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第20卷第3期
20 04年9月
长沙交通学院学报
JOURNAL OF CHANGSHA COM MUNICATIONS UNIVERSITY VO1．20 NO．3
Sept． 2004
文章编号：1000—9779(2004)03—0032—06
几何非线性的有限位移应力应变增量分析
陈常松 一，陈政清2，颜东煌
(1．长沙理工大学，湖南长沙410076；2．中南大学土木工程学院，湖南长沙410075) 摘要：从有限位移理论的应力应变定义出发，讨论了几何非线性分析中常用的uL格式各 种应力应变的增量形式。以平面梁元为例重点分析了仅发生刚体位移时Euler应力增量和 无穷小应变增量、Kirchhof应力增量和Green应变增量的具体表达式，并且推导出用Kirch— hoff应力增量和Green应变增量形式表示的虚功增量方程。 关键词：几何非线性；uL格式；Kirchhoff应力张量；Green应变张量
中图分类号：U448、27 文献标识码：A
有限位移理论作为结构几何非线性分析的基础，其基本物理量如应变张量和应力张量及其增量形 式在定义上与线弹性理论的相应量明显不同，它严格区分变形前与变形后的构形，各物理量定义时严格 参照参考构形，所以不同的参考构形产生不同的变形度量和应力度量，其相应的增量形式也截然不同， 应变张量可以任意定义，只要求它能以某种方式度量物体的变形，没有真假之分，但有是否合理之说。 而对于应力张量来说，虽然也可以任意定义，但与应变张量不同，应力有真假之分，各种应力张量中只有 Euler应力为真实应力，其它形式的应力皆为虚假应力。本文以平面梁元的刚体位移为例，说明了在结 构几何非线性分析中为何采用Kirchhoff应力张量和Green应变张量作为度量张量的原因，最后推导出 用二者表示的虚功增量方程。这些有助于理解目前几何非线性分析中常用的UL格式或CR格式中单
元节点位移向量的形式以及切线刚度矩阵的推导过程。
1 参考构形的选择
在利用有限位移的增量理论求解 时，通常是将变形体的变形加载途径 分成若干段平衡状态，每一平衡状态
对应于变形过程中的一个平衡时刻， 设各平衡时刻的状态分别为：
n (0】
，
n (¨
．
⋯
，
n (N)
，
n (N ¨
，
⋯
，
n (，)
其中n(。’和n(， 分别表示变形体的
初始状态和最终状态，而n 和
n ¨ 分别表示变形过程任一时刻t
和￡+At的中问平衡状态，如图1所
示。
增量理论分析通常从已知的初始
状态出发，求出下一平衡状态时刻的
各个物理量．然后再由第一步结束时
x 2
图1 变形的增量过程 收稿日期：2004—02—17
作者简介：陈常松(1972一)，男，长沙理工大学副教授，中南大学博士生
第3期 陈常松，陈政清，颜东煌：几何非线性的有限位移应力应变增量分析 33 的已知量求第二步的未知量，如此继续下去，直到解出所需的结果。因此增量求解的标准格式是：由已 知的第N 结束时的位移、应变和应力等物理量，去推求由第N 步到第N +1步的各个物理量的增量，再 将各增量叠加到相应的物理量上，便得到第N +1步结束时的各物理量_l’2]。 在描述物体在空间构形的变形和受力状态时，需要选择某一时刻的构形作为参考构形，以便确定每
一
时刻每一质点的位置。参考构形的选取原则上可以任意选取，要研究t时刻的运动和变形，可以选择
t时刻或t时刻以前任意时刻的构形为参考构形。在非线性分析中采用较多的两种参考构形分别是：
1)以未变形状态的构形(也即初始构形，用力(0 表示；此时t：0)为参考构形，所有的物理量都是
相对这一参考构形的增量值，以这种参考构形建立的平衡形式称为Total Lagrange Formulation，简称
TL格式；
2)以变形过程中，在t+At时刻前一时刻t已知的平衡状态的构形n 为参考构形，所有的物理 量都是相对前一平衡时刻t的增量，每一求解增量过程中的参考构形都重新调整，以最近的平衡状态作 为参考构形，以这种参考构形建立的平衡形式称为Updated Lagrange Formulation，简称UL格式。
