高斯先是經由曲面的法線在三度空間的變動來定義曲率K,他發現曲率僅用E、F 和G 三個量就可以完全的表示出來曲率是一種曲面內在性質

高

http://ocw.nctu.edu.tw/course/vanalysis/25405.pdf

斯先是經由曲面的法線在三度

空間

的變動來定義曲率K, 然而出乎他意外

的是

, 他發現曲率僅用E、F 和G 三個量就

可以完全

的表示出來, 因此曲率是一種曲面

的

內在性質, 而與它所存在的三度空間無關。

一：零维，一维，二维，三维。

零维度空间是一个点，无限小的点，不占任何空间，点就是零维空间。当无数点集合排列之后，形成了线，直线就是一维空间，无数的线构成了一个平面，平面就是二维空间。无数的平面并列构成了三维空间，也就是立体的空间

二：第四维：时间

三维的世界是静止的，当三维世界以时间为基准发生变化时，四维空间就产生了，如果把时间看作一根轴线，则这个轴线上的任意一个点，都是一个三维空间，也就是说无数个三维空间依据时间轴线集合，构成了四维空间。

在四维空间中，时间呈线性进行，虽然未来不可预测，但源头只有一个，将来也只有一个，不管下一秒将发生什么，即将发生的未来只有一个。

同样，忽略了三维属性后，我们将会发现，任意一个四维物体在时间轴上都表现为一条线段。

三：时间平面

假设无数的时间轴线集合起来，会构成什么呢？
一个时间平面。这个时间平面就是五维空间，它是由无数个四维空间根据某一轴线集合而成的。
但是，请不要问我这条轴线的标准是什么，因为我是一个四维的生命体，我无法为一个我根本观察不到的现象制订标准。
但是我们可以想象，一个五维空间的物体，应该是跨越不同时间轴线的。在任意一个时间轴线上，你只能观察到它的一部分。

四：时间轴线间的跳跃。
假设说一个四维生命体想要跳跃到其他时间轴线上，那么它就必须先成为一个五维的生命体，很显然，在跳跃的过程中，它会同时出现在两条时间轴线上，这时它已符合了五维生命体的要求。
这个事实用另一句话来表述就是：在四维空间中，时间是线性的，方向和进程不可改变。只有在五维空间中，你可以改变时间的方向和进程。
所以：与其说你改变了历史，不如说你改变了自己当前所处的时间轴线。

五：无限与永恒

虽然人类可以想象出无限的概念，但是我们却无法看到五维世界是什么样子。

虽然人类可以明白永恒的概念，可我们却无法创造出一个永恒的事物。

虽然我可以构想出整个五维空间的模型，可我却不了解你，我的爱人，你现在在想些什么。

虽然我无法创造的永恒的事物，可是此刻，我对你的思念却成为了永恒。
一：零维，一维，二维，三维。

零维度空间是一个点，无限小的点，不占任何空间，点就是零维空间。当无数点集合排列之后，形成了线，直线就是一维空间，无数的线构成了一个平面，平面就是二维空间。无数的平面并列构成了三维空间，也就是立体的空间

二：第四维：时间

三维的世界是静止的，当三维世界以时间为基准发生变化时，四维空间就产生了，如果把时间看作一根轴线，则这个轴线上的任意一个点，都是一个三维空间，也就是说无数个三维空间依据时间轴线集合，构成了四维空间。

在四维空间中，时间呈线性进行，虽然未来不可预测，但源头只有一个，将来也只有一个，不管下一秒将发生什么，即将发生的未来只有一个。

同样，忽略了三维属性后，我们将会发现，任意一个四维物体在时间轴上都表现为一条线段。

三：时间平面

假设无数的时间轴线集合起来，会构成什么呢？
一个时间平面。这个时间平面就是五维空间，它是由无数个四维空间根据某一轴线集合而成的。
但是，请不要问我这条轴线的标准是什么，因为我是一个四维的生命体，我无法为一个我根本观察不到的现象制订标准。
但是我们可以想象，一个五维空间的物体，应该是跨越不同时间轴线的。在任意一个时间轴线上，你只能观察到它的一部分。

