连续介质的基元（比如物质点和即将引入的物体单元等）具有多方面的意义： （1）从热 力学的角度，必须能在其上定义温度、热力学压力、密度等热力学量[3]，因此它必须是包含 大量原子和/或分子的一个热力学系统； （2）从运动学和动力学的角度，它必须是有确指的 物质体，可以定义速度、加速度、体积力等物理量； （3）从数学模型的角度，它对应于介质 表示空间分割的最小单位（元素） ，可以束缚到一点，即定义在其上的各种物理量可以表示 成随点变化的函数。为了整合以上在物理和数学上的不同含义，人们常常用“宏观无穷小， 微观无穷大”[3][4][5]这样模糊的语言来形容物质点
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论变形和流动的描述
本文在连续性假设基础上提出新的连续介质模型,给出基于当前构形和参考构形的弹性变形和流动的描述,这种描述与从位移场出发的经典描述的不同,可以为建立新型连续介质理论提供了基础。
http://www.paper.edu.cn 论变形和流动的描述1 邹文楠南昌大学工程力学研究所, 江西南昌(330031) email: zouwn@ncu.edu.cn 摘 要： 本文在连续性假设基础上提出新的连续介质模型， 给出基于当前构形和参考构形的 弹性变形和流动的描述， 这种描述与从位移场出发的经典描述的不同， 可以为建立新型连续 介质理论提供了基础。 关键词：连续介质模型，当前构形，参考构形，弹性变形，流动 1． 引言弹性变形理论和流动理论是许多工程学科的基础。 自欧拉以来， 弹性体和流体一直被当 作连续分布于空间的介质来研究， 到了本世纪中叶， 以屈斯德尔为首的力学家为弹性体和流 体的宏观力学理论构建了一个共同的基础——理性力学[1][2]，这就好像为弹性体和流体盖了 一栋房子，想让他们一起高高兴兴，快快乐乐地生活，却没料到这样的房子也会困住弹性体 和流体的复杂变化，难于处理固体缺陷演化、湍流等力学过程，就象木质材料的结构中掺不 得许多高级的新型材料。 连续介质连续地充满它所占据的空间，描述其内部变化（变形和流动）的场量具有动力 学方程所要求的连续可微性， 并且不需要考虑物质的微观结构。 将物体视为连续介质称为连 续介质假设，它是建立宏观（变形和流动的）力学理论的基石。经典连续介质力学就是建立 在连续介质假设基础上的一种理性理论，包括变形理论和流动理论。但是，连续介质假设仅 仅是一个假设， 经典连续介质力学也并非唯一的连续介质理论， 一个连续介质理论的存在价 值取决于它的预测能否与实验结果一致。 设t时刻连续介质占据的空间为 S ( t ) ，描述连续介质变化的任一场量应是时空点的函数 φ = φ ( x, t ) , x ∈ S ( t ) 。选择什么样的场量描述连续介质的几何变化以及如何确定时空点的物 质代表体是在连续介质假设基础上建立连续介质理论的两个基本要素， 它们构成了所谓的连 续介质模型。经典连续介质力学的模型就是用位移场 u ( x, t ) 描述变形、速度场 v ( x, t ) 描述流 动， 认为时空点的物质代表体是封闭的始终可以标志和跟踪的物质点， 从而将物体理解为物 质点的连续致密集合。 为了保证每个时空点上都有一个物质点， 必须允许物体是无限可分割 的， 即任意有限体积的物体都是无穷多物质点组成的系统。 经典连续介质模型数学上对应于 连续统， 故又称为连续介质的连续统模型， 在此基础上人们已经将连续介质力学建成为一个 完备的公理化的理学力学理论[1][2]，即经典连续介质力学，今天介绍这一理论的教科书可谓 1 本文工作得到中国自然科学基金（项目编号：10372038）和中国博士后基金的支持 -1- http://www.paper.edu.cn 汗牛充栋，尽管它的物理真实性还需要不断地接受实验的检验。 连续介质的基元（比如物质点和即将引入的物体单元等）具有多方面的意义： （1）从热 力学的角度，必须能在其上定义温度、热力学压力、密度等热力学量[3]，因此它必须是包含 大量原子和/或分子的一个热力学系统； （2）从运动学和动力学的角度，它必须是有确指的 物质体，可以定义速度、加速度、体积力等物理量； （3）从数学模型的角度，它对应于介质 表示空间分割的最小单位（元素） ，可以束缚到一点，即定义在其上的各种物理量可以表示 成随点变化的函数。为了整合以上在物理和数学上的不同含义，人们常常用“宏观无穷小， 微观无穷大”[3][4][5]这样模糊的语言来形容物质点。 但是，诚如德冈辰雄[6]指出的，“连续介质无论怎样分割也不会成为（物）质点，（物） 质点无论怎样连接也不是连续介质。”