从一致双曲到一般的微分自映射 - 硕士论文 - 道客巴巴
中国科学技术大学 博士学位论文 从一致双曲到一般的微分自映射 姓名：张鹏飞 申请学位级别：博士 专业：基础数学指导教师：叶向东；黄文；夏志宏 2011-03 摘 要 摘 要 我们主要研究的是微分动力系统中的一致双曲以外的一些动力系统的性质。我们试图去理解那些在一致双曲系统中熟知的、非常理想的结论是否在在更大的一类系统中成立。我们的研究分成三个层次：部分双曲系统、控制分解系统和一般的微分自映射。 首先我们证明，对一般的、具有正体积的部分双曲子集，该集合一定包含了‘相当多的’点上面的整体强稳定流形和整体强不稳定流形。如果一个正体积的部分双曲子集中有相当多的回复点，我们证明这个集合一定包含了一个正体积的、bi–saturated 的子集。我们利用这些性质来深入研究 accessible 部分双曲系统的性质。如果一个 accessible 部分双曲系统有一个绝对连续不变概率测度（简称为 ACIP），那么这个系统一定是传递的，该 ACIP 是全支撑的，并且关于该测度几乎所有的点的轨道都在整个流形上稠密。在 center bunching 的条件下，我们证明这样的系统至多存在一个 ACIP，并且如果存在的话，这个测度其实是个光滑的测度：该测度相对于流形体积的 Radon–Nikodym 导数是 H¨ lder 连续的，并 o且有上界和正的下界。 其次我们考虑一个有整体控制分解的微分同胚。我们证明这样的系统一定有非平凡的真子系统，从而一定不是极小系统。这个证明主要用到了 Ma e 的一 n个找出非回复点的手法和廖山涛先生关于控制分解的筛滤引理和 跟踪引理。 最后我们考虑最一般的一个可微自映射（一般是不可逆的）。这时候我们主要考虑该系统的一个有紧支撑的遍历测度的分形维数。我们证明该测度的 下逐点维数不少于该测度的测度熵与该测度的最大的 Lyapunov 指数的比值。进一步，如果我们假设映射在该测度的支撑上非退化，并且最小的 Lyapunov 指数为正的，那么该测度的 上逐点维数不超过该测度的测度熵与该测度的最小的 Lyapunov 指数的比值。再利用 Young 的一个经典的判别法则，我们给出了许多经典的维数型指标的类似的估计。最后我们证明，如果系统有多出的一点正则性（具体地说，即 C 1α） 那么前面非退化的要求可以去掉，即：如果最小的Lyapunov 指数为正的，那么该测度的 上逐点维数不超过该测度的测度熵与该测度的最小的 Lyapunov 指数的比值。对共形测度我们可以得到相当完备的刻画： I 摘 要如果一个 C 1α 的可微自映射的一个紧支撑的共形测度有正的 Lyapunov 指数，那么这个测度一定是 恰当维数 的，并且其分形维数恰为该测度的测度熵与其Lyapunov 指数的比值。关键词： 控制分解，部分双曲，弱遍历性，绝对连续不变测度，熵，逐点维数。 II ABSTRACT ABSTRACT The thesis focuses on the study of dynamics beyond the well developed and wellbehaved uniformly hyperbolic systems. We try to catch the properties which mightpersist if we relax the uniformly hyperbolic assumption. We will go further step bystep: from partially hyperbolic systems to systems that only admit some dominatedsplitting and then to general differentiable dynamics. Our rst result concerns the dynamics of partially hyperbolic subsets/systems. Weshow that if a partially hyperbolic set is of positive volume then it must contain ‘many’global strong stable and unstable manifolds through it. We will show that a partiallyhyperbolic set has a bi–saturated subset of positive volume if the set of recurrent pointsis of positive volume. Then we carry on to describe the interesting dynamical proper-ties of partially hyperbolic systems. We show that if a partially hyperbolic system isessentially accessible and admits some ACIP then the system is transitive the ACIP issupported on the whole manifold and almost every point with respect to the ACIP hasa dense orbit on the manifold. Moreover if the map is accessible and center bunchedthen it