Science 版 (精华区)
发信人: dwzhao (WHQWX), 信区: Science
标 题: 9
发信站: 水木社区 (Wed May 9 17:54:56 2007), 站内
【 以下文字转载自 PhD 讨论区 】
发信人: ruster (企鹅教师), 信区: PhD
标 题: 9
发信站: 水木社区 (Tue May 8 21:48:58 2007), 站内
(9)路径积分法
路径积分是一种很奇怪的东西，某种意义上，它是妖术。单纯从原理上说，它非常简单，让我们考虑一个粒子的随机行走问题：粒子t1时刻从A点出发，t2时刻跑到B,我们认为这个几率是p(A,t1,B,t2)。粒子中间具体如何行走是不可知的，我们只知道它在任何中间时刻T必定要经过一个点C，那么，由A点到C点的几率是p1=p(A,t1,C,T),由C点到B点的几率是p2=p(C,T,B,t2)，于是，A经过C再到B的总几率是两个几率相乘，但是我们知道对于随机行走问题C点位置完全是任意的，从而正确的选择是对C点的所有可能求和，或者做一个对xc的积分。
如果我们已知几率表达式，这套办法当然毫无意义。不过假设我们不知道随机行走问题的几率解，而只知道两个无穷近的点之间的行走几率（这个几率就等于点源的外传热解），那么，需要做的就是：要求A-C几率，需要在T和t1之间增加时刻t’,并且对这个时刻的中间点D的可能值求和，进一步的，再把A和D剖分。。。。如此无限继续下去，我们需要做的是一个无穷维的积分。
且不考虑这个积分到底如何定义，让我们考虑这个积分的直观意义，对一系列中间点C,D,E,F….取了某一组值之后，我们实际上是定义了从A跑到B的一条可能路径，当中间点跑过全空间的所有可能值后，这个求和就变成了对所有可能路径的积分，那么，这个积分无疑就应该叫做路径积分。
路径积分的定义非常简单而直观，只要我们给定了两个接触点之间的行走几率就可以给出路径积分定义，但其计算相当的困难。问题的关键在于我们根本不知道积分的体积元是什么，一维积分的微元是长度，二维是面积，三维是体积，但曲线本身是一个具有无穷变异的东西，谁能说清楚两堆曲线如何比较多少？更重要的是，对于Feynman的原始理论，这个积分是用量子力学几率振幅而不是几率来定义的，容易发现对于几率振幅，当曲线变形的时候，被积量会剧烈震荡而不是衰减（想象一下如果一个一维积分中的被积函数是sin(x^n),当你从负无穷积分到无穷的时候这积分是个什么玩艺？而对费曼，它有无穷多个这样的积分），所以认真的说，这个积分根本不存在。
但是这没有关系，算术家精明得很，既然振荡比较复杂，就消除振荡，把所有虚数指数项都换成实的，可以了吧？至于积分体积元是什么，对于数学家可能很困难，但是对于算术家它们有自己的理解。首先，我可以算一个已知的结果然后把这个积分元凑出来；其次，还有一个最无赖的做法，就是蒙特卡洛模拟，MC模拟本身可以对未归一化的分布去做，把被积量看成分布函数，那么积分元无非就是归一化常数，所以我可以任意取若干条路径求和，然后除以我模拟使用的路径数，不就把积分元消除了么？
路径积分法本身出自量子力学，现在在量子力学中还经常需要使用这个妖术，但现在这东西最奇妙的运用却是在跟随机过程相关的问题中，如同上面说的，只要有点点跃迁几率（也就是主方程），那么就可以写出路径积分公式，而只要不涉及太复杂的空间拓扑问题，就可以用蒙特卡洛方法去强行算出演化几率，换句话说，理论上大部分随机问题都可解。这个方法的缺陷，首先当然是计算量，另外一个可笑的问题是，你可以算出结果，然而你可能不理解为什么是这个结果：因为中间过程是直接用MC模拟出来的，没有可以被人类思维理解的方式！
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按照傅立叶分析的理论，任何函数都可以分解为平面波，而平面波是空间上无限的，所以宇宙一定是无限的。