经典连续介质模型忽略了连续介质与质点系的区别， 它的无限可分割性和拓扑不变性不可避免地对物体的变化过程强加了过分的约束， 从质点概 念简单类推得出的连续介质模型难以处理象湍流、 固体的强度等这些涉及复杂力学过程， 建 立新型的、更符合实际的连续介质模型是推动宏观力学研究的必由之路。 2． 连续介质模型在经典连续介质力学中，物质点是具有单一度量、没有定向特征的微团介质，物体由物 质点连续地聚合而成，并在整个变化过程中具有以下特征： （１）物质点与周围其它介质没 有或只有通过宏观扩散系数、粘性系数和热传递系数反映的物质、动量和能量交换，并且是 可以标志和跟踪的； （２）相邻的物质点始终相邻，从而不同状态下物体的构形是拓扑等价 的。在数学上，物质点用离散的点表示，物体表示空间是物体所占据的由离散点连续聚集而 成的伽利略时空子域，物体的变化由点随时间的光滑的单值映射描述。 新型的连续介质模型同样满足连续性假设，若物体在其变化的每个状态都保持连续性， 仍然可以用三维欧氏空间的一系列开集 S ( t ) 表示其位置，但物体中的一点所代表的占据该 位置的微小介质团，不再看作是封闭的、无穷小的。这种具有有限体积的、各向物质度量不 变 （从不同方向扫过它的质心所经历的分子或原子个数是相同的） 的介质微团称之为物体单 元，通常认为在原始无弹性变形的物体内的各点的物体单元除了刚性变换（平移和旋转）外 具有同等的物质内含和一致的结构[7]，而有限物体由有限物体单元粘合覆盖而成。数学上物 体单元对应于时空点的微小但有限的开域， 物体表示空间是以物体所占据的伽利略时空子域 为底空间的时空微分流形（通常限于Cartan空间），故称之为连续介质的微分流形模型。 在微分流形模型下，物体在变化过程中可以具有以下特征：（１）物体单元是开放的子 系统，物体单元内含的改变可以是各向异性的、非微观的，并且一般是不能标志和跟踪的； （２）物体单元只定义于局部时空上，相邻的物体单元未必始终相邻，从而允许物体的拓扑 结构的改变。 在热力学意义上，无论物质点还是物体单元都必须是包含大量物体分子和/或原子的局 部平衡的热力学子系统，这样密度、温度、热力学压力在宏观统计尺度上可以定义（各个量 的统计值在宏观统计尺度范围内的变化与热力学涨落相当） 。此外，物质点是在一切时间具 有不确定的任意小的尺度的孤立介质微团（离散点） ，它的质心的位移和速度代表了一切变 -2- http://www.paper.edu.cn 化，物体单元则是短时刻具有确定物质内含的开放介质微团（点邻域），它的变化不限于它 的质心的位移和速度，它还可以具有反映它自身及其与周围介质接触关系的定向旋转场 R ( x, t ) 和纯变形场 V ( x, t ) ，或统一地用一个正定的变形场 F ( x, t ) ∈ GL+ ( 3; ) 来描述，当物体 内部还有复杂拓扑结构特征及演化时， 还需要进一步引入用三维旋转群 SO ( 3; 是 so ( 3; ) 的李代数表它 )， 示的反映物体内缺陷分布并用于对物体上张量场进行微分的物质连络场 ω ( x, t ) ∈ so ( 3; ) 值的微分1-形式，也可以写成轴矢量值的微分1-形式。 3. 物体单元形状改变的分类作为连续介质的物体在载荷、温度变化等外部因素的作用下内部发生连续的变化，其直 接的表现是物体几何形状发生改变，同时伴随着物质、动量和能量的输运和/或转移以及做 功等，这种改变与过程无关时称为变形，与过程相关时称为流动，特别与时间过程相关时称 为粘性流动。 由于导致物体形状改变的物理机制的多样性，即使忽略物体内部的各种微观扩散效应， 相同的物体形状的改变也可以对应不同的物质输运过程。 下面统称原子和分子为微粒， 取任 一物体单元， 设其初始状态下质量是均匀各向同性的 （任何部位沿任何方向相邻微粒之间的 距离或相当距离都一样），则它除了各向均匀的膨胀或压缩外的形状改变（变形或流动）过 程（如图1所示, 为方便记，取为平面形态）可以归纳为三种基本形式： (a) (b) (c) (d) 图 1. 物体变形的几种形式 1. 卸载后完全可恢复的弹性变形（a）→（b） 微粒之间的相邻关系不变但它们之间 的距离在不同方向发生不同的改变，并伴随着微粒之间的相互作用强度发生改变（在图 中用微粒形状的改变来表示）。在这种变形中，过物体单元质心的物质线元在变形前后 存在一一对应关系，它们发生伸长/缩短和旋转变化。其例子为金属材料的小变形、橡 胶的变形等。 2. 卸载后不能恢复的滑移变形或流动（a）→（c） 在确定的方向上发生层状滑移， 形状改变前后微粒与其周围微粒之间的距离（相互作用强度）不变，但只有滑移面内微 粒之间的相邻关系保持不变；滑移后形成永久变形，只有滑移面内的物质线元随滑移面 一致平移和面内旋转。其例子为石墨的卸载变形、不可压流体的简单滑移流动等。 3. 