2 变形状态的描述
有限变形理论认为描述物体变形状态的合理的应变分量应具备4个基本条件：① 应变为无量纲
量；② 一组应变分量与变形状态单值对应；③ 有明确的几何意义且与应力分量可组成能量项；④ 与描
述变形的参考坐标无关，即满足刚体运动时的不变性，为张量。
2．1 描述质点运动的三种坐标系
连续介质力学理论认为物体是介质质点的连续集合，物体的运动和变形实质是质点的运动。描述
欧氏空间内的质点位置有三种物理性质不同坐标系描述方法。
1)物质坐标系OX。X：X 。质点在任一时刻t可用描述参考构形内同一质点的参考坐标系 OXl X2X3内位置坐标X，(J：1，2，3)来识别或定名(物质坐标系中的分量下标采用大写字母表示)，显 然对于指定的质点在任意时刻的X，坐标都是相同的，因此也称X，为物质坐标，称OXlX2X3为物质
坐标系或Lagrange坐标系，简记为L坐标系。显然，描述同一质点的物质坐标总是不变的。
2)固定坐标系OX。 ： 。固定坐标系是固定于空间的参考坐标系，是用来描述空间点的位置坐 标，它不随质点运动或时间参数t而改变，是描述物体运动的静止背景，每组坐标值z 定义了一个固定
的空间点，是识别空间点的标志，因此有时也称为空间坐标系或Euler坐标系，简记为E坐标系，固定坐 标系中的分量下标采用小写字母表示。显然，不同时刻的空间点z 由不同的质点X，占据，而同一质点 X，在不同时刻占据着不同的空间点 。
3)随体坐标系o 。将物体的变形理解成描述质点位置的物质坐标系在变形过程随物体一起 运动、旋转和变形，同一质点的物质坐标值 始终保持不变，但度量物体长度的尺度即坐标系本身的性
质(协变基矢量辱、度量张量官，f和Christofel符号r；；等)也在不断地变化，如从直线坐标系变成曲线坐
标系。一般取物体在初始构形时的随体坐标系与物质坐标系重合，即 =X．，因此将这种质点的坐标 值不变而坐标系本身却不断变化的坐标系称为随体坐标系o ，简记为I坐标系。由于代表I坐标 系性质的基矢量随物体变形而变化，因此还另需一参考坐标系来描述I坐标系本身的运动，通常采用E 坐标系作为这一参考坐标系。 比较上述几种描述方法可知：在E坐标系中，物体的变形表现为质点的坐标 不断变化．而坐标系 本身却保持不变；在I坐标系中，物体的变形表现为描述质点坐标的坐标系构架在不断地变化，而坐标 系中的质点坐标值 保持不变。 在连续介质力学中，物理、力学变量以及各种规律既可以用L坐标X，或I坐标 来描述，也可以 用E坐标 描述，只不过L坐标或I坐标描述的是质点及其邻域在某一时刻￡的物理量，而E坐标描 述的是空间某点及其邻域在某一时刻t产生的物理量。
2．2 UL格式下Green应变及其增量形式
34 长 沙 交 通 学 院 学 报 第20卷 设L坐标系和E坐标系为同一坐标系，且为笛卡尔坐标系。如图1所示，在t=0的初始构形n(0
中的点P(o 的矢径为；o= ；在f时刻的第N步平衡构形n(N 中，点P(。 变形为P(⋯，位移为 ，其对 应的矢径为；N=三；在f+At时刻的第N+1步平衡构形n(N 中，点P(N 变形为P(N ¨，位移为增
量△ ，对应的矢径为，·N¨ ： 。则有：
；。=x ，=X,e ]
N =
z =
。+ U。’
=
(x +“ )； } (1)
N+ = =；N+△二=( +△“ )； =；。+二+△二=(X +“ +Au )； J
根据UL格式的定义，第N +1步n(N 构形的应变以第N 步n(N 构形为参考构形，有：
AE(N)=△E(N ；，= ㈦ = ( + + ；， t 2)
故有：
△E(N =号( 一 ；， )
3 UL格式的Euler应力张量和Kirchhoff应力张量及其增量形式