admits at most one ACIP and the ACIP if exists must be a smooth measure: the oRadon–Nikodym derivative with respect to the volume is H¨ lder continuous boundedand bounded away from zero. Then we relax the restriction to a global dominated splitting. We show that ifa diffeomorphism admits a global dominated splitting then it can not be a minimalsystem: there does exist some proper invariant subsystem. The proof mainly uses an nargument due to Ma e to locate some nonrecurrent point and Liao’s sifting lemma andshadowing lemma. Finally we will study the fractal dimensions of ergodic measures with compactsupport for general differentiable maps not necessarily invertible. We show that thelower pointwise dimension of the ergodic measure is bounded from below by the ratioof the metric entropy and the largest Lyapunov exponent of that measure. Moreover ifthe map is non-degenerate on the support of the measure and the smallest Lyapunov ex- III ABSTRACTponent is positive we show that the upper pointwise dimension of the ergodic measureis bounded from above by the ratio of the metric entropy and the smallest Lyapunov ex-ponent of that measure. We give similar estimates for several classic characteristics ofdimensional type according to Young’s criterion. We can remove the non-degeneracycondition if the map has some extra regularity: assuming the map is C 1α if the small-est Lyapunov exponent of the ergodic measure is positive then the upper pointwisedimension of the measure is bounded from above by the ratio of the metric entropy andthe smallest Lyapunov exponent of that measure. We apply our results to the confor-mal ergodic measures: if the ergodic measure is conformal and has positive Lyapunovexponent then it is exact dimensional with fractal dimension equal to the ratio of themetric entropy and the Lyapunov exponent.Keywords: dominated splitting partially hyperbolic weak ergodicity ACIP entropypointwise dimension. IV 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 年 月 日 第1章 引言 第1章 引言 动力系统源于 Newton 力学。Newton 把力学问题用微分方程（组）来表示，通过解每一个具体的微分方程来得到关于方程解的精确性质，进而去描述相应的力学特征。也是从 Newton 时代开始，解出三体及三体以上运动的通解就成为数学界的一个中心问题。H. Poincar 对行星轨道和卫星轨道进行了研究，发 e现有些情况下对初值的小扰动会产生完全不同类型的运动轨道，进而发展了许多‘定性理论’去研究的系统稳定性问题。