对应，如果这个1-1对应可以用下式表示： ，其中                                                          连续且有连续偏导数，还有 ，则称S与 之间的1-1对应关系为S到 的变换。

它表明高斯曲率 仅含第一类基本量E，F，G

 

和它的一阶或二阶偏微商(冈而是内蕴量)。

 

在接下来的第12部分，高斯证明了如果两曲面

 

之问存在保长对应，那么它们有相同的第一类基本

 

量，即第一基本形式不变。这样，高斯给出了上述

 

“高斯方程”的几何解释，即被高斯自己称为绝妙定

 

理“Theorema egregium”的著名定理

在这里高斯提出了一个全新的概念：“考虑曲

 

面非为体的边界，而是看成某个一维消失了的体”，

 

即一个曲面本身就是空间。然而，高斯以前的几何学

 

家在研究曲面时，总是将曲面与外围空间相联系，高

 

斯论述的几何学则是“与曲面可能具有的形状无

 

关”，即与外在空间无关，从而建立了以研究曲面的

 

1. 内在性质为主的内蕴几何学PDF]

4. 《微分几何》第113 页习题解答

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   dt2 + t2dθ2. = 2du2 + 2dudv + (1 + u2)dv2. = I1. 12∗. 证明第一类基本量E,F,G为常数的曲面和平面等距等价. 证明: 设曲面Σ的第一基本形式为. I = Edu2 + 2F dudv + ...
   

8. l ＝1 （嘉， 3 ：， 3 Yl Y2 ，乃 - 论文网

    

   www.lw23.com/pdf_3bbce459-d955.../lunwen.pdf  - 轉為繁體網頁

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   由 孟令江 著作 - 2007
   ＝＿. Or. ＝. （ ，＋，b）： ＝. ， ＝. ＝. （ ，＋，b）＝ ＝. 由（8）式可得至的第一类基本量、 、 与至的. 第一类基本量E，F，G之间的相等关系如下：. ＝ ． ＝. （ ）．（Ar，，）： ． ...
   
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   2）把曲面上仅用第一类基本量E,F,G表示的几何量叫做曲面的内蕴量。 山东省成人高等教育品牌专业网络课程. 山东省成人高等教育品牌专业网络课程. 六、 保角变换 ...
   
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    泰山学院继续教育学院教案（2-2）

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    在等距变换下是不变的。因此，上面提到的曲面上曲线的弧长，夹角，曲. 面域的面积都是等距不变量。 2）把曲面上仅用第一类基本量E,F,G 表示的几何量叫做曲面的 ...
    
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    2曲面的第一基本形式2.1 曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长1 ...

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    在等距变换下是不变的。因此，上面提到的曲面上曲线的弧长，夹角，. 曲面域的面积都是等距不变量。 2）把曲面上仅用第一类基本量E,F,G 表示的几何量叫做曲面的 ...
    
     

12. 第三章-参数曲面-第一基本形式_百度文库

     

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    2010年12月5日 – (Lagrange 恒等式) 第一基本形式利用第一类基本量E, F , G 的定义，有dr ? dr ? (ru du ? rv dv )2 ? Edu 2 ? 2Fdudv ? Gdv 2 . 这是一个关于变量du, ...
    

13. 基于曲面论和优化控制理论的曲面建模方法- CN 102054294 A - IP.com

     

    ip.com/patapp/CN102054294頁庫存檔 - 轉為繁體網頁

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    ... 网格点的高程值上下界作为约束方程建立第一不等式约束方程组；(4)根据得到的网格点的高程值计算所述原始模拟区域中每个网格点的第一类基本量E、F、G和第二 ...
    
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    已知曲面 有 ，则曲面的第一类基本量E、F、G 分别是 。 97．已知曲面 有 ，则曲面上任意曲线的弧长平方 = 。 98．已知曲面 有 ，则曲面上曲线u=u(t), v=v(t)从 到t的弧 ...
    
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    微分几何教案（十二） 曲面的第一基本形式：2.4—2.6 2.4 曲面域的面积 ...

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    因此，上面提到的曲面上曲线的弧长，夹角，曲面域的面积都是等距不变量。以后把曲面上仅用第一类基本量E,F,G表示的几何量叫做曲面的内蕴量。 例 正螺面 与悬链 ...
    
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    第三章曲面的第二基本形式

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    由此可见，L，M，N 在保持定向的参数变换下的变换规律的第一类基本量E，F，G 的. 变换规律是相同的，注意到. Jvdud dvdu. ⋅. = )~,~(),(. （12）. 所以 ...
    

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