大变形应力理论的特点是初始的未变形状态为不受力状态，此时没有应力，而有应力的状态是已经 变形的状态。随着应力的发生，物体内各部分的尺寸以及各截面的大小、形状和方位也有了变化，并rt 这些改变不能略去不计。因此不能像小变形那样，仍按变形前的尺寸和截面方位来定义应力和考察平 衡，而是必须连同变形一起作考察。研究物体在外力作用下的平衡，原则上应在现时构形中来讨论，也 就是说采用E坐标描述比较方便，此时的应力是以现时构形中的单位面积定义的，因而是真实应力，此 应力称为Euler应力。在固体的有限变形理论中，由于固体的初始构形为已知，而现时构形下是要求解 的、未知的，而且其本构方程在很多情况下也是采用L坐标描述的，因而采用E坐标并不方便，往往要 采用L坐标或L—E混合坐标进行描述。所以，应力张量除Euler应力之外，还有采用L坐标的Lagrange 和Kirchhoff应力张量。在本节将E坐标系和L坐标系简单地设为笛卡尔坐标系。 3．1 E坐标描述的Euler应力张量和L坐标描述的Kirchhoff应力张量 设E坐标系的坐标构架矢量为e ，在现时构形n 中取单位方向矢量为” 的一有向微面元d ，以微
元ds为斜面取微四面体，3个正截面分别平行于3个坐标面，则Euler应力张量为 可定义二阶形式： = a0e J (4) 其中， ，=P( )为3个正截面的应力矢。容易证明Euler应力张量 为对称张量。
Kirchhof应力张量(或广义、伪、第二类Piola—Kirchhof应力张量)是在初始构形n【U 上定义，采用
L坐标系描述，表示为二阶并矢形式则为： S = Sue， J (5) 其中，S， ，=F一 ·P( ，)，F 为变形梯度张量，一F ·P(P，)是以初始构形中的微元ds为斜面和以I 坐
标轴为法线的3个正截面的应力矢量。Kirchhof应力张量为对称张量。
Euler应力张量和Kirchhof应力张量之问的转换关系为：
Su = SIlI
．
tXt i= PiIxI．i= jxj． j．jalj 06
其中记号()．，= a() X，，()． ： () 。 3．2 Euler应力增量
如前所述，Euler应力张量是在现时构形、E坐标系中定义的，因此描述Euler应力张量的微元体的 各个面总是和对应的坐标面平行，所以第N 步的n(N’构形时的 N和第N+1步的n( ¨ 构形时的 N¨ 各对应的分量方向总是相互平行，因此可写成相同的张量实体形式：
～
= O-N+ △ (7)
第3期 陈常松，陈政清，颜东煌：几何非线性的有限位移应力应变增量分析 35 应该指出，Euler应力增量△ 并不能反映物体的实际变形情况，因为当物体作刚体旋转时，△ 随之变 化。为了扣除物体刚体转动的影响，常在Euler应力增量的基础上引入Jaumann应力增率△ J，其表达
式为：
△ J= △ 一 + (8)
式中“·”表示对时间t求导，当物体作刚体转动时，有 J=0。可用△ 表示的增量△ ，应力增量分量表
示为： △ = △ f+ 矗 州fAt一 矗 fAt (9) 3．3 Kirchhoff应力增量 根据Kirchhoff应力张量与Euler应力张量之间的转换关系，可得到Kirchhoff应力增量表达式。以
t时构形n(N 为参考构形，设￡时以n(N)为参考构形的Kirchhoff应力分量为s(N) 其增量为
AS(N) 显然有S(N) = 则有：
S(N)kl+△5(M =I I 3xk c')xl( + l，J)
由此可得到△S(N) 的线性表达式：
△s2N) =△ f一△E?N)f 矗一△E?N)矗m mf+△E2N)pp
4 平面梁元的UL格式应力应变张量的讨论
(10) (11) 4．1 刚体位移时的Euler应力和Kirchhoff应力
在UL格式中，求解t+At时刻平衡构形是以t时刻平衡构形为参考的，需重新建立L坐标系 xoy。设平面单元U 在t时刻构形n 中的质点用L坐标tx =(i=1，2)表示，在t+At时刻构形 n ¨ 中的同一质点用L坐标H 表示，当在t时刻至t+At时刻的增量步内，单元发生平面刚体平 移和刚体转动。设n 构形中单元任一点到首节点 的相对坐标为( l一 zn，tx2一 z，2)，首节点刚体 平移为(“ U，2)，刚体转动表示为角度n(逆时针为正，可任意大小)，则：
△
z l = tx l，+UI，+( zl— l，)cos口一( 2一 2，)sina1
△ z 2 = tx
2，+“2，+(txl一 zl，)sina+( 2一 2，)cos口J
