《弦论揭秘：自学导读》第十六章 弦论与宇宙学
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《弦论揭秘：自学导读》
作者：戴维德*麦克马洪（David McMahon，2009）
译者：郑 中（Geongs Zhern，2011）http://blog.sina.com.cn/cqzg
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第十六章 弦论与宇宙学（String Theory and Cosmology）
传统宇宙学衍生出广义相对论、天体物理学和量子场论，并认为宇宙开始于有限过去的一次“大爆炸”，随后发生暴冲（inflationary rush），一直扩展至消亡。这导致熵增，宇宙最后以有效寿命而终结。弦论/M论已提出了不同的宇宙学模型。令人意外的是，这些模型具有描述大爆炸之前的宇宙的奇特能力。据膜世界型宇宙，涉及两类膜的碰撞，这消除了大爆炸理论的“奇性”，并以一种永恒宇宙取而代之，这被描述为“循环（轮回）”。在本章中，我们概览一些弦论/M论宇宙学模型。遗憾的是，这些弦论/M论模型的细节完全超出了本书的范围，所以我们的描述将带有更多定性。但鼓励感兴趣的读者可具体参阅有关文献。宇宙学必然是个活跃的研究领域，伴随出现很多新的可能，其发展不可预料。
爱因斯坦方程（Einstein’s Equations）
在前一章中，我们介绍了爱因斯坦场方程，它给出了引力的经典描述。在本章中，我们探讨了爱因斯坦场方程在宇宙学中的应用。对于广义相对论在宇宙学方面的研究细节，请参见《相对论揭秘》及其参考文献。
宇宙学是将宇宙作为一个整体来研究的，这始于著名的罗伯逊-沃尔克度规（Robertson-Walker metric）：
（16.1）
其中，d∑2表示度规的空间部分。函数a(t)称为尺度因子，它刻画了宇宙的空间尺度以及如何随时间演化。哈勃常数可表达为：
（16.2）
我们能用曲率常数K来刻画宇宙的空间结构。如果空间是平坦的，具有负曲率（一种马鞍状）或正曲率（球状），则K分别等于0、-1、+1。观测证据指示我们的宇宙是平坦的。
宇宙随时间的行为被一种开始就给定的度规所确定，这可描述宇宙的全部结构，然后采用它算出曲率张量的分量。那么我们能解出物质存在或不存在的爱因斯坦场方程，这可采用或不采用宇宙学常数进行。
在标准宇宙学处理方法中，空间被假设为均匀的，这意味着各向同性。我们在弦论中可能不想假设某些空间维度得到不同的处理。
这是反复提及的两种宇宙学模型。一种是德西特宇宙（dS universe），是一种无物质（爱因斯坦场方程的真空解）的平直空间，具有正宇宙学常数。一种是反德西特宇宙（AdS universe），也是爱因斯坦场方程的真空解，具有正宇宙学常数，但为负曲率。
膨胀（Inflation）
相对论研究的宇宙学模型只是现代宇宙学的一部分。第二部分有必要解释观测到的膨胀。标准大爆炸模型中，宇宙从一个奇点开始膨胀，根据爱因斯坦方程，宇宙随其动力学演化而冷却。有趣的是，宇宙展示出大尺度非均匀性，标准大爆炸模型难以解释之。
为了理解这种非均匀性，我们考虑日常生命。想象微波中煮茶，然后倾空，放置于角落。随时间流逝，茶杯将冷却，如果我们放置时间足够长，茶杯将达到与环境的温度平衡点。
同样的行为已发生在大尺度宇宙内。如果我们检测大尺度宇宙，将其细分为具有数百光年数量级宽度的立方体，我们发现：
• 均匀性：宇宙在大尺度范围内各处平均相同。即每个立方体具有相同的星系密度，相同的质量密度和相同的光度。
• 各向同性：我们已提及到标准宇宙学，假设宇宙是各向同性的，或者在每个方向是相同的。观测证实这是高度符合的。
标准大爆炸理论与这些观测的问题在于宇宙相对于平衡态（用茶杯比喻）演化太快，应早已达到平衡。光信号没有足够的时间将不同空间区域联系起来，它们如何实现通信而终结于极其相同的环境中？
