Vector01 功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间的积累效应。单位为J （焦耳）。 空间某点的势能Ep在数值上等于

功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间的积累效应。单位为J

（焦耳）。空间某点的势能E^p在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。

• 势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。势能零点可以任意选取
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  第 3 章 机械能和功

  
  
  
  
  

  一、功

  功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间的积累效应。单位为J （焦耳）。

  

  变力的功：

  恒力的功：

  §3.1 功 质点动能定理

  
  
  
  
  

  直角坐标系：

  自然坐标系：

  • 与参考系无关，位移与参考系有关，故

  W与参考系有关。

  1. 一般情况下，功与力和路程有关

  说明

  
  
  
  
  

  [S]

  [S]

  W与参考系有关。

  一辆汽车在水平道路上以 速度沿直线匀速行驶, 汽车内水平地板上有一只盒子,乘客用水平推力 推着盒子相对地板以 速度向前移动，求在 t 时间内人做的功

  小车坐标系[S’]

  地面坐标系[S]

  力与盒子相对于汽车的位移的点乘

  力与盒子相对于地面的位移的点乘

  
  
  
  
  

  4. 平均功率

  瞬时功率

  单位 W(瓦特)=J/s

  3. 合力的功等于各分力的功的代数和。

  
  
  
  
  

  解：

  变力

  恒力 曲线运动

  [例3-1] 小球在水平变力  作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角。 求：(1) 的功， (2) 重力的功。

  m

  l

  
  
  
  
  

  二、质点的动能定理

  设质点m在力的作用下沿曲线从a点移动到b点

  总功：

  

  b

  a

  元功：

  切线方向的分力

  
  
  
  
  

  质点的动能定理：

  合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。

  说明

  3. 应用：

  1. 合外力的功是动能变化的量度。

  与参考系有关，动能定理只在惯性系中成立。

  2.

  4. 微分形式：

  
  
  
  
  

  [例3-2] 质量 m 长 l 的均匀链条，一部分放在光滑桌面上, 另一部分从桌面边缘下垂, 下垂部分长 b ，假定开始时链条静止，求链条全部离开桌面瞬间的速度。

  [解法一]

  建立如图坐标系Ox，设x为某时刻下垂链条长度。由动能定理

  x

  O

  dx

  
  
  
  
  

  设T为链条下垂部分和在桌面上的链条部分间的相互作用力，由牛顿定律得

  a

  [解法二]

  a

  
  
  
  
  

  [解法三] 也可由机械能守恒定律计算。

  b

  O

  l-b

  
  
  
  
  

  L

  x

  o

  L

  s

  x

  传送机滑道

  水平平台

  [例3-3] 一根均匀的柔软的物体（长度为L）以初速v⁰ 送上平台，物体前端在平台上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦系数为μ ，且 s ＞Ｌ，求初速度v⁰ 。

  解：

  
  
  
  
  

  由动能定理：

  
  
  
  
  

  [例3-4] 有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。三面的高度和水平距离都相同，为 h 和 l ，与物体的摩擦系数均为μ。 试分析哪个面上的物体滑到地面时速度最大?

  (1)

  解：

  (1)

  (2)

  (3)

  元功

  N

  mg

  
  
  
  
  

  (2)

  (3)

  最大

  (1)

  (1)

  (2)

  (3)

  END

  N

  mg

  最小

  N

  mg

  N

  mg

  
  
  
  
  

  (3)

  在自然坐标系中：

  N

  mg

  它由与瞬间速度矢相切的t轴和垂直于速度矢指向曲线的凹侧的n轴构成

  
  
  
  
  

  一、力场

  x

  y

  力矢量在空间的分布形象反映了力场。

  §3.2 保守力 非保守力 耗散力

  x

  y

  z

  m

  o

  一般地，

  当质点所受的力仅与位置有关时， 即

  代表质点受力的空间分布，称为力场。

  
  
  
  
  

