Gauss
不动点问题
考虑一个曲面到自身的连续变换（映射），即曲面的每一点被移到该曲面上的新的位置，连续是指互相邻近的点被移到互相邻近的点。不能赋以任何微分结构的流形又被人构作出来，新旧位置相同的点叫作这变换的不动点。随后，每个不动点也有个“指数”，还有不同寻常的微分结构。即当动点绕它一周时，1956年j.w.米尔诺发现七维球面上除了通常的微分结构之外，从动点指向其像点的向量转动的圈数。同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。拓扑学家们发现，曲面到自身的映射的不动点个数如果是有限的，它们的指数的代数和不会因对这映射做细微的修改而改变，因而可从这映射的某些粗略的特征计算出来。特别是对于实心圆上的映射，指数和恒为1，所以实心圆到自身的映射总有不动点。h.惠特尼1935年给出了微分流形的一般定义，这类定理对于证明数学中各种方程的解的存在性非常有用（见不动点理论）。
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（原创）流形上向量场奇点的Poincare-Hopf定理及其初步应用
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萍踪浪迹 
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（原创）流形上向量场奇点的Poincare-Hopf定理及其初步应用 作者：萍踪浪迹（王善钦） 从Euler和Cauchy开始，微分方程的研究就和向量场的研究密切相关。到Poincare时代，由于分析工具的发展，更是形成完善的几何和拓扑理论。为了方便分析，我们先建立相图和相轨迹的概念。以位形空间坐标x和x的变化率y=dx/dt为坐标点建立起来的坐标系称为相图，x，y均为n维矢量。x-y是2n维相空间，相空间是讨论Hamilton系统的基础。相空间内的点称为相点，相点的运动轨迹称为相轨迹，简称轨迹。通常可以记dy/dx=P(x，y，t)/Q(x，y，t) 上式在dx=dy=0时失去意义。但这个情况是极其重要的。因为dx=dy=0表明位形和速度均不变化，位移不变，速度为零，相点必然落在 轴上，速度不变，必然处于平衡状态。这样的点称为平衡点或奇点。其他的点则称为为常点。常点性质非常简单。真正具有理论与应用上价值的是奇点。 早在19世纪末，Poincare就已经把Hamilton系统的研究从平直相空间推广到弯曲的相流形了。他研究相流形上带奇点的向量场的重要性质，为后世力学和数学留下宝贵遗产。Poincare截面，Poincare积分不变量等等，以及动力系统中的大量重要概念都来自Poincare高度原创性的伟大工作。其中，著名的Poincare-Hopf定理就是他的杰作之一。这里，必须先叙述奇点类型及奇点指数概念。 奇点的类型可以用系数矩阵即Jacobi矩阵 的特征值来判定。对于一个二元微分方程组，以λ_1与λ_2表示 的两个特征值。λ_1与λ_2均为实数且都小于零时，奇点为稳定结点；λ_1与λ_2为实数且都大于零时，奇点为不稳定结点；λ_1与λ_2为实数且异号时，奇点为鞍点；λ_1与λ_2为实部大于零的共轭复数，奇点为不稳定焦点；λ_1与λ_2为实部小于零的共轭复数，奇点为稳定焦点；λ_1与λ_2为纯虚数，奇点为中心。 微分方程组的奇点很好计算，只要给出函数就可以判定相空间中矢量场的奇点，比如说对于下面这个方程组决定的矢量场： dx/dt=2x+3y，dy/dt=x-y。只要令两个等式分别为零，求出的（0，0）点就是奇点。这是线性情形，奇点只有一个，为在非线性情形，奇点个数不唯一，通常应用线性近似法研究，判断奇点的稳定性，但是计算奇点的原理是和线性情形一样的。当非线性系统的线性近似的特征根实部有正数或者都小于零时，非线性方程组奇点的稳定性与其线性近似系统的稳定性是一致的。这时候可以根据线性近似系统的奇点类型来直接判断相应的非线性系统的奇点类型。这个方法称为Lyapunove间接法。 在微分拓扑学中，重要的是奇点的指标概念。以一个奇点为圆心，画一个圆，如果顺时针环绕了一圈，圆周上的向量也顺时针旋转n圈，则奇点指数为n，若圆周上的向量逆时针旋转n圈，则指数为-n，这里规定n为正数。从微分几何观点看，这实际上是一个Gauss映射。