大爆炸宇宙学的另一个问题是著名的平直疑难。宇宙是平直的，早期宇宙的质量密度已精调到观测的平直程度，难以想象这是巧合。临界质量密度是根据哈勃常数定义的：
（16.3）
其中，G是牛顿引力常数。重新定义为：
（16.4）
其中ρ为宇宙中实际的质量密度。现在令Δ为宇宙常数。如果
（16.5）
大于1，那么宇宙为球状的闭空间。如果小于1，那么宇宙是马鞍状的开空间，具有负曲率。如果等于1，那么宇宙是平直的开空间。观测表面宇宙是平直的开空间，因此平直疑难归结为一定质量密度的早期宇宙为何如此接近临界质量密度。
这不能通过经典物理均匀性、各向同性得到解释，而平直疑难可通过膨胀理论得以解释。该理论认为早期宇宙经历了短期的指数式暴胀。刚好在指数式暴胀期之前，宇宙全部区域是因果连通的。这就解释了均匀性和各向同性问题！暴胀是受标度场 （量子场称之为膨胀）的驱动，它具有负压力。这种作用类似一种斥力场，导致宇宙不同区域相互反抗，并向外扩张。
膨胀场被认为具有一种伪真空（false vacuum），处于亚稳态，在能量上高于真真空（true vacuum；具有最低的能态）。在一个极端时间内，膨胀是在伪真空中进行，并导致新的膨胀，那么这就滚动式的演化到真真空或最低能态。在暴胀期间，宇宙总能量必定保持常数。在膨胀过程中，物质的正能量指数式增加。膨胀场产生的能量实际上用来创造物质（通过爱因斯坦方程E=mc2）。
因为物质加入宇宙，引力场逐渐增强。引力场具有负能量密度。因此引力场增加的负能与物质增加的正能保持平衡，故总能守恒，宇宙常数保持不变。
膨胀场中存在量子波动（Quantum fluctuation）。当宇宙还很微小时，宇宙已在暴胀中被磁化，同时孕育了宇宙全部的种子结构，这些种子导致星系的形成。量子理论与大尺度宇宙结构之间存在一种惊人的联系！
膨胀理论所作的预测与当今天文观测相符合。
卡斯勒度规（Kasner Metric）
卡斯勒度规是爱因斯坦场方程的一个解，有趣的性质是它因为弦论前景而变得有用。我们能通过各向同性的运动来刻画Kasner度规。如果空间是各向同性的，那么它在所有方向都是相同的。当思考我们生活其中的3+1维时空，这是一个合理的假设，宇宙学常采用它。在大尺度上，你观测到的宇宙是相同的。
反之，Kasner度规是各向异性的，这意味着不是所有空间维度都以相同方式演化。随时间流逝，宇宙的n维空间发生扩展，而额外的D-n维空间紧缩了。因此该度规可描述这样一种宇宙：随宇宙演化，某些空间维度变小（紧缩场，compactifield）。正如你可能想象的，这在弦论中出现了这种度规。
Kasner度规表达如下：
（16.6）
其中 项乘每个空间方向dxj，表示每个空间维独立于时间流逝。我们称之为pj卡斯勒指数，它们一定满足两个条件，可称之为卡斯勒条件（Kasner conditions）：
（第一卡斯勒条件）
（第二卡斯勒条件） （16.7）
卡斯勒条件给pj施加了强约束。这告诉我们并非全为相同的符号。因为与每个空间维度有关的度规项，依赖于 ，这告诉我们某些空间维度将随时间膨胀，而某些空间维度则随时间收缩。即
如果pj为正，则 >1，空间方向xj随时间而增大；
如果pj为负，则 <1，空间方向xj随时间而变小。
举一个简单例子，令pj=0.2，当t1=5，我们得 =50.2=1.38；当时间推移到t1=15，得 =150.2=1.72，因此空间维度增大了1.72/1.38≈1.25倍。现在假设Pj=-0.2，当t1=5，我们得 =5-0.2=0.72；在更晚的时间t1=15，有 =15-0.2=0.58.因此当卡斯勒度规为负值，空间维度明显收缩了。
当弦论研究卡斯勒度规时，必须要伸缩子场 （dilaton field）方程来补充。伸缩子场与卡斯勒指数pj有关。特别是，可取
（16.8）