  二、几种常见力的功

  1. 重力的功

  • 重力作功只与质点的起始和终了位置有关， 而与所经过的路程无关。

  
  

  dz

  dx

  z

  

  z¹

  z²

  a

  b

  m

  x

  O

  
  
  
  
  

  2. 万有引力的功

  设质量为M的质点固定，另一质量为m的质点在M的引力场中从a点运动到b点。

  dr

  

  • 万有引力的功仅由物体的始末位置决定，而与路程无关。

  
  

  r^b

  r^a

  a

  b

  M

  m

  
  
  
  
  

  3. 弹性力的功

  • 弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点运动的路程无关。

  
  

  x

  m

  x²

  x¹

  b

  a

  O

  x

  
  
  
  
  

  a

  b

  O

  r

  4. 回旋力的功

  O

  ：为横向单位矢量

  路程1： 圆弧ab

  W= 0

  • 回旋力做功与路程有关！

  
  

  路程2：

  回旋力：

  
  
  
  
  

  *圆周运动*

  R

  s

  o

  角速度

  角加速度

  回旋力

  离心力

  
  
  
  
  

  5. 摩擦力的功

  a

  b

  • 摩擦力做功与路程有关！

  
  

  桌面俯视图

  
  
  
  
  

  三、保守力 非保守力 和耗散力

  a

  b

  c

  d

  保守力：

  作功与路程无关，只与始末位置有关的力。

  • 保守力沿任何闭合路程作功等于零。

  
  

  作功不仅与始末位置有关，还与路程有关的。

  如：重力，引力，弹性力等。

  如：摩擦力，回旋力等。

  非保守力：

  而(一对)摩擦力作功始终是负的，又称为耗散力。

  
  
  
  
  

  有心力：

  • 有心力一定是保守力。

  
  

  判据

  如： 引力

  静电力

  是非保守力。(<0， 则为耗散力)

  是保守力。
  
  

  任意闭

  合路程

  
  
  
  
  

  解：

  [例3-5] 已知 , C点坐标为(2，1)。 求：

  (1) 的功  

  a. 沿路程 OAC

  b. 沿路程 OBC

  c. 沿路程 OC

  (2) 是否为保守力?

  (1)

  x

  O

  A

  B

  C(2, 1)

  y

  ＝0

  ＝0

  ＝0

  
  
  
  
  

  (2) 非保守力，因为做功与路程有关。

  x

  O

  A

  B

  C(2, 1)

  y

  
  
  
  
  

  取任意路程ABCDA

  为保守力。

  为非保守力。

  [例3-5] 设以下两个力场：

  , 画出力矢图， 并判断是保守力还是非保守力。

  解：

  取矩形路程EFGHE

  x

  y

  A

  B

  C

  D

  x

  y

  E

  F

  G

  H

  END

  
  
  
  
  

  一、势能的引入

  与物体的位置相联系的系统能量称为势能（E^p）。

  保守力的功是势能变化的量度：

  物体在保守力场中a，b两点的势能E^pa， E^pb 之差等于质点由a点移动到b点过程中保守力做的功W^ab。

  • 保守力的功等于系统势能的减少。

  
  

  §3.3 质点在保守力场中的势能

  
  
  
  
  

  弹性势能

  重力势能

  引力势能

  如：

  
  
  
  
  

  • 空间某点的势能E^p在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。

  
  

  • 势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。势能零点可以任意选取。

  
  

  • 势能是相互作用有保守力的系统的属性。

  
  

  说明

  设空间 点为势能零点，则空间任意一点 的势能为：

  
  
  
  
  

  [例3-6] 轻弹簧原长l⁰ ，劲度系数为k，下端悬挂质量为m的重物。已知弹簧重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了x⁰ ，现取x 轴向下为正，如果原点分别位于： (1) 弹簧原长位置, (2)力的平衡位置。若分别取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总势能。