容易计算出结点、焦点与中心的指标都为1，鞍点指标为-1，在流形上可以根据一定条件构造含有奇点的向量场。关于奇点的定义要仔细揣摩，我初学时根本看不懂是什么意思，后来逼着自己死死研究了半个小时，豁然开朗，心中的愉快无法形容。 Poincare-Hopf定理断言：光滑紧致流形M上只有孤立奇点的光滑切向量场在孤立奇点处的指数之相等于M的Euler-Poincare示性数χ（M）。这—定理的2维情形是由Poincare在1885年证明的。此后Brouwer和Hadamard在n维推广情形进行了部分证明，定理的全部证明是由Hopf在1926年完成的。由于Brouwer的贡献，这个定理也被少数文献称为Poincare-Brouwer定理，这样对Hopf不公正。这个定理的完整证明要先引入Morse函数，并证明Morse引理。 应用这个定理可以很轻松解决紧致流形的一些重要问题。我们先看n维球面的Euler-Poincare示性数χ（M）问题，如果只从纯组合拓扑角度分析，我们根据χ（M）为同调群的秩（即Betti数）的交错和，计算公式为χ（M）=1+（-1）^n，n为奇数，则为0，n为偶数，则为2。 现在我们从微分拓扑观点分析，在n维球面上取对径点，称为南极和北极，作为孤立奇点。应用球极投影（E^n中标准球面在以北极点为中心的球极投影下映为扩充复平面时，球面上的Riemann度规为共形度规，常曲率流形可以通过类似方法构造共形平坦度规。） 计算出两个奇点指数分别为1和（-1）^n。指数和为2或者0，分别对应偶数维和奇数维。根据Poincare-Hopf定理，就可以得出球的Euler-Poincare示性数χ（M）为2或者0，对应偶数维和奇数维。向量场奇点的指数是局部性质，而χ（M）为整体性质，所以这个定理不仅可以很轻松地推出n维球的χ（M），而且更重要的是建立起局部和整体，代数拓扑和微分拓扑的深刻联系，是数学中的经典定理。 从上面可以自然得出奇数维球的χ（M）=0，更一般地，有以下结论：所有奇数维紧致光滑流形的χ（M）必为零。另外，若紧致光滑流形M存在处处非零的光滑切向量场，则其χ（M）必为零。从而奇数维紧致光滑流形存在处处非零的光滑切向量场。 如果奇数维紧致光滑流形M可定向，即坐标卡间的转移函数的Jacobian大于零，则根据Poincare对偶定理，可以干净利落地得出其χ（M）=0，如果M不可定向，即转移函数的Jacobian小于零，则根据模2同调群的Poincare对偶定理，也可以得出其χ（M）=0。 在球面上取定两个起奇点进行了指标的计算，我们可以追问，球面上是否可以存在只有一个奇点的向量场。回答是肯定的。对于这个问题，有一个更普遍的结论：紧致光滑流形M存在只含一个奇点的向量场。 这个结论的证明可以先用Whitney嵌入定理将M嵌入到n维Euclidean空间E^n中成为其光滑正则子流形，其上定义有E^n标准度规诱导的Riemann度规，从而成为光滑Riemann正则子流形。再根据紧致流形上Morse函数的存在性进行分析。大家知道，紧致流形的一个重要特征是其上函数必然取到最大值和最小值，判断出M上存在非退化孤立奇点。通过构造E^n上只含一个奇点0的连续切向量场，借助扰动定理，就可以证明这个结论。这里，我们不仅用到了微分拓扑理论而且用到了微分几何方法。 2005-11-16 ，22：12 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥 ------------------------------------------------- 红叶晚萧萧，长亭酒一瓢 残云归太华，疏雨过中条 树色随山迥，河声入海遥 帝乡明日到，犹自梦渔樵
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sage 
发表文章数: 1125 |
one stupid question. on a D=2 sphere, pick a point to be the fix point, follow your definition, draw a circle around it, it seems to me that the tangent vector only rotate once, so the index is 1(?). on the other hand, eular number for the sphere is 2.