有趣的是，伸缩子场将一种对偶性引入了模型。实际上这种对偶性与T-对偶（T-duality）有关，因为它将大距离和小距离联系起来。给定一套卡斯勒指数pj和伸缩子场 ，这存在一个对偶解
， （16.9）
注意到，既然 ，理论中的延展维在对偶理论中是收缩维，反之亦然。
大爆炸之前宇宙学可根据这种对偶性来描述。这允许宇宙经历如下演化阶段：
1）开始于一种宏大而平直的冷却态；
2）然后收缩到一个自对偶点（self-dual point），宇宙进入一种狭小而高度弯曲的极热态，这是就是“大爆炸”；
3）进入膨胀期，它就是我们生存其中的宇宙。
这是第一个弦论宇宙学模型，但已被膜宇宙模型抛弃了。因为该模型存在几个不能解决的问题，宇宙的膜模型更令人感兴趣，因为标准模型的场论和引力得到了描述。在介绍膜世界宇宙之前，让我们了解卡斯勒度规怎样描述加速膨胀的宇宙的。
当考虑某些空间维收缩而其它空间维膨胀时，一种有趣的效应增强了，即实际上紧缩维导致了延展维加速膨胀（Levin, Janna, 1995）！假设我们三维膨胀空间维具有n > 1个收缩维。可见，它们不仅导致三维空间延展，而且导致膨胀行为，无需宇宙学常数。
我们记时空维数为D =n + 4，这表示n维空间收缩，而额外维是3+1维时空。度规写为时间流逝、延展维和收缩维的一般形式：
（16.10）
这里a(t)是与膨胀的三维空间有关的尺度因子，b(t)是与收缩的空间维有关的尺度因子。解真空爱因斯坦方程，得：
这里我们引入了两个哈勃常数。一个是通常的哈勃常数Ha，与我们的膨胀宇宙有关：
（16.11）
第二个哈勃常数Hb与收缩空间维有关：
（16.12）
常数k(3)和k(n)与局部曲率有关，可取+1, 0, −1。我们选取局部膨胀情况，设k(3) = k(n) = 0，这可使方程得以简化，同时对于哈勃常数给出三个关系式：
Hb/Ha比可写为
（16.13）
正负号的选择对应加速膨胀或加速收缩的宇宙（对于膨胀的额外维）。当然，这里正负号的选择是任意的，模型未作要求为什么我们选取一个符号或者其它---这仅仅描述一种加速膨胀的宇宙的可能性。我们对加速膨胀情况取为+号。
采用 ，我们能根据方程估计Hb，并单独写出Ha的方程
（16.14）
因为 > 0，膨胀的加速态势是表观的，积分得
现在定义
则哈勃常数可写为
（16.15）
进一步积分得到尺度因子
（16.16）
其中是 积分常数，我们已定义
（16.17）
宇宙三维空间的加速膨胀作用，表现为
采用Hb/Ha比的关系式，可得
（16.18）
其中 是积分常数，且
（16.19）
这个解给出一种卡斯勒型度规。显然，我们有
（16.20）
兰德尔-桑德儒模型（Randall-Sundrum Model）
前面章节中描述的方式不再被认为是可靠的。从弦论/M论远景研究宇宙的前缘是基于膜的方法，所谓的兰德尔-桑德儒模型[1]。该方式不是一种弦/M论方法。反而它是一种涉及存在额外维和膜的简单模型。而且，该模型不是有意为宇宙学创建的。该模型对粒子物理学数量级问题提出一种可能解决方法。数量级问题实际上就是引力与电弱理论的自然或基本能量标度之间存在巨大缺口。电弱标度恰好处于100GeV量级，而引力标度处于巨大的1018 GeV量级。兰德尔-桑德儒模型的优雅性在于解决了基于膜的简单模型与高维时空之间的数量级问题。我们探讨兰德尔-桑德儒模型，因为基本思想（沿一个额外空间维连接的两个3-膜）是如何接近弦论大爆炸宇宙学观的初始点。
现在让我们描述模型基础，它将形成宇宙学模型的基础，与弦论给更直接联系起来。我们考虑一种五维时空，具有两类膜，分别称为可见膜（我们的宇宙）和隐藏膜。膜构成五维时空域（称为体空间）的边界。膜具有3+1维时空。规范相互作用限制于膜上，而引力可沿额外维传播，因此能穿入膜内部的体空间。
