diffgeom01 定方向叫柱面的方向，定曲线叫准线, 是它的一条准线．这个柱面称为抛物柱面

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（12学时） 第4.1节 柱面（3学时） 一、教学要求： （1）理解柱面的生成规律。 （2）掌握柱面方程的常规求法与主要步骤。 （3）掌握圆柱面方程的特殊求法。 （4）掌握母线平行于坐标轴的柱面方程的特征 （5）掌握常见的柱面的画法和空间曲线的射影柱面的求法。 二、讲授内容： 复习曲面方程的概念 类似乎面解析几何中的曲线一样、在空间解析几何中，一个曲面可看成是具有某种几何性质的点的轨迹． 定义 如果有一个曲面S和一个三元方程F(x, y, z)＝0，它们满足下面两个条件： 曲面身上任一点的坐标都满足方程 F(x, y, z)＝0； 不在S上的任一点的坐标都不满足方程F(x, y, z)＝0。 那么，曲面S就称为方程F(x, y, z)＝0的图形，而方程F(x, y, z)＝0称为曲面S的方程． 空间解析几何研究的基本问题是： 已知曲面S上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程； 已知曲面的方程，研究曲面的几何形状． 柱面具有较为突出的几何性质,我们将从图形出发,去讨论柱面的方程. 1〉、定义：在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面。定方向叫柱面的方向，定曲线叫准线，平行直线中的每一条都叫母线。（ 都叫准线，因它们与所有母线都相交，不唯一。） 由此定义，不难得到如下事实： 1、柱面的准线不具有唯一性，即凡是在柱面上且与每一条母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线。 2、 柱面具有比较明显的几何特征：即柱面是过准线且与柱面方向平行的一族动直线的集合，因此，柱面是由它的准线与母线的方向完全决定。 2〉、方程的求法：①生成规律：生成柱面的母线族也可看作由一条动母线 运动生成，运动时，它保持与定方向 平行且与母线 相交，生成整个母线族，从而形成曲面。而它运动的起因，又可看作是由它与 的交点M1的变化而引起的，当M1，跑遍了 上的所有点时，带动 变动生成母线族，形成曲面，（两大要素、方向、准线）。（M1变 变 生成母线族）。 ②求方程的步骤： 1、写出过柱面准线Г: 上任意一点 的母线 的方程 , （1） 其中X、Y、Z是已知的定方向，即母线的方向。 2、写出参数 的约束条件（让 跑遍 ，带动 变动） （2） 3、由（1）、（2）消去参数 得 ,即为所求的柱面方程。 例1 柱面的准线方程为 而母线的方向数是-1、0、1，求这柱面的方程。 [分析]由于题中条件与建立柱面方程常用方法的条件一致，由常用方法易建立柱面方程，具体过程略，但这里须注意如何消去参数的方法。 得 例2 已知圆柱面的轴为 ，点（1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。 [分析] 此题中所求柱面的准线和方向尚不明显，应先求出其准线和方向。由于所求圆柱面的母线平行于轴，故轴的方向即为圆柱面的方向，而准线可取作过轴上的点以（0，1，-1）为中心，点（0，1，-1）到点（1，-2，1）的距离为半径的球面与过已知点（1，-2，1）且垂直于轴的平面的交线。 解法一：已知圆柱面轴上一已知点 ，方向矢 ，如能求出一条准线（圆）的方程，就可用常规解法。 过已知点P（1，-2，1）的圆可看作以 为心， 为半径的球与过P且垂直于轴的平面之交线，故准线圆： 设 为准线上任一点，则过 的母线为 消 ，得 . 解法二，特殊解法：由圆柱面的特殊性，将其看成是到轴线等距离的动点轨迹，设 是圆柱面上任一点，则有 结论（此处比课本简捷）. 3）、特殊柱面： 下面讨论母线平行于坐标轴的柱面. 