现代物理 根据物理学理论的一些已经过实验检验的基本要求（例如对称性等）和来自相关实验事实的启示，构造出 L－函数，然后由Hami

哈密顿原理- docin.com豆丁网
2010年1月21日 ... 因此等时变分与虚位移采用同一符号q  是适当的。 5 2 1． Hamilton 原理（1834） 在t 0 和t 1 时间间隔内，一个保守的力学体系，受到的约束是完整 ...
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第五章 哈密顿原理 5 1 1．力学第一性原理（力学最高原理）：可由它导出全部力学定律的原理或者假设。（好比几何学中的公理） 什么原理可以作为力学第一性原理?  牛顿运动定律  达朗伯原理 0 i N i i i F F m r      1, 2 , , i n   动力学虚位移原理（是一种微分变分原理，或称动力学虚位移原理或称动力学普遍方程，在本教材又称达朗贝尔方程；在静力学情况下是虚位移原理，或称虚功原理。）  Lagrange 方程  正则方程 以上原理中的任何一者都可以，因为它们是相互等价的。 在本章介绍另外一类力学第一性原理——力学的积分变分原理。 2．物理学中的变分原理举例 ○1 求单摆的平衡位置： i 平衡位置应满足平衡方程   0 sin 0 cos  T T mg 求得平衡位置： 0     T mg  ii 利用虚位移原理 0 0 sin 0 sin cos 0       mgl mgl l x x mg ⅲ 利用势能  cos mgl mgx V     最小这个条件， 0 sin     mgl V 或者 0 sin   mgl V 得到 0   。 方法ⅰ是找出满足平衡条件的态（着眼于一个单独的态）；方法ⅲ是将真实平衡位置与无限接近它的邻近位置比较，平衡位置将使动力学函数（势能）达到极值（逗留值） 0 V   ；方法ⅱ也相似，但虚位移原理 0   i i i r F  不要求左边成为恰当变分，适用范围更广些。方法ⅱ和ⅲ均系利用变分原理（微分变分原理）求解。 ○2 最速落径问题（The brachistochrone problem） 从静止出发，在重力作用下，沿光滑轨道由A（x 1 ， y 1 ）滑到B（x 2 ，0），问沿怎样的轨道y＝f(x)所用时间   ) ( ) ( ) ( ) ( B A B A v ds dt T 最短。 mg T θ x y O x B(x 2 , 0) A(x 1 , y 1 ) y O (x 1 , 0) 2   y y g v   1 2 ，     dx x f ds 2 1       2 1 1 2 2 1 x x dx y y g y T T 不能是x 的函数，因为它是上下限确定的对x 的定积分。T 也不能是y 的函数，因为如果T 是y 的“函数”，而y 是x 的函数，那么T 就是x 的复合函数，这显然也不对。上式应记为      T T y T f x T f      ，不代表x 与T 之间的对应关系，而是函数关系f （即x 与y 的对应关系）与T 之间的对应关系。也就是无限多个函数值  f x 与T 之间的对应关系，即无限多个自变量 ( ) f x 的多元函数T ,我们称T 为y 的泛函。把  f x 的宗量 x 记成别的字母，例如u，也不会改变T 的值，在不会引起混淆时也可以略去不记，即  T T f x         T f u T f    。上式中另外几个量：x 1 ，x 2 ，y 1 对这个泛函的定义是不可缺少的，也是不可随意改用别的字母来记。最速落径问题就是要求出使泛函T 取极小值的函数f(x)[也就是函数f(x)的无限多个值]。 ○3 费马原理（Fermat Principle） 在介质内（一般可以不均匀），光从一点到另一点是沿光程取极值（极大、极小或者常数）的路径传播的。（极端光程原理）或者说，是取所需时间为极值的路径传播的。（时间极值原理）光程是传播路程l 与折射率n 的乘积nl ，非均匀介质中为 ) ( ) ( B A ndl 是路径函数的泛函。传播时间是 / dl dl ndl dt v c n c    与光程ndl 成正比。均匀介质内光的直线传播定律、光的反射定律、光的折射定律都是费马原理的实例。 3． 有关泛函的初步知识： （1） 我们把泛函F[q(t)]与有限个自变量的多元函数f(x 1 „x n )作一对比。（为简单起见，限于实数范围内） F[q(t)] f(x 1 „x n ) 自变量 ∞个实数值q(t)，∞维空间H（函数空间）的点 0 1 , t t t t   连续，个 n 个实数x k ，n 维空间R n 的点 1, 2, , k n  k 分立，有限个 因变量 F[q(t)]∈R（实数） f(x 1 „x n ) R  （实数） 映射 R H F   R R f n   极值（逗留值） 当q(t)=q e (t)，F[q(t)]=F e 极值 当(x 1 , x 2 , „, x n )=(x 1e , x 2e , „, x ne )， f(x 1 „x n )=f e 极值 极值条件 δ F＝0 df＝0 例 线性泛函         1 0 t t dt t q t C t q F 线性函数  n k k k n x C x x x f 1 2 1 ,  3 （2）等时变分和微分 （为了叙述方便，我们只考虑一个自由度的情形。推广到多个自由度的情形并不困难，请同学们自行完成。） 在力学中我们经常运用的是自变量为 t 的函数 , q t   t q 等等。