卸载后不能恢复的扩散变形或流动（a）→（d） 滑移层方向不确定或在滑移的同 时还有垂直于滑移面的攀移，形状改变前后微粒与其周围微粒之间的距离（相互作用强 度）不变，但微粒之间的相邻关系都可以改变，并且可能不存在任何物质线元的对应。 -3- http://www.paper.edu.cn 其例子为多晶材料的卸载永久变形、非晶体材料的塑性流动、不可压流体的复杂滑移流 动和加速/减速流动等。 以上三种形状改变的形式通常是混合出现的， 比如固体在加载状态下的变形都包含有一定的 弹性变形，复杂流动也不会是简单的滑移变形。 4. 物体单元质心的变化在物体变化过程中， 如果所有相邻状态间的任意两个依质心移动对应物体单元具有完全 相同的物质内含（忽略微观扩散效应），则可以用初始（无载荷）构形下的坐标 X 来定义物 体单元，并用位移场 u ( X, t ) 来描述物体单元质心的变化，速度场 v ( X, t ) 是位移场的时间导 数 v ( X, t ) = ?u ( X, t ) ?t ，这种变化通常只有完全（可恢复）弹性变形可以实现。 如果考虑的变形过程与时间无关，则每个状态物体都处于静力平衡状态，速度场及加速 度场没有意义，时间变量也可去掉。 如果在物体变形过程中不仅有弹性变形，还有其它不可恢复变形，则在初始构形定义的 物体单元可能发生很大的变形、 占据的不再是简单的紧致的凸域、 其质心位移函数不能局部 地定义，这时只能用当前构形下的坐标 x 来限定物体单元，用速度场 v ( x, t ) 描述物体单元的 质心变化， 如果变形是时间无关的， 则改为用内时速度场 v ( x, τ ) 来描述物体单元的质心变化。 物体流动时只能用当前构形下的坐标 x 来限定物体单元，用速度场 v ( x, t ) 描述物体单元 的质心变化。 5. 参考构形上的连络 5.1 参考构形分析物体单元几何变化的目的是通过本构关系建立它与内部载荷（如应力、偶应力等） 的关系，对于后两种物体形状的改变，其变化的绝对值一般与当前载荷状态无关，即不具备 力学效应，是需要排除的形状改变，如果从物体初始构形出发进行表述，则无法剔除这种改 变，为此，需要从物体当前构形出发进行表述。 在任一时空点 p ( x, t ) 取一物体单元，它在各个方向的物质度量不变（过质心的任一物质 线元包含相同数量的微粒） ，如果物体单元有包含均匀膨胀或压缩的弹性变形，则其形状的 一阶近似为椭球；保持物体单元的质心不变，将周围介质作用于物体单元上的载荷卸除，在 卸载过程中将恢复所有弹性变形，包括一个整体的平均旋转，和一个纯变形（至少有三个正 交主轴方向的线元只有简单拉伸或压缩的变形） 卸载后物体单元将变成一个如初始状态一 ， 样的质量均匀各向同性分布的球体，称为（卸载）参考单元；设想将物体内所有点上的物体 单元都卸载， 则得到一个外形与当前物体完全一样但没有弹性变形的虚拟物体， 称为物体的 （卸载）参考构形，它由参考单元交叠粘合而成。 如果要在物体的复杂非均匀（变形或流动）变化下追究当前构形中的一个物体单元在初 始构形中的对应， 则由于后两种变形的影响， 这一物体单元可能对应于初始构形的一些离散 的碎片，这就是所谓的物体单元的不可标志和跟踪性。 -4- http://www.paper.edu.cn 5.2 物体的拓扑结构描述—参考构形上的连络物体的参考构形和它的当前构形占据相同的空间位置并具有相同的拓扑结构， 它们之间 的唯一区别是相差一个（弹性）变形场 F ( x, t ) ，对流动而言通常只有一个各向同性的压缩或 膨胀。参考构形上物质连络 是均匀的但通常不是长程线性的，即一个单元上沿某个方向传 播的力相互作用通过另一个单元时可以不是沿同一个方向传播的， 比如图 2 所示的纤维编织 的曲梁上的力相互作用沿轴向传播不是长程线性的；图 3 所示的同心圆筒间的 Couette 流动 沿环向传播的力相互作用不是线性的。由于物体内缺陷的存在，甚至会出现传播奇性。 物体的拓扑结构必然基于物体单元之间的同构连络关系， 在参考构形上表现为由于物体 的内部结构化特征变化引起的将一个物体单元同构平移到另一个的物体单元处进行张量场 （变形场和速度场）比较时所必须做的旋转。 2 图 2. 弯曲的梁 图 3. 同心圆筒间 Couette 流动 建立固结在参考构形上笛卡儿坐标系 {O; x1 , x2 , x3 } ，将坐标系的协变基 { p; e1 , e 2 , e3 } 作为 定义在物体内占据任一点 p 的参考单元上的张量空间的标架， 则跨单元的物质连络可以用参 考单元间的标架连络表示 Dei = ωij e j , ωij + ω ji = 0 ， (1) 其中 D 称为协变（或绝对）微分算子， ωij 是 so ( 3; ) 值的微分 1-形式，它关于指标的反对 称性意味着协变微分具有保内积性： D ( ei ? e j ) ≡ 0 ，这是对连续介质物质形态的一种理想化 假设。