定积分01 黎曼圆函数不连续点构成一个零测度集,变力作功

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定积分概念之数学定义

北京师范大学珠海分校

欧阳顺湘

2004.12.6

抽象定积分概念的两个现实原型

• 求曲边梯形的面积
• 变力作功

a

b

x

y

o

一、求曲边梯形的面积

(1)分割取近似：

曲边梯形面积的近似值为

曲边梯形面积为

(2) 求和： 把n个小矩形的面积加起来。

二、变力作功

• 设质点 m 受力的作用沿 x 轴由点 a 移动至 b 点,并设 F 平行于 x 轴.

• 如果 F 是常量,则它对质点所作的功为

W=F(b-a)

• 如果力 F 不是常量,而是质点所在位置的连续函数，那么对质点所作的功应如何计算呢?

分割

• 在区间 [a,b] 内任取 n-1 个分点

当各个小区间的长度都很小时，由于力F(x)的连续性，它在每个小区间上的变化不大，可以近似看作常量，即在Δx_i上任取一点 ξ_i , 把该点处的力 F(ξ_i)当作 Δx_i 上变力 F(x) 的近似值

近似求和－取极限

质点 m 从 x_i-1 位移到 x_i 时力 F(x) 所作的功 Δw_i 近似为

ΔW_i ≈ F(ξ_i) Δx_i

从而，

W ≈ Σ ΔW_i ≈ Σ F(ξ_i) Δx_i

再取极限。

§1.2 定积分的概念

定义(Definition):

极限

存在。

记作：

被积函数

被积表达式

积分变量

即

积分上限

积分下限

曲边梯形的面积

曲边梯形的面积的负值

定积分的几何意义

定积分的几何意义

几何意义：

§1.4 可积条件

• 定积分存在称为可积，否则称为不可积

• 可积函数（integrable function）

• 可积的必要条件；

• 可积的充分条件。

必要条件

• 定理1 若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界。

• 任何可积函数一定是有界的。

• 无界的函数一定不可积。

• 有界函数才可能可积，但不一定可积。

充分条件

定理2 若f(x)是闭区间[a,b]上的

•  
  • 连续函数，
  • 或单调函数
  • 或只有有限个间断点的有界函数，

则f(x)在[a,b]上可积。

闭区间上的连续函数可积

只有有限个间断点的有界函数

单调函数可积

• 推论：分段单调的连续函数也可积

黎曼积分

• 在高等微积分中，我们这里定义的积分称为黎曼积分
• 这是为将同各种推广的积分概念区分开来
• 也是为了纪念黎曼

黎 曼

• 1850年，给出了“黎曼积分”的定义，提出函数可积的概念

• 黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作

（Riemann, 1826－1866，德国）

黎曼简介

• 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。
• 黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。
• 黎曼积分，黎曼几何，黎曼猜想。。。

• 柯西曾证明连续函数必定是可积的

• 黎曼指出可积函数不一定是连续的

• 1850年，给出了“黎曼积分”的定义，提出函数可积的概念
• 勒贝格在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题

练习题

• P110 1（1）

The End

定积分概念之数学定义

北京师范大学珠海分校

欧阳顺湘

2004.12.6

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