方程 在平面上，表一直线 ，在空间，它表示一曲面，若 面上的 满足 的方程，则 也满足方程（1），而 轴，故曲面可认为是由这样一些与 轴平行的直线形成的，故（1）表母线平行于 轴的柱面。 画图4-1，4-2，4-3，并指明其特点。 一般地，在空间解析几何中，不合z而仅含x,y的方程 表示一个母线平行于z轴的柱面．同理，不含x而仅含y，z的方程表示母线平行x轴的柱面；不含y而仅含x,z的方程表示母线平行于y轴的柱面． 例如，方程 ，表示的是母线平行于z轴的圆柱面的方程。 又如， 表示母线平行于z轴的柱面，xoy坐标面上的抛物线 是它的一条准线．这个柱面称为抛物柱面。 常见的母线平行于z轴的柱面还有： 椭圆柱面: ； 双曲柱面 . 总结：柱面是解析几何一类重要的特殊曲面，因此要求掌握求柱面方程的一般方法与步骤，对于圆柱面，除一般方法外，还能根据圆柱面的几何特征采取特殊方法求方程，即须明白，并不一定要先求得柱面的准线才能求方程，此外，通过方程也能认识曲面的大致形状。 说明：柱面方程除上方法外，随后面旋转曲面的学习，我们还将看到柱面方程还可利用旋转曲面的知识及一元二次方程的判别式等进行求解。 思考题： 1、已知柱面方向是1:0:1,母线是曲面的切线，求其方程。 2、请写出以曲线 L：x=x(u),y=y(u),z=z(u) (a≤u≤b) 为准线，X:Y:Z为方向的柱面的参数方程，并证明。 本章 具有较为突出几何特征的曲面（前三种）：从图形出发，讨论（建立） 曲面方程。 内容 方程具有简单形式的曲面（五种二次曲面）：从方程出发去研究曲面的图形（内部结构和生成规律）。 课P14 7，4 证：设 为柱面上任一点，过 的母线交准线 于点 ，令 ，则 ，当 取遍 上所有点，即 时，动母线 形成整个母线族，从而生成曲面，故柱面的矢量式参数方程为： 坐标式 作业P147 1、2、9 第4.2节 锥面（2学时） 一、教学要求： （1）理解锥面的生成规律。 （2）掌握锥面方程的常规求法与主要步骤。 （3）掌握圆锥面方程的特殊求法。 二、讲授内容： 1）、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的直线所产生的曲面叫锥面。 定曲线 叫准线（不唯一），那族直线叫母线，定点A叫顶点 ▲ 特点：锥面上任一点与顶点的连线都在锥面上。 2）、方程的求法：①生成规律；生成锥面的母线族，也可看作由一条动母线 运动生成。运动时，它保持过定点A且与曲线相交，生成整个母线族，从而形成曲面，而它运动的起因，又可看作是由它与 的交点M1的变化而引起的，当M1跑遍了 上的所有点时，带动 变动生成母线族，形成曲面。（两大要素：顶点；准线） ②求方程的步骤： 1、写出母线方程：设锥面的准线方程为 Г: （1） 顶点为A（ 、y0、 ）,又设 为准线上任一点，则过M1的母线 的方程为 , 2、写出约束条件（让 跑遍 ，带动 变动） （3） 3、由（1）、（2）消去参数 得 ,即为所求的锥面方程。 例1（二次锥面）：锥面的顶点在原点，且准线为 求锥面方程。 解：同（1）、（2）（3） 方程为 （二次齐次方程）. 例2已知圆锥面的顶点为（1，2，3），轴垂直于平面 ，母线与轴线成 角，试求这圆锥的方程。 解：设 为圆锥面上任一点，则M满足的 是过 的母线与轴组成 角，过M的母线方向矢 ，平面法向量 这是一个关于 （▲一般方法：求A到 的距离AC，则可在Rt 中，求出 ，故准线圆可求） 3）、齐次方程：设 为实数，对函数 ，若有 t的取值当使 有确定意义，则 叫 次齐次函数 叫 次齐次方程。 定理1：一个关于 的齐次方程总表示顶点在原点的锥面。 证：设关于 的齐次方程为 , （8） 故 ,当 时，有 , 再设 为曲面（8）上任一非原点即 ，欲证直线 满足（8），即（8）是由这种过原点的直线组成，亦即它是以原点为顶点的锥面。 直线 代 （8）得 ，故整条直线都在（8）上，由 的任意性知（8）是锥面。 推论：关于 的齐次方程表顶点在（ ）的锥面。 （课）P151，4. 解：（如图）锥面的轴与三坐标轴成等角，故所求的圆锥面有八个（四种）。 