weyl张量
(2005-09-04 22:33)
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第22章 外尔张量（草稿）
（1）
相对论的发展当然吸引很多人。在20世纪20年代，量子力学的诞生，是物理学的又一场革命。哥廷根学派为量子力学提供了数学框架。冯·诺依曼的《量子力学的数学基础》，外尔的《群论与量子力学》成为一个时期的经典著作。以外尔对量子力学的理解，他完全懂得暧昧是最好的男女关系。但从外尔与薛定格的老婆的暧昧关系看来，数学家外尔与物理学交往确实很密切。这可能是三个人的《情难枕》。
词曰：
如果一切靠缘份
何必痴心爱着一个人
最怕藕断丝连难舍难分
多少黎明又黄昏
就算是不再流伤心泪
还有魂萦梦牵的深夜
那些欲走还留一往情深
都已无从悔恨
早知道爱会这样伤人
情会如此难枕
当初何必太认真
早明白梦里不能长久
相思不如回头
如今何必怨离分
除非是当作游戏一场
红尘任它凄凉
谁能断了这情份
除非把真心放在一旁
今生随缘聚散
无怨无悔有几人
外尔曾经引进了外尔变换。但被爱因斯坦否决，因为根据外尔的思想，一个粒子依赖于它过去的历史。但他的思想后来被杨振宁等人借鉴，发展出规范场论。狄拉克在方程里得到了正电荷的粒子，以为应该是质子，外尔说，根据群论，你这个粒子应该与电子有相同的质量，不可能是质子，于是狄拉克灵感迸发：“那就让它是正电子吧”。
从历史发展的轨迹来看，很多事情实际上可以有少数几个人来推动，所以这是一种英雄史观。外尔在微分几何上的业绩，导致一个在相对论中起着重要作用的张量诞生。在20世纪20年代，在哥廷根大学，克莱因已经退休，希尔伯特也已老了。闵可夫斯基因病早在1909年去世。但是，新人不断在成长。希尔伯特的继承人是H．外尔(Weyl，1885一1955)。他是数学物理上广泛的天才，类似于彭加勒，他创立的学科数不胜数，例如，数论中的一致分布理论、黎曼曲面、微分流形、算子谱论、偏微分方程、胞腔概念、规范理论、李群表示等等。
一个相对论问题，可以用来引进外尔张量：“在真空之中，还有没有时空弯曲？”
答案当然是在于时空的外尔张量是否退化。
因为黎曼曲率可以做分解。
彭罗斯把这分解写成：
黎曼=里奇+外尔
里奇是意大利数学家，他是张量分析的鼻祖。
一般说来，从相对论的角度大体可以把微分几何分成以下四块：
1。张量场
2。微分形式
3。旋量分析
4。偏微分方程
里奇在第一块领域做出重要的业绩。而第二块领域的鼻祖是嘉当，陈省身。第三块领域的鼻祖当然就是彭罗斯，虽然欧拉曾经在三维空间引进旋量，而嘉当在四维时空引进了旋量。第四块领域，当然是首推s.t.yau。
里奇张量是黎曼张量中的含迹部分。而外尔张量则为黎曼张量中的不含迹部分。
两类张量的特殊情景同样引起数学物理的交织：
a，里奇平坦。
b，外尔平坦，或者说共形平坦。
在超弦理论里，需要额外维度的空间，威腾和斯特罗明格等人得到了这个空间，就是卡拉比-yau空间。在这个空间之上，存在一个凯林旋量，可以证明是里奇平坦的。里奇平坦不是黎曼平坦，后者过分平坦，会有非常多的凯林旋量。（见《超弦通俗演义》）
到底什么是里奇张量，什么叫外尔张量呢？？？
在爱因斯坦电梯里，电梯朝恒星下落，如果把电梯看成一个点，那它当然是自由落体。当电梯的尺度不是一个点的时候，引力的全部效应会体现出来。
电梯里的一个球面，会被引力的潮汐力拉成一个椭球面。这个就是外尔张量在起作用了。所以说，里奇张量在引力中使得物体朝引力源下落，而外尔张量使得物体被拉伸，或者扭曲——这个就是潮汐力，它不是牛顿引力那样的平方反比的，而是立方反比的。当然这是在四维时空之中的情景，假如在二维或者三维时空，外尔张量是不存在的，这意味着在一个低维的世界，潮涨潮落这样的涨落情景是很难看到的。
宋朝柳永曾经在杭州看到钱塘江的潮水，后来在内心里创作了一个词牌《望海潮》，他写下千古绝唱，描摹四维时空之中的人间美景：“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华。烟柳画桥，风帘翠幕,参差十万人家。云树绕堤沙。怒涛卷霜雪，天堑无涯……”
