数学本质是刚体变换这种变换不改变物体的任何两点之间的距离

来源: marketreflections 于 2010-05-17 12:30:03 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (6907 bytes)

回答: 分析的过程就是在思维中对这一有机整体根据它自身的性质分离出与整体密切联系的各个抽象因素。分析得出的各个因素并不是在同一平面上静止由 marketreflections 于 2010-05-16 06:53:54

新课改已经走过了整整七个年头，可如今不少数学课堂表面上看起来热热闹闹、活跃非凡，但真正留给学生的数学思考、数学思想方法、解决问题的策略却少之又少。往往是课堂上听懂了，课后却是一脸茫然。笔者认为，这与许多一线教师对数学本质的理解不够深入，把握不够准确，盲目追求数学课堂生活化、情境化、趣味化有关。面对逐渐走向理性化的新课程改革，既要让课堂充满生活化、情境化、趣味化又要学习真正的数学，发展数学思维，我们该怎么做呢？这是值得深思的现实问题。笔者认为把握数学本质，引发学生数学思考，为学生思维发展而教是为师之本，教学之道。下面结合个人学习研究、实践探索和大家交流一些体会，不当之处敬请指正。

数学本质究竟是什么？要解读这个概念，先得弄清楚“本质”的含义。我们常说“透过现象看本质”，“看问题要抓本质”，“本质”就是指事物本身所固有的、决定事物性质、面貌和发展的根本属性。由此出发，“数学本质”就是指数学本身所固有的、决定数学学科性质、面貌和发展的根本属性。因此数学本质在宏观上就是指“什么是数学”“数学是什么”。对于什么是数学，不同的人，不同的历史时期，有不同的看法。

“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”。（恩格斯）这是对数学研究对象的一种经典的解释。《数学课程标准》（修订稿）沿用此说：数学是研究数量关系和空间形式的科学。

在宏观上，可以说数学本质就是数学观问题，即“什么是数学”。因此数学本质既体现在数学研究结果上，又体现在研究过程中；数学本质不仅体现在数学知识上，体现在数学思想、数学文化、数学精神里，还体现在抽象、严密、简洁等特点上。

在微观上，数学本质是指具体数学内容的本真意义。这需要我们对具体内容进行深入挖掘，一层一层地追问。隐藏在客观事物背后的是什么数学知识、数学规律？这个数学知识的本质属性是什么？统摄具体数学知识与技能的数学思想方法是什么？某个具体内容的数学本质既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性，还表现为统摄具体数学知识与技能的数学思想方法。

如平行线的教学。什么是“平行”的本质？用运动的观点观察直线的位置关系，平行是直线平移运动的状态。因此我认为，平行的数学本质是直线的平移运动，画平行线的本质是使画直线的工具发生平移运动。学生画平行线时经常发生困难，为什么画平行线要“靠、贴、移、画”呢？理解了平行的本质以及画平行线的本质后，画平行线的操作“靠、贴、移、画”就成了一种顺其自然的行为，操作行为与数学本质就会和谐的统一在一起，数学操作技能的形成就“象呼吸一样自然”生长！

再如平移、旋转，数学本质是刚体变换。刚体变换是什么意思？就是说这种变换不改变物体的任何两点之间的距离。比如，把线段AB平移或旋转，AB两点之间的距离不会改变，这就是刚体变换，也是平移、旋转运动的本质特点。回想一下，我们教学在方格纸上画出平移或旋转后的图形，是不是根据刚体变换的这一特点，始终抓住平移或旋转后的图形各对应点之间的距离不变，引导学生按“定点、移点、连线”的步骤画出平移或旋转后的图形的？

例如小数的本质是十进分数，所以在学习小数的时候，书上这样表述：分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。

圆的本质“平面内到定点距离相等的点的集合”。

……

对数学本质的理解与把握决定了一个数学老师的教学观和教学效果，因为有什么样的价值观就有什么样的行为方式，有什么样的行为方式就有什么样的行动结果。数学本质对于数学教学的影响：英国著名数学教育家斯根普说，“我先前总认为数学教师都是在教同样的学科，只是一些人比另一些人教得好而已。但我现在认为在‘数学’这同一个名词下所教的事实上是两个或几个不同的学科。”