四：时间轴线间的跳跃。
假设说一个四维生命体想要跳跃到其他时间轴线上，那么它就必须先成为一个五维的生命体，很显然，在跳跃的过程中，它会同时出现在两条时间轴线上，这时它已符合了五维生命体的要求。
这个事实用另一句话来表述就是：在四维空间中，时间是线性的，方向和进程不可改变。只有在五维空间中，你可以改变时间的方向和进程。
所以：与其说你改变了历史，不如说你改变了自己当前所处的时间轴线。

五：无限与永恒

虽然人类可以想象出无限的概念，但是我们却无法看到五维世界是什么样子。

虽然人类可以明白永恒的概念，可我们却无法创造出一个永恒的事物。

虽然我可以构想出整个五维空间的模型，可我却不了解你，我的爱人，你现在在想些什么。

虽然我无法创造的永恒的事物，可是此刻，我对你的思念却成为了永恒。

所有跟帖： 

• Gauss01 一个多边形之外角和在数量上不等于360。，⋯⋯而是成比例于曲面的面积 -marketreflections- ♂ (518 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:05:12

• 回复：Gauss01 u-线，v-线越密，完整的曲边四边形就越接近于平行四边形，而不完整的曲边四边形的面积在整个区域内所占比重越 -marketreflections- ♂ (57339 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:19:20

• Gauss01 u-线，v-线越密，薛定谔方程中的Laplacian 符号同样是双原子分子的坐标的二次微分;相对论的黎曼张量空间 -marketreflections- ♂ (35812 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:43:11

• Gauss01 u-线，v-线越密， 为曲面 的参数或曲纹坐标,曲面的曲纹坐标网是正交网,曲面的曲纹坐标网是正交网(即任何 -u -marketreflections- ♂ (15281 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:04:43

• 回复：Gauss01 u-线，v-线越密， 与曲面上的一族曲线中的每一条均正交的曲线称为该族曲线的正交轨线,微分方程 所代表的曲 -marketreflections- ♂ (9432 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:07:24

• Gauss01 三角形的球面映像的“定向” -marketreflections- ♂ (702 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:23:15

• Gauss01 黎曼的核心思想是要建立所谓的多重广义尺度中的各种各样的度量关系 季候风 -marketreflections- ♂ (240 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:21:11

• Gauss01 黎曼的核心思想是要建立所谓的多重广义尺度中的各种各样的度量关系 季候风, A,B,C 的值跟它的出发点的位置有关 -marketreflections- ♂ (10492 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:24:06

• 黎曼01 对于空间中任意给定的一个曲面，可以通过弯曲、拉伸或压缩来连续地改变它的形状,弯曲、拉伸或压缩这个曲面而保持它每一点的角 -marketreflections- ♂ (993 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:33:54

• 黎曼01 微分几何教案（二十） 5.2曲面的黎曼曲率张量和高斯—科达齐—迈因纳 -marketreflections- ♂ (34490 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:53:32

• 黎曼01 微積分講義01 -marketreflections- ♂ (114 bytes) () 12/18/2011 postreply 08:38:33

• 黎曼01 数学备课大师 曲面的“内在”几何学．他用曲线坐标(好像球面上经纬度)来代替三维笛卡儿坐标，证明曲面在一点的全曲率(即 -marketreflections- ♂ (3954 bytes) () 12/18/2011 postreply 08:44:58

• 假如我们应用非惯性坐标系统，四度坐标x0，x1，x2，x3将是曲线坐标 -marketreflections- ♂ (63483 bytes) () 12/18/2011 postreply 08:50:41

• gr01 其中 gij 称为度规，在直角坐标系下它就是一个对角元素为 1 的单位矩阵。当空间弯曲时，两点间可能并没有直线，比如在 -marketreflections- ♂ (975 bytes) () 12/18/2011 postreply 14:26:38