设此圆锥面的轴为 ，则准线可取为过点（1，0，0，）（0，1，0），（0，0，1）的圆 又设 为准线上任一点，过 的母线为 . 且有 为所求方程。 同理：以 为轴的锥面： 以 为轴的锥面： 以 为轴的的锥面： 作业：P151. 2 、5 第4.3节 旋转曲面（2学时） 一、教学要求： （1）理解旋转曲面的生成规律。 （2）掌握旋转曲面方程的常规求法与主要步骤。 （3）掌握求特殊旋转曲面方程的条件与方法。 二、讲授内容： 1）、定义：在空间，一条曲线 绕定直线L旋转一周所产生的曲面叫旋（回）转曲面， 叫母线，L叫旋转轴，任意点 旋转时形成一个圆，这个圆是过 的平面与曲面之交线，叫纬圆，在旋转中的不同位置叫经线，它是过L且以L为界的曲面之交线。 2）、方程的求法：生成规律，旋转曲面可看作由一系列大小不等,但圆心在轴上的纬圆“堆砌”而成,或看成由一个圆心在L上变动,所在平面保持与L垂直的动圆 变动而得，而运动的起因，则可看作是由该圆与 的交点 的变化而引起的，当 跑遍了 上所有点时，带动纬圆变化 生成旋转曲面，（两大要素：转轴、母线） ②求方程的步骤： 1、写出纬圆方程：在直角坐标系下，设母线 （1） 旋转轴L： , (2) 为 上的定点，设 是 上任一点，则过 的纬圆可看成由过 且垂直于旋转轴L的平面和以 为心， 为半径的球面之交线，方程为 2、写出约束条件（让 跑遍 ，带动 变动） 又有 3、消参数. 从（3）、（4）共四个等式中联立消参数 得 即为所求的旋转曲面方程。 例1 求直线 绕直线 旋转得的曲面方程 解：设 是母线上的任一点，则过 的纬圆方程为 又有 3)、特殊旋转曲面，在直角坐标系下，常将母线所在的平面取作坐标面，将转轴取作此平面的一条坐标轴。设母线 旋转轴为 轴： ，设 为 上任一点，则过 的纬圆为： 且 ，消 得 . （▲若绕 轴旋转，则曲面方程为 .） 规律：当坐标面上的曲线 绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，为了求出这样的旋转曲面的方程，只要将 在坐标面里的方程保留和旋转轴同各的坐标，而以其他两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。 定义 平面上的一条曲线绕着同一平面上的一条定直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面．这条定直线称为旋转曲面的轴． 如图，在yoz坐标面上有曲线C，它的方程为 F(y, z)=0 .把这曲线绕z轴旋转—周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，它的方程是: . 证法2 这是因为，在旋转曲面上任取一点 ，过点 作一平面垂直于 轴，则这个平面与旋转曲线的交线是一个圆，且圆心 在旋转轴 上，其坐标为 ，半径 。设此平面与 坐标面上的曲线 的交点为 ，由于点 也在圆上，因此有 ， ，而点 的坐标应满足方程 ， 即 . 同理，曲线C绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程是: . 同样， 坐标面上的曲线 绕 轴、 轴旋转而成的旋转曲面的方程分别是： . . 坐标面上的曲线 ，绕 轴、 轴旋转而成的旋转曲面的方程分别是： . . 将xoz坐标面上的椭圆 分别绕 轴和z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解 略 例2 将椭圆 分别绕长轴（ 轴）和短轴（ 轴）旋转，求所得的旋转曲面方程。 （扁形旋转椭球面） （长形旋转椭球面） 解：绕 轴 . 绕 轴 .   例3 将双曲线 绕虚轴（ ）旋转 . 绕实轴（ 轴）旋转 . （单叶旋转双曲面） （双叶旋转双曲面） 例4 将地物线 绕其对称轴旋转 . (旋转抛物面) 例5、将圆 绕 轴旋转 解：有 作业 P158 第4.4节 椭球面（2学时） 一、教学要求： （1）掌握从方程讨论二次曲面的几何性质的一般方法。 （2）掌握用平行截割法来推断曲面形状的一般步骤。 （3）掌握椭球面的标准方程与主要性质。 （4）灵活运用椭球面的性质画出图形。 二、讲授内容： 考察分析曲面的形状，我们常用坐标面和平行于坐标面的平面去截所给曲面,考察截痕的形状,综合分析后得到曲面形状的方法. （ 属于二次曲面，以后有心、无心二次曲面都主要从方程出发探讨曲面的几何性质，内容结构、生成规律） 定义1 在直角坐标系下，由方程 所表示的曲面叫椭球面，a、b、c是正常数，一般地 。 对二次曲面，我们主要对方程进行以下五个方面的讨论，从而认识曲面的一些主要性质，椭球面也不例外。 一、对称性：当（ ）满足 ，（ ）也满足它，且正负号可任取，故椭球面关于 面、 和 面对称，也关于原点（ 满足方程）对称，同理，它关于三坐标轴也对称，对称平面、对称轴和对称中心分别叫主平面、主轴与中心。 二、顶点和轴（范围），曲面与对称轴的所有交点叫顶点，椭球面 的顶点为（ ），（ ），（ ）共六个。 连接曲面在同一对称轴的两个顶点的线段，叫曲面的轴、轴的一半叫半轴。 当（ 时）， ，分别叫椭球面的长、中、短轴， 、 、 ，叫半轴。 ， ， , 说明椭球面被封闭在由平面 和 围成的长方体内。 三、截部：曲面与三坐标面的交线叫曲面的截部则 （1） （2） （3） （1）、（2）、（3）叫椭球面的主截线（主椭圆）（可画草图） 四、形状：为了对曲面的轮廓有个概括的了解，我们采用平行截割法来分析曲面的形状，即用一组平行平面去切平面（常取与某个坐标面平行），考虑交线的情况，则曲面的大改形状也就清楚了（相当于将曲面一刀刀切开看）交线叫平面的截口（截部就是特殊的截口）对椭球面，不妨取平行于 面的一组平行平面来截。 截口是 （4）（ 是变数，相当于参数） <0, ,(4)无图形，即平面 与曲面 不相交; =0, ,(4)的图形是点 ,或 ; >0, ,(4) 的图形是一个椭圆，它的两半轴分别为 与 ，顶点是（ ，0，h）和（0， ，h），它们分别在椭圆（2）与（3）上。这样，椭球面 可看成由一个椭圆变动而产生，这个椭圆在变动时保持扔在平面与 面平行，且两轴端点分别在（2）、（3）上滑动。 五、特殊情形： 1） 时， （扁形旋转椭球面）; 2） 时， （长形旋转椭球面）; 3） 时，球面。 习题中的问题：P131， 1、解：1） 与 轴相交，即交点 满足直线方程 , 且 不全为零。 2）构成 的两平面均平行于 轴，故 ,  ，但 不全为零（否则 过原点）。 3）在（2）的基础上有 6、设 和 分别是坐标原点到点 和 的距离，证明当 时直线 通过原点。 证：由已知得：  ，  ，则 ,  。 条件 等价于  ，即 , 所以  平行于 , 故直线 通过原点  。 P145，3、解：找圆柱面的轴 上一已知点，在 上取点 ，作过 且与 垂直的平面， 且 与 ， 的交点分别为 ， ，设点P 是 上由 所确定的圆之圆心，那么 ，P在 上， 又有 。 设 为所求圆柱面上任一点，则 到圆柱面的轴 的距离等于 有 方程为 P160，4、证：设所引三射线的单位方向矢分别为 则由上题结论可知，在直角坐标系下，对射线 分别有 , （1） , （2） . （3） 两两互垂，则可建立直角坐标系 , 其中 . 在此坐标系下，射线 的方向余弦为 ，余此类推， 的方向余弦为 射线 的方向余弦为 , 故有关系式 ， ， 将（1），（2），（3）相加得 6、解：设所求平面方程为 （1） 它与椭圆的交线 （2） 这是平面 上的椭圆，顶点为 和 即 和 当它的长轴与短轴相等时，交线为圆， 即 . 第4.5节 双曲面（2学时） 一、教学要求： （1）掌握单叶双曲面的标准方程与主要性质。 （2）灵活运用单叶双曲面的性质画出图形。 （3）掌握双叶双曲面的标准方程与主要性质。 （4）灵活运用双叶双曲面的性质画出图形。 二、讲授内容： 1、单叶双曲面 定义1：在 下，由方程 （4.5-1） 所表示的曲面叫单叶双曲面， 是任意的正常数。 