我们曾研究，随t 的变化引起的 q 的变化，在无限小情况下，用微分表示 dt q dq   ，我们现在要研究的，不是由于t 的变化，而是由于函数形式的微小改变引起的对应于同一个t 的  q t 的值的变化，称为变分，函数q(t)的变分       t q t q t q    （即       t q t q t q    ），   t q ， , q t 代表两个相近的运动规律，  q t  是同一时刻t 的q 与q 的差。既然如此，自然有 0 t   。这种变分称为等时变分。作为泛函的自变量的函数  q t ，其改变量应相当于 q  而不是dq 。 说明：从另一个角度来理解 0 t   。函数空间的一个确定的函数  f t 相当于一维空间的一个确定的数（常数）C ；确定的函数的变分相当于确定的数的微分。既然 0 dC  是理所当然的，  0 f t   也就不难理解了。我们把t 看成一个确定的函数  f t t  ， 0 t  也就是顺理成章的了。 例1．   2 1 2 q t at  ， d q a t d t      2 1 2 q t a t    ，       2 1 2 q t q t q t t      例2．   1 2 q t at  ， 1 2 d q a t d t    1 2 q t a t    ，   1 1 1 ln 2 2 q at t at t         满足    0 1 0 q q     例3．  sin q t A t   ， cos dq A t dt        s i n q t A A t     ， s i n q A t      满足   0 0 q q       以上是某个参数引起的 q  的几个实例；其实 q  的形式是非常普遍的，并不限于某个或某些参数的改变所引起。 （3）δ 与d， dt d 以及 dt 的运算次序 4 考虑在t 0 ≤t≤t 1 的两条曲线（代表两个运动规律，有时称之为轨道，其实和我们原有的轨道概念是不同的。）q(t) （真实运动的位置）和       t q t q t q    （邻近运动中无限接近的为约束所允许的位置），起点和终点位置相同，     0 0 t q t q  ，     1 1 t q t q  。即 δ q(t 0 )＝δ q(t 1 )＝0。（这个要求是下面讨论哈密顿原理所要求的。思考：上面的例题中，如何选取 0 t 和 1 t 才能满足这个要求？）考虑两曲线上的四个点M，N，M ，N 分别对应于  q t ，  q t dt  ，      q t q t q t    和      q t dt q t dt q t dt       。我们用两种不同方法计算   dt t q  。  M→N→N                  , ( ) q t dt q t dt q t dt q t dt q t dq t q t dq t q t dq t              M→ N M                     , q t dt q t dq t q t q t q t q t q t dq t d q t          比较得    dq t d q t    即：在等时变分 0 t   的条件下， 和d 可以交换次序。         2 dq dt dq dt dq d q dq d q q dt dt dt dt dt              所以δ 和 dt d 可交换次序。（在证明过程中用到了    0 dt d t     ） 我们进一步研究复合函数    , u f q t t  在某一瞬时t ，由于函数形式的变化引起q 的变化，q的变化引起u 的变化，不考虑 f 的形式的改变(即  q t 是函数空间的变点，而 f 是确定的函数关系)，这称为u 的变分          , , u f q t q t t f q t t      ，所以 f u q q  （在多个q 情况下表为 f u q q  ）。在此情况下，微分的运算 f f du dq dt q t        与变分运算是很相似的。但应注意，       t q t q t q    与 dt q dq   t q(t) q q(t+dt)=q(t)+dq(t) q(t)+δ q(t) t 0 t 1 M M N N 5 不同，以及 0 t   。 我们再研究泛函    dt t q q L q S t t  1 0 , ,  的变分，这应该是q 的形式改变引起S 的变化（函数L的形式不变）。因此              1 0 1 1 1 0 0 0 , , , , , , , , t t t t t t t t S q L q q t dt S q q S q L q q q q t dt L q q t dt L q q t dt               （至此得到，在等时变分的条件下（ 0 t   ）， 与 dt 可以交换次序。我们继续计算：） 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 t t t t t t t t t t L L L L d L d L d L q q dt q q dt q q q dt q q q q dt q dt q dt q L d L L q qdt q dt q q                                                                         （4） 泛函的极值 力学中常见的泛函为：       1 0 , , t t dt t q q f t q F  （最速落径问题，费马原理中遇到的泛函也类似）。我们已经得到  1 0 1 0 t t t t qdt q f q f dt d q q f F     由于    0 1 0 q t q t     ，积分上下限 0 1 , t t 任意选定， q  是任意的（ 0 1 t t t   ）所以 0 F   等价于 0  q f q f dt d ， 称为Euler 方程（1744）。 (5) 易见，Euler 方程和拉格朗日方程实质上是一样的，因此，拉格朗日方程的理论，例如运动积分，循环积分等都可以运用到这里来。例如最速落径问题的   2 1 , , x x T f y y x dx  中，f 不显含x ，所以有“类能量积分” f y f C y    整理得   2 1 1 1 y y y C     令 cot y    则有 2 1 1 sin y y C    进一步， 2 1 2 sin dy dx C d y     于是得    1 2 1 1 2 sin 2 2 1 cos 2 2 C x C C y y        （6） 等时变分与虚位移是从不同角度引入的概念，我们采用了同样的符号 6 ) a 等时变分，要求δ t＝0。虚位移指同一时刻t 的假想的无限小位移，所以也有 0 t   。 ) b 虚位移是要求约束所允许的。而我们考虑的真实运动  q t 和邻近的可能运动  q t 都是满足约束条件的，所以等时变分  q t  也是满足约束条件的。 因此等时变分与虚位移采用同一符号 q  是适当的。 5 2 1． Hamilton 原理（1834） 在t 0 和t 1 时间间隔内，一个保守的力学体系，受到的约束是完整的，理想的，有确定的始终点，即  0 q t 和  1 q t 有确定的值，（    0 1 0 q t q t     ），在约束所允许的各种可能运动  q t 中，由动力学规律（Lagrange 方程）所决定的真实运动可由泛函   1 0 , , t t dt t q q L S  取极值条件   1 0 0 , , t t dt t q q L S    给出。S 称为Hamilton 作用量。 说明：这里的极值条件实际上是取逗留值的条件。这个逗留值是不是极值，以及是极大值还是极小值，都还需进一步探讨。（参考资料3 的334 页给出了一个实例。教材250 页也给出了一个实例。）如果积分区间充分小，在稳定约束条件下，哈密顿原理的泛函在真实路径上取极小值。（参考资料13。第二章70 页） 2．Hamilton 原理可以作为力学第一性原理。意即Hamilton 原理等价于已有的可作为力学第一性原理的原理。例如：Hamilton 原理Lagrange 方程。在一个自由度的情况下，这个证明在5 1 3．（4）中实际已经给出（并参阅教材247－250 页）。 3．由Hamilton 原理可以推导正则方程。（教材252－253 页） 4．利用哈密顿原理解力学问题，除了通过拉格朗日方程或正则方程以外，还可以直接求得近似解。 【例】（参阅参考资料3 中的341 页。） 质量为 1 m  的质点在XY 平面上运动，外力的势能为V xy  。在 0 t  时，它在原点  0, 0 ，在 1 t  时，它在  2, 0 。求质点的运动。 本题可以精确求解。我们先求出精确解，以备与以后求得的近似解进行比较。利用拉格朗日函数  2 2 1 2 L x y xy    求得拉格朗日方程： 0 0 x y y x     求得通解： 1 2 3 4 1 2 3 4 sin cos sinh cosh sin cos sinh cosh x C t C t C t C t y C t C t C t C t         并求得满足端点条件的特解： sin sinh sin1 sinh1 t t x   s i n s i n h s i n 1 s i n h 1 t t y     1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 cos sin sinh cosh sin 2 sinh 2 2 sin 1 sinh 1 2sin 1 2sinh 1 t t t t t t S x y xy dt dt                        c o t 1 c o t h 1 1 . 9 5 5 1 2 8    min S  极小值 7 （1）取满足端点条件的尝试路径： 2 , 0 x t y   积分得 2 S  >1.955128 （2）一般取依赖参数的满足端点条件的尝试路径（这只是可能路径中的一部分），求出使S 达到逗留值的参数值，以求得真实路径的近似表达式。例如：设    2 1 , 1 x t t t y t t        2 2 3 4 2 3 1 4 3 2 2 1 2 2 L t t t t t t t                    1 2 0 3 1 2 10 6 S Ldt       0 S   5 18     1 m i n 427 1.976852 216 S   如果取 0   ，就得到1。中的结果。显然，这个结果不如现在的结果。 （3）改取依赖两个独立参数的满足端点条件的尝试路径：    2 1 , 1 x t t t y t t                  1 2 2 2 2 0 1 1 , 2 2 1 2 2 1 2 2 S S t t t t t t t dt                     0 S   即：            1 2 0 1 2 2 0 2 2 1 2 1 0 1 2 2 1 0 S t t t t t t dt S t t t t t t dt                       ， 1 1 0 3 30 1 1 1 30 3 6      ， 5 99 50 99 ，    5 2 1 99 50 1 99 x t t t y t t       2 min 12793 1.957912 6534 S  