1887年瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖，设奖声明中提出（引自 wikipedia.org） Given a system of arbitrarily many mass points that attract each according toNewton’s law under the assumption that no two points ever collide try to nd a repre-sentation of the coordinates of each point as a series in a variable that is some knownfunction of time and for all of whose values the series converges uniformly. In case the problem could not be solved any other important contribution to clas-sical mechanics would then be considered to be prize–worthy. 后来这个奖颁给了 Poincar ，虽然 Poincar 也未能解决这个问题。在改正 e e他获奖文章初稿中的错误的过程中， Poincar 发现了 homoclinic tangency 和 eheteroclinic cycle，并可能认识到双曲周期点的稳定流形和不稳定流形相交会产生非常复杂的动力学现象（后来 Birkhoff 发现这会导致无穷多的双曲周期点）。在他的书中 76，Poincar 写道： e e Rien n’est plus propre a nous donner une id e de la complication de tous les eprobl mes de Dynamique. （英 译：Nothing is more likely to give us an idea of the complexity of thesedynamical problems.） 从‘求解每个具体的微分方程组’转向‘对解空间的性质和解的稳定性的 ，Poincar 开创了动力系统的新纪元。二十世纪五六十年代 S. Smale 开始描述’ e对动力系统感兴趣。一开始受 Peixoto 关于可定向曲面上流的定理影响，Smale （动力猜测多数系统都是简单的，现在称为 Morse–Smale 的一类系统是稠密的，系统中没有混沌 100，也参见 scholarpedia.org 上的介绍）。与 Levinson 等学者 1 第1章 引言通信后，Smale 开始对 Poincar 发现的复杂现象 进行深入研究，系统地整理了 eBirkhoff、Cartwright–Littlewood 及 Levinson 等人的工作，并从这些文献中抽象 ，出了著名的马蹄结构（Smale Horseshoe） 进而引起了一致双曲动力系统的研究：复杂混沌的系统也能够是稳定的。尤其是在七八十年代，稳定性与双曲性的关系–稳定性猜测 带动了动力系统极大发展（Anosov、Sinaˇ、Bowen、Ma e、Liao n和 Pliss 等）。由于极其简单的 Morse–Smale 系统和极其复杂的 Horseshoe 都是稳定的，在六十年代初 Smale 猜测结构稳定系统是稠密的。不久 Smale 在 97 文中构造了一个开集，其中每个向量场都不是结构稳定的，另外 Abraham 和 Smale在 1 文中构造了 C 1 –robust 异维环（heterodimensional cycle），进而证明高维流形上的 –稳定的系统也不是稠密的（后来 M. Shub 95 和 R. Ma e 56 也都构 n造出不同的例子）。另一方面 Newhouse 构造出曲面上的、存在 C 2 –robust 的同宿切的的双曲集，从而否定二维光滑情形的双曲稠密性。目前 Smale 的 稠密性猜测只剩下二维的、C 1 的稠密性仍未解决，其它情形都有否定（n ≥ 3，r ≥ 1 或n 2，r ≥ 2）或肯定的结论（n 1，r ≥ 1）。Palis 修改补充了并重新提了一系列稠密性猜测，一些已经取得了很好的进展 85 86 105 106。经过几十年的发展，一致双曲系统（也称为 Anosov 微分同胚）的研究取得了很多的进展，现在已经比较成熟了。这里我们可以列出了 Anosov 微分同胚的几个非常突出的性质： （猜测：所有的 Anosov 微分 所有非游荡的 Anosov 微分同胚都是传递的。 同胚都是非游荡的。推广：所有非游荡的、acces*****ile 部分双曲微分同胚 f ∈ PHr M 都是传递的 21。 ） （Anosov 所有的 Anosov 微分同胚都有无穷多个周期轨/子系统/遍历测度。 ）同时该系统都有正 封闭引理、Anosov 跟踪引理、specication 性质等。 ） 熵（推广：部分双曲系统也是正熵的 94。 （推广：对非一致的双 所有 Anosov 微分同胚的遍历测度都是恰当维数 的。 ） 曲测度也成立 6 53。 （推广： C 1 通有的双 每一个 C 2 Anosov 微分同胚都有唯一的 SRB 测度。 曲吸引子上都有唯一的 SRB 测度 87。C 2 微分同胚的中心一维的部分双 ） 曲吸引子也有 SRB 测度 30。2 第1章 引言 如果一个 Anosov 微分同胚有一个绝对连续不变测度（简记为 ACIP） 那 么该 ACIP 一定是个光滑的体积。特别的，存在 C 1 开的、 C r 稠的子集 Vr Ar M ，使得其中每个映射都没有任何 ACIP 18。 由于 Anosov 微分同胚在整个动力系统全集中只占了很小一部分1 ，现在的一个研究热点是如何把 Anosov 微分同胚很多理想的性质推广到一般的系统上去。