• tw01 黎曼大膽地採取了（數學）分析方法，由一先在的空間（Space a Priori）出發，認為研究空間之局部性質後，才能夠 -marketreflections- ♂ (392 bytes) () 12/18/2011 postreply 08:54:44

• 黎曼01 (1) 复流形的观点: 黎曼面是一维的 K础忙r流形. 这里的棠耍工具是分析、拓扑和微分几何,例如曲率1 示性类1残敌 -marketreflections- ♂ (4196 bytes) () 12/17/2011 postreply 21:00:16

• 黎曼01 近代幾何的發展 丘成桐 -marketreflections- ♂ (28590 bytes) () 12/18/2011 postreply 09:02:11

• 黎曼01 丘成桐 測地線 庞加莱圆盘 一個質點在空間的移動，可以由映射 x : [0,T] R3來描述。它的速 -marketreflections- ♂ (56884 bytes) () 12/18/2011 postreply 10:20:40

• gr01 sr01 http://staff.ustc.edu.cn/~jmy/ -marketreflections- ♂ (11807 bytes) () 12/18/2011 postreply 14:32:20

• gr01 卡斯勒度规是爱因斯坦场方程的一个解 该度规可描述这样一种宇宙：随宇宙演化，某些空间维度变小（紧缩场，compacti& -marketreflections- ♂ (115682 bytes) () 12/18/2011 postreply 21:52:36

• gr01 卡斯勒度规是爱因斯坦场方程的一个解 该度规可描述这样一种宇宙：随宇宙演化，某些空间维度变小（紧缩场，compacti& -marketreflections- ♂ (115682 bytes) () 12/18/2011 postreply 21:52:50

• economist01 在中国，一个GDP增长点大致能创造2000万个就业岗位，保8就是保证每年能新增1.6个亿就业岗位，基本解 -marketreflections- ♂ (344 bytes) () 12/18/2011 postreply 22:00:57

• 在场论中，经典相空间一般都是无穷维空间。无穷维缺少有限维的一个重要性质，即平移旋转不变的 Lebesgue 测度的存在性。 -marketreflections- ♂ (140624 bytes) () 12/19/2011 postreply 11:38:56

• Riemann 积分对应于 Jordan 测度，Stieltjes积分对应于推广的 Jordan 或者 Lebesgue 测度， -marketreflections- ♂ (14103 bytes) () 12/19/2011 postreply 11:43:31

• Brown 運動與Lévy 泛函分析(中)∗ -marketreflections- ♂ (28168 bytes) () 12/19/2011 postreply 13:44:20

• 对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯 -marketreflections- ♂ (2207 bytes) () 12/19/2011 postreply 13:46:55

• LZ談到人類的思維是幾維的？立體思維是任何人都具有的，你說STOKES公式和GUASS公式是人類處於懶惰的簡化？您又錯了，你所學 -marketreflections- ♂ (108 bytes) () 12/19/2011 postreply 17:46:46

• LZ談到人類的思維是幾維的？立體思維是任何人都具有的，你說STOKES公式和GUASS公式是人類處於懶惰的簡化？您又錯了，你所學 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 12/19/2011 postreply 17:52:48

• JACOBBI行列式是可以到無窮維的，積分學的三大公式在微分學中都可以得到統一，這樣我們就可以研究更高維度的概型。爲什麽非要去想 -marketreflections- ♂ (266 bytes) () 12/19/2011 postreply 17:55:52

• 路径积分01 当曲线变形的时候，被积量会剧烈震荡而不是衰减（想象一下如果一个一维积分中的被积函数是sin(x^n),当你从负无穷 -marketreflections- ♂ (4965 bytes) () 12/19/2011 postreply 17:57:20