我们用y表示额外空间维，用xµ表示其它时空坐标。五维度规表示为gAB。两类膜具有诱导度规（induced metric），写为 ，其中i = 1, 2，分别表示可见膜和隐藏膜。兰德尔-桑德儒作用即
（16.21）
第二个积分项的指数i表示分别遍历每个膜上进行积分。这里附加项包括：
• M5：五维时空中的普朗克质量。
• Λ：体空间内的宇宙学常数。
• Λ1和Λ2：可见膜和隐藏膜上的宇宙学常数。
• R：五维时空内的数量曲率（scalar curvature）。
• ：可见膜和隐藏膜上质量场的拉格朗日密度（lagrangian density）。在可见膜上为标准模型场，而不同于隐藏膜上的。
维度y范围跨越0≤y≤πrc，其中rc为常数，两类膜位于边界。可见膜位于y1=πrc处，而隐藏膜位于y2=0。
特别需要遵循庞加莱不变性（Poincaré invariance），反德西特空间（AdS）的一张叶片具有如下度规：
（16.22）
其中指数项e-2ky称为卷曲因子（warp factor）。我们将看到卷曲因子将我们的3+1维宇宙内的质量标度与五维时空的质量参数联系了起来。
可见，体空间内每类膜上的宇宙学常数，可写为
（16.23）
如果k<Mp，这告诉我们体空间的时空曲率相对于普朗克尺度是小的。
指数卷曲因子导致观测到的普朗克量级与电弱量级之间存在大的缺口。转向有效五维时空论，兰德尔和桑德儒指出四维时空内的普朗克质量起源于五维时空的普朗克质量，通过如下关系
（16.24）
可见的三维膜（我们的3+1维世界）上的物理质量m与潜藏高维理论中的基本质量参数m0之间存在如下关系
（16.25）
于是我们可获得电弱能标，其中普朗克质量m0~1018GeV，如果kπrc ≈ 37，有m ~ 100 GeV。因此兰德尔-桑德儒模型告诉我们电弱相互作用量级是时空弯曲的结果，因卷曲因子修正。
兰德尔-桑德儒模型对粒子物理量级提供了一种新的发现，但需要设置两类膜和额外维，这对宇宙学来说无需再谈。但这种配置为M论宇宙学奠定了基础，允许边界膜沿额外维移动。我们在下一节探讨这种情况。
膜世界与焚宇宙（Brane Worlds and the Ekpyrotic Universe）
基于M论的宇宙学模型是尼尔*突偌克（Neil Turok）和保罗*斯坦哈特（Paul Steinhardt）提出的[2]。在兰德尔-桑德儒模型中，我们有一个边界蕴含两类膜的五维宇宙。现在设想将其代替为膜沿体空间的第五维移动。该思想是焚宇宙（ekpyrotic universe，或译为火宇宙、火劫宇宙）的起源，这是一种完全根植于弦/M论的模型。特别是，焚宇宙图景基于五维杂化M论，该模型采用5维时空进行研究，因为我们在M论中采用的是11维时空，而将其六维紧缩入一个与宇宙尺度无关的微隅内。
在该模型中，我们正在想象一种永恒存在的宇宙，但它经历一种循环模式。这种模式开始于一种边界膜特征的初始态，存在于一种平直、虚空而冷却状态中。它们位于第五维空间边界，并且相互平行。如前面提到，在焚宇宙方案中，膜是在动的，所以它们彼此相对运动并发生碰撞。膜碰撞在文献中叫做焚烧（ekpyrosis）过程，常称为“大爆炸”。来自膜碰撞产生的能量创造膜内物质。在膜碰撞之后，膜相互弹开，并冷却降温。最后它们恢复到冷却的、虚空的、平直的初始态，然后焚烧过程再次开始。隐藏在该过程之后的驱动力是标量场 （scalar field），它确定了膜间距离。这导致宇宙演化经历缓慢加速膨胀期，接着是减速膨胀期直至收缩期，如此再次触发宇宙的反弹和再热。
这里描述的宇宙图景解决了很多宇宙学谜题，如果它是可信的话。第一，让我们思考膨胀解决的两类主要谜题：均匀性和各向同性。膨胀论通过假设存在一种场在瞬间打开而导致宇宙指数式扩张，从而找到了一种解决该问题的途径（解释了为什么宇宙是均匀而各向同性的）。然而这种图景已被一种胡说八道的方式进行量化，不得不怀疑这样一种场闪一下就打开、忽然又关闭的理论，这在整个宇宙学历史上难以再见到。所以，焚宇宙图景不得不提供某种东西。