平面梁单元在t时刻的Euler应力张量和Kirchhoff应力张量可写成矩阵形式： [ ] (13) 单元经过平面刚体位移后，平面位置发生了变化，但没有产生弹性变形，因此t+At时刻单元的Euler 应力张量[H tO-]实际上可根据张量与坐标的不变性，由坐标H 与 转换得到，其转换关系为： [H ] 由上式可见，t+At时刻的Euler应力张量[H tO-]与t时刻的Euler应力张量[ ]不同。t+At时刻的
Kirchhoff应力张量可由此时的Euler应力张量根据式(6)转换得到，即有：
[” S]= t+AtSll sl2]
lH s2l H s22．J
~t+AtXl，l △ l，2]『H tO-ll” l2]P+△f l，l △ 2，1]
+△ fz 2
，
l 2，2j t+At(72l”△ 22j +△fz l，2 hA 2，2j
cosa 。 Ⅲ
+ At
O-
，
l 。 l
H
-
sin
to- t+Ato
l—
sin口 c。s口j Lr+△ 2。
22J 【sin口 c。s。口。]j=： 【 2。 0 j= s l3 ，
●
O
l ，‘
，
— 口．． ． ．．．．．．．．1，口
=
1● ● ● ●●J
0
l ，‘ — ．．． ．．．．．．．．1
=
1 j
S
rL
●
O
l ， ‘
，
—口．．． ．．．．．．．．1，口
36 长 沙 交通 学 院 学 报 第20卷 由上式可见，Kirchhoff应力张量分量在刚体转动中是一个不变量，即刚体运动时它们不会变化，其实 Kirchhoff应力张量的这一性质不仅仅是对于平面梁元的，而是单元发生刚体位移时的一个普遍特性。
4．2 刚体位移时的无穷小应变增量和Green应变张量
发生刚体位移时，单元内任一点 在增量步内的位移为： Aul=tx¨+“¨+( zl一 z¨)COSt2一( z2一 z2，)sina一 zl 1
Au 2= z2，+“2，+( l一 zl，)sina十( z2一tx2，)COSt2一 z2 J
则可得：
一⋯a， 0s口’ ⋯m．n n， ． si n口’ 一⋯∞ c⋯7 ，
无穷小应变张量指的是由式(2)中前二项组成的张量，对于平面问题，无穷小应变增量有3个分量，
分别为△Pll、△Pl2(=Ae21)和△ 22，且为： (18) 又因平面梁元的Green应变增量张量有3个分量，分别为AEll、AEl2(=AE21)和AE22，根据式(2) 有：
。= +
( ) +号( ) 一a一扣一 + a=。
z =
丢( + )+号( · + · )=。
： = +
( ) + ( ) =。
(19)
由(18)、(19)式可知，当梁单元仅发生刚体运动时，其无穷小应变增量不全等于零，应变大小与刚体 转动角度a相关，而其Green应变增量为零，反映了梁单元变形的变化情况，文献[3]根据工程应变的不 同非线性表示形式讨论了杆单元刚体位移时的应变。
4．3 UL格式的虚功增量
由于Kirchhoff应力增量和Green应变增量在物体仅产生刚体位移时分量全部为零，应力应变增量 只与在增量步中发生的变形有关，反映了物体应力应变的变化情况。相反，Euler应力增量和无穷小应 变增量都发生变化。根据Kirchhoff应力和Green应变的这一特性，如果将t时刻至t+At时刻的增量 步内的虚功表示成Kirchhoff应力增量和Green应变增量形式，则虚功增量方程的计算或推导过程更加 简洁地反映出物体的变形情况(当然虚功增量也可表示成Euler应力增量和无穷小应变增量的形式)。
设在增量步内外力的虚功增量为 W ，变形梯度增量张量为F，与Kirchhoff应力增量对应的t时
刻构形n 上的应力矢为P，且有P=P(e )N (其中N 为L坐标系xoy中应力矢作用面法线的方向 余弦)，位移增量矢量为△“，且有△“=Au,e ，根据平衡方程和散度定理可得到：
rrr 。
8W 。= ⋯(F·P(P ))·8Au． · dv (：：0)
JJJ
t
式中 v表示以t时刻的构形为积分域。
因P(P )=As， ，，F=H ．jei~it，所以有：
(F ·P(P ·8Au， =”attxf1JASt 8u = AStf (汁 f1J· z )／2 (21) 又根据Green应变增量公式，有
∞ 0 ∞