对于变形体连络通常写成 ωij = Γ kij ( x, t ) dxk ；对于流体则通常写成 ωij = εijlWμl ( x, t ) dxμ ， 并记 W = Wμl ( x, t ) el dxμ 为涡旋场，它是轴矢量值的微分 1-形式。 Wkl ( x, t ) 表示沿 ek 方向移动 单位距离时物体单元要绕 el 轴旋转的角度， W4l ( x, t ) 表示经过单位时间在同一位置的物体单 元要绕 el 轴旋转的角度。 如果物质连络可以用一个旋转张量 Sij ( x, t ) 表示， ωij = S jl dSil ， 即 则称物质联络是可积的， 物体的拓扑结构是平凡的，这种物体变化也称为是简单变化。物质连络并不是一个张量，即 在不同的正交坐标系观察到的物质连络不是随基矢量协变的，如果标架基变换为 e ' ( x ) = Qij ( x ) e j ，相应的余标架基为 δx 'i = Qij dx j ， Qij ( x ) 是一个旋转张量，则物质连络的变 化关系为 2 物体内维持联系、传递力相互作用的最快、最直接的道路称为物质连络，它是微观粒子间键相互作用的 统计特性，是局部（单元内）线性的，但未必是长程（跨单元）线性的。 -5- http://www.paper.edu.cn De 'i = ω 'ij e ' j , ω 'ij = Q jl ( dQil + Qik ωkl ) 。 (2) 简单的计算表明，由物质连络派生的挠率张量 Σi ≡ d ( dxi ) + ω ji ∧ dx j = ω ji ∧ dx j = Γ jki dx j ∧ dxk (3) 是正交标架基变换下的张量（参见 Chern[8]），即有 Σ 'i = d ( δx 'i ) + ω ' ji ∧ δx ' j = Qij Σ j 。式(3)表 分别用 明挠率张量由 Γijk 关于前两个指标的反对称部分决定， 和反对称运算，利用(1)2 得 Γijk 关于后两个指标反对称，则有 , [ ] 表示对指标的对称运算 Γ ij k = 1 2 (Γ ijk + Γ jik ) = 1 ( Γ kij ? Γikj ) + 1 ( Γ kji ? Γ jki ) = Γ[ki ] j ? Γ[kj ]i ， 2 2 这表明 Γijk 关于前两个指标的对称部分完全由它 Γijk 关于前两个指标的反对称部分即挠率张 量决定 Γijk = Γ[ij ]k + Γ[ki ] j ? Γ[kj ]i ，性的，比如未变形的均匀各向同性固体。 对(1)1 再做一次协变外微分，可得 (4) 亦即物质连络 Γijk 完全与挠率张量等价，挠率张量处处等于零时物体内的物质连络是长程线 DDei = Θij e j , Θij ≡ d ωij ? ωik ∧ ωkj ， (5) 直接的计算表明 Θij 也是正交标架基变换下的张量，称为曲率张量，即有 Θ 'ij = Qil Q jk Θlk ，如 果 DDe 'i = Θ 'ij e ' j , Θ 'ij ≡ d ω 'ij ? ω 'ik ∧ ω 'kj 。曲率张量是物质连络可积性的表征： 如果物质连络可积， 则曲率张量处处等于零， 反之亦然。 曲率张量不等于零的物体变化是非协调的复杂变化， 比如有缺陷、 损伤的固体变形和湍流流 动。 挠率张量和曲率张量是刻划物体变化结构化程度的基本量， 曲率张量处处等于零时物体 的内部变化是平坦的， 描述物体变化的物理量如变形场、 速度场的分布变化是平滑的； 反之， 这些物理量的分布变化是有奇性的，如湍流时速度、压力的脉动。 如果已知挠率张量 Σi 或连络 ωij 求旋转场 Sij ( x, t ) ，则即使曲率张量不等于零，也可以准 确到相差一个常值旋转， Sij ( x, t ) 称为连络的姿态旋转[9]，使得 ωij = S jl ( dSil + Sik ωkl ) , Θij = Sik ( d ωkl ? ωkm ∧ ωml ) S jl ，其中 ω ji 称为连络的拓扑核，满足当且仅当 Θij = 0 时有 ωij = 0 。或者说连络场 ωij 可以分解成 两个层次：一个是姿态旋转 Sij ( x, t ) ，反映物体内部的定向序化情况，比如局部旋转分布； 一个是拓扑核 ωij ( x, t ) ，反映物体内部拓扑奇性结构比如旋错等缺陷的存在。 6. 物体变形的描述物体变形状态的宏观描述分成两个层次：物体单元的弹性变形描述；包含结构因素的各 种变形不均匀度描述。 -6- http://www.paper.edu.cn 6.1 完全弹性变形所谓线元是从物体单元质心出发指向边界的物质线段，在参考构形的笛卡儿坐标系中， 用 e i dx i 表示指向 ei 方向的线元，称为基线元。建立固结在在当前构形中的笛卡儿坐标系 {O; x1 , x2 , x3 } ，相应的标架为 { p; e1 , e2 , e3 } ，加波浪线上标以示与固结在参考构形中的笛卡儿坐标系相区别。则基矢 ei 在当前构形中对应表示为 ei → ηi = e j F ?1 ji 。 (6) 物体内参考单元上的线元与其当前构形中的物体单元（简称变形单元）的线元存在一一 对应关系。任一指向 l = li ei （ l = 1 ）长度为 δl 的线元记为 δl = ei dxil = ei li δl ，变形后成为 δL = ηi dxil = ei Fij l j δl 。记变形张量场为 F = Fij ei ? e j ，它是涉及两个构形的张量，在经典分 析中称为两点张量[10][11]。则线元变形可以表示为 δL = F ? δl 。 u(x + δL) δl′ u(x ) δL 图 4. 物体单元弹性变形和位移关系示意图 如果物体的变化是完全弹性变形，即整体卸载后完全恢复到初始状态，则变形过程与时 间无关，可以定义位移场 u ( x ) ，参考构形经过反向位移 ?u ( x ) 后完全与初始构形重合。下面 证明这时的变形场还退化为可以用位移场表示。记 X = x ? u ( x ) 为物体单元初始位置矢径， 则该指向矢外端点的位移为 u ( x + δL ) ， 并有 在初始构形的 X 处取与线元 δL 对应的线元 δl ' ， 如下对应关系 δl ' = F ?1 ( x ) ? δL = δL + u ( x ) ? u ( x + δL ) ≈ δL ? ?u ( x ) ? δL = ?X ( x ) ? δL ， (7) 其中 F ?1 = F ?1ij ei ? e j ，满足 F ? F ?1 = ei ? ei , F ?1 ? F = ei ? ei 。由于 δL 的任意性，在一阶近似下 有 F ?1 ( x ) = ? ( x ? u ( x ) ) = ?X ( x ) 。 (8) 这表明在完全弹性变形情况下，位移场 u ( x ) 是唯一独立的场量。这时，物体单元的变形可 以完全用物体单元质心的位移分布表示， 物体单元变得与物体质点等效， 微分流形模型退化 为连续统模型。 反过来，如果变形是完全弹性的，并且物体为单连通体时，通过式(8)也可以从变形求 出位移3。若已知变形场 F ( x ) 来求位移，则可以相差一个刚体平移，即 x u ( x ) = x ? ?u ( x 0 ) + ∫ F ?1 ( x ) ? ， ? ? x0 ? ? (9) 3 小变形的情况参见郭仲衡、梁浩云著《变形体非协调理论》[13]。 -7- http://www.paper.edu.cn 而由式(8)导出的变形协调条件 ? × F ?1 ( x ) = 0 保证积分与路径无关。 若已知纯变形场 Vij ( x ) = Vij ( x )（满足 Fij = Vil Rlj ） 来求位移， 则可以相差一个刚体位移 （刚 体平移加刚体旋转）。下面首先由纯变形场来确定旋转场，由 F ?1ij = R ?1ikV ?1kj = RkiV ?1kj ，并 i i 记 R pl ? k Rql = ?ε ipq wk ，则从变形协调条件 ? × F ?1 ( x ) = 0 得到关于 wk 的线性方程组 ε jkl ? kV ?1il = ε jkl ε ipq wkpV ?1ql = det ( V ?1 ) ε mnqV jmVkn ε ipq wkp ， 可以解出 i wk = det ( V ) ε rpq ?V ?1ir ? pV ?1 jq ? 1 δ jiV ?1nr ? pV ?1nq ? V ?1 jk 。 2 ? ? (10) 而由上小节可知， wk 求解旋转场可以准确到相差一个常值旋转， 从 i 此即为刚体旋转。 最后由(9)式求解的位移场就可以准确到相差一个刚体位移。这样，如果弹性变形是整体 可恢复的， 则位移场和旋转场均可由纯变形场确定， 旋转场有一个刚体旋转的不确定性， 位移场有一个刚体位移的不确定性。 6.2 结构变形将除单个物体单元的变形特征之外的具有力学效应的几何特征称为结构变形。 结构变形 需要考虑相邻物体单元连络或变形差别的变形特征，具有以下几种形式：（1）最简单的就 是不均匀变形；（2）初始构形上有定向序化等结构，如纤维复合材料物体；（3）整体卸载 不等于局部卸载，在（外部载荷）整体卸载后物体内仍有残余弹性变形和残余应力，变形和 姿态旋转结合而成的变形不可积； （4）参考构形上有旋错等拓扑缺陷，曲率张量不等于零。 