在焚宇宙图景中，有两个平直的平行膜，就像两块靠近的完全平坦的金属板一样碰撞。既然膜是平行的，它们沿膜在所有点同时发生碰撞（几乎任何地方，暂不考虑量子理论的干扰）。这种作用增加了宇宙焚烧温度。这解释了为什么宇宙各向同性和为什么宇宙微波背景各处一样---宇宙开始于在所有点发生相同的初始碰撞。
平直疑难可通过将膜的初始条件设置为真空态而得到解决。在真空态中，膜是平直而虚空的，所以没有神秘的物质密度精调以使得宇宙变为平直。合理的假设是，真空态中的膜启动，将它们促使它们变得平直。
当然，量子论意味着一切远不是描述的那样精确。膜内的量子波动称为膜纹（Brane ripple），导致膜沿第五维运动。这些波动意味着并非膜上每个点在完全相同的瞬间与其它膜发生碰撞。反之，大多将在某段平均时间内发生碰撞，而一些比平均时间更早发生碰撞，一些则比平均时间更晚发生碰撞。因此，并非是在绝对一致的温度条件下产生宇宙，碰撞将产生这样一种宇宙：某些区域略低于平均温度（因更早碰撞），而一些区域略高于平均温度（因更晚碰撞）。这些是宇宙用来产生大尺度结构（如星系）的种子。在此，量子效应可产生宇宙大尺度结构，这为宇宙中的极大和极小尺度之间提供了一种联系。
广义相对论的一个令人讨厌的特征是理论中存在“奇点”，即曲率（引力场）和温度发散至无限大的时空点。“大爆炸奇点”就是这样一个例子。
在焚模型中，奇性比经典广义相对论大为减弱。两类膜对面运动，发生碰撞，然后弹开，再返回其初始位置。大爆炸是一种有限高温事件，这不对应无限曲率的奇性。而没有神奇的菲亚特推测诞生全部物质、空间和时间的无限小的点。但当两类膜碰撞时，在“大挤压”（Big crunch）存在奇性行为，因为膜之间的额外维消失于碰撞中。在膜分离之后，彼此远离，额外维又出现。当然，这种模型消除了广义相对论的多数奇性行为，恰恰难以相信时间和空间永恒存在。最后，实验和观测将以科学的方式确定该图景是否接近真实。
焚图景回答了宇宙学的另外一个谜题---物质的起源。在膜碰撞中，动能被转化为热或热能。这恰如一辆车发生撞击，车子的动能被转化为热。在膜情况，热能可通过爱因斯坦关系式E=mc2而创造物质。
目前焚图景的形式是所谓的宇宙轮回模式。它认为：
• 大爆炸不是时间的起源。
• 宇宙永恒存在，并以膜的反复碰撞运行。
宇宙历史循环经历如下情节：
• 两类膜碰撞假设大爆炸在宇宙轮回之间起着过渡作用。物质和辐射被产生。
• 热大爆炸期间产生宇宙大尺度结构。
• 这接着是缓慢而加速膨胀期，宇宙冷却而稀释。
焚图景提供了关于宇宙膨胀的一种可选方案，可用来解释很多宇宙谜题。令人惊讶的是，它们能被观测检验的特征（至少原则上）。膨胀论预言引力波是标度不变量（scale invariant），但这在焚宇宙模式中不是必然结论。
小 结
我们一开始通过思考卡斯勒度规来浏览宇宙学图景，它允许随宇宙演化，某些维度收缩，而另外的维度发生膨胀。这类模式不令人满意，所以已被抛弃。兰德尔-桑德儒模型将宇宙描绘为束缚于高维体空间内的两类膜构成的。这种观点在焚宇宙模型中得到发展，允许膜运动并碰撞，这可解释大爆炸，对于宇宙膨胀提供了一种弦论型候选方案。焚宇宙图景不是说大爆炸不曾发生，而的无需涉及奇点就可解释大爆炸。膜碰撞一旦已发生，宇宙根据膜上的标准大爆炸理论模式进行演化。
[1] 由Lisa Randall和Raman Sundrum首次提出，见“A Large Mass Hierarchy from a Small Extra Dimension”, Phys.Rev.Lett. 83 (1999):3370–3373. Available on the arXiv at http://lanl.arxiv.org/abs/hep-ph/9905221.