  解：

  (1) 以弹簧原长点O 为坐标原点，系统总势能：

  x

  m

  O

  O

  P

  x⁰

  x

  
  
  
  
  

  (2) 若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点，则有：

  任意位置 x 处的系统总势能：

  x

  m

  O

  O

  P

  x⁰

  x

  
  
  
  
  

  二、保守力与势能的关系

  1. 积分关系

  2. 微分关系

  偏导数

  
  
  
  
  

  矢量式：

  称梯度算符。

  
  
  
  
  

  [例3-7] 已知势能函数， 求保守力。

  解：

  利用梯度算符在球坐标系中的表达式得：

  
  
  
  
  

  三、势能曲线

  o

  z

  重力势能曲线

  双原子分子的势能曲线：

  O

  r

  o

  r

  引力势能曲线

  o

  x

  弹性势能曲线

  
  
  
  
  

  [例3-8] 已知地球半径 R，物体质量 m，处在地面 2R 处。求势能:（1）地面为零势能点；（2）无限远处为零势能点。

  解：

  空间某点的势能E^p在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。

  
  
  
  
  

  一、质点系 内力与外力

  内力

  外力

  §3.4 质点系的势能

  势能属于相互作用有保守力的各物体组成的整个系统，称相互作用势能。与系统内的一对保守内力做功有关。

  系统内，内力是成对出现的。

  
  
  
  
  

  二、内力的功

  相对元位移

  O

  i

  j

  一对内力的功：

  相对位矢

  
  
  
  
  

  1. 系统内一对内力的功一般不为零

  说明

  i

  j

  考虑斜面和滑块间的一对摩擦力的作功情况。

  说明：“系统内一对内力的功不一定为零”。

  
  
  
  
  

  2. 一对内力做功之和与所选的参考系无关

  与参考系无关，

  一对摩擦力做功: W^f = - f l

  (地面系，木块系，子弹系)

  s

  l

  子弹

  木块

  一对内力做功之和与所选的参考系无关！

  例如：

  
  
  
  
  

  三、相互作用势能

  一对保守内力

  i

  j

  因此，在计算一对内力作功时，可选其中一个物体为参考系，以另一物体的相对位移为准求内力做功。

  如： 重力势能

  属于地球和物体组成的系统。

  一对内力作功：

  O

  
  
  
  
  

  四、多质点系统的势能

  保守内力

  END

  其中 为质点 i 和 j 之间的相互作用势能。

  
  
  
  
  

  一、质点系的动能定理

  §3.5 功能原理 能量守恒定律

  设第 i 个质点所受外力的功为 ，内力的功为 , 初速度为 , 末速度为 。

  外力对质点系做的总功。

  内力对质点系做的总功。

  
  
  
  
  

  质点系的动能定理： 所有外力和内力对系统所作的功之和等于系统总动能的增量。

  质点系的末态总动能。

  质点系的初态总动能。

  
  
  
  
  

  [例3-11] 光滑水平面上放有质量为m¹的沙箱， 由左方飞来质量为m²的弹丸从箱左侧击入， 在沙箱中前进 l 距离后停止。 在这段时间中沙箱向右运动了距离 s ， 此后沙箱带着弹丸以匀速 v 运动。求(1) 沙箱对弹丸的平均阻力F；(2) 弹丸初速v⁰ ；(3) 沙箱--弹丸系统损失的机械能。

  (2) 对弹丸，应用动能定理：

  (1) 对沙箱, 应用动能定理：

  解：

  s+l

  s

  
  
  
  
  

  (3) 机械能变化：

  一对非保守内力(耗散力)做负功，使系统动能减少。

  s+l

  s

  
  
  
  
  

  二、功能原理

  保守内力的总功

  非保守内力的总功

  内力的总功

  质点系的功能原理： 质点系在运动过程中，所有外力的功和非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。

  
  
  
  
  

  1. 明确系统及初、末状态。

  2. 适用于惯性系。

  3.

