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拓扑流形和可微流形之间有多少差距？这个大问题迄今尚未完全解决(尤其是在4维)。 问题1：是否每个拓扑流形上都有相容的微分结构？ 问题2：如果有，那么微分结构是否是唯一的(微分同胚意义下)？ 问题3：如果不唯一，那么有多少等价类(微分同胚意义下)？ 截至50年代中期，已知的结果是： -流形上有唯一相容的-结构(Whitney)，故“可微”等同于“光滑”； 1维、2维(Radon)以及3维(Moise)拓扑流形上有且仅有一个相容的微分结构；

辛几何（Symplectic geometry），也叫辛拓扑（Symplectic topology），是微分几何的一个分支。其研究對象為辛流形，亦即带有闭非退化2-形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿表述，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。

辛拓扑和研究有非退化对称2阶张量(称为度量张量)的流形的黎曼几何有一些相似和不同之处。不像黎曼的情况，辛流形没有像曲率那样的局部不变量。这是达布定理的一个结果，表明每一对辛流形是局部同构的。另一个和黎曼几何的区别是不是所有的微分流形可以接受一个辛形式；有一些特定的拓扑限制。首先，流形必须是偶数维的。辛拓扑的很多工作就是以研究哪些流形可以有辛结构为中心的。

每个凯勒流形也是一个辛流形。直到1970年代，辛专家们还不确信是否有任何紧非Kähler辛流形存在，但从那以后又很多例子被构造出来(第一个由William Thurston给出)；特别的，Robert Gompf证明每个有限表示群都可以作为辛4维流形的基本群出现，这和凯勒的情形完全不同。