diffgeom01 《几何基础》用运动公理可以推出平面的所有运动;仿射不变性: 相似变换不再保持两点间的距离不变，相似变换的特

《几何基础》第二章重点难点解析

第2章 仿射变换重点、难点解析 １． 变换的概念 几何变换是研究几何学的基本方法．变换的思想是客观事物运动的反映．实际上，在初等几何中运用几何变换解决各类问题的例子很多，只不过是没有在这方面加以系统整理．例如，在比较图形的大小时，需要运用“运动”的概念．比如说，要比较两条线段的大小，就是通过把一个线段“运动”到另一个线段上去来进行比较的．这里的“运动”，其实就是我们所说的正交变换．对于角和三角形大小的比较，甚至对更一般的几何图形的比较，也都是借助于运动来进行的，或者更一般地说是借助于某种几何变换来进行的．把各种各样的具体变换汇集在一起加以抽象，便得到最一般的几何变换的概念． 几何变换的概念是由一般集合之间的映射概念和基本性质定义的． 变换是集合间映射的特殊情况，它是一个集合到它自身上的一个一一映射，而几何变换则是集合的变换的特殊情形．我们把图形（包括平面和空间）看成是点集合，那么，图形间的映射就是点集合的映射．在几何中，我们所关心的主要是平面（或空间）到它自身上的变换． 我们在初等几何中，兴趣也往往是集中在具体图形之间的变换上．比如，对于两个成位似的三角形，我们比较感兴趣的是这两个三角形是如何对应的，诸如这两个三角形的位置和大小关系，对应点、对应角和对应边之间的关系等等，而对于三角形以外的情形，就不那么关心了．所以，初等几何中所说的变换，是指具体图形间的一种对应关系．但是，作为一个变换，我们总是把它定义在整个平面（或空间）上，让整个平面（或空间）上的点都赋以这一变换，这样才有普遍意义，它适用于平面上的所有图形，当然也适用于所要研究的具体图形，即把全平面（或空间）的变换限制到具体的图形上去考虑．例如，当我们要考察圆向着一个直径的压缩的性质的时候，就选择这个直径所在的直线为压缩轴，对整个平面进行压缩，写出这个压缩的变换公式（自然，坐标系要选择适当）．这时，我们就会看出这个圆变成椭圆，而且这种对应关系是通过平面的压缩来实现的．因此，考察整个平面（或空间）的变换，比单独考察个别图形的变换更有意义，它不仅反映了图形的变换，也反映了图形周围的变化情况．尤其重要的是，这样可以更有效地讨论变换的性质，从而，反过来又反映了图形的性质． ２．仿射不变性与不变量 平面（或空间）的变换对于几何学的发展具有根本性的意义．因为对一些几何性质的深刻认识，是通过研究和这些性质有关的变换而获得的，所以我们要对这些性质进行深入的讨论．克莱因的几何分类思想的价值就在于他利用这些变换的不变性质和不变量，把几何学进行了分类．按着他的思想，一个变换对应一种几何学． 某一空间上的几何学是研究平面（或空间）上的某一变换下图形的不变性质和不变量的，这些不变性质和不变量统称该几何学的几何性质．例如度量性质、仿射性质、射影性质等等，它们代表了该几何学的特征，反映这些几何性质的命题成为该几何学的内容．变换不同，图形的不变性质和不变量也不同，从而产生了不同的几何学，通过变换的从属关系，可以研究各种几何学的从属关系．于是，表面上看来混淆不清的欧氏几何、仿射几何和射影几何，通过变换可以使它们严格区分开来，并且搞清了它们的从属关系． ３．正交变换和欧氏几何 平面上的正交变换是最简单的一类几何变换，它是现实世界中物体位移的抽象，它的基本特征是保持任意两点间距离不变．因此，两点间的距离是正交变换的基本不变量，其它的不变量都是由它派生出来的． 在综合几何里有一组公理，叫做运动公理，利用运动公理可以推出平面的所有运动（广义的，即包括直线反射）无非是平移、旋转和轴对称（直线反射）这些特殊运动的合成．