  机械能守恒定律

  与参考系无关, 而

  与参考系有关。

  • 在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。

  
  

  • 系统中的动能和势能可以转换, 各质点间的机械能也可以互换, 但保持系统的总机械能不变。

  
  

  说明

  若

  
  
  
  
  

  4. 对孤立系统

  若

  能量转换和守恒定律

  其他形式的能量转化为机械能。

  机械能转化为其他形式的能量。

  则：

  
  
  
  
  

  [例3-13] 已知铁链质量m，长 l ，与桌面摩擦系数为 。问： (1) a 为多少时铁链开始下滑? (2) 金属链全部离开桌面时 v 为多少?

  解：

  (1)

  (2) 摩擦力做负功，以 a 处为坐标原点

  下垂部分重力 等于摩擦力时

  O

  x

  dx

  a

  
  
  
  
  

  利用功能原理，以桌面为零势能点：

  O

  x

  dx

  a

  
  
  
  
  

  [例3-14] 计算第一、第二宇宙速度。

  一、第一宇宙速度

  物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度

  已知：地球半径为R，质量为M，卫星质量为m。要使卫星在距地面h 高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。

  解：

  设发射速度为v¹，绕地球的运动速度为v。

  机械能守恒：

  万有引力提供向心力：

  R

  M

  m

  
  
  
  
  

  得：

  第一宇宙速度

  
  
  
  
  

  二、第二宇宙速度

  地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度

  (1) 脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。

  (2) 脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。

  由机械能守恒：

  得：

  
  
  
  
  

  第三章作业

  • 4，10，12，29，34，35

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• 忽略了三维属性后，我们将会发现，任意一个四维物体在时间轴上都表现为一条线段 -marketreflections- ♂ (4335 bytes) () 12/17/2011 postreply 14:30:16

• 高斯先是經由曲面的法線在三度空間的變動來定義曲率K,他發現曲率僅用E、F 和G 三個量就可以完全的表示出來曲率是一種曲面內在性質 -marketreflections- ♂ (10414 bytes) () 12/17/2011 postreply 17:58:31

• Gauss01 一个多边形之外角和在数量上不等于360。，&#8943;&#8943;而是成比例于曲面的面积 -marketreflections- ♂ (518 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:05:12

• 回复：Gauss01 u-线，v-线越密，完整的曲边四边形就越接近于平行四边形，而不完整的曲边四边形的面积在整个区域内所占比重越 -marketreflections- ♂ (57339 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:19:20

• Gauss01 u-线，v-线越密，薛定谔方程中的Laplacian 符号同样是双原子分子的坐标的二次微分;相对论的黎曼张量空间 -marketreflections- ♂ (35812 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:43:11

• Gauss01 u-线，v-线越密， 为曲面 的参数或曲纹坐标,曲面的曲纹坐标网是正交网,曲面的曲纹坐标网是正交网(即任何 -u -marketreflections- ♂ (15281 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:04:43

• 回复：Gauss01 u-线，v-线越密， 与曲面上的一族曲线中的每一条均正交的曲线称为该族曲线的正交轨线,微分方程 所代表的曲 -marketreflections- ♂ (9432 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:07:24

• Gauss01 三角形的球面映像的“定向” -marketreflections- ♂ (702 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:23:15

• Gauss01 黎曼的核心思想是要建立所谓的多重广义尺度中的各种各样的度量关系 季候风 -marketreflections- ♂ (240 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:21:11

• Gauss01 黎曼的核心思想是要建立所谓的多重广义尺度中的各种各样的度量关系 季候风, A,B,C 的值跟它的出发点的位置有关 -marketreflections- ♂ (10492 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:24:06

• 黎曼01 对于空间中任意给定的一个曲面，可以通过弯曲、拉伸或压缩来连续地改变它的形状,弯曲、拉伸或压缩这个曲面而保持它每一点的角 -marketreflections- ♂ (993 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:33:54

