天天泡咖啡曲面第一形式、第二形式比如从三维中看二维曲面，那么真实弯曲情况就是实际上所看到的曲面形态。

来源: marketreflections 于 2011-12-11 11:04:24 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次 (814 bytes)

回答: Thurston 博士期间研究的分叶结构是三维流形上的, 这些研究使得他对三维流形的内部构造有了非常敏锐的感觉, 这种感觉把他引由 marketreflections 于 2011-12-10 18:35:49

比如从三维中看二维曲面，那么真实弯曲情况就是实际上所看到的曲面形态。
一般而言，可以用第一形式、第二形式来描述。
其中第一形式是曲面（或者N维流形）的度规（从而是度量性质），而第二形式是嵌入在高维中的外曲率张量（和所嵌入高维中的协变微分在流形上的限制相关，从而是的联络性质）。
所以，一个曲面的真实弯曲情况分为内秉的——度量性质，也就是第一形式——和外在的——联络性质，也就是第二形式。而且，对于同一个流形，这两个形式必须是不矛盾的。
当然，由于第二形式与嵌入方式有关，所以事实上当不从高维看的时候，原则上主要看的是第一形式，也就是度规。因而，在我看来流形的真实弯曲情况反应的是内秉弯曲情况，从而应该是由度量来决定的。而如果联络与度量不在几何意义下适配，那用联络给出的曲率就不能很直观地表达流形的这种内秉的真实弯曲情况——相差一个或许很复杂的代数关系。