其实，运动概念已经不是通常所说的位移了，因为直线反射不能通过位移来实现． 通过一系列正交变换性质的讨论，将会明确正交变换和运动关系． 正交变换保持距离和角度不变．因此，它必然把直角坐标系变成直角坐标系，而且经过正交变换后，任意一点的象点在新坐标系中的坐标，等于原象点在原来的坐标系中的坐标．利用这个重要的事实并借助于坐标变换公式，可得到正交变换的坐标表示，我们正是利用这个坐标表示得到任意正交变换皆可表示为平移、旋转的，有时还要加上一个直线反射的积这一基本事实．从而，得到正交变换就是运动这个结论． 所谓欧氏（正交）几何，就是正交变换的几何．因此，欧氏（正交）几何所讨论的是那些在正交变换下不变的性质和不变的量． 平移、旋转和直线反射经常用来解决初等几何的作图问题，在这方面它们是很有用的，读者可通过例题和习题去掌握它们． ４．相似变换和相似几何 如果说正交变换只是反映了物体的位移，那么相似变换则反映了物体的最简单的变形，它使图形成比例地扩大或缩小． 相似变换不再保持两点间的距离不变，相似变换的特征是对应线段的比为定值．由此可见，正交变换是相似变换的特殊情形，它是相似比为一的相似变换． 平面（或空间）的正交变换则是相似变换的一种特殊情况． 位似变换是相似变换的一个特例，这是一种常见的重要变换．实际上，任意一个相似变换都可以表示为一个位似变换和一个运动的积，利用这个相似变换的分解，很容易得到相似变换的坐标表示． 利用相似变换，特别是位似变换，为解决初等几何中的一些问题带来很多方便． ５．仿射变换和仿射几何 正交变换和相似变换有两个共同的特点，即它们都把共线的三点变成共线的三点，并保持单比不变，把这两个特点抽象出来，便得到平面（或空间）上的仿射变换的概念．线段的单比是仿射变换的基本不变量． 仿射变换和正交变换、相似变换一样，把直线变成直线，保持直线间的平行性．但是仿射变换会改变两直线间的夹角．一个直角坐标系经过仿射变换后，一般地不再是直角坐标系了．因此，直角坐标系在研究仿射变换时，并没有什么特殊的益处．于是，我们引进仿射坐标系．这时，和正交变换类似，仿射变换把仿射坐标系变成仿射坐标系，并且任意一点在原坐标系的坐标和它的象点在新坐标系的坐标相同．因此，仿射变换由它对仿射坐标系的作用所完全决定．因为仿射坐标系由原点和各坐标轴上的单位点所决定，所以一个平面的仿射变换由不共线的三点和它们的对应点所完全决定． 借助于仿射变换对于仿射坐标系的作用，得到仿射变换的坐标表示． 平面（或空间）的相似变换和正交变换是仿射变换的一种特殊情况．它还有一些重要的特殊情况，如保持原点不动的中心仿射变换，保持面积不变的等积仿射变换等等． 在仿射变换中，还有一类特殊的变换，即向着直线的压缩．它是一种常见的仿射变换，它的作用有点象相似变换中的位似． 在定义仿射变换时，采用的是纯几何的方式，直到研究了仿射变换的简单性质以后，才导出了仿射变换的坐标表示．正交变换和相似变换也是这样处理的．其实，也可以从仿射变换的坐标表示出发，定义仿射变换，即仿射变换是由公式     定义的变换．利用这个公式容易证明仿射变换把直线变成直线，且保持线段的单比不变．因此，这样定义的变换就是以前用几何定义的仿射变换．用纯代数方式定义的仿射变换，讨论问题简捷方便．当然，它不如用纯几何方式定义直观．

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• 非线性高阶抛物型偏微分方程没有极值 -marketreflections- ♂ (413 bytes) () 12/07/2011 postreply 16:35:37