= = =
‰ ‰ 一
一‰ 一 一
一2 一2 一2
= = =
△ △ △
第3期 陈常松，陈政清，颜东煌：几何非线性的有限位移应力应变增量分析 37
8AE = (H f．J·H f．f)／2 (22)
设Kirchhoff应力增量张量表示为AS=AS e g ，Green应变增量张量表示为△E=△E g ，所以
(F ·P )· △“， = △S， △E = AS ： △E (23)
将上式代人式(20)。得：
广rr
3W = ⋯AS： △E· dv (24)
f
式(24)就是用Kirchhoff应力增量和Green应变增量形式表示的虚功增量方程。由此虚功增量方 程可方便地进一步推导出各种单元的uL格式的单元切线刚度矩阵。
5 结 语
本文从有限位移理论的应力应变定义出发，讨论了几何非线性分析中常用的UL格式各种应力应
变的增量形式。以平面梁元为例重点分析了仅发生刚体位移时Euler应力增量和无穷小应变增量、
Kirchhoff应力增量和Green应变增量的具体表达式，说明了几何非线性分析一般采用Kirchhoff应力增
量和Green应变增量表示物体的应力应变的原因，并且推导出用Kirchhoff应力增量和Green应变增量
形式表示的虚功增量方程。这些对于深入理解有限位移理论中的uL格式或CR格式分析方法有着重
要的帮助作用。也容易理解在CR格式中，梁单元节点位移增量为扣除刚体位移后的节点位移，也理解
为梁单元随体的拖动坐标系中节点位移向量。
参考文献：
[1] 鹫津久一郎[日]．弹性和塑性力学中的变分法[M] 北京：科学出版社，1984． [2] 王勖成，邵敏．有限单元法基本原理和数值方法(第2版)[M]．北京：清华大学出版社，1997 [3] 范志良．考虑几何非线性的杆单元应变公式[J]．力学与实践，1995，17(1)：63～64．
Analysis of Geometrical Nonlinear Finite Deformation Stress and Strain Increm ents
CHEN Chang．song 一，CHEN Zheng．qing ， YAN Dong—huang
(1．Changsha Univ．of Science and Technology，Changsha 4 10076，China；
2．CoLLege of Civil and Architecture Eng．，Central-South Univ．，Changsha 410075，China) Abstract：In the paper sonle aspects of the increment of stress and strain of updated Lagrange formulation in the analysis of geometrically nonlinear problem have been treated from the definition of stress and strain of definite deformation．Then a 2D beam is taken as the example with the only rigid—body motion，the detail formulation of increment of Euler stress and infinitesimal strain，Kirchhoff stress and Green strain are discussed．The increment of virtual work equation in terms of Kirchhoff stress and Green strain is also
derived．
Key words：geometrically nonlinear；updated Lagrange formulation；Kirchhoff stress tensor；Green strain
tPns0r
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