在经典理论中，通常引入度量张量来讨论变形协调条件。分析当前构形下 l = li ei 方向长 度为 δL 的微线元 δL = ei dxi = ei li δL ，则它在参考构形中对应线元为 δl = F ?1 ? δL = ei l j F ?1ij δL ， 其长度（的平方）表示为 δl 2 = l j lk F ?1ik F ?1ij δL2 = l j lkV ?1ikV ?1ij δL2 = c jk l j lk δL2 = δL ? c ? δL ， (11) 其中 c ≡ cij ei ? e j 称为度量张量。当前构形中任意两个线元 δL1 , δL 2 在初始构形中映象的内积 可以表示为 δL1 ? c ? δL 2 = δL 2 ? c ? δL1 。由于弹性变形的存在，当前构形中不同位置上的同构线 元不仅有旋转，还有伸长或缩短，亦即诱导的基线元的协变微分 Dei = ωij e j = Γ kij e j dxk 中连络 ωij 关于指标不具有反对称性；另一方面，考虑由当前构形中的微线元 e1dx1 , e2 dx2 及其同构线 元是否能围成闭合回路，这种非闭合性由 D1 ( e2 dx2 ) dx1 ? D2 ( e1dx1 ) dx2 = ( Γ12 j ? Γ 21 j ) e j dx1dx2 度量，对当前构形中任意闭合回路在变形和旋转完全恢复后的保持性则由挠率张量 T = dxi ∧ ωij e j = Γ kij e j dxi ∧ dxk = ? 1 ?Γ kij ? Γ ikj ? e j dxk ∧ dxi 2 ? ? (12) 度量。对完全可恢复的弹性变形， （无缺陷的）初始构形中的一点上的任意两个微线元及其 同构线元肯定可以组成闭合回路， 通过没有缺陷产生的变形过程它们必然在当前构形中还保 持为闭合回路，这就要求(12)式定义的挠率张量必须处处等于零，即连络分量 Γ kij 关于前两 个指标对称： Γ kij = Γ ikj 。而度量张量的协变微分为 -8- http://www.paper.edu.cn Dk cij = ? k cij ? cil Γ kjl ? clj Γ kil ， (13) 因为当前构形中协变微分比较的是线元在参考构形中的构象， 根据同构性假设两线元在参考 构形中构象的内积在同构平移过程中保持不变， 故度量张量的协变微分恒等于零。 这样可以 从(13)式解出 Γ kij = 1 c ?1 jl ( ? k cil + ? i clk ? ? l cki ) ， 2 (14) 即与当前构形下笛卡儿基对应的基线元的连络是无挠的、且可以完全用度量张量的导数表 示。 而这一连络的平凡性即用度量张量表示的曲率张量处处等于零就是物体弹性变形的协调 条件 Θij = d ωij ? ωik ∧ ωkj = 1 c ?1 jl ?? m ( ? k cil + ? i ckl ? ? l cki ) ? 2crp Γ mlr Γ kip ? dxm ∧ dxk = 0 。 2 ? ? (15) 由于度量张量的正定性，上式通常用第一类曲率张量写成 Rklmn = 1 2 ( ? n ? k clm ? ? n ? l ckm ? ? m ? k cln + ? m ? l ckn ) + cst ( Γ mls Γ nkt ? Γ nls Γ mkt ) = 0 。 (16) 所以，从建立在当前构形上的笛卡儿坐标系来看，弹性变形协调条件包含三个部分：首 先是闭合回路的保持性，使得相应的笛卡儿标架丛上的连络是无挠的： Γ kij = Γikj ；其次是线 元的同构平移在初始构形中是保内积的， 度量张量的协变导数等于零， 这样连络可以用度量 张量分量的导数表示；最后是曲率张量处处等于零，表明物体空间是平坦的。基于以上协调 条件，物体的当前构形空间才等价于欧几里德空间。 另一方面，由于当前构形中的基 {ei , i = 1, 2,3} 在参考构形中的对应为 ηi = e j F ?1 ji ， (17) 在当前构形中的连络无挠性 dxi ∧ D ( ei ) = 0 又可以写成 0 = dxi ∧ D ( ηi ) = dxi ∧ e j ( ? k F ?1 ji dxk + Γ klj F ?1li dxk ) = d ( F ?1 ? dx ) + e j Γ klj F ?1li dxi ∧ dxk ，(18) 利用参考构形中的坐标微分 dxi 在当前构形中对应为 F ?1il dxl ，这样，(18)式表明如果当前构 形的连络无挠，变形可积就等价于参考构形中的连络无挠性，即 d ( F ?1 ? dx ) ? Γ[ jk ]i = 0 。