COLLEGE NATURAL SCIENCES | PERSPECTIVES
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数学：武装工程的利器
张乐
南京理工大学理学院力学与工程科学系
Email: zhangle370132{AT}yeah.net
众所周知，数学是现代科学的基石，没有数学的科学是不可想象的。但是数学本身并不是一门科学，但这并不意味着数学没有价值，可以说数学这门学科为人类做出的贡献超出了其它任何一门学科。数学并不是直接体现其价值的，而是要通过和其它活动相结合才能体现出来的。科学探索就是这样一种活动，数学在其中发挥了举足轻重的作用。在工程中数学也同样发挥着重要的作用，数学在工程中的作用是通过技术体现的。应用于工程中的技术主要有两个来源：经验的积累以及科学成果的转化，随着历史的发展后者的贡献逐渐增多而前者逐渐减少，在当今的工程领域中新技术几乎完全来源于科学成果的转化。但是工程中的数学不同于在数学课程中见到的数学。本文主要介绍一点关于数学与工程的特点，并讨论数学与工程之间的相互关系。
1. 数学与科学、工程的联系
数学不是突然间就与科学相结合的，数学会与科学有如此紧密的联系是因为数学可以很好的描述物理现象，很多问题不使用数学是没有办法很好的进行描述的。采用数学来描述物理现象是从近代科学确立的时候就开始了的，伽利略以数学为工具研究了物体的落体运动中可以数学化的物理量——速度、位移，从此走上了用数学研究物理现象的道路。伽利略在牛顿之前就已经给出了描述物体自由落体时的位移与时间之间关系的公式，而他并没有用到牛顿的运动定律，这就是用数学描述物理现象的成果。在工程中，由于人们同样是与各种物理现象打交道，所以数学同样是用来描述各种工程问题的有力工具。
现实生活中所遇到的各种实际问题要比在教科书中出现的问题复杂的多。所以虽然工程问题的基本原理都可以在课堂上学到，但这与解决实际的工程问题还有很大的差距。要弄清数学与工程之间是如何相互影响的，就要对实际的工程有所了解。
虽然我们可以将各种知识划分到不同的学科中，但实际的工程领域里是没有很清晰的学科划分的，而且没有办法对工程做出一个令人满意的划定义，很难说什么活动是属于工程，什么不是属于工程。实际的工程问题与问题出现的环境有密切关系，同一个工程问题绝不会在另一个地方出现第二次，所以在工程中使用的各种解决问题的方法是需要根据具体情况而变化的。工程问题不同于科学的另一个方面就是工程是需要考虑成本的，并不是技术含量越高的方法就一定比技术含量低的方法好。在不同的国家或地区，由于经济、科技水平发展的情况不一样，以及自然环境等的差异，对于同样的工程问题所采取的解决方法也是不一样的。
世界各国的工程水平不一样，数学在工程中的作用也不一样，数学如何在工程中起作用还与这个国家的一些传统有关。
基于以上的提到的原因，很难概括出一个可以代表所有工程领域中数学如何发挥起作用的模式。这里介绍机械、土木这类工程问题中出现的力学问题的一种解决方法，这种方法具有代表性，但是还不能说可以涵盖所有国家所有领域的情况。现在解决这类工程问题的主要流程就是在查询相关资料的基础上，找出可以描述这些问题的数学工具，明确需要求解的数学问题，然后用计算机求解。这样一种流程称为建模与仿真。
2. 工程问题中数学的一些特点——以工程中的力学问题为例
工程问题离不开数学，这是由于不使用数学这一工具很多问题就没有办法解决，但是工程师的数学与数学家的数学有所不同。下面我们通过具体的例子来说明应用于工程的数学的某些特点。
2.1 描述工程问题的数学的一个特点
工程问题可以用数学来描述，但是可以用来描述同一工程问题的数学工具并不是唯一，在工程中会根据具体需求来选择合适的数学工具。
在机械、土木一类的工程问题中，物体在受力后如何变形，哪里最有可能因为受力而破坏是工程师关心的主要问题之一。研究这一问题的学科称为弹性理论或弹性力学，这门学科是一门典型的用数学描述物理现象的学科。下面就是这门学科里最基础的一个问题——用数学描述物体的变形。
通常我们取变形前物体内的一个很小的正方形为研究对象，这个微小的正方形称为微元。
从图中可以看出，变形后的微元已经不再是正方体了。有三种完全不同的数学工具可以用来描述这种现象：张量、仿射几何以及标量方程（包括微分方程、积分方程以及变分方程）。
变形后的微元与变形前相比，所发生的变化分为两类：质点间距离的变化以及原来直线间角度的变化，这两种变化分别称为正应变和角应变，用符号ε和γ表示。任意微元的变形都可以由三个正应变εxx、εyy、εzz和六个角应变γxy 、γxz、γyx、γyz、γzx、γzy来完全确定。只要知道了每个微元上的这九个量，也就知道了整个物体的变形情况。