• 黎曼01 微分几何教案（二十） 5.2曲面的黎曼曲率张量和高斯—科达齐—迈因纳 -marketreflections- ♂ (34490 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:53:32

• 黎曼01 微積分講義01 -marketreflections- ♂ (114 bytes) () 12/18/2011 postreply 08:38:33

• 黎曼01 数学备课大师 曲面的“内在”几何学．他用曲线坐标(好像球面上经纬度)来代替三维笛卡儿坐标，证明曲面在一点的全曲率(即 -marketreflections- ♂ (3954 bytes) () 12/18/2011 postreply 08:44:58

• 假如我们应用非惯性坐标系统，四度坐标x0，x1，x2，x3将是曲线坐标 -marketreflections- ♂ (63483 bytes) () 12/18/2011 postreply 08:50:41

• gr01 其中 gij 称为度规，在直角坐标系下它就是一个对角元素为 1 的单位矩阵。当空间弯曲时，两点间可能并没有直线，比如在 -marketreflections- ♂ (975 bytes) () 12/18/2011 postreply 14:26:38

• tw01 黎曼大膽地採取了（數學）分析方法，由一先在的空間（Space a Priori）出發，認為研究空間之局部性質後，才能夠 -marketreflections- ♂ (392 bytes) () 12/18/2011 postreply 08:54:44

• 黎曼01 (1) 复流形的观点: 黎曼面是一维的 K础忙r流形. 这里的棠耍工具是分析、拓扑和微分几何,例如曲率1 示性类1残敌 -marketreflections- ♂ (4196 bytes) () 12/17/2011 postreply 21:00:16

• 黎曼01 近代幾何的發展 丘成桐 -marketreflections- ♂ (28590 bytes) () 12/18/2011 postreply 09:02:11

• 黎曼01 丘成桐 測地線 庞加莱圆盘 一個質點在空間的移動，可以由映射 x : [0,T] &#61614;R3來描述。它的速 -marketreflections- ♂ (56884 bytes) () 12/18/2011 postreply 10:20:40

• gr01 sr01 http://staff.ustc.edu.cn/~jmy/ -marketreflections- ♂ (11807 bytes) () 12/18/2011 postreply 14:32:20

• gr01 卡斯勒度规是爱因斯坦场方程的一个解 该度规可描述这样一种宇宙：随宇宙演化，某些空间维度变小（紧缩场，compacti& -marketreflections- ♂ (115682 bytes) () 12/18/2011 postreply 21:52:36

• gr01 卡斯勒度规是爱因斯坦场方程的一个解 该度规可描述这样一种宇宙：随宇宙演化，某些空间维度变小（紧缩场，compacti& -marketreflections- ♂ (115682 bytes) () 12/18/2011 postreply 21:52:50

• economist01 在中国，一个GDP增长点大致能创造2000万个就业岗位，保8就是保证每年能新增1.6个亿就业岗位，基本解 -marketreflections- ♂ (344 bytes) () 12/18/2011 postreply 22:00:57

• 在场论中，经典相空间一般都是无穷维空间。无穷维缺少有限维的一个重要性质，即平移旋转不变的 Lebesgue 测度的存在性。 -marketreflections- ♂ (140624 bytes) () 12/19/2011 postreply 11:38:56

• Riemann 积分对应于 Jordan 测度，Stieltjes积分对应于推广的 Jordan 或者 Lebesgue 测度， -marketreflections- ♂ (14103 bytes) () 12/19/2011 postreply 11:43:31

• Brown 運動與Lévy 泛函分析(中)&#8727; -marketreflections- ♂ (28168 bytes) () 12/19/2011 postreply 13:44:20

• 对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯 -marketreflections- ♂ (2207 bytes) () 12/19/2011 postreply 13:46:55

• LZ談到人類的思維是幾維的？立體思維是任何人都具有的，你說STOKES公式和GUASS公式是人類處於懶惰的簡化？您又錯了，你所學 -marketreflections- ♂ (108 bytes) () 12/19/2011 postreply 17:46:46