※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 218.24.233.*]
标 题: 9
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(9)路径积分法
路径积分是一种很奇怪的东西，某种意义上，它是妖术。单纯从原理上说，它非常简单，让我们考虑一个粒子的随机行走问题：粒子t1时刻从A点出发，t2时刻跑到B,我们认为这个几率是p(A,t1,B,t2)。粒子中间具体如何行走是不可知的，我们只知道它在任何中间时刻T必定要经过一个点C，那么，由A点到C点的几率是p1=p(A,t1,C,T),由C点到B点的几率是p2=p(C,T,B,t2)，于是，A经过C再到B的总几率是两个几率相乘，但是我们知道对于随机行走问题C点位置完全是任意的，从而正确的选择是对C点的所有可能求和，或者做一个对xc的积分。
如果我们已知几率表达式，这套办法当然毫无意义。不过假设我们不知道随机行走问题的几率解，而只知道两个无穷近的点之间的行走几率（这个几率就等于点源的外传热解），那么，需要做的就是：要求A-C几率，需要在T和t1之间增加时刻t’,并且对这个时刻的中间点D的可能值求和，进一步的，再把A和D剖分。。。。如此无限继续下去，我们需要做的是一个无穷维的积分。
且不考虑这个积分到底如何定义，让我们考虑这个积分的直观意义，对一系列中间点C,D,E,F….取了某一组值之后，我们实际上是定义了从A跑到B的一条可能路径，当中间点跑过全空间的所有可能值后，这个求和就变成了对所有可能路径的积分，那么，这个积分无疑就应该叫做路径积分。
路径积分的定义非常简单而直观，只要我们给定了两个接触点之间的行走几率就可以给出路径积分定义，但其计算相当的困难。问题的关键在于我们根本不知道积分的体积元是什么，一维积分的微元是长度，二维是面积，三维是体积，但曲线本身是一个具有无穷变异的东西，谁能说清楚两堆曲线如何比较多少？更重要的是，对于Feynman的原始理论，这个积分是用量子力学几率振幅而不是几率来定义的，容易发现对于几率振幅，当曲线变形的时候，被积量会剧烈震荡而不是衰减（想象一下如果一个一维积分中的被积函数是sin(x^n),当你从负无穷积分到无穷的时候这积分是个什么玩艺？而对费曼，它有无穷多个这样的积分），所以认真的说，这个积分根本不存在。
但是这没有关系，算术家精明得很，既然振荡比较复杂，就消除振荡，把所有虚数指数项都换成实的，可以了吧？至于积分体积元是什么，对于数学家可能很困难，但是对于算术家它们有自己的理解。首先，我可以算一个已知的结果然后把这个积分元凑出来；其次，还有一个最无赖的做法，就是蒙特卡洛模拟，MC模拟本身可以对未归一化的分布去做，把被积量看成分布函数，那么积分元无非就是归一化常数，所以我可以任意取若干条路径求和，然后除以我模拟使用的路径数，不就把积分元消除了么？
路径积分法本身出自量子力学，现在在量子力学中还经常需要使用这个妖术，但现在这东西最奇妙的运用却是在跟随机过程相关的问题中，如同上面说的，只要有点点跃迁几率（也就是主方程），那么就可以写出路径积分公式，而只要不涉及太复杂的空间拓扑问题，就可以用蒙特卡洛方法去强行算出演化几率，换句话说，理论上大部分随机问题都可解。这个方法的缺陷，首先当然是计算量，另外一个可笑的问题是，你可以算出结果，然而你可能不理解为什么是这个结果：因为中间过程是直接用MC模拟出来的，没有可以被人类思维理解的方式！
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按照傅立叶分析的理论，任何函数都可以分解为平面波，而平面波是空间上无限的，所以宇宙一定是无限的。
※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 218.24.233.*]
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