如果直接使用这九个量来描述物体的变形情况，那么我们得到的就是标量方程（最常见的是偏微分方程）。微元从变形前的正方体变为不规则形状的过程可以看成是一个仿射变换的过程，也就是说可以使用仿射几何这一数学工具来描述这个这一现象。我们将描述微元应变情况的九个量简写成εij，εij就是一个二阶张量，用张量来描述问题就得到张量方程。
在弹性力学的理论研究中，主要采用张量来描述相关问题，因为其比偏微分方程简洁。但是，对于需要解决具体的工程问题的工程师来说，张量这一数学工具过于抽象、困难，所以对于工程师来说偏微分方程更受欢迎。因此在给工程师看的相关资料中一般都是用偏微分方程来描述相关问题的。
用偏微分方程而不是张量方程来给工程师讲述相关理论，体现了一种“用工程师看得懂的数学描述工程师遇到的问题”的思路。事实说明这种思路是受到工程师欢迎的，因为工程师需要解决的是与实际密切结合的问题，所以他们不可能纠缠于抽象的数学工具。对于工程师来说，最简单，最直观的数学工具就是最好的数学工具。
所有的弹性力学问题都有三个基本方程——由F=ma 列出的运动方程、描述应力与应变之间关系的物理方程（本构关系）以及将应变与位移联系起来的几何方程。将这三个方程联立就可以得到一组关于应力（或应变）的偏微分方程组，由广义胡克定律这一本构方程得出的一组偏微分方程就是：
这就是这类工程问题中所需要求解的数学问题。
2.2 解决工程中数学问题的方法
仅仅将工程问题用数学工具进行描述并不能起到什么作用，还必须对相关的数学问题进行求解，得到工程中关心的一些数据才能使工程问题得到解决。就前面提到的弹性力学问题来说，偏微分方程的求解是很困难的，只有很少的情况下才能求得解析解。历史上工程师们曾经使用根据实际情况简化方程的方法解决了工程中的一些问题。
上面给出的方程组描述的是三维空间中的情况，任何实际问题都是三维问题，然而在很长的管道、杆这些情况下，可以认为在这些问题中只需要知道了二维平面上的应力情况就完全解决了三维问题。在这里就可以将方程简化为：
这个简化后的方程的求解依然是困难的，历史上有人提出了对这个简化后的方程组的一种特殊方法——逆解法以及半逆解法，使得在一些特殊情况下这个方程变得容易求解。
所谓逆解法就是先假设出物体内部的应力分布情况，然后分析它们所应对应的边界条件，从而确定这样的应力分布规律是什么样问题的解答。即先有结果和答案再反过来找出这些结果和答案对应的问题，因此称为逆解法。而半逆解法就是根据边界条件假设部分或全部应力分量是某种形式的函数，然后再处理需要求解的方程。可以看出，这样的数学是很对工程师的口味的。由于这种方法是一种非常特殊的方法，所以它只在很少数的情况下才有效，但是借助于这些有限的解析解，工程师们解决了许多问题。
弹性力学的这组方程是在一定的假设的基础上得出的，这些假定符合工程中的实际情况，使用弹性力学可以很好的解决相应的问题。但是即使是简化了的方程也是难于求解的，因此在工程中还会采用另一种方法来解决问题。如果问题是关于杆件的，可以通过增加假设的方法来简化问题，这种假设只是实际情况的近似处理。在杆件的情形下经过简化后，只需要使用最基础的微积分的相关知识就可以解决原来需要求解偏微分才能解决的问题，这就是材料力学的主要内容。经过验算，材料力学对杆件的计算结果与弹性力学相比，只有很小的误差，完全能够满足工程上的需要。所以虽然可以认为材料力学只是弹性力学在杆件情形下的一种特殊近似，但是材料力学在工程中却比弹性力学应用得更多。
以上就是在计算机出现之前的情况，而计算机最早就是为了解决工程中的计算而诞生的。其实很多数学问题都是可以使用数值计算的方法进行求解的，在工程中解析解和数值解起都可以用来解决问题。但即使是可以求解析解得数学问题工程中也会采用数值解，因为这样使用计算机以减少人的工作量以及出错的机会。要使用数值方法就必须要借助于计算机编程，在编程时由于数学问题要用代码实现，所以也会要求数学问题用较直观、简单的方式来描述，偏微分方程就比张量方程易于编程求解。
现在在工程中数值求解占据着越来越重要的地位，就弹性力学问题而言，现在已经有了非常完善的商用软件来进行数值求解，工程师可以直接借助软件解决他们在实际工程中遇到的弹性力学问题。所有的列方程、解方程的步骤都由软件完成，工程师只要将工程图纸上的问题用CAD 的方式输入就可以了，软件求解后还可以将得到的结果用彩色的图像等直观的方式显示出来。这就是目前建模与仿真的现状。当然，还有很多问题没有现成的软件可用，这就需要工程师掌握从建模到数值仿真的所有相关知识了。