而 由(4)式，参考构形中的连络无挠性和连络处处等于零是等价的。因此，弹性变形协调条件 的第三部分等价于参考构形上的连络无挠、亦即连络处处等于零 ωij ( x ) = 0 ，表示初始构形 和参考构形上没有定向序化和拓扑缺陷，也等价于变形可积条件 ? × F ?1 ( x ) = 0 。说明当弹性 变形协调条件的前两个部分满足时，变形的可积性与第一类曲率张量等于零等价[14][15]。 在近来发展的缺陷连续统理论中（参见王自强《理性力学基础》[16]） ，将当前构形中度 、挠率张量和曲率张量作为变形非协调性的度量。按照我 量张量的协变微分（称为 Q-张量） 们在参考构形中的表述，由于总可以利用(10)式找到一个旋转使它与纯变形结合的总变形是 可积的， 上述三个非协调参量统一对应为参考构形中笛卡儿标架上的连络， 其中连络的反对 称性对应为 Q-张量等于零，参考构形上的姿态旋转和曲率张量则联合对应于当前构形中挠 率张量和曲率张量。 可见，用参考构形展开变形描述，可以有效地区隔了物体的可积弹性变形和结构特征。 对于完全弹性变形，结构场量完全消失，可积弹性变形场对应于真实的位移场 u ( x ) ，并且 -9- http://www.paper.edu.cn 可以从初始构形坐标表示；对于一般变形过程，只能从当前构形出发进行变形描述，包括一 个可积的变形场 F ( x, t ) 和参考构形上的笛卡儿标架连络 ωij ( x, t ) ，后者又可以分解为姿态旋 分别反映初始构形中的和/或变形过程中形成的定向序化和拓扑 转 Sij ( x, t ) 和拓扑核 ωij ( x, t ) ， 缺陷特征。如果变形是率相关的，则还需要考虑速度场 v ( x, t ) 。 7. 物体流动的描述在经典连续介质理论中，物体流动被处理成物体变形的率形态，速度场是位移场的时间 导数，粘性本构关系是弹性本构关系的时间导数复本，等等。当连续介质模型从狭隘的质点 模型中解放出来， 当场变量的载体—物体单元在物体变化过程中的不可标志性和不可跟踪性 被充分意识到，物体流动过程和物体（弹性）变形过程的区别就昭然若揭了。 7.1 速度场的意义用速度场来描述物体流动， 需要在物体内每一点定义速度。 但一点的速度既不应是占据 该点的物体微粒的速度，也不能是以该速度运动的固定的介质微团（如图 5 所示） 。一点的 速度反映的是该瞬时占据该点的物体单元的质心速度， 如同物体单元的定义一样， 它作为确 定物质内含的运动表征只在该瞬时及其前后的微时段内才有效。 速度场的确立可以是独立的，并不需要位移场做基础。对于一个孤立凝聚形态的微系 统， 定义位移描述其位置变化是可行的， 但对于一个开放的可能迅速散布的微系统定义位移 t0 时刻 u t 时刻 图 5. 简单剪切流动中的流体单元 图 6. 墨水滴入水中的散布情况[] 则不能将其表示为局部坐标的函数， 从而没有解析意义， 但速度的定义只涉及微系统在两个 相邻瞬时的形态，故总可以表示为局部坐标的函数，是可行的。因此，对于流动过程，速度 是独立定义的描述开放微系统运动的场量。 对于微粒具有微观热运动的液态和气态物体，速度表示的不是物体单元所包含微粒的 一致运动特征，而是它们的统计平均运动特征。如果将物体单元处理成质点，则容不得这种 统计平均的解释。 7.2 流体的定向序化流动的最基本特征是滑移，流动必然形成定向序化，比如流线结构。在流动过程中某 个时刻定义的物体单元通常不能保持为局部凝聚， 但其离解、 分散又主要不是微观扩散的结 果，而是与流体的定向序化及其演化相关。 简单剪切流动中物体单元与周围流体交换物质的过程如图 5 所示，这时物体单元与相 - 10 - http://www.paper.edu.cn 邻物体单元的定向都是一致的， 物体单元在保持定向序化同态的平行移动中不需要旋转； 对 于曲折流动，物体单元内部定向序化虽然可以作线性近似（有整体平均旋转的概念） ，但单 元之间的连络却非线性，即物体单元在平行移动中则需要旋转。这就意味着，所谓定向序化 不单是孤立流体微团的状态，还是流体内部互相联系的一种接触结构，具体而言，如果在每 个物体单元上定义标架表示其定向，则由(1)式定义的连络就是其表征，通常用 ωij = εijlWμl ( x, t ) dxμ = εijl ? Akl ( x, t ) dxk + Φ l ( x, t ) dt ? ? ? (19) 表示，其中 Akl ( x, t ) 称为弯扭场， Φ l ( x, t ) 称为自旋场。 自旋场是物体单元具有有限尺度的必然结果，因为对于有限体积的的介质团来说，其 整体运动特征除了平移外还有转动，尽管这些运动都未必是它所包含的物体微粒的一致运 动。