一、对称性：关于三坐标面，三坐标轴及原点都对称。 二、顶点和轴：与 轴不相交，与 轴交于 ，与 轴交于 共四个顶点，两轴 。 三、截部 （1）腰椭圆 （2）双曲线 （3）双曲线 （2）与（3）有共同的虚轴长. 四、形状：当用平面 （ 为任意实数）截曲面，得 截口 （4） 无论 为何值，截口都是椭圆，其顶点为 与 ，易知它们分别在主双曲线（2），（3）上， 故单叶双曲面可看成曲一个动椭圆变动而形成，变动时椭圆保持所在平面与 面平行对顶点分别在定双曲线（2）、（3）上滑动。（画图） （▲用 截曲百的三种截口情况介绍即可，对生成规律并无帮助，只需提醒当 时，截口为两相交直线。） 五、特殊情形：若 ，则 单叶旋转双曲面。 方程 与 都是单叶双曲面。 2、双叶双曲面： 定义2：在 下，由方程 （4.5-2） 所表示的图形叫双叶双曲面， 是任意正常数。 一、对称性，关于三坐标面，三坐标轴及原点对称。 二、顶点和轴（范围）：与 轴均不相交，与 轴交于 ，有两顶点，一条实轴2 ，两虚轴 ，且 ， ，曲面分上下两部分（在平面 上下两部分。） 三、截部 （6） （7） 两双曲线有共同的实轴与顶点。 四、形状，用 ( )来截曲面，得截口 （8） 当 时，图形退为点 或（ ） 当 时，截口为椭圆，两顶点 与 分别在主双曲线（6），（7）上。 （生成规律）故双叶双曲面可看成是由一个动椭圆变动而产生的，变动时，保持所在平面与 面平行，且两对顶点分别在主双曲线（6），（7）上滑动。 五、特殊情形 若 ，则表双叶旋转双曲面。 方程 ， 都是双叶双曲面。 例：用一组平行平面 （ 为任意实数）截单叶双曲面 得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹。 解：这一族椭圆方程为 因 ，故其长半轴为 ，短半轴为 焦点坐标为： 消参数得 故焦点轨迹是一条在 面上的双曲线，实轴为 轴，虚轴为 轴。 第4.6节 抛物面（2学时） 一、教学要求： （1）掌握椭圆抛物面的标准方程与主要性质。 （2）灵活运用椭圆抛物面的性质画出图形。 （3）掌握双曲抛物面的标准方程与主要性质。 （4）灵活运用双曲抛物面的性质画出图形。 （5）了解由空间几个曲面围成的立体图形的基本画法。 二、讲授内容： 1、椭圆抛物面 定义1：在 下，由方程 （4.6-1）所表示的曲面叫椭圆抛物面。 是任意正常数。 一、对称性：若 满足方程，则 和 及 也满足方程，故曲面关于 面， 面和 轴对称，无对称中心。 二、顶点：（范围）由方程可知，曲面与 轴仅有一交点（原点），故原点是它唯一顶点，且 所有曲面全在 面上方。 三、截部，与 面交于原点。 与 面为 （1）抛物线 与 面为 （2）抛物线 这两条主抛物线有相同的顶点和轴及开口方向，所在平面互相垂直。 四、形状：用 去截曲面，截口 （3） 不论 取任何大于零的数，（3）都表 上的椭圆， 顶点分别为（ ）和（ ），它们分别在（1），（2）上。 （生成规律）故曲面可看成由一个动椭圆变动而生产的，它变动时保持所在平面与 面平等，且两对顶点分别在主抛物线（1）（2）上滑动。 再用平面 截曲面，得截口 （4） 抛物线（4）与主抛物线（1）全等，因它们的焦参数都是 ，故它们形状相同，大小不变，且（4）所在平面平行于 面，有相同的开口方向（ 轴正向）， 且（4）的顶点（ ）在（2）上。 （生成规律）故曲面也可这样生成：取两条这样的抛物线，它们有公共的顶点和轴及开口方向，所在的平面互相垂直，让其中一条平行于自己，其顶点在另一条上滑动，那么这一抛物线的轨迹就是一个椭圆抛物面。（若两抛物线开口方向相反，则运动轨迹就是下一节的马鞍面。） 五、特殊情形：若 ，则 为旋转抛物面。 2、双曲抛物面 定义2：在 下，由方程 （4.6-2）所表示的曲面叫双曲抛物面， 是任意正常数。 一、对称性，关于 面及z轴对称，无对称中心。 二、顶点：原点 三、截部 （5） 即 和 （5’） 这是一对交于原点的直线。 （6） （7） 主抛物线（6）与（7）所在平面互垂，有相同的顶点（原点）和对称轴（ 轴），但开口方向相反。 四、形状，用 去截曲面，得截口 不论 取任何实数，抛物线（9）总与主抛物线（6）全等，且顶点 在主抛物线（7）上。 故曲面可这样生成：取两条有公共顶点且开口方向相反的抛物线，它们所在的平面互相垂直，让其中一条平行于自己，其顶点在另一条上滑动，那么这一抛物线的轨迹就是双曲抛物面（马鞍面）。 （用 去截曲面的截口情况介绍即可，对生成规律并无帮助，只需提醒当 时，截口为两相交直线） 例1 作出球面 与旋转抛物面 的交线。 解：交线为 （ ） 等价方程为 （舍去） 和 即 它是平面 上的圆，圆心（ ）, 半径 。 描绘由几个曲面（包括平面）围成的空间区域简图对于培养学生的空间概念，发展他们对空间图形的想象能力和观察能力很有好处，同时也是学习数学分析要求的基本能力。注意以下几点： （1）弄清空间区域由哪几个曲面所围成，想象区域的形状。 （2）弄清区域边界哪几块是平面，哪几块是二次曲面，在此基础上弄清边界曲面的交线形状和位置。 （3）确定区域边界上三曲面交点及二次曲面交线上特殊点的坐标。 第七节 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线（自学） 一、学习要求： （1）了解直纹曲面的特点。 （2）掌握求单叶双曲面与双曲抛物面的直母线方程的方法。 二、讲授内容： 由一族直线所构成的曲面叫直线曲面，那族直线叫曲成的一族直母线（如柱面和锥面）。 在上两节中看到，单叶双曲面（的截口）和双曲面抛物面（的截部）上都包含着直线，我们还可以证明，它们也是直纹曲面。 1、（先看）单叶双曲面： 引进不为零的参数 ，考虑由上式得的方程组。 和当 时的两种极限情况 (4) 不论 取何值，（3）（4）及（ ）都是直线，它们合起来组成的一族直线叫 族直线，当 变动时，就得到无数条直线（包括）（4）与（ ），现在证明这无数条 族直线是曲面（1）的一族直母线，它们构成整个曲面，为此，必须证明。 （ ） 族直线中的每一条都在单叶双曲面上； （ ）通过单叶双曲面上每一点，必须有 族直线中的一条直线。（或说曲面上任一点，必在 族直线中的一条上）。 证明：（1） 时，（3）两边相乘即得（2），从而得（1），故（3）所表示的直线上的点都在曲面（1）上；而满足（4）与（ ）的点显然满足（2），从而满足（1），故直线（4）与（ ）上的点也在曲面上，即直线族（3）、（4）、（ ）中的每一条都在（1）上。 （ ）反之，设（ ）是曲面（1）上任一点， 则有 . （5） 显然 与 不能同时为零，若不然 矛盾. 不失一般性，假设 ， 则取 的值，使 （如取 ， 此时 ）由（5） 在直线（4）上， 故曲面（1）中的任一点 一定在 族直线中的某一条上，这就证明了（1）是由 族直线所构成。 同样可证由直线 （6）与另两直线 （7） 合起来组成的直线族是（1）的另一族直母线，叫曲面（1）的 族直母族。 推论：对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有且只有一直线通过这点。 为了避免取极限， 族与 族直母线常写作 （4.7-1） （4.7-2） 其中 不同时为零，上述直线只依赖于 和 的值。 2、对于双曲抛物面 （4.7-3） （4.7-4） 推论：对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有且只有一直线通过这点。 定理：（4.7.1）（参看P137例3）证明（2）：双曲抛物面上， 族直母线和 族直母线也有类似单叶双曲面中的行列式等于零， 故它们共面，且 # 定理4.7.2单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线同行于同一平面。 证明（2）： 族的方向数取为 （ 为变数） 族的方向数取为 （ 为变数） 族平行于一定平面（不含 ） ， 族平行于定平面 #