目前的数值仿真在某些领域已经做的非常好了，以前很多需要做实验才能解决的问题现在只需要进行数值仿真就能够解决了。这一方法现在又从简单的数值仿真发展到了一种称为虚拟样机技术的新的工程模式。可以看出，工程问题的解决方法随着时间的变换也在不断地变化，所以不同时期的工程对于数学的需求是不同的。
2.3 工程中数学的理论意义
纳维—斯托克斯方程，是用于描述粘性流体运动的微分方程。它在工程中有着极重要的地位。下面我们来介绍一下有关这个方程的故事。
18 世纪上半叶，瑞士数学家丹尼尔•伯努利将微积分用于分析流体在受到多个力作用下的运动方式。在这一工作的基础上，欧拉建立了一组方程，它们精确的描述了假设的无粘性流体的运动。欧拉所建立的方程组称为欧拉方程：
1882 年法国人纳维（Navier）改进了欧拉的方程，使之能适用于有一定粘性的流体这一更为实际的情况。纳维本人既是一名数学家，同时还是一名工程师。纳维的数学推导是有缺陷的，但是由于运气好（或者说由于工程师过人的直觉），他最后得出的方程是正确的。若干年后，爱尔兰数学家斯托克斯（Stokes）做出了正确的推导。因此这个方程叫做纳维—斯托克斯方程，简称N—S 方程：
欧拉方程与N—S 方程相比，没有后面含有μ的一项，这里的μ表示流体的粘性系数。所谓的粘性就是指一种在流体中产生内摩擦的性质，粘性的作用表现为组织流体内部的相对滑动，从这一点上来说这与固体中的切应力相类似。欧拉方程组是基于流体没有粘性这一假设之上的，而实际的流体都是有一定的粘性的，所以N—S 方程才是描述流体运动的更为准确的方程。目前不论是欧拉方程还是N—S 方程，其解的存在性问题都没有得到解决，也就是说目前还不清楚这个方程是否有唯一的稳定的解。微分方程解的存在性问题是一个数学问题，而且只需要由方程的表达式就可以用数值计算的方法计算方程中涉及的量，那么N—S 方程的解的存在性对于工程师来说又有什么意义呢？这个问题对于工程应用来说还是很重要的：
1）如果描述物理问题的某个微分方程被证明其解不仅存在而且唯一，则无论用何种方法找到这个微分方程的解，都可以认为这就是该方程的解；
2）当描述物理问题的某微分方程被证明解存在但却不一定唯一时，则如果用一种方法找到了解，还必须研究解的稳定性问题，只有证明了所找到的解是稳定的，才能认为这个解有可能代表实际存在的物理现象；
3）如果描述物理问题的某微分方程，解的存在性还不能被证明，则若用某种近似方法（渐进方法、数值方法）找到了其一个“解”，则我们还难以肯定它是否代表实际存在的物理现象。
由于欧拉方程和N—S 方程都是属于第三种情况，所以即使我们能够用数值方法求解，也不能肯定我们求得的解是符合实际情况的。对于工程师来讲，如果发现求出来的解与实际情况不符，就没有办法确定问题是出在方程本身，还是在求解的过程中出了问题。所以有关N—S 方程的解的存在性这一数学问题，对工程问题有很大的理论意义。
有人曾说我们不必等弄清楚理论后再去解决问题，实际上大家也是这么做的。对于N—S 方程所描述的流体力学的相关问题，现在仍然在使用理论分析、数值计算、物理实验相结合的方法有效地进行研究，并且在很多问题上都得到了很好的解决。
比如，在某些情况下N—S 方程可以简化为：
这个方程可以求得其解析解，通过这个方程求出的流体流过圆球时圆球受到的阻力的公式为R=6πμrv，经过实践的检验，这个阻力的计算公式在相关假设成立的情况下是十分精确的，但在假设不成立的时候这个计算阻力的公式就与实际情况差别很大了。而要确定这个公式在什么情况下是符合实际的，只能依靠实验，而不是通过数学理论的分析。
从N—S 方程的讨论中，我们再次看到，在工程中需要按实际问题对数学进行合理的简化，而且仅仅依靠数学是不足以解决工程问题的。但与此同时，只有在数学工具本身的问题得到了解决之后，数学工具才能充分发挥其威力。
以上总结了工程中数学的一些特点，但由于工程问题是各种各样并不相同的，所以不敢说这能够代表所有的工程。
3. 总结
工程问题是十分复杂的，并不是知道了基本问题就可以很好的解决工程中的问题的，要解决实际问题还必须了解问题所涉及到的方方面面的情况。解决工程问题的方法也是多种多样的，所以不是有了数学这一强有力的工具就足够了的。
但是，由于现代工程所遇到的各种问题早已超出了人们日常经验的范围，很多问题只有借助于数学才能解决。数学正在工程中起着越来越重要的作用。
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