• LZ談到人類的思維是幾維的？立體思維是任何人都具有的，你說STOKES公式和GUASS公式是人類處於懶惰的簡化？您又錯了，你所學 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 12/19/2011 postreply 17:52:48

• JACOBBI行列式是可以到無窮維的，積分學的三大公式在微分學中都可以得到統一，這樣我們就可以研究更高維度的概型。爲什麽非要去想 -marketreflections- ♂ (266 bytes) () 12/19/2011 postreply 17:55:52

• 路径积分01 当曲线变形的时候，被积量会剧烈震荡而不是衰减（想象一下如果一个一维积分中的被积函数是sin(x^n),当你从负无穷 -marketreflections- ♂ (4965 bytes) () 12/19/2011 postreply 17:57:20

• 回复：路径积分01 当曲线变形的时候，被积量会剧烈震荡而不是衰减.粒子是封锁在特定小空间内的能量,他是某种东西的某种振动，最后谐 -marketreflections- ♂ (1181 bytes) () 12/19/2011 postreply 18:12:51

• info01 businessinsider.com mni-news.com/content/ecb-calls-bids-f -marketreflections- ♂ (12825 bytes) () 12/20/2011 postreply 09:05:50

• trade01 spy vs hyg fxe tnx gld uso -marketreflections- ♂ (3609 bytes) () 12/20/2011 postreply 13:25:18

• nq december initial balance -marketreflections- ♂ (4895 bytes) () 12/20/2011 postreply 14:01:44

• ES01 is the most liquid E-mini futures contract open 23.25 hours -marketreflections- ♂ (2025 bytes) () 12/20/2011 postreply 14:08:57

• The 3-year funds will be offered at an interest rate indexed to -marketreflections- ♂ (4119 bytes) () 12/20/2011 postreply 16:19:22

• 无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责;黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这 -marketreflections- ♂ (943 bytes) () 12/20/2011 postreply 14:56:29

• riemann01 黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所 -marketreflections- ♂ (619 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:04:35

• 柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。 -marketreflections- ♂ (22900 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:12:51

• 定积分01 黎曼圆函数不连续点构成一个零测度集,变力作功 -marketreflections- ♂ (24790 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:24:18

• 定积分01 約當測度 和逼近理論密切相關的有正交級數理論 -marketreflections- ♂ (6715 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:28:13

• 定积分01 对任 意一 函数都可 用一 正交　 函数来实现逼 近 正交泛函网络函数逼近理论及算法 -marketreflections- ♂ (32437 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:35:58

• 定积分01 数学一级学科硕士研究生培养 -marketreflections- ♂ (26434 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:41:11

• 回复：定积分01 分析学科普 黎曼曲面理论是复变函数多值函数域和几何间的一座桥梁 -marketreflections- ♂ (18669 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:47:58

• measure01 双曲周期点的稳定流形和不稳定流形相交会产生非常复杂的动力学现象 -marketreflections- ♂ (58934 bytes) () 12/20/2011 postreply 15:58:52

• measure01 庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广;如果一个 accessible 部分双曲系统有一个 -marketreflections- ♂ (23062 bytes) () 12/20/2011 postreply 16:12:00

• measure01 Peter Tchir Lisa Pollack Marc Chandler Jens Nordvig 双 -marketreflections- ♂ (11435 bytes) () 12/20/2011 postreply 17:17:15

• measure01 John J Hardy,Morgan Stanley's Huw Van Steenis Jamie Co -marketreflections- ♂ (6856 bytes) () 12/20/2011 postreply 17:27:25

• measure01 Cam Hui "Sarko trade" Felix Salmon Nicolas Sarkozy Sco -marketreflections- ♂ (15057 bytes) () 12/20/2011 postreply 17:37:10