早在上个世纪七十年代，Pesin 就系统地研究了非一致双曲动力系统的性质（现在称这一套理论为 Pesin 理论），并利用正则点上的 Lyapunov 指数对非一致双曲集（现在也称这种类型的集合为 Pesin 集）的遍历性得到了与 Anosov情形类似的刻画。具体地说，我们设 f ∈ Di 2 M 为紧致流形 M 上的一个保 m持体积的 C 2 微分同胚，λ1 x ≥ ≥ λd x 为点 x 关于映射 f 的 Lyapunov 指数。Pesin 71 72 证明了 非一致双曲集上存在稳定流形，并且 W s 构成了横截绝对连续的叶状结 构（或层状结构）； 如果体积测度是双曲的，那么 f m 的遍历分支至多有有可数个2 ； （Pesin 熵公式）体积测度 m 的测度熵 hm f 满足（也可参见 57） hm f λi xdmx. 1.1 M λ xgt0 i随后 Katok 在文章 48 49 中进一步研究了双曲测度的遍历性质，推广得到了Katok 封闭引理，Katok 跟踪引理，并由双曲测度构造出了马蹄。非一致双曲研究的一个目标是：猜测 1： 通有的映射 f ∈ Di 1α M 都有正体积的非一致双曲子集。从而对通 m有的系统而言，双曲部分都是不可忽略的。猜测 2： 如果 f ∈ Di 1α M 使得体积测度为双曲的，那么 f 附近的通有系统 m都有正体积的非一致双曲子集。 1 许多流形上都没有任何 Anosov 微分同胚，与之相关的一个著名猜测是：如果一个流形 M 上存在Anosov 微分同胚，那么这个流形的万有覆盖一定是 Rd 。而对非一致双曲，一个已知的结果是 32，任何一个维数大于等于 2 的流形上都存在一个 C ∞ 的非一致双曲微分同胚。 2 存在例子表明 31 ，f m 可以有可数无穷多个遍历分支。 3 第1章 引言应该强调的是，这里的通有性只能是相对于 C 1α 拓扑。在 C 1 拓扑下，都更倾向于反面的结论：Ma e–Bochi 定理说明了，对 C 1 通有的、保面积的曲面微分 n同胚，几乎所有点的上的 Lyapunov 指数都是 0 （参见 10 11 等文献）。值得一提的是，Shub 和 Wilkinson 在 96 中出人意料地构造了 C 1 拓扑下的一个开集U Di 2 T3 ， m 其中每个映射都是非 Anosov 的非一致双曲系统。另一个与非一致双曲有关的主题是双曲测度的分形维数（参考文献 6） 我们在本章的第三小 ，节有相应的一些讨论。 除了放宽双曲丛的一致性，动力系统学家也从另一个方向来放宽一致双曲系统的限制：部分双曲系统3 ，即在要求存在一致压缩和一致扩张子丛的同时，也允许有中心子丛的存在。这类系统是由 Brin 和 Pesin 24 以及 Pugh 和 Shub81 首先考虑的。 在 近年来， Pugh 和 Shub 的稳定遍历性猜测 82 83 的推动下，这方面的研究也取得了很多显著的进展。该猜测的陈述如下：稳定遍历性猜测. 对任意一个光滑闭流形 M，存在一个开稠集 Um PH2 M ， m使得每个 f ∈ Um 都是遍历的。这方面的进展可参考 26 27 29 33 82 83 等文。我们在本文第 3 章也会介绍这方面的一些结果。另外，把非一致双曲条件与部分双曲条件相结合4 ，则会有非常好的结论 26：定理. 设 f ∈ PH2 M 为本性–accessible 的，并且中心方向的 Lyapunov 指数都 m为正的 。那么对任意的n ≥ 1， f n m 都是稳定遍历的。 （或者都是负的）这个定理这证明综合运用了 Pesin 稳定流形定理与部分双曲的 accessability 等性质，结论也非常漂亮。Pesin 等也提出了与该定理密切相关的一个问题：问题. 设 f ∈ PH2 M 为 m （本性）accessible 的。如果 f 也为非一致双曲的，那么f m 是否为遍历/ 稳定遍历的？ 在对双曲集合/系统的动力学性质研究的同时，双曲集的拓扑性质引起了广泛的兴趣。 Bowen 和 D. Ruelle 在 19 证明了对 C 1α 的公理 A（Axiom A） R. 系统中 双曲基本集 Λi 有很好的分类： 要么 Λi 的吸引域 B s Λi x ∈ M : df n x Λi → 0 n → ∞ 的体积为 0， 3 或者更一般的，存在控制分解的系统，参见本文第 4 章的介绍。 4 （mixed hyperbolicity） Pesin 后来把这类系统成为‘混合双曲假设’ 。4 第1章 引言 要么 Λi 为一个吸引子： s Λi 包含了 Λi 的一个开邻域。 B与此同时 R. Bowen 构造了一个具有正体积的 C 1 的马蹄（fat horseshoe ，紧致双曲基本集）。之后又有许多学者将相当一部分精力用于探讨双曲（或者更一般的，有一些双曲性质的）集合的拓扑和测度性质。最近 J. Alves 和 V. Pinheiro在非常弱的假设下得到如下结果 2：如果一个部分双曲集合的吸引集合具有正体积，那么该部分双曲集必然包含了其中某个点的不稳定流形的局部圆盘。特别的，这样的集合不可能同时在稳定及不稳定方向均为 Cantor 集。这也说明了一个很弱的双曲性.
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楼上的能不能再解释的清楚点？ .... 线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。 .... 勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这 ...
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