三角形（本质）是保守场，事物（线元）之间是有比例关系的（物理定律），”距离“关系与三角形所在的坐标系无关，黎曼，广相”两个事件时空间隔“不因坐标系而改变，
度 量 → 仿射联络
↓ ↓
保形特性 射影特性
(因果结构) (惯性场)
因此在广义度量空间中，不能计算线元、面元和体积元的绝对数值
从欧氏几何到黎曼几何的转变，正如物理学中从超距作用到近邻作用的转变
在以上这些著作以及外尔此间发表的一系列论文中，外尔不仅试图为黎曼几何提供一个公理化的表述，而且对黎曼几何首次做出了重大推广。首先，他在黎曼关于位置分析与度量几何的两分法中，插入了仿射几何这一过渡环节，并且引入了保形和投影的概念。其二，他发展了一种“纯粹无穷小几何”，不妨称之为“外尔几何”。在该几何中，矢量在位移时不仅方向有变化，而且长度也要发生变化
黎曼自然地假定，线元的长度不依赖于位置，用他的话说，“每一条线都可以通过其他的线来度量”
爱因斯坦为了解释度量与引力之间的概念关联，曾讨论过测地线方程：
d2x i / ds2 = − Γij k (dxj / ds) ( dxk / ds)，
并且说“这些量确定了对匀速运动的偏离，它们是引力场的分量”
由此我们可以在微分流形上任意一点的无穷小邻域内建立“直角”坐标系：在该坐标系中一个矢量在无穷小平行位移时各分量保持不变
外尔在《空间、时间与物质》
1921年，外尔在《空间、时间与物质》第四版中改称其为“引导场”（Führung Feld），因为它对质点的自由落体运动轨迹起着引导的作用。
背景场，保守场，但如果背景常变化，如库论场变化，能量一般很大，辐射场就出来了，辐射场非保守场
这就是外尔所说的 “空间问题”(Das Raumproblem)。在黎曼或外尔几何中，线元的长度表示为二次齐次微分式的平方根，用外尔的话讲，就是“在无穷小范围内毕达哥拉斯定理是成立的”。外尔把这个度量假设称作“空间度量的毕达哥拉斯本质”，有时简称为“空间的本质”或“度量的本质” ( die Natur der Metrik)，因为它是与空间中点的位置无关的。在外尔的用语中，“度量的本质”是与“度量在各点的相对定向”比照而言的，后者的意思是说，
空间各点的切空间中可以作自同构线性变换，从而改变度量表达式中n(n+1)/2个项的系数。
在1854年的就职讲演中，黎曼确实提到过，度量也可能用四次微分式的四次方根来表示，但他对此未予考虑：
对于这个较一般的情形的研究，实际上并不要求本质上不同的方法，但这要消耗大量时间，并且不会给空间理论带来多少新的知识，特别是这样得出的结果缺少几何意义；因此我只限于研究那些能用二次微分式的平方根表示线元的流形。（【4】，9）
对于这种限制，黎曼的理由是：考虑一个绕某点O的无穷小“圆周”，该圆周上各点（按短程线量度）与O点的距离相同，因此可用一个解析函数方程
F (x1, x2, … , xn) = 常数
来表示。考虑F在O点的泰勒展开，因为F在O点具有极小值并且为0，因此其展开式必以二次项开头。所有的二次项构成一个非负二次型。如果所有的二次项皆为正，并且在高阶项退化的情形下，我们就得到“毕达哥拉斯性质”的ds2。黎曼还假定，线元的长度与位置无关，因此“度量的本质”在空间各点是相同的。按照线性代数的惯性定理，任意一个黎曼空间中各点的度量都对应于同一个标准型
ds2 = (ξ1)2 + (ξ2)2 + … + (ξn)2。
公设（4）实际上就是度量几何的基本定理：在“度量的本质”所容许的自由范围之内，无论度量场取何种定量形式，总是唯一地确定了仿射联络。在度量几何中，“度量的本质”，即带有确定符号差的二次标准型，是先验的、不变的；随意变化的只是各点度量式相对于标准型的一个线性变换，或者说“空间中各点度量的相对定向”。但在这里，“度量的本质”是由群G来刻画的，“度量的相对定向”即所有的GP都相互共轭。 外尔把“度量的本质”比作国家的宪法，“度量的相对定向”比作公民在宪法所容许的范围之内享有的个人自由。宪法是对全体国民具有约束力的法律，但宪法的本质是最大限度地保障全体的福利。
度 量 → 仿射联络
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保形特性 射影特性
(因果结构) (惯性场)