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kanex 
发表文章数: 860 |
我想是因为南北极。 江畔何人初见月`江月何年初照人`
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THANXmm 
发表文章数: 914 |
这是整体和局部的问题，这个向量场部不可能光滑扩张到整个S^2上的； 所以局部index确实是1； 但是Euler number的定义是局部index的和 对于一个16岁的孩子，小说和诗歌不再吸引Abel了，他到图书馆只找纯数学和应用 数学的书看：Newton的书、天文的书、d'Alembert的力学的书……他把自己研究的一些 东西记在一本大簿子里。这时他发现Euler对二项式的证明只证明有理数指数情形，于是 他给出了对一般情形都成立的证明。
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轩轩 
发表文章数: 1352 |
早在19世纪末，Poincare就已经把Hamilton系统的研究从平直相空间推广到弯曲的相流形了. this point seems strang to me . curved phase space ??in what sense do you mean ??? is there a metric on the phase space? 宇宙爆炸以来发生的唯一事情是我爱你 《相对论通俗演义》 i will love you till the null infinity.
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sage
发表文章数: 1125 |
这是整体和局部的问题，这个向量场部不可能光滑扩张到整个S^2上的； 所以局部index确实是1； 但是Euler number的定义是局部index的和 very good. So the theorem is really about summing over all the fix points. that makes much more sense. On the other hand, since we are summing over all fix points, it is not really as much as the link between local and global. By the way, it is actually not that hard to make Eular number local. Suppose I make a simplex can calculate Eular number using integral of Ricci. then, the contributions are really coming from the singularities of that simplex (since R=0 everywhete else).
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季候风 
发表文章数: 291 |
this point seems strang to me . curved phase space ??in what sense do you mean ??? is there a metric on the phase space? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 这不过是辛流形而已，稍微带点约束的系统，经典相空间都应该是辛流形而不是平直相空间，这里“curved” 可能不是指度量非平坦，而是指拓扑非平凡。 每个微分流形上都有非常多的黎曼度量，这个跟广义相对论很不一样。Minkowski 度量的存在性是非平凡的。辛流形上当然也有这么多黎曼度量。但是没有“自然” 的黎曼度量。除非你再给定一个“相容”近复结构，这样就有一个自然的黎曼度量。 By the way, it is actually not that hard to make Eular number local. Suppose I make a simplex can calculate Eular number using integral of Ricci. then, the contributions are really coming from the singularities of that simplex (since R=0 everywhete else). ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 数学和物理的用词隔阂真是大。物理所谓“局部” 多数情况下在数学上应该叫 “局部化的”，除非谈论的是广义相对论或者拓扑场论。数学上所谓“局部” 性质就是指流形上一个邻域里观察到的性质，比如局部的度量平坦（主意：不同于度量的局部平坦，“局部平坦”一般指处处度量平坦，但是拓扑可能非平凡），局部的联络平坦，等等。 一个搞数学的说你刚才这个意思应该是“The contribution to the Euler number can be localized to singularities”。 再说，单形被看做orbifold 的时候每个低维面都是奇异的，在证明这些面的贡献为零之前，还是不能说Euler number 被局部化在顶点上。 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟
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星空与道德 
发表文章数: 258 |
By the way, it is actually not that hard to make Eular number local. Suppose I make a simplex can calculate Eular number using integral of Ricci. then, the contributions are really coming from the singularities of that simplex (since R=0 everywhete else). ----------- In general, it is not easy to make Euler number local. If you are talking about the Euler number of a bundle(e.g. tangent bunble), then after fixing a section of the bundle(vector field in the tangent bundle case), you can localize the euler class(number) to the zero locus the of section. This is also true for Chern classes. Now for different section you get different localization. There is no way to choose a canonical nonzero section, unless you put another structure on the manifold. Another way to localize is the case where there is a group action on the manifold, the group is in general a tori. After Atiyah-Bott, you get a localization formula. This is a popular technique used by mathematicians now, Like Liu Kefeng etc. 堕落吧，朋友！
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萍踪浪迹
发表文章数: 1983 |
this point seems strang to me . curved phase space ??in what sense do you mean ??? is there a metric on the phase space? ================================================== Poincare时代还没有定义到度规的程度，他本人也一直认为高维微分几何是无趣的。 传统分析力学本身就是辛空间的研究，正如季兄所说，Poincare是推广到约束力学体系的辛流形。 这就是我那句话的意思。因为我们知道，虽然Riemann，Christoffel先前已经探索了高维微分几何的初步课题，但是在几十年内都很冷寂，因此那个时候是不会有完美的赋予度规的流形的。 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥 ------------------------------------------------- 红叶晚萧萧，长亭酒一瓢 残云归太华，疏雨过中条 树色随山迥，河声入海遥 帝乡明日到，犹自梦渔樵
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leo2000 
发表文章数: 27 |
In general, it is not easy to make Euler number local ---------------------------------------------------------------------- I think "sage" is right in the sense that Euler number of a manifold has local formula. Because Euler number is just the alternating sum of the number of simplices in various dimensions. So in a triangulation of the manifold, we can associate a number to each vertex using the local information around it (i.e. the star of the vertex). In fact, there is a canonical vector field with the barycenters of these simplices as its singularities. You can see the proof of Gauss-Bonnet theorem by S.S.Chern in his notes of differential geometry. In addition, Pontryagin numbers have local formula too. But it is not easy to write it out. Recently. a Russian undergraduate student (Wow) did some remarkable work on this problem. 数学是贵族的游戏.