数学的价值不在模仿而在创新，数学的本质不是技能而是思想。数学学习的过程不能只是一个遵照指令进行程序操作的过程，而是一个不断地运用自己的知识经验进行自我建构的过程。学生知识结构就是在这样不断补充、重组、提升中建构的，建构可以理解为知识点的建构和知识网络（即知识结构）的建构。

1.数学学科本质一：对数学基本概念的理解。

小学阶段所涉及的数学概念都是非常基本、非常重要的，“越是简单的往往越是本质的”。小学数学的基本概念主要有：十进制、单位（份）、用字母表示数、四则运算，位置、变换、平面图形，统计。

对小学阶段的数学基本概念内涵的理解是如何学习数学、掌握数学思想方法、形成恰当的数学观，真正使“情感、态度、价值观”目标得以落实的载体。所谓“对数学基本概念的理解”是指了解为什么要学习这一概念，这一概念的现实原型是什么，这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么，以这一概念为核心是否能构建一个“概念网络图”。

本人在《福建教育》2009年第4期发表论文《思维图表在概念教学中的应用》，专门论述思维图表在概念教学中的应用。

2.数学学科本质二：对数学思想方法的把握。

小学阶段的重要思想方法有：分类思想、转化思想（叫“化归思想”可能更合适）、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法等。

例如在“面积与面积单位”的教学中，当学生无法直接比较两个图形面积大小时，适时引进“小方块”，把“小方块”一个一个地铺到被比较的两个图形上，这样，两个图形的面积都得到了“量化”，形的问题转化为数的问题；接着，又通过“小方块”大小必须统一的教学过程，使学生深刻认识到：任何量化都必须有一个标准，而且标准要统一，自然地渗透了单位思想。

3.数学学科本质三：对数学特有思维方式的感悟。

每一学科都有其独特的思维方式和认识世界的角度，数学也不例外，尤其数学又享有“锻炼思维的体操、启迪智慧的钥匙”的美誉。

小学阶段的主要思维方式有：比较、类比、抽象、概括、猜想--验证，其中“概括”是数学思维方式的核心。

例如从最简单的情况想起就是最有效的思考方法。复杂问题总是由简单问题组成的。在解决复杂问题时，要注意引导学生想想它的简单情形，可以考虑去掉某一个(或几个)限制条件，或把某一个(或几个)条件放宽，从而把较复杂的问题转化为一个简单的问题，这样就可以把解决简单的问题作为跳板，从中寻找方法或受到启发，再“进”到复杂问题。正如数学家华罗庚所说：善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个决窍。在这一“退”一“进”之间，问题往往能得以顺利解决。

五年级解决问题的策略（倒推），要紧紧扣住学生思维的起点，凸显数学本质。从原来到现在，起点是原来，方向是由原来--现在，倒推就是走回头路，又叫还原，所以起点是现在，方向是现在--原来，其中集邮问题的例2是单线变化，例1倒果汁是双线变化。根据需要可以先学习单线变化，再学习双线变化。在例1中抓住变与不变的辩证关系，变化的是个体，核心是总量不变。恰当运用文字、数据和箭头来整理条件，突出两个点，两条线。

4.数学学科本质四：对数学美的鉴赏。

能够领悟和欣赏数学美是一个人数学素养的基本成分，也是进行数学研究和数学学习的重要动力和方法。能够把握数学美的本质也有助于培养学生对待数学以及数学学习的态度，进而影响数学学习的进程和学习成绩。

数学美的基本原则：求真、求简、求美。数学美的核心是：简洁、对称、奇异，其中“对称”是数学美的核心。

我们的数学教学应该通过数学活动让学生感受数学抽象、严密和简洁的本质特点，感受数学知识的生长性，感受数学思想的魅力，感受数学知识、数学思想、数学文化、数学精神的力量！

如何把握数学本质，提升自己的数学素养呢？东北师大史宁中校长与孔凡哲在《人民教育》2008年第21期上有一个《“数学教师的素养”对话录》，此中说道如何增强自己的数学专业功底？提出需要集中抓好三件事：一是理解数学抽象、推理、模型等核心数学思想，把握数学的主要思维特征。二是正确理解中小学数学中的“关系”，从整体上把握中小学数学课程内容。三是有针对性地深入研究不同学段中核心数学内容的学科本质，切实将数学专业功底与研究中小学数学课程的核心内容融合在一起。

2009年第2期《人民教育》上华东师大张奠宙教授与浙江杭州现代小学数学教育研究中心主任唐彩斌《关于小学“数学本质”的对话》请大家研读体会。