对于弹性变形过程，旋转张量 Rij ( x, t ) 反映了物体单元的平均旋转，自旋场则反映物体 单元的平均旋转角速度，可以写成 Φ i = 1 ε ipq Rqk ? t R pk ，也可进一步用纯变形场或位移场表示。 2 对于流动过程， 自旋场既有别于反映物体单元质心平动的速度场， 也不能完全用弹性变形来 表示。 当流动为定常层流时，流体的定向序化由速度方向和速率梯度方向确定，速度方向反 映滑移的方向，速率梯度方向反映剪切的方向，另一个方向称为滑移线方向。设速度为 u = Vn1 ， 物体单元的定向标架为 ( p; n1 , n 2 , n 3 ) ， 满足变化关系 n j = R ji ei ， 则滑移方向 n1 = R1i ei 已知，滑移线方向由 n1 × ?V = Hn 2 定义，其中 H = n1 × ?V ，即 n 2 = R2i ei 可知，而剪切方向 则由 n3 = n1 × n 2 = R2i ei 确定。 当流动为湍流时，流体的定向序化变成细观统计结构，即流体单元内不再有简单的滑移 剪切定向， 而是几乎到处都分布有拓扑缺陷， 物体单元的定向序化以及相对定向差别变成一 种独立演化的统计特征，不再由速度场确定。拓扑缺陷由(5)式定义的曲率张量描述，在流 动分析中通常定义涡旋场强 i i Fi = 1 ε ijk Θ jk = dWi + 1 ε ijk W j ∧ W k = Bk dak + H k dxk ∧ dt ， 2 2 i i (20) 其中面元形式定义为 dak = 1 ε klm dxl ∧ dxm 。涡旋场强的空间分量 Bk 和空时分量 H k 分别称为 2 弯扭场强和自旋场强，并有表示 i q Bki = ε klm ( ? l Am + 1 ε ipq Alp Am ) , H ki = ? k Φ i ? ? t Aki + ε ipq Akp Φ q 。 2 (21) 7.3 密度的变化高速流动过程中还有一种变化，就是密度变化。密度变化是对压力的响应，是各向同性 的。在参考构形框架下，密度变化用线元的胀缩因数 λ 表示，即 δyi = λdxi ，用变形张量表示 则为 F = λδij ei dx j 8．结语本文建立新的连续介质模型，即连续介质由有限体积的、开放的、有内结构的物体单元 叠合而成，它在物理上更为合理，数学上也是自恰的。通过新的模型，可以允许物体的拓扑 结构的变化，这样导致两个必然的步骤：一是必须引入非初始的参考构形，二是不仅需要描 - 11 - http://www.paper.edu.cn 述物体局部状态的（弹性）变形、速度等基本场量，还需要引入描述物体拓扑结构的连络； 同时，在新模型下（弹性）变形和流动是两种机理完全不同的变化过程。 参考文献 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] Truesdell C, Toupin R A. 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On the Description of Deformation and Flow Wennan ZOU Institute of Engineering Mechanics, Nanchang University, Jiangxi Nanchang, PRC, 330031 Abstract Based on the hypothesis of continuity, a new model of continuous media was proposed. The descriptions of elastic deformation and flow were discussed between the present configuration and the virtual reference configuration. These were very different from the classical description derived from the displacement field, and will form a foundation of new theory of continuous media. Keywords: Model of Continuous Media, Present Configuration, Reference Configuration, Elastic Deformation, Flow - 12 -
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