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萍踪浪迹
发表文章数: 1983 |
on a D=2 sphere, pick a point to be the fix point, follow your definition, draw a circle around it, it seems to me that the tangent vector only rotate once, so the index is 1(?). on the other hand, eular number for the sphere is 2. ============================================== 由于拓扑限制，如果只选一个奇点，构造出的奇点指数必定是2，这样的奇点是双极点 如果为1 ，必定存在与这个奇点对偶的另一个奇点，指数和为2 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥 ------------------------------------------------- 红叶晚萧萧，长亭酒一瓢 残云归太华，疏雨过中条 树色随山迥，河声入海遥 帝乡明日到，犹自梦渔樵
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sage
发表文章数: 1125 |
由于拓扑限制，如果只选一个奇点，构造出的奇点指数必定是2，这样的奇点是双极点 如果为1 ，必定存在与这个奇点对偶的另一个奇点，指数和为2 got it. thanks. on the 2-sphere, is that possible to only have one singluar point?
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星空与道德
发表文章数: 258 |
on the 2-sphere, is that possible to only have one singluar point? ------------------ Of course possible. There are different ways to construct it. The key point is to find a vector field with only one zero on the two-sphere. Method 1. There is a well know vecor field on 2-sphere with 2 poles as zeros. We can fix one pole, and move the other pole close to the fixed one. (another way to think about this is changing the metric on the 2-sphere). The limit situation is the case you want. Method 2. We can realize the 2-sphere as a plain plus an infinity pont. On the plain, we can construct a nonzero vector field whose integral curves are horizontal lines with suitable parametrization, we can adjust the vector field such that it can be extended to infinity and the value at infinity must be zero(since the ambiguity of direction the vector at infinity, it can only be zero). Method 3. We can put a complex structure on a 2-sphere, then it is CP1. the tangent bundle of CP1 is isomorphic to O(2), the holomorphic sections of O(2) are homogenious polynomials of degreee 2. Take x,y as homogenious coordinate of CP1, then x^2 is a section of O(2), it has only one zero with multiplicity 2(in other words, index 2). So the point is to find a vector field with only one zero, then by the localizaion I said before, we can localize the Euler number or Euler class. 堕落吧，朋友！
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星空与道德
发表文章数: 258 |
To leo,---------- So in a triangulation of the manifold, we can associate a number to each vertex using the local information around it (i.e. the star of the vertex). In fact, there is a canonical vector field with the barycenters of these simplices as its singularities. You can see the proof of Gauss-Bonnet theorem by S.S.Chern in his notes of differential geometry. ---------------------- The triangulation is not canonical on a manofold, in other words, you have already put an extra stucture on the manifold, and after you did this, as you said, you can find a vector field associate to this trangulation. So there is no canonical way to localize the euler number. 堕落吧，朋友！
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sage
发表文章数: 1125 |
>Of course possible. > There are different ways to construct it. The key point is to find a vector field with only one >zero on the two-sphere. very good, thank you for the explanation. I was thinking along the lines of your first method but was not sure whether it is possible.... by the way, what is the definition of a canonical trangulariztion?
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星空与道德
发表文章数: 258 |
The result of the first and second methods should be the same. The construction in math often require the property of canonicality. that means unique in some sense. The trangulation of a manifold has so much freedom, so that there is no unique way to pick up a particular one, we say it is not canonical. One benifit of the category language is, to some extent, bringing canonicality into math as much as possible. 堕落吧，朋友！
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