（2）
对黎曼流形，分类是很有意思的。譬如在中国曾经把人群分成工人，农民，知识分子，当然流氓无产者不构成一个分类，这种特殊情景另当别论。对于黎曼流形，它上面已经有度量，所以不是微分流形，唐纳森的那套类似于“六脉神剑”的手法还用不上，（注1六脉神剑出自中国武侠小说《天龙八部》，著者金庸，前面提到钱塘江潮水，观潮胜地，首选金庸故乡——浙江海宁）我们只用一些基本的手法，比如等度量群的分类，和乐群的分类。还有的一个在相对论中最常见的，就是对外尔张量的petrov分类。petrov 是俄国人，他在1954年左右开始考虑外尔张量或者黎曼张量的代数分类，到1966年，思路已经完全成熟。他显然是俄国人中研究相对论而在历史留名的少数人了。当然其他的俄国人就是郎道等人，他们写的《经典场论》被认为是一代经典。郎道研究相对论的时候，有个中国人跟他一起做研究，他就是段一士。段一士被郎道认为是无比聪明的中国青年。这是几十年前的事情了。段一士对广义相对论的能量问题，有一个自己的表述，被称为“段一士能量表述”。
petrov也是最早几个认识到1920年代伯克霍夫的定理有缺陷的人之一。他在1963年指出这个错误，离Birkhoff证明那个定理已经40年了，
而Birkhoff好象是1944年就去世了，他活着的时候未能看到自己的错误被指出，不失为一件快慰的事情。正如牛顿活着的时候，没有一个叫爱因斯坦的人跑过去跟他说：“哥们，你这个F=ma，那么我用力推一个小球，小球不断加速，最后的速度应该是无限大，但无限大不是物理的，你怎么解释你的理论？”倘若那样，牛顿一定会很慌，除非他相信，无限大也是物理的。牛顿在做最速降线的时候的那种气质，是非凡的，但他活着的时候没有遇见爱因斯坦来指出他的错误，保全了他的气质。
什么是外尔张量W-abcd的代数分类呢？？
这类似于矩阵的代数分类。
给定一个矩阵M-ab，再给定矢量空间的基，那当然可以把这个矩阵写出来。这个矩阵无论怎么复杂，我们可以讨论它的本征矢量。当然本征矢量很有可能是重复的，也可能找不到它的本征矢量。
对于外尔张量W-abcd，情景很类似，这个时候，petrov只考虑它的类光本征矢量。当然这四个类光本征矢量也有可能是有重复的，或者找不到这样的类光本征矢量，于是得到petrov的分类。以下的数字i表示i次重复的本征矢量。
（1，1，1，1）
（2，1，1）
（3，1）
（2，2）
（4）
（退化）
以上五种情景就是外尔张量的分类。对组合数学熟悉的人也许会惊讶，这不是正是整数4的无序分拆吗？其中第一类叫I型，最后一类叫O型。有了这样的数学，人们才能很好的处理引力辐射问题……
（3）
一般的，在流形之上的拉普拉斯方程把人们带向指标定理。如果我们要求拉普拉斯算子在流行上是共形不变的，我们必须加上R/6这一项。其中R是标量曲率。这就是弯曲时空上共形不变的场方程。
如果时空是里奇平坦的，那么它可能是代数特殊的。一真空引力场称为代数上特殊的，即外尔张量不是1型或O型的。
Goldberg-sachs有一个定理说的是非O型真空引力场是代数特殊的充要条件为它的主类光方向所定出的类光测地线是shear-free的。
这个就是goldberg-sachs定理。
什么叫shear？这个矢量场的一个剪切的程度……
另外，Levi-Civita联络是Levi-Civita在1917年提出的，但那时候只用于n维Euclidean space中的超曲面，也是外尔在1918年澄清这个概念并把他推广到流形之上。所以，对于联络理论，外尔起到一个承前启后的作用。这个意义上，艾虚卡应该忠心感谢外尔。
“流形”这一概念虽然Hilbert在1901年有过比较清晰的定义，但是真正的定义也是外尔在1913年的《论Riemann面》中给出的。
这也是现代流形的普遍定义。外尔在生活中的爱恨似乎已经远去，但在这个言必称流形的数学物理时代，暮色深沉之中，外尔在相对论中的光辉印象矗立在宇宙的山峰。
下一章
《天空中的超对称》