• measure01 ltro Peter Tchir Lisa Pollack Marc Chandler Jens Nord -marketreflections- ♂ (33401 bytes) () 12/20/2011 postreply 20:46:21

• 回复：黎曼01 外尔对黎曼几何的推广，旨在建立一个统一电磁场和引力场的数学框架。我们知道，广义相对论的数学框架是广义黎曼几何，即 -marketreflections- ♂ (4719 bytes) () 12/18/2011 postreply 10:25:05

• 回复：黎曼01 local 度 量,保形特性,因果结构,sr;仿射联络,射影特性,惯性场, gauge field, sr; -marketreflections- ♂ (2843 bytes) () 12/18/2011 postreply 10:31:38

• economist01 你所不知道的冰冷的经济真相（上）作者：大盘剧本 -marketreflections- ♂ (42876 bytes) () 12/18/2011 postreply 22:20:51

• 回欧式空间中的曲纹坐标系（参阅[4]）往往只定义在欧式空间的一个开子集上，而不是定义在整个空间上,球面上不能建立单个的坐标系，使 -marketreflections- ♂ (2334 bytes) () 12/17/2011 postreply 20:40:16

• 他在活動標架之間介紹進所謂聯絡(Carton Connection),類似克利斯多夫符號的幾何量,不定要與長度度量有任何關係,嘉 -marketreflections- ♂ (8175 bytes) () 12/17/2011 postreply 18:30:51

• brain01 phymath01 古人说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。但是，2-120<10-36，因此事实上，在“日取其 -marketreflections- ♂ (6789 bytes) () 12/17/2011 postreply 17:19:11

• brain01 phymath01 真理是确定的、没有间隙的,排中律;康托爾發現，原來有理數集合與代數數集合也是可數的。於是乎在 -marketreflections- ♂ (2499 bytes) () 12/17/2011 postreply 17:43:59

• brain01 phymath01 真理不是相对的,概念、思想应该是大脑中的神经元结构，语义指称关系应该是大脑神经元与事物之间的 -marketreflections- ♂ (9227 bytes) () 12/17/2011 postreply 17:48:51

• 电生磁的过程是一个暂态过程 -marketreflections- ♂ (31041 bytes) () 12/15/2011 postreply 20:52:52

• check01 economist01 bdi 卢麒元 www.caogen.com/blog/Infor_detail.asp -marketreflections- ♂ (164 bytes) () 12/16/2011 postreply 12:51:59

• bear01 Morgan Stanley's Adam Parker Inflection Point Investing L -marketreflections- ♂ (2668 bytes) () 12/16/2011 postreply 17:21:02

• math01 对实数理论也可以作结构主义的解释，即认为一个关于实数的判断是关于任何具有连续统属性的系统的判断，但如上一节所说的， -marketreflections- ♂ (17157 bytes) () 12/16/2011 postreply 15:28:48

• Electromagnetic01 电生磁的过程是一个暂态过程 -marketreflections- ♂ (23093 bytes) () 12/16/2011 postreply 15:34:01

• vector01 旋度: 量度向量场倾向绕著一个点旋转的程度；向量的卷曲是个向量场;叉积的长度 |a × b| 可以解释成以 a -marketreflections- ♂ (212 bytes) () 12/13/2011 postreply 16:14:02

• 场实际上不是由三个完全独立的矢量所组成的，而是由两个独立的“场量”，有时把它称为“膺矢量”，即形式上的矢量所组成。什么是膺矢量呢 -marketreflections- ♂ (205 bytes) () 12/13/2011 postreply 17:49:51

• 膺矢量01 形式上为矢量，其实是反对称的二阶张量,称为轴矢量 常见的物理量矢量有两类。一类是真正的矢量（如电场强度、电位移强度、 -marketreflections- ♂ (476 bytes) () 12/13/2011 postreply 21:40:26

• math01 动画演示 华南理工大学理学院应用数学系 -marketreflections- ♂ (108 bytes) () 12/13/2011 postreply 16:18:19