• 回复：路径积分01 当曲线变形的时候，被积量会剧烈震荡而不是衰减.粒子是封锁在特定小空间内的能量,他是某种东西的某种振动，最后谐 -marketreflections- ♂ (1181 bytes) () 12/19/2011 postreply 18:12:51

• info01 businessinsider.com mni-news.com/content/ecb-calls-bids-f -marketreflections- ♂ (12825 bytes) () 12/20/2011 postreply 09:05:50

• trade01 spy vs hyg fxe tnx gld uso -marketreflections- ♂ (3609 bytes) () 12/20/2011 postreply 13:25:18

• nq december initial balance -marketreflections- ♂ (4895 bytes) () 12/20/2011 postreply 14:01:44

• ES01 is the most liquid E-mini futures contract open 23.25 hours -marketreflections- ♂ (2025 bytes) () 12/20/2011 postreply 14:08:57

• The 3-year funds will be offered at an interest rate indexed to -marketreflections- ♂ (4119 bytes) () 12/20/2011 postreply 16:19:22

• 无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责;黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这 -marketreflections- ♂ (943 bytes) () 12/20/2011 postreply 14:56:29

• riemann01 黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所 -marketreflections- ♂ (619 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:04:35

• 柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。 -marketreflections- ♂ (22900 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:12:51

• 定积分01 黎曼圆函数不连续点构成一个零测度集,变力作功 -marketreflections- ♂ (24790 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:24:18

• 定积分01 約當測度 和逼近理論密切相關的有正交級數理論 -marketreflections- ♂ (6715 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:28:13

• 定积分01 对任 意一 函数都可 用一 正交　 函数来实现逼 近 正交泛函网络函数逼近理论及算法 -marketreflections- ♂ (32437 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:35:58

• 定积分01 数学一级学科硕士研究生培养 -marketreflections- ♂ (26434 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:41:11

• 回复：定积分01 分析学科普 黎曼曲面理论是复变函数多值函数域和几何间的一座桥梁 -marketreflections- ♂ (18669 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:47:58

• measure01 双曲周期点的稳定流形和不稳定流形相交会产生非常复杂的动力学现象 -marketreflections- ♂ (58934 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:58:52

• measure01 庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广;如果一个 accessible 部分双曲系统有一个 -marketreflections- ♂ (23062 bytes) () 12/20/2011 postreply 16:12:00

• measure01 Peter Tchir Lisa Pollack Marc Chandler Jens Nordvig 双 -marketreflections- ♂ (11435 bytes) () 12/20/2011 postreply 17:17:15

• measure01 John J Hardy,Morgan Stanley's Huw Van Steenis Jamie Co -marketreflections- ♂ (6856 bytes) () 12/20/2011 postreply 17:27:25

• measure01 Cam Hui "Sarko trade" Felix Salmon Nicolas Sarkozy Sco -marketreflections- ♂ (15057 bytes) () 12/20/2011 postreply 17:37:10

• measure01 ltro Peter Tchir Lisa Pollack Marc Chandler Jens Nord -marketreflections- ♂ (33401 bytes) () 12/20/2011 postreply 20:46:21

• 回复：黎曼01 外尔对黎曼几何的推广，旨在建立一个统一电磁场和引力场的数学框架。我们知道，广义相对论的数学框架是广义黎曼几何，即 -marketreflections- ♂ (4719 bytes) () 12/18/2011 postreply 10:25:05

• 回复：黎曼01 local 度 量,保形特性,因果结构,sr;仿射联络,射影特性,惯性场, gauge field, sr; -marketreflections- ♂ (2843 bytes) () 12/18/2011 postreply 10:31:38

• economist01 你所不知道的冰冷的经济真相（上）作者：大盘剧本 -marketreflections- ♂ (42876 bytes) () 12/18/2011 postreply 22:20:51

• 回欧式空间中的曲纹坐标系（参阅[4]）往往只定义在欧式空间的一个开子集上，而不是定义在整个空间上,球面上不能建立单个的坐标系，使 -marketreflections- ♂ (2334 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:40:16